Thông tin tài liệu
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác
169
BÀI 5. CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
• Đặt vấn đề:
Xét tích phân dạng
( )
I R sin x,cos x dx
=
∫
1. Đổi biến số tổng quát:
Đặt
2
2 2 2
2 2 1
2
2
1 1 1
x dt t t
t tg x arctg t ;dx ; sin x ; cos x
t t t
−
= ⇒ = = = =
+ + +
Khi đó:
( )
2
2 2 2
2
2 1
1 1 1
dt
t t
I R sin x,cos x dx R ,
t t t
−
= =
+ + +
∫ ∫
Ta xét 3 trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây mà có thể đổi biến số bằng
cách khác để hàm số dưới dấu tích phân nhận được đơn giản hơn.
2. Nếu
(
)
R sinx, cosx
là hàm lẻ theo sin
:
(
)
(
)
− −
R sinx,cosx = R sinx, cosx
thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t
=
cosx.
3. Nếu
(
)
R sinx, cosx
là hàm lẻ theo cosin:
(
)
(
)
− −
R sinx, cosx = R sinx, cosx
thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t
=
sinx.
4. Nếu
(
)
R sinx, cosx
thoả mãn điều kiện:
(
)
(
)
− −
R sinx, cosx = R sinx,cosx
thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t
=
tgx.
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
1. Dạng 1: Đổi biến số tổng quát
− −
∫
3sin2x 2cos2x 1
I = dx
3cos2x + 4sin2x + 5
Đặt
2
2 2 2
dt 2t 1 t
t tg x x arctg t ;dx ; sin 2x ; cos 2x
1 t 1 t 1 t
−
= ⇒ = = = =
+ + +
⇒
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
3.2t 2 1 t 1 t dt 1 t 6t 3 dt 1 t 6t 3 dt
I
2 2
1 t t 4t 4 1 t
3 1 t 4.2t 5 1 t t 2 1 t
− − − + + − + −
= ⋅ = ⋅ =
+ + + +
− + + + + +
∫ ∫ ∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
170
Giả sử
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
6 3
2
1
2 1 2
t t A B Ct D
, t
t
t
t t t
+ − +
= + + ∀
+
+
+ + +
⇔
( )
(
)
(
)
( )( )
2
2 2 2
t 6t 3 A t 2 1 t B 1 t Ct D t 2 , t
+ − = + + + + + + + ∀
(*)
( ) ( ) ( )
( )
2 3 2
t 6t 3 A C t 2A B 4C D t A 4C 4D t 2A B 4D
⇔ + − = + + + + + + + + + + +
Thay t
=
−
2 vào (*) thì
−
11
=
5B
⇒
B
=
−
11/5
(*)
A C 0 A C 0 A 34 25
2A B 4C D 1 2A 4C D 16 5 B 11 5
A 4C 4D 6 A 4C 4D 6 C 34 25
2A B 4D 3 2A 4D 4 5 D 12 25
+ = + = = −
+ + + = + + = = −
⇔ ⇔ ⇔
+ + = + + = =
+ + = − + = − =
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
1 t 6t 3 34 dt 11 dt 1 24t 12
I dt dt
2 25 t 2 5 25
1 t
t 2 1 t t 2
+ − +
= = − − +
+
+
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2
34 dt 11 dt 12 d t 12 dt
25 t 2 5 25 25
1 t 1 t
t 2
34 11 12 12
ln t 2 ln 1 t arctg t c
25 5 t 2 25 25
34 11 12 12
ln tg x 2 ln 1 tg x x c
25 5 tg x 2 25 25
= − − + +
+
+ +
+
= − + + + + + +
+
= − + + + + + +
+
∫ ∫ ∫ ∫
2. Dạng 2:
(
)
(
)
− −
R sinx,cosx = R sinx, cosx
•
3 2
2
2
=
− − + −
∫ ∫
1
3 2
