Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Bài 1. Phép thử: 12 hành khách lên 3 toa. Sô TH có thể: 3 12 a) A = {I: 4, II: 5}. Số TH thuận lợi cho A: C 4 12 C 5 8 . P (A) = C 4 12 C 5 8 3 12 = 0, 05216 b) B = {mỗi toa có 4 người lên}. Số TH thuận lợi cho B: C 4 12 C 4 8 . P (B) = C 4 12 C 3 8 3 12 = 0, 0652 c) C = {2 người A, B cùng lên 1 toa}. Số TH thuận lợi cho C: 3 · 1 · 3 10 . P (C) = 3 ·1 ·3 10 3 12 = 1 3 Chú ý: Trong Mathematica, để tính C k n , dùng lệnh Binomial[n, k] Bài 2. Phép thử: lấy 5 bi. Số TH có thể: C 5 13 A = {≥ 2T}. A = {≤ 1T}. Xét 2 TH *TH1: 0T. Số TH: C 5 7 *TH2: 1T. Số TH: 6 · C 4 7 Số TH thuận lợi cho A: C 5 7 + 6 · C 4 7 . P  A  = C 5 7 + 6 ·C 4 7 C 5 13 = 7 39 = 0, 1795. P (A) = 1 − P  A  = 1 −0, 1795 = 0, 8205 Bài 3. Phép thử: n người ngỗi ngẫu nhiên vào bàn (n chỗ). Số TH có thể: n! a) A = {2 người xác định ngồi cạnh nhau}. Số TH thuận lợi cho A: n · 2 · (n −2) !. P (A) = n ·2 · (n −2)! n! = 2 n −1 b) TH bàn dài. Xét 2 TH: *TH1: người thứ 1 ngồi đầu bàn. Số TH: 2 · 1 · (n −2)! *TH2: người thứ 1 ngồi giữa bàn. Số TH: (n −2) · 2 ·(n −2)! Số TH thuận lợi cho A: 2 · 1 · (n −2)! + (n − 2) · 2 ·(n −2)! = 2 (n −1)!. P (A) = 2 (n −1)! n! = 2 n Bài 4. Gọi l là độ dài của thanh; x, y là độ dài 2 đoạn nào đó; đoạn còn lại là l − x − y. Ta có Ω = {(x, y) ∈ R 2 : x, y ≥ 0, x + y ≤ l} Gọi A = {(x, y) ∈ R 2 : x, y, l −x −y lập thành tam giác}. Ta có x < y + l −x −y; y < x + l −x −y; l −x −y < x + y hay A = {(x, y) ∈ R 2 : x < l 2 , y < l 2 , x + y > l 2 } x y O l 2 l l 2 l A Dễ t hấy P (A) = S A S Ω = 1 4 Bài 5. A i = {người i bắn trúng}, i = 1, 2, 3, 4. P (A 1 ) = 0, 6, P (A 2 ) = 0, 7, P (A 3 ) = 0, 8, P (A 4 ) = 0, 9 A = {trên bia có 3 vết đạn}. B = {người 1, 2, 3 bắn trúng, người 4 trượt}. Cần tìm P (B|A) 1 B ⊂ A ⇒ AB = B = A 1 A 2 A 3 A 4 . P (AB) = 0, 6 ·0 , 7 ·0, 8 · 0, 1 = 0, 0336 A = A 1 A 2 A 3 A 4 + A 1 A 2 A 3 A 4 + A 1 A 2 A 3 A 4 + A 1 A 2 A 3 A 4 P (A) = 0, 6 ·0, 7 ·0, 8 ·0, 1 + 0, 6 ·0, 7 ·0, 2 ·0, 9 + 0, 6 ·0 , 3 ·0, 8 · 0, 9 + 0, 4 · 0, 7 ·0, 8 ·0, 9 = 0, 4404 P (B|A) = P (AB) P (A) = 0, 0336 0, 4404 = 0, 07629 Bài 6. A i = {người i bắn trúng}, i = 1, 2, 3. P (A 1 ) = 0, 6, P (A 2 ) = 0, 7, P (A 3 ) = 0, 8 a) A = {chỉ người 2 bắn trúng} = A 1 A 2 A 3 . P (A) = 0, 4 · 0, 7 · 0, 2 = 0, 056 b) B = {có đúng 1 người bắn trúng} = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 P (B) = 0, 6·0, 3·0, 2+0, 4·0, 7·0, 2+0, 4·0, 3·0, 8 = 0, 188 c) C = {cả 3 đều bắn trúng} = A 1 A 2 A 3 . P (C) = 0, 6 ·0 , 7 ·0, 8 = 0, 336 d) 1 D = {≥ 1 người bắn trúng} D = {cả 3 bắn trượt} = A 1 A 2 A 3 ⇒ P (D) = 1 −P  D  = 1 − 0, 4 · 0, 3 · 0, 2 = 0, 976 Bài 7. (xem vd3 tr18)A i = {sv i lấy đúng áo}, i = 1, 2, 3, 4 A = {≥ 1 sv lấy đúng áo} = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 P (A i ) = 1 ·3! 4! = 1 4 P (A i A j ) = 1 ·1 · 2! 