PHỤ LỤC CHƯƠNG I Automat đơn định (Deterministic Finite Automat – DFA) Tr 1 I.1. Mô tả không hình thức Tr 1 I.2. Mô tả hình thức Tr 2 I.3. DFA xử lý xâu như thế nào Tr 2 I.4. Các cách biểu diễn đơn giản hơn của DFA Tr 4 a. Biểu đồ dịch chuyển Tr 4 b. Bảng dịch chuyển Tr 5 I.5. Hàm dịch chuyển mở rộng Tr 5 I.6. Ngôn ngữ được thừa nhận bởi DFA Tr 7 CHƯƠNG II Sự tương đương của các Automat DFA Tr 9 II.1. Sự tương đương của các trạng thái Tr 9 II.2. Sự tương đương của các DFA Tr 11 a. Dự vào bảng đánh dấu sự tương đương các trạng thái Tr 11 b. Dựa vào tính đóng dưới phép giao Tr 12 II.3. Cài đặt Tr 15 a.Cài đặt dựa theo trạng thái tương đương Tr 16 b. Dựa vào tính đóng của phép giao 2 DFA Tr 22 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương CHƯƠNG I AUTOMAT ĐƠN ĐỊNH (Deterministic Finite Automat – DFA) I.1. Mô tả không hình thức. -Automat hữu hạn là một cái máy đoán nhận xâu. Nó bao gồm các bộ phận sau: - Một băng vào được chia thành ô, dùng để ghi xâu vào, mỗi kí hiệu của xâu vào thuộc bảng chữ Σ được ghi trên một ô - Một đầu đọc, mỗi thời điểm đọc (trỏ) đến một ô trên băng vào - Một bộ điều khiển Q, gồm một số hữu hạn các trạng thái, tại mỗi thời điểm nó có một trạng thái Hoạt động của Automat được thực hiện như sau: Automat hoạt động theo từng bước. Mỗi bước như sau: Tùy theo trạng thái hiện thời của bộ điều khiển và kí hiệu mà đầu đọc đang đọc, mà Automat chuyển sang một trạng thái mới, đồng thời đầu đọc dịch chuyển sang phải một ô. Quy luật chuyển trạng thái của Automat hữu hạn đơn định được mô tả bởi một hàm, được gọi là hàm dich chuyển như sau: Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 2 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương Trong Q, có một trạng thái đầu, thường kí hiệu qo và một tập hợp các trạng thái cuối thừa nhận, thường kí hiệu F (F ⊆ Q). Ta nói Automat thừa nhận xâu vào w nếu sau khi xuất phát từ trạng thái đầu qo và đầu đọc chỉ vào kí hiệu bên trái nhất của xâu w, sau một số bước dịch chuyển hữu hạn, Automat đọc song xâu w và rơi vào một trong các trạng thái cuối thuộc F. Tập hợp tất cả các xâu đoán nhận bởi Automat hợp thành ngôn ngữ được nhận bởi Automat đó. I.2. Mô tả hình thức Định nghĩa: Một Automat hữu hạn đơn định DFA được định nghĩa như là một bộ năm: (Q, Σ, δ, q 0 , F), trong đó: . Q là tập hợp hữu hạn các trạng thái. . Σ là bộ chữ cái nhập hữu hạn. . δ là hàm chuyển ánh xạ từ Q × Σ → Q, tức là δ(q, a) là một trạng thái được cho bởi phép chuyển từ trạng thái q trên ký hiệu nhập a thì nó chuyển sang trạng thái q’. . q 0 ∈ Q là trạng thái bắt đầu . F ⊆ Q là tập các trạng thái kết thúc. I.3. DFA xử lý xâu như thế nào Giả sử w = a 0 a 1 a n là xâu vào. DFA sẽ bắt đầu với trạng thái q 0 , nó sẽ thực hiện dịch chuyển δ(q 0 , a 1 ) giả sử cho q 1 . DFA bây giờ ở trạng thái q 1 và kí hiệu tiếp theo sẽ đọc a 2 , nó thưc hiện dịch chuyển δ(q 1 , a 2 ) giả sử cho q 2 . Nó cứ tiếp tục như thế, cho đến khi đọc an thì sẽ chuyển sang trạng thái qn nào đó, nếu q n thuộc tập F thì DFA thừa nhận xâu vào w, ngược lại thì xâu vào sẽ không được thừa nhận. Ví dụ: Xây dựng DFA thừa nhận các xâu gồm các kí hiệu 0, 1 và chứa ít nhất một lần xâu 01, nghĩa là chúng ta có thể mô tả ngôn ngữ L này như sau: Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 3 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương L = { x01y / x và y gồm các kí tự 0 và 1 bất kì } Để xây dựng DFA thừa nhận L, DFA M cần phải ghi