sin2xdx
J =
cos x sin x 1
sin x cos xdx
cos x cos x
( ) ( ) ( )
3 2
2sin x cos x
R sin x, cos x R sin x, cos x R sin x, cos x
cos x cos x 2
= ⇒ − = −
+ −
Đặt
t
=
cos x
⇒
( )
( )
1
3 2 2
2
2t dt 2t dt A Bt C
J 2 dt
t 1
t t 2 t 2t 2
t 1 t 2t 2
− − +
= = = − +
−
+ − + +
− + +
∫ ∫ ∫
Ta có:
( )
( )
( )
( )( )
2
2
2
t A Bt C
t A t 2t 2 Bt C t 1
t 1
t 2t 2
t 1 t 2t 2
+
= + ⇔ = + + + + −
−
+ +
− + +
( )
( ) ( )
2
A B 0 A 1 5
t A B t 2A B C t 2A C 2A B C 1 B 1 5
2A C 0 C 2 5
+ = =
⇔ = + + − + + − ⇔ − + = ⇔ = −
− = =
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác
171
( )
( )
( )
( ) ( )
1
2 2
2
2 2
2
2
2 1 t 2 2 dt 1 2t 2 6
J dt dt
5 t 1 5 t 1 5
t 2t 2 t 2t 2
2 dt 1 d t 2t 2 6 dt
5 t 1 5 5
t 2t 2
t 1 1
2 1 6
ln t 1 ln t 2t 2 arctg t 1 c
5 5 5
2 1 6
ln 1 cos x ln cos x 2 cos x 2 arctg 1 cos x c
5 5 5
− + −
= − − = − +
− −
+ + + +
+ +
= − + −
−
+ +
+ +
= − − + + + − + +
= − − + + + − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
•
(
)
( ) ( )
2 6
2 6 6 2
1 1
sin x dx d cos x dt
sin x cos x
cos x cos x t t
−
= = =
− −
∫ ∫ ∫ ∫
2
6
dx
J =
sinxcos x
(
)
( )
6 6 4 2
2 6 3 5
6 2
3 5
t t 1 1 t t 1 t 1 1 1 1
dt dt ln c
t 1 t
t 1 t 3t 5t
t t 1
1 cos x 1 1 1
ln c
1 cos x cos x
3cos x 5 cos x
− − + + −
= = − = + + + +
+
−
−
−
= + + + +
+
∫ ∫
•
2
2
2 2 4
2
2 1
sin x cos x sin x cos x
dx dx
cos x
cos x
= =
−
∫ ∫ ∫
3
sinx + sin3x
J = dx
cos2x
( )
2 2
2 2 2
2
4 cos xd cos x 4t dt 2 dt
2 dt 2 dt
1
1 2 cos x 1 2t 1 2t
t
2
1 1 2t 1 1 2 cos x
ln 2t c ln 2 cos x c
2 1 2t 2 1 2 cos x
= = = − = −
− − −
−
+ +
= − + = − +
− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
•
(
)
( )
2 2
2 2
0 0
4 4 1
1 1
sin x cos x
sin x dx d cos x
cos x cos x
π π
−
= −
+ +
∫ ∫ ∫
π 2
3
4
0
4sin x
J = dx =
1 + cosx
(
)
( )
( )
0 1
2
1
2
0
1 0
4 1 t
dt 4 1 t dt 4t 2t 4 2 2
1 t
−
= − = − = − = − =
+
∫ ∫
•
2 2 2
2
3 2 2
6 6 6
3 4 3 4 4 1
sin x dx sin x dx sin x dx
sin x sin x sin x cos x
π π π
π π π
= = =
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
π 2
2
5
π 6
sin x
J = dx
sin3x
( ) ( )
( )
( )
3 2
6 3 2 3 2
2 2 2
0
2 0 0
d cosx dt 1 d 2t 1 2t 1 1
ln ln 2 3
2 4 2t 1 4
4cos x 1 4t 1
2t 1
π
π
−
= = = = = −
+
− −
−
∫ ∫ ∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
172
3. Dạng 3:
(
)
(
)
− −
R sinx, cosx = R sinx, cosx
•
( )
( )
( )
4 4
8 2 2
20 20 20
1 1cos x sin x t
cos x dx d sin x dt
sin x sin x t
− −
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
9
1
20
cos x
K = dx
sin x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8
20 19 17 15 13 11
19 17 15 13 11
1 4t 6t 4t t 1 4 6 4 1
dt c
t 19t 17t 15t 13t 11t
1 4 6 4 1
c
19 sin x 17 sin x 15 sin x 13 sin x 11 sin x
− + − + −
= = + − + − +
−
= + − + − +
∫
•
(
)
(
)
( )
2 4 2 4
2 4 2 4
cos x cos x cos x cos x
cos x dx d sin x
sin x sin x sin x sin x
+ +
= =
+ +
∫ ∫ ∫
3 5
2
2 4
cos x + cos x
K = dx
sin x + sin x
( )
( )
( )
2
2 2 4 2
2 4 2 2
2 2
1 t 1 t t 3t 2 2 6
dt dt 1 dt
t t t 1 t
t 1 t
2 2
t 6 arctg t c sin x 6 arctg sin x c
t sin x
− + − − +
= = = + −
+ +
+
= − − + = − − +
∫ ∫ ∫
4. Dạng 4:
(
)
(
)
− −
R sinx, cosx = R sinx,cosx
•
( )
( )
( )
6 6
6
0
2
0 0
3 3
1
1 3
1
−
= = = − =
−−
−
∫ ∫ ∫
π 6
1
0
L
dx
=
cosx sinx cosx
d tg x
dx
ln tg x ln
tg x
cos x tg x
π π
π
•
( )
( )
3 3 3
3
3 8 2 3
4 4
4
4 4 4
d tg x
dx dx
tg x cos x cos x . tg x
tg x
π π π
π π π
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
π 3
2
4 3 5
π 4
dx
L =
sin xcos x
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3
3
3
1
1 4
8
4
4
4
4
tg x d tg x 4 tg x 4 3 1 4 3 1
π
π
−
π
π
= = = − = −
∫
•
( ) ( )
4
4
2
4
3 3
0
2 3
cos x
sin x
dx
cos x
cos x sin x cos x
π
=
+
∫ ∫
π 4
2
3
3 3
0
sin xdx
L =
cosx 2sin x + 3cos x
( )
(
)
( )
( )
4 4 4
3
2 2
3 2 3 3
0 0 0
4
3
0
d 3 2 tg x
tg x tg x 1
dx
d tg x
6
3 2 tg x cos x 3 2 tg x 3 2 tg x
1 1 1 5
ln 3 2 tg x ln 5 ln 3 ln
6 6 6 3
π π π
π
+
= ⋅ = =
+ + +
= + = − =
∫ ∫ ∫
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác
173
II. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. DẠNG 1: MẪU SỐ LÀ BIỂU
THỨC THUẦN NHẤT CỦA SIN
( )
∫
n
dx
sinx
•
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3 3 6 3
1
1
2 2
4
2 8
2 2 2 2 2
x x
tg d tg
dx dx
x x x x x
sin cos tg cos tg
+
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
1
3
dx
A =
sin x
(
)
(
)
(
)
(
)
2 4
2
3 2
x x
1 2 tg tg
1 1 1 x 1
2 2 x x
d tg 2 ln tg tg c
2 2
4 4 2 2
x x
tg 2 tg
2 2
+ +
−
= = + + +
∫
Cách 2:
(
)
( )
(
)
( )( )
[ ]
1
3 4 2 2
2
d sin d d cos d cos
sin sin
1 cos 1 cos
1 cos
x x x x x
A
x x
x x
x
= = = − = −
+ −
−
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1 cos x 1 cos x 1 1 1
d cos x d cos x
4 1 cos x 1 cos x 4 1 cos x 1 cos x
− + + −
= = +
+ − − +
∫ ∫
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 2 cos x 1 1 cos x
d cos x ln c
4 2 1 cos x
1 cos x 2 sin x
1 cos x 1 cos x
− − +
= + + = − +
−
−
− +
∫
•
(
)
(
)
(
)
5 5 10
dx dx
=
x x x x
2 sin cos 32 tg cos
2 2 2 2
=
∫ ∫ ∫
2
5
dx
A =
sin x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
2
2 4 6 8
5 5
2 4
4 2
x x
x x x x
1 tg d tg
1 4 tg 6 tg 4 tg tg
1 1
2 2
2 2 2 2 x
d tg
2
16 16
x x
tg tg
2 2
1 1 2 x 1
x x
6 ln tg 2 tg tg c
2 2
16 2 4
x x
4 tg tg
2 2
+