4! = 1 12 , i < j P (A i A j A k ) = 1 ·1 ·1 ·1 4! = 1 24 , i < j < k P (A 1 A 2 A 3 A 3 ) = 1 4! = 1 24 P (A) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) + P (A 4 ) − P (A 1 A 2 ) − P (A 1 A 3 ) − P (A 1 A 4 ) − P (A 2 A 3 ) − P (A 2 A 4 ) −P (A 3 A 4 ) +P (A 1 A 2 A 3 ) +P (A 1 A 2 A 4 ) + P (A 1 A 3 A 4 )+P (A 2 A 3 A 4 )−P (A 1 A 2 A 3 A 4 ) = 4· 1 4 − 6 · 1 12 + 4 · 1 24 − 1 24 = 5 8 = 0, 625 1 cách 2: D = A 1 + A 2 + A 3 Bài 8. (sửa “có ≥ 1 người lấy đúng mũ”: tương tự bài 7, đáp án: 177 280 = 0, 6321) Bài 9. tương tự bài 2, đáp án: 1 − C 4 23 + 5C 3 23 C 4 28 = 79 585 = 0, 135 Bài 10. áp dụng 2 kết quả: * A, B độ c lập ⇔ P (AB) = P (A) P (B) * P (A) = 1 −P  A  Bài 11. A i = {máy i hỏng}, i = 1, 2, 3. P (A 1 ) = 0, 3, P (A 2 ) = 0, 2, P (A 3 ) = 0, 1 A = {≥ 2 máy không hỏng} = A 1 A 2 A 3 +A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 P (A) = 0, 7 ·0, 8 ·0, 1 + 0, 7 · 0, 2 ·0, 9 + 0, 3 · 0, 8 · 0, 9 + 0, 7 ·0, 8 ·0, 9 = 0, 902 Bài 12. *H 1 = {lần 1: Đ}, H 2 = {lần 1: T} P (H 1 ) = 4 9 , P (H 2 ) = 5 9 * A = {lần 2: Đ, lần 3: T} P (A|H 1 ) = 3 · 5 8 · 7 = 15 56 , P (A|H 2 ) = 4 ·4 8 ·7 = 2 7 P (A) = P (H 1 ) P (A|H 1 ) + P (H 2 ) P (A|H 2 ) = 4 9 · 15 56 + 5 9 · 2 7 = 5 18 = 0, 2778 Bài 13. * A 1 = {bi 1 và 2: Đ}, A 2 = {bi 1 và 2: T}, A = {bi 1 và 2 cùng màu} = A 1 + A 2 P (A) = P (A 1 ) + P (A 2 ) = 5 ·4 11 ·10 + 6 ·5 11 ·1 0 = 5 11 * B = {bi 3: Đ}. P (AB) = P ((A 1 + A 2 ) B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) = 5 ·4 ·3 11 ·1 0 · 9 + 6 ·5 ·5 11 ·10 ·9 = 7 33 Cần tính P (B|A) = P (AB) P (A) = 7/33 5/11 = 7 15 = 0, 4667 Bài 14. a) * H 1 = {hộp I sang hộp II: 2Đ} H 2 = {hộp I sang hộp II: 1Đ, 1T} H 3 = {hộp I sang hộp II: 2T} P (H 1 ) = C 2 6 C 2 10 = 1 3 , P (H 2 ) = 6 ·4 C 2 10 = 8 15 , P (H 3 ) = C 2 4 C 2 10 = 2 15 * A = {2 bi lấy ở hộp II cùng màu} P (A|H 1 ) = C 2 9 + C 2 3 C 2 12 = 13 22 , P (A|H 2 ) = C 2 8 + C 2 4 C 2 12 = 17 33 , P (A|H 3 ) = C 2 7 + C 2 5 C 2 12 = 31 66 P (A) = P (H 1 ) P (A|H 1 ) + P (H 2 ) P (A|H 2 ) + P (H 3 ) P (A|H 3 ) = 1 3 · 13 22 + 8 15 · 17 33 + 2 15 · 31 66 = 529 990 = 0, 5343 b) B = {2 bi lấy ở hộp II: 2Đ}. Tương tự a) P (B|H 1 ) = 6 11 , P (B) = 223 495 Cần tính P (H 1 |B) = P (H 1 ) P (B|H 1 ) P (B) = 1 3 · 6 11 223 495 = 90 223 = 0, 4036 c) Cần tính P (H 2 A) = P (H 2 ) P (A|H 2 ) = 8 15 · 17 33 = 136 495 = 0, 2747 Bài 15. * H 1 = {sp thuộc nm I}, H 2 = {sp thuộc nm II}, H 3 = {sp thuộc nm III} P (H 1 ) = 0, 4, P (H 2 ) = 0, 3, P (H 3 ) = 0, 3 * A = {sp là phế phẩm} P (A|H 1 ) = 0, 1, P (A|H 2 ) = 0, 2, P (A|H 3 ) = 0, 15 P (A) = P (H 1 ) P (A|H 1 ) + P (H 2 ) P (A|H 2 ) + P (H 3 ) P (A|H 3 ) = 0, 4 ·0, 1 + 0, 3 ·0, 2 +0, 3 ·0, 15 = 0, 145 * Cần tính P (H 3 |A) = P (H 3 ) P (A|H 3 ) P (A) = 0, 3 ·0 , 15 0, 145 = 0, 3103 Bài 16. A 4 = {máy bay có 4 động cơ bay được} = {≥ 2 động cơ không hỏng} = {≤ 2 động cơ hỏng} P (A 4 ) = C 0 4 (1 −p) 4 + C 1 4 p (1 −p) 3 + C 2 4 p 2 (1 − p) 2 = 1 − 4p 3 + 3p 4 Tương tự P (A 2 ) = C 0 2 (1 −p) 2 + C 1 2 p (1 −p) = 1 −p 2 Máy bay 4 động cơ a n toàn hơn 2 động cơ ⇔ P (A 4 ) > P (A 2 ) ⇔ 1 − 4p 3 + 3p 4 > 1 −p 2 ⇔ p < 1 3 Bài 17. Đặt A = {sinh con trai}, p = P (A) * Trong các gia đình 2 con: B = {sinh có trai, có gái}, C = {sinh con 1 bề} P (B) = C 1 2 p (1 −p) = 2p (1 −p), P (C) = C 0 2 (1 −p) 2 + C 2 2 p 2 = p 2 + (1 −p) 2 Dễ t hấy P (B) ≤ P (C) (đpcm) * Trong các gia đình 3 con: tương tự P (B) = C 1 3 p (1 −p) 2 + C 2 3 p 2 (1 −p) = 3p (1 −p), P (C) = C 0 3 (1 −p) 3 + C 3 3 p 3 = 1 − 3p (1 − p) Với p = 1 2 thì P (B) = 3 4 , P (C) = 1 4 nên khẳng định không còn đúng Bài 18. A i = {lần i xh mặt sấp}, i = 1, . . . , 10. P (A i ) = 1 2 A = {có 2 chữ giống nhau liền kề nhau} A = A 1 A 2 A 3 A 4 . . . A 9 A 10 + A 1 A 2 A 3 A 4 . . . A 9 A 10 P  A  = 1 2 9 , P (A) = 1 − 1 2 9 = 0, 998 Bài 19. Phép thử: n con thỏ vào n lồng. Số TH có thể: n! a) A = {k thỏ nâu vào k lồng màu nâu, n −k thỏ trắng vào n − k lồng trắng} Số TH thuận lợi cho A: k! (n −k)! P (A) = k! (n −k)! n! = 1 C k n b) A i = {con thỏ thứ i vào đúng lồng}, i = 1, . . . , n A = {≥ 1 con vào đúng lồng} = A 1 +A 2 +. . .+A n (xem vd3 tr18) đáp án: P (A) = 1 − 1 2! + 1 3! − . . . + (−1) n−1 n! Bài 20. Phép thử: chọn 5 người. Số TH có thể: C 5 26 a) A = {≥ 1 bác sĩ} A = {không có bác sĩ}. Số TH thuận lợi cho A: C 18 5 P  A  = C 5 18 C 5 26 , P (A) = 1 −P  A  = 0, 8697 b) B = {1 bác sĩ, 1 hộ lí, 3 y tá}. Số TH thuận lợi cho B: 8 · 6 ·C 3 12 P (B) = 8 ·6 ·C 3 12 C 5 26 = 48 299 = 0, 1605 Bài 21. a) * H 1 = {sp thuộc px 1}, H 2 = {sp thuộc px 2}, H 3 = {sp thuộc px 3} P (H 1 ) = 7 16 , P (H 2 ) = 5 16 , P (H 3 ) = 4 16 * A = {sp là chính phẩm} P (A|H 1 ) = 0, 95, P (A|H 2 ) = 0, 9 1, P (A|H 3 ) = 0, 85 P (A) = P (H 1 ) P (A|H 1 ) + P (H 2 ) P (A|H 2 ) + P (H 3 ) P (A|H 3 ) = 7 16 ·0, 95+ 5 16 ·0, 91+ 4 16 ·0, 85 = 0, 9125 b) Cần tính P (H 1 |A) = P (H 1 ) P (A|H 1 ) P (A) = 7/16 ·0, 95 0, 9125 = 0, 455479 Bài 22. A = {lấy được bi đỏ trong kho}, p = P (A) = 0, 5 Số lần thử n = 12 H i = {lấy được i bi đỏ} = { A xảy ra i lần}, i = 0, 12 P (H i ) = C i n p i (1 −p) n−i = C i 12 0, 5 12 B = {7 lần lấy được 7 bi đỏ} (trong 12 bi, có hoàn lại) P (B|H i ) =  i 12  7 P (B) = 12  i=0 P (H i ) P (B|H i ) = 12  i=0 C i 12 0, 5 12  i 12  7 = 0, 0272636 P (H 12 |B) = P (H 12 ) P (B|H 12 ) P (B) = C 12 12 0, 5 12 · 1 0, 0272636 = 0, 00895481 Bài 23. P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) −P (AB) −P (AC) −P (BC) + P (ABC) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A) P (B)−P (A) P (C)− P (B) P (C)+P (A) P (B) P (C) = 0, 4+0, 5+0, 6− 0, 4 ·0, 4 −0, 4 ·0, 6 −0, 5 ·0, 6 + 0, 4 ·0, 5 ·0, 6 = 0, 88 Chú ý. Có thể dùng CT P (A + B + C) = 1 − P  A + B + C  = 1 − P  A B C  Bài 24. * H 1 = {xe lấy được là xe ca}, H 