nhớ các khả năng sau: DFA đã đọc xâu 01, như thế sau đó nó có thể thừa nhận xâu vào. DFA chưa bao giờ đọc kí tự 0, nhưng nó đã đọc ít nhất kí tự 1, trong trường hợp này nó có thể tiếp tục đọc các kí tự 1 cho đến khi nào đó một kí tự 0 đầu tiên, thì nó có thể sau đó đọc một kí tự 1 đi liền sau. DFA chưa đọc xâu 01, nhưng ngay trước đó ít nhất một kí tự 0, như thế nó có thể tiếp tục đọc kí tự 0 cho đến khi gặp một kí tự 1 thì có thể chuyển sang thừa nhận xâu vào. Với nhận xét trên chúng ta dễ dàng thấy mỗi trường hợp trên sẽ ứng với một trạng thái ghi nhớ của DFA. Trường hợp (1) sẽ tương ứng với trạng thái thừa nhận, kí hiệu trạng thái q 2 , ở trạng thái này, DFA có thể tiếp tục đọc bất kì kí hiệu nào. Như thế δ(q 2 , 0) = δ(q 2 , 1) = q 2 . Trường hơp (2) sẽ tương ứng với trạng thái đầu q0, khi ở trạng thái này DFA có thể tiếp tục đọc kí tự cho đến khi gặp kí tự 0 thì chuyển sang trạng thái khác. Như thế δ(q 0 , 1) = q 0 , δ(q 0 , 0) = q 1 . Trường hợp (3) sẽ tương ứng với trạng thái q 1 , khi đã đọc trước đó ít nhất một kí tự 0, nhưng chưa bao giờ đọc xâu 01.Ở trạng thái q 1 thì DFA có thể tiếp tục đọc kí tự 0 cho đến khi gặp kí tự 1, thì chuyển sang trạng thái thừa nhận q 2 . Như thế δ(q 1 , 0) = δ(q 1 , 1) =q 2 . Vậy cuối cùng chúng ta có DFA như sau: M=({q 0 , q 1 , q 2 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 2 }) Với δ được định nghĩa như trên. Giải thuật mô phỏng hoạt động của một DFA Mục đích: kiểm tra một chuỗi nhập x có thuộc ngôn ngữ L(M) đoán nhận bởi automata M. Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 4 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương Input: chuỗi nhập x$ Output: câu trả lời ‘YES’ hoặc ‘NO’ Giải thuật: I.4. Các cách biểu diễn đơn giản của DFA Cách mô tả DFA bằng bộ năm như trên là tương đối khó hiểu và ít trực quan. Có hai cách mô tả đơn giản hơn một DFA là: biểu đồ dịch chuyển và bảng dịch chuyển. a. Biểu đồ dịch chuyển Mỗi trạng thái trong Q là một nút. Với mỗi trạng thái q ∈ Q và mỗi kí hiệu a ∈ Σ, có δ(q, a) = p ∈ Q. Như thế, biểu đồ dịch chuyển có một cung đi từ nút p đến q mang nhãn a, nếu có nhiều kí hiệu tạo ta dịch chuyển từ q đến p thì chỉ cần biểu diễn một cung mang nhãn là danh sách các kí hiệu đó. Có một mũi tên đi vào nút q0 để kí hiệu trạng thái đầu. Các trạng thái kết thúc F là các nút được biểu diễn bởi hai vòng tròn. Các trạng thái không thuộc F là các nút được biểu diễn bởi chỉ một vòng tròn Ví dụ: Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 5 q := q 0 ; c := nextchar ; {c là ký hiệu nhập được đọc tiếp theo} While c <> $ do begin q := δ(q, c); c := nextchar ; end If (q in F) then write("YES") else write("NO"); Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương DFA biểu diễn ngôn ngữ trong Ví dụ b. Bảng dịch chuyển Bảng dịch chuyển cho một DFA là một quy ước biểu diễn dạng bảng của hàm, mà ở đây là dịch chuyển với hai tham số: các trạng thái và các kí hiệu vào. Trạng thái đầu được đánh dấu bởi dấu , các trạng thái cuối sẽ được đánh các dấu ( * ). Bảng dịch chuyển của DFA xây dựng trong Ví dụ I.5. Hàm dịch chuyển mở rộng Một cách không hình thức chúng ta có thể nhận thấy rằng, một DFA định nghĩa ngôn ngữ gồm các xâu là kết quả của quá trình dịch chuyển từ trạng thái đầu đến một trong các trạng thái thừa nhận. Để xác định ngôn ngữ được thừa nhận bởi một DFA, chúng ta sẽ định nghĩa hàm dịch chuyển mở rộng. Hàm dịch chuyển mở rộng, kí hiệu là δ * , sẽ nhận tham số là trạng thái q và xâu w và trả về trạng thái p. Nghĩa là DFA đang ở trạng thái q, sau khi xử lý xâu w thì DFA đạt đến trạng thái p. Định nghĩa: Hàm dịch chuyển mở rộng được định nghĩa đệ quy trên độ dài của xâu như sau: δ * (q, ε) =q, với mọi trạng thái q, nếu DFA không đọc kí hiệu vào nào sẽ ở lại trạng thái đó. δ * (q, w)= δ (δ * (q, x), a), với w = x a, x ∈ Σ * và a ∈ Σ. Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 6 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương Ví dụ: Xây dựng DFA thừa nhận ngôn ngữ L = {w / w chỉ chứa các kí hiệu 0, 1 và luôn kết thúc bởi kí hiệu 1} DFA phải phân biệt hai khả năng: Khi nó đọc kí hiệu 1, thì ngay sau đó có thể kết thúc. Khi nó đọc kí hiệu 0 thì ngay sau đó không được kết thúc, mà phải đọc tiếp các kí hiệu khác cho đến khi gặp kí hiệu 1. Như thế, DFA sẽ có ít nhất hai trạng thái tương ứng với hai khả năng trên. Ta xây dựng DFA như sau: M = ({q 0 , q 1 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 1 }) Trong đó, hàm δ như sau: DFA cho Ví dụ Hay chúng ta có thể biểu diễn hàm δ bởi bảng dịch chuyển như sau: Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 7 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương δ 0 1 q 0 q 0 q 1 * q 1 q 0 q 1 Sử dụng hàm dịch chuyển mở rộng để đoán nhận xâu w = 101101 của ngôn ngữ L. δ * (q 0 , ε) = q 0 δ * (q 0 , 1) = δ (δ * (q 0 , ε), 1) = δ(q 0 , 1) = q 1 δ * (q 0 , 10) = δ(δ * (q 0 , 1), 0) = δ (q 1 , 0) = q 0 δ * (q 0 , 101) = δ(δ * (q 0 , 10), 1) = δ (q 0 , 1) = q 1 δ * (q 0 , 1011) = δ(δ * (q 0 , 101), 1) = δ (q 1 , 1) = q 1 δ * (q 0 , 10110) = δ(δ * (q 0 , 1011), 0) = δ (q 1 , 0) = q 0 δ * (q 0 , 101101) = δ(δ * (q 0 , 10110), 1) = δ (q 0 , 1) = q 1 Như vậy, xâu vào w = 101101 được thừa nhận bởi DFA Chúng ta có thể biểu diễn quá trình đoán nhận đơn giản hơn như sau: q 0 - 101101  q 1 - 01101  q 0 -1101  q 1 -101  q 1 -01 q 0 -1 q 1 ∈ F I.6. Ngôn ngữ được thừa nhận bởi DFA Định nghĩa: Cho DFA M = (Q, Σ, δ, q 0 , F), ngôn ngữ được thừa nhận bởi M, được kí hiệu là L(M), được định nghĩa như sau: L(M) = { w ∈ Σ * / δ * (q 0 , w) = q f , q f ∈ F} Nghĩa là, ngôn ngữ L(M) gồm các xâu w sao cho M xuất phát từ trạng thái đầu q 0 , sau khi đọc hết xâu w thì đạt đến một trong các trạng thái q f thuộc F. Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 8 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương Định nghĩa: Cho DFA M, một ngôn ngữ L = L(M) được gọi là ngôn ngữ chính quy (regular language). Hay nói cách khác, ngôn ngữ được thừa nhận bởi một Automat hữu hạn đơn định là ngôn ngữ chính quy. Ví dụ: Xây dựng Automat thừa nhận ngôn ngữ L gồm các xâu trên bảng chữ Σ= {a, b} được bắt đầu bởi xâu aa. Ví dụ: Chứng minh rằng ngôn ngữ L = {aba n b m / n, m > 0} là ngôn ngữ chính quy. Để chứng minh một ngôn ngữ là chính quy, ta chỉ ra rằng tồn tại DFA thừa nhận ngôn ngữ đó. Thật vậy L được thừa nhận bởi DFA sau: Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 9 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương CHƯƠNG II SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC AUTOMAT DFA II.1. Sự tương đương của các trạng thái. Mục đích của chúng ta là xác định xem hai trạng thái khác nhau p và q có thể thay thế bởi một trạng thái duy nhất mà có chức năng như p và q. Chúng ta nói rằng, hai trạng thái p và q là tương đương nếu: với mọi xâu w, δ * (p, w) cho kết quả là trạng thái kết thúc và δ * (q, w) cho kết quả cũng là trạng