+ + + +
= =
−
= − + + + +
∫ ∫
Cách 2:
2
5 6
dx sin x dx
A
sin x sin x
= =
∫ ∫
(
)
( )
(
)
( )( )
3 3
2
d cos x d cos x
1 cos x 1 cos x
1 cos x
= − = −
+ −
−
∫ ∫
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
3
3
1 1 cos x 1 cos x 1 1 1
d cos x d cos x
8 1 cos x 1 cos x 8 1 cos x 1 cos x
− + + −
= = +
+ − − +
∫ ∫
( ) ( )
( )
( )
1
2 2 2 4
2
1 1 1 3 d cos x cos x 3
A
8 2 4
4sin x
2 1 cos x 2 1 cos x
1 cos x
− −
= − + = −
− +
−
∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
174
4 2 4 2
cos x 3 cos x 1 1 cos x cos x 3cos x 3 1 cos x
ln ln c
4 2 1 cos x 8 1 cos x
4sin x 2sin x 4sin x 8sin x
− − + − +
= − − = + + +
− −
•
( )
(
)
2 1
2sin cos
2 2
n
dx
x x
+
=
∫ ∫
3
2n+1
dx
A =
sinx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 n
2
2 n 1 4n 2 2 n 2 n 1
2 n 1
n 2n
0 1 2 n 2 2 n 2
2 n 2n 2n 2 n
2 n 2 n 1
x x
1 tg d tg
dx 1
2 2
2
x x x
2 tg cos tg
2 2 2
x x x
C C tg C tg C tg
1
2 2 2
x
d tg
2
2
x
tg
2
+ + +
+
+
+
= =
+ + + + +
=
∫ ∫
∫
( ) ( )
(
)
(
)
0 n 1 n 1 2n
2 2n
n
2n 2n 2n 2n
2n
2n 2n 2
C C C C
1 x
x x
C ln tg tg tg c
2 2
2 2 2n
2
x x
2n tg 2 tg
2 2
− +
−
= − − + + + + +
•
( )
( )
2
1 cotg cotg
= − + =
∫ ∫
10
2n+ 2
dx
A =
sin x
n
x d x
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
k n
0 1 2 k 2 n 2
n n n n
1 k n
2k 1 2n 1
0 3
n n n
n
C C cotg x C cotg x C cotg x d cotg x
C C C
C cotg x cotg x cotg x cotg x c
3 2k 1 2n 1
+ +
= − + + + + +
= − + + + + + +
+ +
∫
2. DẠNG 2: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA COSIN
( )
∫
n
dx
cos x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 3 6
3
2
2
2
3 2
d
2
d d d
sin
sin
2sin cos 8 tg cos
2
2 2 2 2
1 tg d tg
2 2
1 1 1 1
2 ln tg tg ;
4 4 2 2 2 2
tg 2 tg
2 2
x
u u u
u
u u u u
x
u u
u u
c u x
u u
π
+
= = = =
π
+
+
π
−
= = + + + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
1
3
dx
B =
cos x
Cách 2:
(
)
( )
(
)
( )( )
[ ]
4 2 2
2
cos d d sin d sin
cos
1 sin 1 sin
1 sin
x x x x
x
x x
x
= = =
+ −
−
∫ ∫ ∫ ∫
1
3
dx
B =
cos x
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
2
1 1 sin 1 sin 1 1 1
d sin d sin
4 1 sin 1 sin 4 1 sin 1 sin
x x
x x
x x x x
+ + −
= = +
+ − − +
∫ ∫
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác
175
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 2 sin 1 1 sin
d sin ln
4 2 1 sin
1 sin 2cos
1 sin 1 sin
x x
x c
x
x x
x x
+
= + + = + +
−
−
− +
∫
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 2 1
2 1
2
2
2 1 4 2 2 2 1
2 1
d
d d
2
sin
sin
2sin cos
2
2 2
1 tg d tg
d 1
2 2
2
2 tg cos tg
2 2 2
n n
n
n
n n n n
n
x
u u
u uu
x
u u
u
u u u
+ +
+
+ + +
+
π
+
= = =
π