2 = {xe lấy được là xe con} P (H 1 ) = 4 7 , P (H 2 ) = 3 7 * A = {xe lấy được hoạt động tốt} P (A|H 1 ) = 0, 8, P (A|H 2 ) = 0, 75 P (A) = P (H 1 ) P (A|H 1 ) + P (H 2 ) P (A|H 2 ) = 4 7 · 0, 8 + 3 7 · 0, 75 = 0, 7786 * Cần tính P (H 1 |A) = P (H 1 ) P (A|H 1 ) P (A) = 4/7 ·0, 8 0, 7786 = 0, 5871 Bài 25. A = {một người ủng hộ dự luật}, p = P (A) = 0.75 B = {đa số trong 11 người ủng hộ dự luật} = {A xảy ra ≥ 6 lần} P (B) = n  k=6 C k n p k (1 −p) n−k = 11  k=6 C k 11 · 0, 75 k · 0, 25 11−k = 0, 9657 Chú ý: Trong Math, để tính tổng trên, dùng lệnh 11  k=6 Binomial[11, k] ∗ 0.75 k ∗ 0.25 11−k Bài 26. * H 1 = {lấy được hộp I}, H 2 = {lấy được hộp II}, H 3 = {lấy được hộp III} P (H 1 ) = P (H 2 ) = P (H 3 ) = 1 3 * Phép thử: lấy 1 bi trong hộp chọn được, n = 4 lần thử, A = {lấy được bi đen} P (A|H 1 ) = 3 6 = 0, 5, P (A|H 2 ) = 2 4 = 0, 5, P (A|H 3 ) = 2 5 = 0, 4 * B = {≥ 2Đ} P (B|H 1 ) = C 2 4 ·0, 5 2 ·0, 5 2 + C 3 4 ·0, 5 3 ·0, 5 + C 4 4 · 0, 5 4 = 0, 6875 P (B|H 2 ) = C 2 4 ·0, 5 2 ·0, 5 2 + C 3 4 ·0, 5 3 ·0, 5 + C 4 4 · 0, 5 4 = 0, 6875 P (B|H 3 ) = C 2 4 ·0, 4 2 ·0, 6 2 + C 3 4 ·0, 4 3 ·0, 6 + C 4 4 · 0, 4 4 = 0, 5248 * P (B) = P (H 1 ) P (B|H 1 ) + P (H 2 ) P (B|H 2 ) + P (H 3 ) P (B|H 3 ) = 1 3 · 0, 6875 + 1 3 · 0, 6875 + 1 3 · 0, 5248 = 0, 6333 Bài 27. Phép thử: lấy 1 điểm trong hình tròn (O), n = 5 lần thử, A = {điểm nằm trong ∆ABC} p = P (A) = S ∆ABC S (O) = 3 √ 3R 2 4 πR 2 = 3 √ 3 4π = 0, 4134 * B = {≥ 1 điểm nằm trong ∆ABC} = {A xảy ra ≥ 1 lần} B = {A không xảy ra}. P  B  = (1 −p) 5 = 0, 0694 P (B) = 1 −P  B  = 0, 9306 Bài 28. Đặt A i = {quả cầu lấy từ hộp i là đỏ}, i = 1, 2, . . . P (A 1 ) = m m + k , P  A 1  = k m + k P (A 2 |A 1 ) = m + 1 m + k + 1 , P  A 2 | A 1  = m m + k + 1 P (A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 |A 1 ) + P  A 1  P  A 2 | A 1  = m m + k · m + 1 m + k + 1 + k m + k · m m + k + 1 = m m + k P  A 2  = 1 − P (A 2 ) = k m + k Tương tự, ta dễ dàng quy nạp và kết luận P (A i ) = m m + k ∀i Chương 2 ĐLNN và phân bố xs Bài 1. a) Phép thử: gieo đồng tiền Số lần thử: n = 3. A = {x/h mặt sấp}, p = P (A) = 1 2 . X = số lần x/h mặt sấp = số lần A xảy ra ⇒ X ∼ B (n, p) P (X = i) = C i n p i (1 −p) n−i , i = 0, n X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 b) F (x) = P (X < x) =  i:x i <x p i =                        0, x ≤ 0 1 8 , 0 < x ≤ 1 4 8 , 1 < x ≤ 2 7 8 , 2 < x ≤ 3 1, x > 3 c) EX =  i x i p i = 3 2 , DX =  i x 2 i p i −(EX) 2 = 3 4 Bài 2. a) A i = {người I ném t rúng lần i}, B i = {người II ném trúng lần i}, i = 1, 2, . . . P (A 1 ) = p 1 , P  B 1 | A 1  = p 2 P  A 2 | A 1 B 1  = p 1 , P  B 2 |A 1 B 1 A 2  = p 2 ; . . . P  A i | A 1 B 1 . . . A i−1 B i−1  = p 1 P  B i | A 1 B 1 . . . A i−1 B i−1 A i  = p 2 X = số lần ném của người I. ImX = {1, 2, . . .