thái kết thúc hoặc δ * (p, w) cho kết quả là trạng thái không kết thúc và δ * (q, w) cho kết quả cũng là trạng thái không kết thúc. Lưu ý, chúng ta không yêu cầu δ * (p, w) và δ * (q, w) cho cùng trạng thái mà chỉ cho kết quả cùng trạng thái kết thúc hoặc không kết thúc. Ngược lại, hai trạng thái không tương đương được gọi là phân biệt. Nghĩa là trạng thái p phân biệt với trạng thái q, nếu tồn tại ít nhất một xâu w sao cho một trong hai dịch chuyển δ * (p, w) và δ * (q, w) cho trạng thái kết thúc và dịch chuyển còn lại cho trạng thái không kết thúc. Để xác định sự tương đương của các trạng thái, chúng ta sử dụng thuật toán xây dựng bảng đánh dấu như sau: Nếu p là trạng thái không kết thúc và q là trạng thái kết thúc thì {p, q} là cặp trạng thái phân biệt. Cho p và q là các trạng thái sao cho với kí hiệu vào a, r = δ (p, a) và s= δ (q, a) là cặp trạng thái phân biệt. Khi đó {p, q} cũng là cặp trạng thái phân biệt. Thật vậy, bởi vì {r, s} là cặp trạng thái phân biệt, nên tồn tại xâu w phân biệt r và s, nghĩa là chỉ có một trong hai dịch chuyển δ * (r, w) và δ * (s, w) cho kết quả là trang thái kết thúc, còn một dịch chuyển cho kết quả là trạng thái không kết Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 10 [...]... và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương II.2 Sự tương đương của các DFA Ví dụ: Xét hai DFA, hai DFA này cùng đoán nhận ngôn ngữ gồm các xâu trên bảng chữ {0, 1} kết thúc bởi kí hiệu 0 a Dựa vào bảng đánh dấu sự tương đương các trạng thái Chúng ta dễ dàng xác định được sự tương đương của hai DFA Thật vậy, giả sử có hai DFA M1 và M2 Xét DFA mới là hợp của hai DFA M 1 và M2 Khi đó, DFA này có hai trạng thái... Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương DFA biểu diễn L1 ∩ L2 = L(M) Ta thấy L(M) là một Automat rỗng vì không tồn tại đương đi nào từ (A, C) đến (A, E) Tương tự ta có L(M)= L1 ∩ L2 cũng rỗng Suy ra hai DFA L1 , L2 tương đương II.3 Cài đặt Chú ý: Dùng ma trận để mã hóa 2DFA Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 16 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương + Ma trận có 3 cột, số hàng... } else cout>n1; coutn2;... tài: Hai DFA tương đương void main() { clrscr(); cout>n1; coutn2; nhapmt2(d2, n2); cout>td1; cout>td2; * / if(ss2dong(d1, d2, 0, 0)==1) return 1; else return 0; } // tim vi tri trang thai cuoi cua DFA 1 int timttc1(int d1[][20], int n1) { int... Trang 12 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương A B C D A và C là cặp trạng thái tương đương, vậy hai DFA là tương đương Tức là cùng thừa nhận một ngôn ngữ b Dựa vào tính đóng dưới phép giao Định lý: Nếu L1 và L2 là các ngôn ngữ chính quy thì L1 ∩ L2 cũng là ngôn ngữ chính quy Chứng minh: Chúng ta xây dựng trực tiếp DFA thừa nhận ngôn ngữ L 1∩ L 2 từ các DFA thừa nhận L1 và L2 Giả sử M1= (Q1,... la \n"; cout . dấu sự tương đương các trạng thái Chúng ta dễ dàng xác định được sự tương đương của hai DFA. Thật vậy, giả sử có hai DFA M 1 và M 2 . Xét DFA mới là hợp của hai DFA M 1 và M 2 . Khi đó, DFA này. NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương DFA biểu diễn 1 L DFA biểu diễn 2 L DFA biểu diễn 2 L Nguyễn Thái Thành-Tin Học 2 Trang 15 Môn học Automat và NNHT Đề tài: Hai DFA tương đương DFA biểu diễn. bởi DFA Tr 7 CHƯƠNG II Sự tương đương của các Automat DFA Tr 9 II.1. Sự tương đương của các trạng thái Tr 9 II.2. Sự tương đương của các DFA Tr 11 a. Dự vào bảng đánh dấu sự tương đương