6.3 Phương pháp toán tử Laplace 6.3.1 Giới thiệu phương pháp 6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất 6.3.3 Dạng toán tử đònh luật mạch 6.3.4 Biến đổi ngược Laplace 6.3.5 p dụng cho bài toán quá độ 6.3.6 PP toán tử và bài toán không chỉnh 6.3.7 PP toán tử cho thành phần tự do. %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 1 6.3.1 Giới thiệu phương pháp Bài toán quá độ Hệ PTVP PTVP (1) Nghiệm xác lập Nghiệm tự do y(t) = y xl (t) + y td (t) Phương trình toán tử (biến s) u c (0 - ) i L (0 - ) Sơ kiện Ảnh Laplace của tín hiệu cần tìm Y(s) y(t) Giải phương trình đại số Biến đổi ngược Biến đổi Laplace Toán tử trực tiếp sơ đồ mạch %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 2 6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất  Hàm trễ 1(t-t 0 ) :  Hàm đơn vò 1(t) :  Biến đổi ngược Laplace: f(t) = £ -1 {F(s)} = hàm gốc của F(s) (Dùng bảng tra gốc ảnh &đònh lý Heavyside )  Biến đổi Laplace: F(s) = £{f(t)} = ảnh Laplace của f(t) (Dùng bảng tra gốc ảnh) 0 () () st Fs f te dt f  ³ 1 () () 2 j st j f tFseds j VZ VZ S   ³ 1:0 1( ) 0:0 khi t t khi t l!  ® l ¯ 0 0 0 1: 1( ) 0: khi t t tt khi t t l!   ® l ¯ %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 3  Các hàm cơ bản và ảnh Laplace  Hàm xung Dirac (impulse func.) G (t) và hàm trễ của nó:  Ta có : Và : £{ G (t)} = 1 ; £{ G ’(t)} = s … 0:0 () :0 khi t t khi t G lz  ® fl ¯ 0 0 0 0: () : khi t t tt khi t t G lz   ® fl ¯ 1( ) () dt t dt G %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 4 Baỷng tớnh chaỏt cuỷa bieỏn ủoồi Laplace 1. Ê{f(t).1(t)} = Ê{f(t)} 2. Ê{f 1 (t) r f 2 (t)} = F 1 (s) r F 2 (s) 3. Ê{k.f(t)} = k.F(s) 4. Ê{e -at f(t)} = F(s+a) 5. Ê{t.f(t)} = 6. Ê{f(t-t 0 ).1(t-t 0 )} = F(s).e -st0 7. Ê{df(t)/dt} = sF(s)- f(0 - ) 8. Ê 9. 10. ()dF s ds 0 () {()} t F s ftdt s 0 lim ( ) (0 ) lim[ . ( )] s t f t f sF s of o 0 lim ( ) ( ) lim[ . ( )] ts ft f sFs of o f %ơ,*,1*0é10&+,1% http://www.khvt.com &/r0LQK&QJ Trang 5 Xaực ủũnh aỷnh Laplace cuỷa caực haứm 1. f(t) = 1(t) F(s) = 1/s 2. f(t) = 1(t t 0 ) 3. f(t) = E (nguon DC) F(s) = E/s 4. f(t) = E.e -at F(s) = E/(s+a) 5. f(t) = E.1(t-t 0 ) F(s) = (E/s).e -st 0 6. f(t) = Asin( Z t) 7. f(t) = Asin( Z t + M ) (nguon ACừ) 8. f(t) = At + B F(s) = A/s 2 + B/s 0 1 () s t Fs e s 22 22 () cos( ) sin( ) s Fs A ss Z M M ZZ ê ôằ ơẳ 22 ()Fs A s Z Z %ơ,*,1*0é10&+,1% http://www.khvt.com &/r0LQK&QJ Trang 6 Ảnh Laplace của các hàm xung 9. Do f(t) = E[1(t) – 1(t - T)] 10. Biến đổi : E f(t) = E[1(t) - 1(t - T)] t 0 T E 0 T t f(t) = (Et/T)[1(t) - 1(t - T)]  () 1 s T E Fs e s   ( ) .1( ) ( ).1( ) .1( ) EE f ttt tTtTEtT TT   2 1 () 1 s TsT EE F see Ts s   %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 7 6.3.3 Dạng toán tử các luật của mạch 1. Luật Ohm dạng toán tử : a) Điện trở: Ởmiền s , giữ nguyên là điện trở b) Điện cảm: hai sơ đồ sL = cảm kháng toán tử ( : ) c) Tụ điện : Hai sơ đồ 1/sC = dung kháng toán tử ( : ) R R C 1/sC + _ + _ sC +- I R (s) +- U R (s) L i L (t) u C (t) sL Li L (0 - ) i L (0 - )/s I L (s) 1/sL u C (0 - )/s + - U C (s) C.u C (0 - ) %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 8  Luật Ohm dạng toán tử (tiếp theo) d) Hỗ cảm : sM = cảm kháng hỗ cảm toán tử ( : ) e) Nguồn : chỉ thay thế bằng ảnh Laplace tương ứng. f) Các phần tử khác không đổi. + _ + _ e(t) j(t) E(s) J(s) + _ + _ + _ + _ L 1 L 2 sL 1 sL 2 M ** ** sM i 1 (t) i 2 (t) I 1 (s) I 2 (s) L 2 i 2 (0 - )L 1 i 1 (0 - ) Mi 2 (0 - )Mi 1 (0 - ) %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 9  Luật Ohm dạng toán tử (tiếp theo)  Trên một nhánh bất kỳ của sơ đồ toán tử , ta có : U(s) = Z(s).I(s) Hay: I(s) = Y(s).I(s) Z(s) = trở kháng toán tử ( : ) Y(s) = dẫn nạp toán tử (S)  Z(s) và Y(s) đều tuân theo các phép biến đổi tương đương như điện trở và điện dẫn. 2 1/0,5s I(s) U(s) + - Z(s) Z(s) = 0,5s Z(s) = 0,5s+(2/0,5s)/(2+1/0,5s) = 0,5s+2/(s+1) aa bb %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 10 [...]... http://www.khvt.com Trang 29 6.3.6 Phương Pháp toán tử và bài toán không chỉnh Bài toán không chỉnh khi sơ kiện độc lập không thỏa luật đóng mở Do thay đổi được cận dưới của biến đổi Laplace, quá trình biến thiên đột ngột của iL(t) và uC(t) tại t = 0 đương nhiên thỏa mãn phương pháp toán tử Do đó không cần tách riêng hiện tượng này khi giải Với PP toán tử , các bài toán không chỉnh là các bài toán xuất hiện các hàm... s Biến đổi ngược: K1,2 = 4 ; K1,1 = -1; K3 = 1 i(t) = (-1 + 4t)e-4t + 1 (A) http://www.khvt.com Trang 18 Phương pháp toán tử : Ví dụ 3 Cho mạch như hình bên, biết iL(0-) = 0 và uC(0-) = 0 ; xác đònh u(t) tại t > 0 theo phương pháp toán tử Laplace ? Giải Sơ đồ toán tử như hình bên p dụng phương pháp dòng mắc lưới : 4 s s 2 http://www.khvt.com s 1 I 2 (s) s 12 s Trang 19 Ví dụ 3 (tiếp theo) Có : I2 (s)... 27 Phương pháp toán tử : Ví dụ 7 Cho mạch như hình bên, xác đònh u(t) tại t > 0 ? Giải Sơ đồ toán tử : như hình bên U(s) = - I(s) Ztđ , Với Ztđ = (2 // 8/s) = 8 / ( s + 4) Mà I(s) = (1/s)/4 , như vậy : U (s) 2 s ( s 4) 0, 5 s 0, 5 s 4 Vậy u(t) = [ - 0,5 + 0,5e-4t ].1(t) V http://www.khvt.com Trang 28 Phương pháp toán tử : Ví dụ 8 Cho mạch như hình bên, xác đònh u(t) tại t > 0 ? Giải Sơ đồ toán tử. .. đònh ảnh Laplace của tác động và của tín hiệu cần tìm p dụng các phương pháp phân tích mạch để xác đònh ảnh Laplace Y(s) của tín hiệu cần tìm (P2 bđtđ; P2 dòng nhánh; P2 thế nút; P2 dòng mắc lưới …) Biến đổi ngược Laplace tìm y(t) từ Y(s) http://www.khvt.com Trang 15 Phương pháp toán tử : Ví dụ 1 Khóa K mở ra tại t = 0 , tìm áp u(t) khi t > 0 ? Giải Khi t < 0 : Ta có uC(0-) = 4 (V) Sơ đồ toán tử như... Luật Kirchhoff dạng toán tử Luật K1 : I k (s) 0 U k (s) 0 node Luật K2 : loop Việc xét dấu như đối với mạch điện trở Do các luật Ohm và Kirchhoff viết cho mạch toán tử cũng tương