} {X = i} = A 1 B 1 . . . A i−1 B i−1 A i + A 1 B 1 . . . A i−1 B i−1 A i B i ⇒ P (X = i) = P  A 1  P  B 1 | A 1  . . . P  A i | A 1 B 1 . . . A i−1 B i−1  + P  A 1  P  B 1 |A 1  . . . P  B i | A 1 B 1 . . . A i−1 B i−1 A i  = (1 −p 1 ) i−1 (1 − p 2 ) i−1 p 1 + (1 −p 1 ) i (1 −p 2 ) i−1 p 2 = (1 −p 1 ) i−1 (1 − p 2 ) i−1 (p 1 + p 2 − p 1 p 2 ) p:=(1−p 1 )(1−p 2 ) = p i−1 (1 −p) Vậy P (X = i) = p i−1 (1 −p) , i = 1, 2, . . . b) EX =  i x i p i = ∞  i=1 i ·p i−1 (1 −p) = 1 1 −p DX =  i x 2 i p i − (EX) 2 =  ∞  i=1 i 2 · p i−1 (1 −p)  − (EX) 2 = p (1 − p) 2 Bài 3. a) Phép thử: lấy 5 s/p ImX = { 0, 1, . . . , 5} P (X = i) = C i 10 C 5−i 90 C 5 100 X 0 1 2 P 0,583752 0,339391 0,0702188 3 4 5 0,00638353 0,000251038 3, 34717 · 10 −6 b) EX = 0, 5; DX = 0, 431818 (tương tự bài 1) Bài 4. P (X = i) = C i 8 C 5−i 5 C 5 13 , i = 0, 5 X 0 1 2 3 4 5 P 1 1287 40 1287 280 1287 560 1287 350 1287 56 1287 Bài 5. a) A i = {bộ phận thứ i hỏng}, i = 1, 2, 3 ImX = { 0, 1, 2, 3} 6 {X = 0} = A 1 A 2 A 3 ⇒ P (X = 0) = 0, 8 · 0, 7 · 0, 75 = 0, 42 {X = 2} = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 ⇒ P (X = 2) = 0, 2 ·0, 3 ·0, 75 + 0, 2 ·0, 7 · 0, 25 + 0, 8 · 0, 3 ·0 , 25 = 0, 14 {X = 3} = A 1 A 2 A 3 ⇒ P (X = 3) = 0, 2 · 0, 3 · 0, 25 = 0, 015 ⇒ P (X = 1) = 1 − 0, 42 − 0, 14 − 0, 015 = 0, 425 X 0 1 2 3 P 0,42 0,425 0,14 0,015 b) Tương tự bài 1 F (x) =                        0 x ≤ 0 0, 42 0 < x ≤ 1 0, 845 1 < x ≤ 2 0, 985 2 < x ≤ 3 1 x > 3 c) EX = 0, 75; DX = 0, 5575; σ (X) = √ DX = 0, 746659 Bài 6. Đặt X = số tai nạn tro ng 1 ngày; X ∼ P λ EX = λ = 5 Dãy thử Bernoulli: kiểm tra số tai nạn mỗi ngày; số lần thử n = 4 A = {số tai nạn mỗi ngày > 4} = {X > 4}; p = P (A) = P (X > 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 1 − 4  i=0 e −λ λ i i! = 0, 559507 B = {có 3 ngày mà số tai nạn > 4} = {A xảy ra 3 lần} P (B) = C 3 4 p 3 (1 −p) = 0, 308614 Bài 7. a) NX: F (x) liên tục tại ∀x = a, −a * ĐK liên tục tại a: lim x→a + F (x) = lim x→a − F (x) = F (a) ⇒ 1 = A + B π 2 * Tương tự tại −a: 0 = A−B π 2 ⇒ A = 1 2 , B = 1 π x y O 1 y = F (x) b) P  − a 2 < X < a 2  = F  a 2  − F  − a 2  = 1 2 + 1 π · π 6 −  1 2 + 1 π · −π 6  = 1 3 c) f (x) =      1 π √ a 2 − x 2 , x ∈ (−a, a) 0, x /∈ [−a, a] d) EX =  ∞ −∞ xf (x) dx = 0 DX =  ∞ −∞ x 2 f (x) dx − (EX) 2 = a 2 2 σ (X) = √ DX = a √ 2 Bài 8. a)  ∞ −∞ p (x) dx = 1 ⇒ 2c = 1 ⇒ c = 1 2 b) Dãy thử Bernoulli: quan sát giá trị của X; số lần thử n = 5 A = {0 ≤ X ≤ π 4 }; p = P (A) =  π 4 0 p (x) dx = 1 2 √ 2 Số lần X ∈  0, π 4  có khả năng nhất = số lần A xảy ra với khả năng cao nhất = k 0 np + p − 1 = 5 · 1 2 √ 2 + 1 2 √ 2 − 1 = 3 √ 2 − 1 = 1, 12132 /∈ Z ⇒ k 0 = 1 + 1 = 2 XS cần tìm p 0 = C 2 5 p 2 (1 −p) 3 = 0, 337682 c) EX = 0, DX = π 2 − 8 4 = 0 , 467401; σ ( X) = 0, 683667 Bài 9. X = chiều cao của 1 người; X ∼ N (160, 36) Dãy thử Bernoulli: đo chiều cao của từng người; số lần thử n = 4 A = {chiều cao trong khoảng (168, 162)} = {158 < X < 162 } p = P (A) = P (158 < X < 162) = Φ  162 −160 6  − Φ  158 −160 6  = Φ  1 3  − Φ  − 1 3  = 0, 261117 B = {có ≥ 1 người có chiều cao trong khoảng (158, 162)} = {A xảy ra ≥ 1 lần} ⇒ B = {A không xảy ra} P  B  = (1 −p) 4 = 0, 2980 59 ⇒ P (B) = 0, 701941 Bài 10. X ∼ P λ , EX = λ = 3 a) (tương tự bài 9) Dãy thử Bernoulli: quan sát X; số lần thử n = 6 A = {X ≥ 1}; p = P (A) = P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −e −λ = 0, 950213 B = {có ≥ 1 lần thấy X ≥ 1} = {A xảy ra ≥ 1 lần} ⇒ B = {A không xảy ra} P (B) = 1 −P  B  = 1 − (1 − p) 6 ≈ 1 b) Dãy thử Bernoulli: quan sát X; số lần thử n = 100 A = {X > 3}; p = P (A) = P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 − 3  i=0 e −λ λ i i! = 0, 352768 Y = số lần thấy X > 3 = số lần A xảy ra ⇒ Y ∼ B (n, p) Cần tính EY = np = 35, 2768 Bài 11. X = số sv giỏi, ImX = {0, 1 , 2, 3} P (X = i) = C i 3 C 6−i 17 C 6 20 , i = 0, 3 X 0 1 2 3 P 91 285 91 190 7 38 1 57 Cần tính EX = 9 10 Bài 12. a) Dãy thử Bernoulli: lấy điểm trong hình tròn; số lần thử n = 6 A = {điểm thuộc lục giác đều ABCDEF } p = P (A) = S ABCDEF S (O) = 6 · 1 2 R 2 √ 3 2 πR 2 = 3 √ 3 2π = 0, 826993 B = {≥ 2 lần lấy được điểm trong lục giác} = {A xảy ra ≥ 2 lần} P (B) = 6  i=2 C i 6 p i (1 −p) 6−i = 0, 999204 b) X = số lần lấy được điểm trong lục giác = {số lần A xảy ra} ⇒ X ∼ B (n, p) Cần tính EX = np = 4, 96196 Bài 13. a)  ∞ −∞ f (x) dx = 1 ⇒ ae 4 √ π = 1 ⇒ a = 1 e 4 √ π = 0, 0103335 b) EX = 2, DX = 1 2 (tương tự bài 7) c) P (1 < X < 3, 5) =  3,5 1 f (x) dx = 0, 904403 Bài 14. X = khối lượng tấm bê tông; X ∼ N (a, σ 2 ) , a = 75 kg, σ = 2 kg Dãy thử Bernoulli: kiểm tra khối lượng các tấm; số lần thử n = 300 A = {khối lượng tấm bê tông > 73 kg} = {X > 73} p = P (A) = P (X > 73) = 1 − P (X ≤ 73) = 1 −Φ  73 −75 2  = 1 − Φ (−1) = Φ (1) = 0, 841345 Y = số tấm có khối lượng > 73 kg = số lần A xảy ra ⇒ Y ∼ B (n, p) Cần tính EY = np = 252, 4034 Bài 15. X = số viên đạn chưa dùng đến; ImX = {0, 1, 2, 3, 4} A i = {viên thứ i trúng}; P (A i ) = 0, 6 {X = 4} = A 1 A 2 ⇒ P (X = 4) = P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) = 0, 6 ·0, 6 = 0, 36 {X = 3} = A 1 A 2 A 3 ⇒ P (X = 3 ) = 0, 4 · 0, 6 2 = 0, 144 {X = 2} = A 2 A 3 A 4 ⇒ P (X = 3 ) = 0, 4 · 0, 6 2 = 0, 144 (viên 1 có thể trúng hoặc trượt) {X = 1} = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 P  A 1 A 2  = 1 − P (A 1 A 2 ) = 1 − 0, 6 2 = 0, 64 P (X = 1) = P  A 1 A 2  P  A 3  P (A 4 ) P (A 5 ) = 0, 64 ·0, 4 ·0, 6 2 = 0, 09216 P (X = 0) = 1−0, 36−0, 144−0, 144−0, 0 9216 = 0, 25984 X 0 1 2 3 4 P 0,25984 0,09216 0,108 0,108 0,36 Số viên đạn trung bình chưa dùng đến: EY = 2, 25216 Bài 16. H 1 = {lấy bi từ hộp I} = {số chấm của xúc xắc > 1}; H 2 = {lấy bi từ hộp II} P (H 1 ) = 5 6 , P (H 2 ) = 1 6 X = số bi đen lấy ra; ImX = {0, 1, 2} P (X = i) = P (H 1 ) P (X = i|H 1 ) + P (H 2 ) P (X = i|H 2 ) = 5 6 · C