+
+
= =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
i
2
2n+1
dx
B =
cos x
(
)
(
)
(
)
(
)
0 1 1 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
1
ln tg tg tg
2 2
2 2 2
2
2 tg 2 tg
2 2
n n n
n
n
n n n n
n
n n
C C C C
u
u u
C c
n
u u
n
− +
−
= − − + + + + +
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
0 1 2 2 2
1
2 1 2 1
0 3
1 tg tg
tg tg tg tg
tg tg tg tg
3 2 1 2 1
n
k n
k n
n n n n
k n
k n
n n n
n
x d x
C C x C x C x d x
C C C
C x x x x c
k n
+ +
= + =
= + + + + +
= + + + + + +
+ +
∫ ∫
∫
i
3
2n+ 2
dx
B =
cos x
3. DẠNG 3:
( ) ( )
∫
2 2
dx
C =
a sinx + bsinxcosx + c cosx
( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
2
2 2
2 2
•
d
cos 3 5 tg3 2 21 1 tg 3
d tg 3 d tg 3
2 tg3 5
1 1 1
tg
3 12
42
4 tg 3 20 tg 3 17
6 42 42
5
tg 3
2
4
x
x x x
x x
x
arc c
x x
x
=
+ − +
+
= = = +
+ −
+ +
∫ ∫
∫ ∫
2
dx
C =
5sin3x + 2cos3x - 21
4. DẠNG 4:
∫
dx
D =
a sin x + b cos x + c
•
(
)
(
)
2 2 2 2
dx
x x x x x x
4sin cos 5 cos sin 3 cos sin
2 2 2 2 2 2
=
+ − + +
∫ ∫
1
dx
D =
2sinx + 5cosx + 3
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2 2
x
x
d tg 1
tg 1 5
dx 1
2
2
ln c
x
x x x
2 5
x
tg 1 5
cos 4 tg 8 2 tg
tg 1 5
2
2 2 2
2
−
− −
−
= = − = +
− +
+ −
− −
∫ ∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
176
5. DẠNG 5: TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
•
∫
1
cosxdx
E =
sinx + cosx
. Xét tích phân liên kết với E
1
là:
1
*
sin x dx
E
sin x cos x
=
+
∫
Ta có:
( )
( )
( )
*
1 1 1
*
1 1 2
cos x sin x
E E dx dx x c
sin x cos x
cos x sin x d sin x cos x
E E dx ln sin x cos x c
sin x cos x sin x cos x
+
+ = = = +
+
− +
− = = = + +
+ +
∫ ∫
∫ ∫
Giải hệ phương trình suy ra:
( )
( )
1
*
1
1
E x ln sin x cos x c
2
1
E x ln sin x cos x c
2
= + + +
= − + +
•
−
∫
2
sin3xdx
E =
2cos3x 5sin3x
. Xét tích phân liên kết là:
2
3
2 3 5 3
*
cos x dx
E
cos x sin x
=
−
∫
Ta có:
( )
( )
( )
*
2 2 1
*
2 2 2
2cos3x 5sin3x
2E 5E dx dx x c
2cos3x 5sin3x
5cos3x 2sin3x 1 d 2cos3x 5sin3x ln 2cos3x 5sin3x
5E 2E dx c
2cos3x 5sin3x 3 2cos3x 5sin3x 3
−
− = = = +
−
+ − −
+ = = − = − +
− −
∫ ∫
∫ ∫
Giải hệ phương trình suy ra:
2
*
2
2 x
1 1 2ln 2cos 3x 5sin 3x
E c 5x c
ln 2cos3x 5sin 3x
29 29 3
5
3
x 5
1 1 5ln 2cos 3x 5sin 3x
E c 2x c
ln 2cos 3x 5sin 3x
29 29 3
2
3
− −
= ⋅ + = + +
−
−
−
−
= ⋅ + = − +
−
−
•
( )
( ) ( )
∫
4
3
4 4
sin x
E = dx
sin x + cos x
. Xét tích phân liên kết là:
( )
( ) ( )
4
3
4 4
*
cos x
E dx
sinx cosx
=
+
∫
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
4 4
*
3 3 1
4 4
sin x cos x
E E dx dx x c
sin x cos x
+
+ = = = +
+
∫ ∫