tự viết cho mạch phức nên ta có thể áp dụng các phương pháp phân tích mạch xác lập đã học cho sơ đồ toán tử khi tìm ảnh Laplace bất kỳ http://www.khvt.com Trang 11 6.3.4 Biến đổi ngược Laplace Rút gọn ảnh Laplace Y(s) về phân... đồ toán tử: I 2 (s) 0,01s 100 100 * 0,01.1+ 0,005.1 Vậy: i2 (t ) 1,5.e u ab (t ) 104 t * 0,01s 1(t ) A 0, 0075 (t ) 225.e I2(s) 0,01s _ 10 4 t 1(t )V 0,01.1+ 0,005.1 100 + U ab (s) 225 0,0075 (s 104 ) 0,005s b http://www.khvt.com Trang 35 6.3.7 Phương Pháp toán tử cho thành phần tự do Do tồn tại nguồn AC ở t > 0 , ảnh Laplace Y(s) sẽ rất phức tạp , khó tìm gốc Do đó người ta áp dụng phương pháp toán. .. hình bên Tìm U(s) bằng thế nút 8/3 U (s) s 0, 5 1 Và : 8 t 1 u(t) L U(s) http://www.khvt.com 3 e2 Trang 16 Phương pháp toán tử : Ví dụ 2 Cho mạch điện như hình bên , khóa K đóng lại tại t = 0 , biết iL(0-) = 0 và uC(0-) = 0 , xác đònh i(t) khi t > 0 ? Giải Sơ đồ toán tử như hình bên p dụng phương pháp dòng mắc lưới : 8 4 I (s) 6 s s s http://www.khvt.com 8 2 0,5U(s) s Trang 17 Ví dụ 2 (tiếp theo) Mà... 1,2 U (s) K 1, 2 s 24 8s) 1 s K 1 ,1 2 1 s 1 16 d(24 8s) K1,1 8 ds s 1 Vậy: u(t) = [(16t + 8)e-t].1(t) V http://www.khvt.com Trang 20 Phương pháp toán tử : Ví dụ 4 Cho mạch như hình bên, xác đònh u(t) tại t > 0 ? Giải Khi t < 0 : iL(0-) = 1 A và uC(0-) = 1 V Sơ đồ toán tử và thế nút: 1 4 1 2 1 s s s 1 s 1 2 1 1 2 2 http://www.khvt.com Trang 21 Ví dụ 4 (tiếp theo) (2 s 1) 2 s 1 (s 1 3 2 2) 2 2 1 2s 1... B ( s1 ) A '( s1 ) 0, 5 3 4 j 7 4 2s 7 4s 3 j2 u(t) 4,26e 2,13 0,75t http://www.khvt.com 3 6 j 7 14 j2 7 6 s1 76, 5o 7 t 76,5o cos 4 Trang 22 Phương pháp toán tử : Ví dụ 5 Cho mạch như hình bên, xác đònh u(t) tại t > 0 ? Giải Khi t < 0 : iL(0-) = 0 Sơ đồ toán tử : như hình bên E e(t ) t 1(t ) 1(t T ) T E 1 E (s) 1 e sT T s2 http://www.khvt.com E E t.1(t ) (t T )1(t T ) E.1(t T ) T T E sT e s Trang... t T T Ee 1( t t T 1( t ) E (t T T) E Ee t T T 1( t T) T) t T u (t ) E t E Ee ;(0 t T ) T t T Ee ;(t T ) http://www.khvt.com Trang 25 Phương pháp toán tử : Ví dụ 6 Cho mạch như hình bên, xác đònh u(t) tại t > 0 ? Giải Khi t < 0 : iL1(0-) = 2 A ; iL2(0-) = 0 Sơ đồ toán tử : như hình bên Lưu ý : L1iL1(0+) = 4 MiL1(0+) = 2 http://www.khvt.com Trang 26 Ví dụ 6 (tiếp theo) Tìm U(s) : Dùng dòng mắc lưới I1 . 6.3 Phương pháp toán tử Laplace 6.3.1 Giới thiệu phương pháp 6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất 6.3.3 Dạng toán tử đònh luật mạch 6.3.4 Biến đổi ngược Laplace 6.3.5 p dụng cho bài toán quá. Trang 18  Phương pháp toán tử : Ví dụ 3  Cho mạch như hình bên, biết i L (0 - ) = 0 và u C (0 - ) = 0 ; xác đònh u(t) tại t > 0 theo phương pháp toán tử Laplace ? Giải  Sơ đồ toán tử như. y xl (t) + y td (t) Phương trình toán tử (biến s) u c (0 - ) i L (0 - ) Sơ kiện Ảnh Laplace của tín hiệu cần tìm Y(s) y(t) Giải phương trình đại số Biến đổi ngược Biến đổi Laplace Toán tử trực tiếp sơ