i 4 C 2−i 5 C 2 9 + 1 6 · C i 4 C 2−i 7 C 2 11 X 0 1 2 P 0,295118 0,547811 0,157071 Cần tính EX = 0, 861953 Bài 17. X = thời gian xe chạy từ A đến B; X ∼ N (a, σ 2 ) EX = a = 180 phút, σ (X) = 10 phút Dãy thử Bernoulli: kiểm tra các chuyến xe chạy từ A đến B; số lần thử n = 12 A = {thời gian xe chạy > 175 phút và < 200 phút} = {175 < X < 200} p = P (A) = P (175 < X < 200) = Φ  200 −180 10  − Φ  175 −180 10  = Φ (2) − Φ (−0, 5) = 0, 668712 B = {có ≥ 3 chuyến có thời gian > 175 phút và < 200 phút} = {A xảy ra ≥ 3 lần} P (B) = 12  i=3 C i 12 p i (1 −p) 12−i = 0, 999486 Bài 18. EX =  ∞ −∞ xf 1 (x) dx = 1 2 ln 3 , EY =  ∞ −∞ yf 2 (y) dy = 1 5 E (X + Y ) = EX + EY = 0, 65512 Bài 19. X ∼ U (0, 3) ⇒ DX = (3 −0) 2 12 = 3 4 . Tương tự DY = (4 −1) 2 12 = 3 4 X, Y độc lập ⇒ D (X + Y ) = DX + DY = 3 2 ⇒ σ (X + Y ) =  D (X + Y ) = √ 6 2 Bài 20. Dãy thử Bernoulli: kiểm tra khả năng bị tai nạn của một khách hàng; số lần thử n = 400 A = {khách hàng bị tai nạn}, p = P (A) = 0, 1 X = số khách hàng bị tai nạn = số lần A xảy ra; X ∼ B (n, p) B = {hãng bị lỗ} = {400 ·100.000 < X ·800.000} = {X > 50} P (B) = P (X > 50) = 400  i=51 C i 400 p i (1 −p) 400−i = 0, 0436444 Bài 21. a) X = tổng số quả cầu lấy ra; ImX = {M, M + 1, . . .} A i = {quả thứ i đỏ}; P (A i ) = p Dễ thấy {X = i} = BA i với B = {có M − 1 quả đỏ trong i − 1 quả} Xét dãy thử Bernoulli: lấy 1 quả cầu; số lần thử: i −1 A = {lấy đượ c quả đỏ}; P (A) = p Khi đó: B = {A xảy ra M − 1 lần} ⇒ P (B) = C M−1 i−1 p M−1 (1 − p) i−1−(M−1) = C M−1 i−1 p M−1 (1 −p) i−M P (X = i) = P (BA i ) = P (B) P (A 1 ) = C M−1 i−1 p M (1 − p) i−M b) EX =  i x i p i = ∞  i=M i ·C M−1 i−1 p M (1 −p) i−M = M p Bài 22. X = số nhỏ nhất trên n tấm thẻ; ImX = {1, 2, . . . N − n + 1} Dãy thử Bernoulli: lấy n thẻ trong N thẻ; số TH có thể: C n N {X = i} {số nhỏ nhất là i} = {chọn được số i và n −1 số > i} Số TH thuận lợi: C n−1 N−i ⇒ P (X = i) = C n−1 N−i C n N b) EX =  i x i p i = N−n+1  i=1 i · C n−1 N−i C n N Math = Γ (N + 2) C n N Γ (N − n + 1) Γ (n + 2) = (N + 1)! N! n!(N−N)! (N − n)! (n + 1)! = N n + 1 1 Bài 23. Dãy thử Bernoulli: kiểm tra 1 sp; số lần thử n = 100 A = {sp là phế phẩm}; p = P (A) = 0, 02 a) X = số phế phẩm = số lần A xảy ra ⇒ X ∼ B (n, p) b) Trung bình có EX = np = 2 (phế phẩm) c) B = {số phế phẩm < 3} = {X < 3} ⇒ P (B) = P (X < 3) = 2  i=0 C i 100 p i (1 −p) 100−i = 0, 676686 Bài 24. (tương tự bài 19) DX = DY = 25 12 , D (Z) = D (X − Y ) = DX + DY = 25 6 ⇒ σ (Z) = 5 √ 6 Bài 25. X = số khách đến siêu thị trong 1 ngày; X ∼ P λ Y = số người mua sp; ImY = {0, 1, . . .