(1). Mặt khác:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
4 4
2 2 2 2
*
3 3
4 4 2
2 2 2 2
cosx sin x cos x sin x cos x sin x
E E dx dx
sin x cos x
cos x sin x 2 cos x sin x
− + −
− = =
+
+ −
∫ ∫
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác
177
( )
( )
( )
2
2
2
cos 2x d sin 2x 1 2 sin 2x
dx ln c 2
1
2 2 2 sin 2x
2 sin 2x
1 sin 2x
2
+
= = = +
−
−
−
∫ ∫
Từ (1) và (2) suy ra:
*
3 3
1 1 2 sin 2x 1 1 2 sin 2x
E x ln c ; E x ln c
2 2
2 2 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x
+ +
= − + = + +
− −
•
( )
( ) ( )
∫
π 2
99
4
99 99
0
cosx
E = dx
sinx + cosx
. Xét tích phân:
( )
( ) ( )
2
99
4
99 99
0
*
sin x
E dx
sin x cos x
=
+
∫
π
Đặt
2
x u
π
= −
⇒
dx
=
−
du
. Với
2
x
π
=
thì
u
=
0
và
x
=
0
thì
2
u
π
=
. Ta có:
( )
( ) ( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( ) ( )
99
2 2
99 0 99
*
4 4
99 99 99 99 99 99
0 2 0
sin u du
sinx dx cosu du
2
E E
sinx cosx cosu sinu
sin u cos u
2 2
π π
π
π
− −
= = = =
+ +
π π
− + −
∫ ∫ ∫
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
99 99
*
4 4
99 99
0
0 0
sin x cos x
E E dx dx x
2
sin x cos x
π π
π
+ π
+ = = = =
+
∫ ∫
⇒
*
4 4
E E
4
π
= =
•
( ) ( )
∫
π 2
2 2
5
0
E = cos3x cos6x dx
. Xét tích phân:
( ) ( )
2
2 2
5
0
3 6
E sin x cos x dx
∗
=
∫
π
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
5 5
0 0
E E cos3x sin 3x cos 6x dx cos 6x dx
π π
∗
+ = + =
∫ ∫
( )
2
2
0
0
1 1 sin12x
1 cos12x dx x
2 2 12 4
π
π
π
= + = + =
∫
. Mặt khác:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
5 5
0 0
2
2
3
2
*
6 6
0
0
E E cos 3x sin 3x cos 6x dx cos 6x cos 6x dx
1 1 sin 6x
1 sin 6x d sin 6x sin 6x 0 E E
6 6 3 8
π π
∗
π
π
− = − =
π
= − = − = ⇒ = =
∫ ∫
∫
•
( )
3
∫
π 2
6
0
sinx dx
E =
sinx + cosx
. Xét tích phân:
( )
2
6
3
0
*
cos x dx
E
sin x cos x
=
+
∫
π
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
178
Ta có:
( )
( ) ( )
2 2
6 6
3 2
0 0
cos x sin x dx dx
E E
sin x cos x sin x cos x
π π
∗
+
+ = =
+ +
∫ ∫
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2
2
0
0 0
dx 1 dx 1 1 1
cotg x 1
4
2 2 2 2
sin x
2 sin x
4
4
π π
π
−
π
= = = + = + =
π
π
+
+
∫ ∫
Mặt khác:
( )
( )
( )
( )
2 2
6 6
3 3
0 0
cos x sin x dx d sin x cos x
E E
sin x cos x sin x cos x
π π
∗
− +
− = =
+ +
∫ ∫
( )
2
*
6 6
2
0
1 1
0 E E
2
2 sin x cos x
π
−
= = ⇒ = =
+
6. DẠNG 6:
∫
a sin x + b cos x
F = dx
m sin x + n cos x
a. Phương pháp:
Giả sử:
(
)
(
)
a sin x b cos x m sin x ncos x m cos x n sin x , x
α β
+ = + + − ∀
⇔
(
)
(
)
a sin x b cos x m n sin x n m cos x , x
α β α β
+ = − + + ∀
⇔
2 2
2 2
am bn
m n a
m n
n m b bm an
m n
α
α β
α β
β
+
=
− =
+
⇔
+ = −
=
+
. Khi đó ta có:
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
am bn m sin x n cos x bm an m cos x n sin x
F dx dx
m sin x n cos x m sin x n cos x
m n m n
am bn bm an d m sin x ncos x
dx
m sin x n cos x
m n m n
am bn bm an
x ln m sin x n cos x c
m n m n
+ + − −
= +
+ +
+ +
+ − +
= +
+
+ +
+ −
= + + +
+ +
∫ ∫
∫ ∫
b. Các bài tập mẫu minh họa:
•
−
∫
1
4sin2x 7cos2x
F = dx
5sin2x + 3cos2x
( )
1 4sin 2x 7cos 2x 1 4sin u 7cos u
d 2x du
2 5sin 2x 3cos2x 2 5sin u 3cos u
− −
= =
+ +
∫ ∫
Giả sử
(
)
(
)
4 7 5 3 5 3
sin u cos u sin u cos u cos u sin u , u
α β
− = + + − ∀
(
)
(
)
4sin u 7 cos u 5 3 sin u 3 5 cos u , u
⇔ − = α − β + α + β ∀
[...]... p 1 + b2 k12 dA1 ∫ ( λ −λ ) A 1 184 2 2 1 + λ2 2 dx = − pdu1 ∫ (λ − λ ) A 2 − q 1 + b2 k2 1 2 ∫ (λ 2 2 1 + λ2 + dA2 2 − λ1 ) A2 + λ1 ∫ (λ 2 −qdu2 2 − λ1 ) A2 + λ1 Bài 5 Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác b Các bài t p m u minh h a: ∫ 2sin • J1 = ( sinx + cosx ) dx 2 x − 4sinxcosx + 5cos 2 x 2 − λ −2 = 0 ⇔ λ1 = 1; λ 2 = 6 −2 5 − λ λ1 , λ 2 là nghi m c a phương trình 1 24 ... = (α − 2 β ) sin x + ( 2α + β ) cos x + ( 3α + γ ) , ∀x α − 2 β = 1 α = −1 5 ⇔ 2α + β = −1 ⇔ β = −3 5 Khi ó ta có: 3α + γ = 1 γ = 8 5 180 ) Bài 5 Các phép 1 G2 = − 5 =− 1 5 π2 ∫ 0 π2 i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác sin x + 2 cos x + 3 3 dx − sin x + 2 cos x + 3 5 3 π2 ∫ dx − 5 ∫ 0 0 π2 ∫ 0 cos x − 2 sin x 8 dx + sin x + 2 cos x + 3 5 d ( sin x + 2 cos x + 3) 8 +... x ) + r ( sin 2 x + cos 2 x ) , ∀x 2 2 ⇔ a ( sin x ) + b sin x cos x + c ( cos x ) = 2 2 = ( mp + r ) ( sin x ) + ( np + mq ) sin x cos x + ( nq + r ) ( cos x ) ; ∀x 182 Bài 5 Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác ( a − c ) m + bn p = m2 + n2 mp + r = a mp + r = a ( a − c ) n − bm ⇔ q = ⇔ np + mq = b ⇔ np + mq = b Khi ó ta có: m2 + n2 nq + r.. .Bài 5 Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác 5α − 3β = 4 α = −1 34 ⇔ ⇔ Khi ó ta có: 3α + 5β = −7 β = −47 34 1 4 sin u − 7 cos u −1 5sin u + 3 cos u 47 5 cos u − 3sin u du = du − du 2 5 sin u + 3cos... − 1 2 π4 = 1 3 −1 arcsin − ln 2 2 186 ( 3 + 1) 4 3 2 2 1 3 −1 arcsin + ln (1 + 2 ) = − ln 2 2 ( 3 +1) 4 3 4+2 2 Bài 5 Các phép π4 ∫ • K6 = π8 = ∫ π8 π4 dx 6 6 sin x + cos x π4 i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác = ∫ ( sin π8 2 3 x + cos2 x ) − 3sin 2 x cos2 x π4 dx 2 cos 4 x (1 + tg 2 x ) − 3 tg 2 x 1 + 1 du 2 u = = 2 1 2 −1 u + 2 −... − an + 2 2 2 m + n m sin x + n cos x m + n 2 = am + bn dx bm − an 1 − 2 ⋅ +c 2 2 2 m + n m sin x + n cos x m + n m sin x + n cos x ∫ ∫ ( m sin x + n cos