} P (Y = i) = ∞  j=0 P (Y = i, X = j) = 1 Γ (α) =  ∞ 0 x α−1 e −x dx, (α > 0) có t/c Γ (α + 1) = αΓ (α) , Γ (1) = 1 ⇒ Γ (n + 1) = n!  j≥i P (Y = i, X = j) =  j≥i P (X = j) P (Y = i|X = j) =  j≥i e −λ λ j j! · C i j p i (1 −p) j−i Math = e −pλ (pλ) i Γ (i + 1) = e −pλ (pλ) i i! Vậy Y ∼ P pλ ⇒ t rung bình có EY = pλ người mua sp Bài 26. f (x) = 1 σ √ 2π e − (x−a) 2 2σ 2 , ∀x G (y) = P (Y < y) = P  X 3 < y  = P (X < 3 √ y) =  3 √ y −∞ f (x) dx g (y) = G  (y) =  3 √ y −∞ ∂ ∂y f (x) dx + f ( 3 √ y) ∂ ∂y 3 √ y = 1 σ √ 2π e − ( 3 √ y−a ) 2σ 2 · 1 3 3  y 2 = 1 3σ √ 2π 3  y 2 e − ( 3 √ y−a ) 2σ 2 [...]... 0, 16 12 81 N (16 ; 32) ∼ U (10 , 16 ) ; K Tương tự p20 = = p60 6 (ni − Ei )2 = 1, 78 Ei (−∞, 11 ) [11 , 12 ) [12 , 13 ) [13 , ∞) 12 43 p10 = P (X < 11 |H) = Φ 2 χ (α, h − 1) = χ2 (0, 03; 5) = 12 , 37462 p20 = 30 15 11 − a σ P (11 ≤ X < 12 ) = = 0, 13 5043 Φ 12 − a σ χ2 < χ2 (α, h − 1) ⇒ chấp nhận H Vậy X ∼ Φ 11 − a = 0, 373936 qs σ U (10 , 16 ) Tương tự p30 = P (14 ≤ X < 16 ) = 0, 365 513 Bài 14 Tương tự bài 13 :... Bài 15 H : X N (16 ; 32 ) ; α = 0, 1 − Bài 16 1 1 dx = 16 − 10 6 χ2 qs 14 − 16 3 χ2 < χ2 (α, h − 1) ⇒ chấp nhận H Vậy X ∼ qs = 3, 05454 p10 = P (10 ≤ X < 11 |H) = 10 Φ χ2 (α, h − 1) = χ2 (0, 1; 5) = 9, 236357 11 11 = i =1 tqs > t0 ⇒ bác bỏ H : 12 − 16 3 = = 0, 0 912 11 Ei = npi0 n1 n2 (n1 + n2 − 2) = 3, 072885 n1 + n2 Bài 13 H P (12 ≤ X < 14 ) p60 = 1 − y = 69, 375; sY = 0, 59375 x−y × tqs = 2 2 (n1 − 1) ... lần thử n = 10 00 A = {X < 1 2 1 }, p = P (A) = P 2 X< 1 2 = 1 f (x) dx = 1 − √ = 0, 2 211 99 4 e −∞ 1 = số lần A xảy ra 2 Phép thử: quan sát X; số lần thử n = 200 240 − np P ( 210 ≤ Y ≤ 240) ≈ Φ − √ A = {khối lượng s/p > 11 g} = {X > 11 }; npq p = P (A) = P (X > 11 ) = 1 − P (X ≤ 11 ) = 210 − np Φ = Φ (1, 432439) − Φ (−0, 85325) = √ 11 − 10 npq = 1 − Φ (1) = 0, 15 8655 1 Φ 1 0, 9239 91 − 0, 19 67 61 = 0, 72723... 1) sY = 12 − 16 3 5 b) H : EX = EY, K : EX > EY, α = 0, 01 t0 = 20 p40 = 0, 247507, p50 = 0, 16 12 81 KTC: (70, 10 72; 72, 14 28) t12 0, 01 = 50 Tương tự p30 = P (14 ≤ X < 16 ) = 0, 247507, t0 = tn1 1 = t7 = 2, 364624 1 γ 0,05 tn1 +n2 −2 α p20 Φ sX = 1, 48 214 3 ⇒ sX = 1, 217 433 49 p10 = P (X < 12 |H) = Φ Bài 12 a) KTC của EX với độ t/c γ = 0, 95: sX sX x − t0 √ , x + t0 √ n n x = 71, 12 5 2 [14 , 16 ) [16 , 18 )... (z|x) = = 2e  f1 (x) 0, z≤x Bài 12 a) H HH Y HH HH X H 0 0 ,1 0,25 0,35 0,2 P 1 1 = 1 2 3 0 ,1 0,05 0,05 0,2 0 0,2 0 ,1 0 ,1 0,4 1 0 ,1 0 ,1 0 ,1 0,4 0,5 0,25 0,25 0 1 0,4 0,6 1 = 0, 010 416 7 96 P (1 < X < 2, 1 < Y < 2) Bài 13 a) c = b) 2 f (x, y) dxdy = 1 . P  A i | A 1 B 1 . . . A i 1 B i 1  + P  A 1  P  B 1 |A 1  . . . P  B i | A 1 B 1 . . . A i 1 B i 1 A i  = (1 −p 1 ) i 1 (1 − p 2 ) i 1 p 1 + (1 −p 1 ) i (1 −p 2 ) i 1 p 2 = (1 −p 1 ) i 1 (1 −. = 4 9 · 15 56 + 5 9 · 2 7 = 5 18 = 0, 2778 Bài 13 . * A 1 = {bi 1 và 2: Đ}, A 2 = {bi 1 và 2: T}, A = {bi 1 và 2 cùng màu} = A 1 + A 2 P (A) = P (A 1 ) + P (A 2 ) = 5 ·4 11 10 + 6 ·5 11 1 0 = 5 11 * B = {bi 3:. lượng 1 s/p; X ∼ N (10 , 1 2 ) Phép thử: quan sát X; số lần thử n = 200 A = {khối lượng s/p > 11 g} = { X > 11 }; p = P (A) = P (X > 11 ) = 1 − P (X ≤ 11 ) = 1 −Φ  11 10 1  = 1 − Φ (1) =