x ) 2 ∫ 181 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 2 Các bài t p m u minh h a: • H1 = 7 sin x − 5 cos x ∫ ( 3 sin x + 4 cos x ) 2 dx 7 sin x − 5 cos x = α ( 3 sin x + 4 cos x ) + β ( 3 cos x − 4 sin x ) ; ∀x Gi s ⇔ 7 sin x − 5 cos x = ( 3α... m x+ ∫ am + bn ln m sin x + n cos x + p + c − 2 2 m +n m +n bm − an 2 2 dx p m sin x + n cos x + p ∫ dx p m sin x + n cos x + p ∫ b Các bài t p m u minh h a: • G1 = sinx + 2cosx − 3 ∫ sinx − 2cosx + 3 dx 179 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương sin x + 2 cos x − 3 = α ( sin x − 2 cos x + 3) + β ( cos x + 2 sin x ) + γ , ∀x Gi s ⇔ sin x + 2 cos x − 3 = (α + 2 β ) sin x +... +c sin ( a − b ) sin ( a − b ) sin ( x + a ) ∫ • K2 = ∫ dx 1 sin [( x + a ) − ( x + b )] ∫ cos ( x + a ) cos ( x + b ) = sin ( a − b ) ∫ cos ( x + a ) cos ( x + b ) dx 185 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương = 1 sin ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) sin ( x + b ) dx sin ( a − b ) cos ( x + a ) cos ( x + b ) = 1 1 cos ( x + b ) tg ( x + a ) − tg ( x + b ) dx = ln +c sin... x π = sin x + + ln tg + π 2 6 8 2 6 0 sin x + 3 dx 1 1 1 1 1 1 1 = + ln 3 − − ln 3 = + ln 3 = (1 + ln 3 ) 4 2 8 4 8 4 4 183 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương J= 10 D NG 10: ∫ a ( sin x ) m sin x + n cos x 2 + 2b sin x cos x + c ( cos x ) dx 2 a Phương pháp: •G i λ1 , λ 2 là nghi m c a phương trình ⇔ λ 2 − ( a + c ) λ + ac − b 2 = 0... dx = 2 d ( cos x) = 2 1− cos x − d ( cos x) 1+ cos x 1+ cos x 1+ cos x 0 0 π2 cos2 x = 2 cos x − − ln (1 + cos x ) = 2ln 2 − 1 ( 2 0 thi TS H kh i D 2005) 187 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương π6 ∫ cosxcos • K 10 = π6 dx 0 π6 (x + π) 4 2 0 π 4 = π4 1 ∫ 2 0 1 2 π4 ∫ 0 ∫ ∫ sinxdx = 1 + sin2x ( dx 1 − sinx + cosx 2 π4 π4 ) ( 2 1 − cos x + π 4 0 ) ( 0 = dx d x+π . Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 169 BÀI 5. CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI. 1 5 ln 3 2 tg x ln 5 ln 3 ln 6 6 6 3 π π π π + = ⋅ = = + + + = + = − = ∫ ∫ ∫ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 173 II. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO. +λ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 1 85 b. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) − ∫ 1 2 2 sinx + cosx dx J = 2sin x 4sinxcosx + 5cos x 1 2 , λ
Ngày đăng: 28/03/2014, 19:20
Xem thêm: Bài 5. Các phép biến đổi cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác pdf, Bài 5. Các phép biến đổi cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác pdf