ThS Phùng Duy Quang (chủ biên) ThS Nguyễn Dương Nguyễn TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Nhà xuất bản Sư phạm LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tế này được biên soạn tương ứng chương trình Toán cơ sở trong chương trình đào tạo các ngành Kinh tế, Tài chính Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế của trường Đại học Ngoại thương Hà nội. Ngoài ra cuốn sách còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên các trường đại học có học Toán cơ sở cũng như các học viên chuẩn bị các kiến thức Toán cao cấp cho việc ôn thi đầu vào hệ Sau đại học các trường Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội, Đại học Ngoại thương Hà nội. Với mục đích là rèn luyện tư duy suy luận bằng các tri thức của toán học cao cấp trang bị trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải toán bằng các công cụ của toán học cao cấp khi tiếp cận các bài tập. Nhằm mục đích đổi mới việc giảng dạy và học tập toán cao cấp của sinh viên Đại học Ngoại thương Hà nội theo phương thức đào tạo tín chỉ, bộ sách này được biên soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp đỡ các bạn sinh viên học tập tốt môn Toán cơ sở. Với mục đích đó ngoài các khái niệm toán học, chúng tôi cố gắng trình bày các kết quả toán học, và ý nghĩa của các định lý để người đọc hiểu và vận dụng kết quả đó vào trong giải bài tập toán cao cấp. Bên cạnh đó cuốn sách cũng mạnh dạn đưa vào khối lượng tương đối lớn các ví dụ cùng với các phương pháp giải toán, kết với các ví dụ áp dụng toán cơ sở trong các bài toán kinh tế để người đọc thấy được mạch ứng dụng của toán học cao cấp trong lĩnh vực kinh tế. Với mục đích trên, ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; cuốn sách được kết cấu như sau: Chương 1. Ma trận và định thức Chương 2. Không gian véc tơ Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng Chương 4. Phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số và ứng dụng Chương 5. Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng Phân công biên soạn cuốn sách như sau: - ThS Phùng Duy Quang chủ biên và biên soạn chương 1, chương 2, chương 3, chương 5 và phần ứng dụng của chương 4. - ThS Nguyễn Dương Nguyễn biên soạn chương 4 1 Cuối cùng cuốn sách lần đầu ra mắt bạn đọc nên không thể tránh được các sai sót. Các tác giả mong nhận được những lời góp ý của bạn đọc để cuốn sách ngày càng hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin gửi về Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại Thương Hà nội Hà nội, ngày 28 tháng 12 năm 2012 Chủ biên ThS Phùng Duy Quang Trưởng bộ môn Toán, Trưởng khoa Cơ bản Trường Đại học Ngoại thương 2 MỤC LỤC Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 4 §1. Ma trận và các phép toán trên ma trận 4 §2. Định thức của ma trận vuông 11 §3. Ma trận nghịch đảo 22 2. Định nghĩa ma trận nghịch đảo 22 Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo 22 3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo 22 Ví dụ 4. Tìm (A2)-1 với 24 4. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 24 §4. Hạng của ma trận 28 CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉCTƠ 33 §1. Khái niệm về không gian véc tơ 33 §2. Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ 36 2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 37 §3. Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ 41 §4. Không gian vectơ con 49 5. Toạ độ của vectơ đối với một cơ sở 51 §5. Không gian Euclide thực 53 Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 56 §1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 56 §2. Phương pháp giải hệ phương trình 60 3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 61 4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 65 Tập nghiệm của hệ 68 §3. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 69 Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 83 §1. Hàm một biến số 83 § 2. Giới hạn của dãy số 88 § 3. Giới hạn của hàm số 90 §4. Hàm số một biến số liên tục 93 §5. Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến số 95 §6. Ứng dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế 102 §7. Tích phân hàm một biến số 109 §8. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế 128 Chương 5. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 131 § 1. Giới hạn và liên tục 131 §2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến 139 §4. Cực trị hàm nhiều biến 155 § 5. Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến trong phân tích kinh tế 162 TÀI LIỆU THAM KHẢO 173 3 Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC §1. Ma trận và các phép toán trên ma trận 1. Các khái niệm Cho m, n là các số nguyên dương Định nghĩa 1. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m × n. Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông. Ma trận cấp m × n có dạng tổng quát như sau:               mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa hoặc             mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa Viết tắt là A = (a ij ) n xn hoặc A = [a ij ] n xn Ví dụ 1. Cho ma trận       − = 176 752 A . A là một ma trận cấp 2 x 3 với a 11 = 2 ; a 12 = 5 ; a 13 = - 7 ; a 21 = 6 ; a 22 = 7 ; a 23 = 1 Định nghĩa 2. • Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau. • Ma trận chuyển vị của A là A T : A T = [a ji ] n xn • Ma trận đối của ma trận A là ma trận – A = [- a ij ] n x n Ví dụ 2. Cho ma trận           − − = 02 14 31 A . Xác định A T , - A Giải : Ta có       −− = 013 241 A T ;           − − − =− 02 14 31 A • Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 : nxm ]0[=θ • Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận dòng. 4 • Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần từ a 11 , a 22 , … , a nn gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử a n1 , n 12 a − , … , a 1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ. • Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0. +) Ma trận A = [a ij ] n x n được gọi là ma trận tam giác trên nếu a ij = 0 với i > j:                 = −−− − − nn n1n1n1n n21n222 n11n11211 a0 00 aa 00 aa a0 aa aa A +) Ma trận A = [a ij ] n x n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu a ij = 0 với i < j:                 = − −−−− nn1nn2n1n 1n1n21n11n 2221 11 aa aa 0a aa 00 aa 00 0a A Ví dụ 4. Cho một ví dụ về ma trận vuông cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác dưới cấp 3. Giải:           − − = 611 412 521 A ;           − = 600 410 521 B ;           −= 611 012 001 C • Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 • Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n:                 = 10 00 01 00 00 10 00 01 E n 5 • Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat m x n (R) • Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n (R) Ví dụ 5. Cho ma trận       − = 176 752 A và           − = 2 m7 75 62 B a) Tìm A T và – A b) Tìm m để A T = B Giải: a) Ta có           − = 17 75 62 A T và       −−− −− = 176 752 A b) 1m1m m7 75 62 17 75 62 BA 2 2 T ±=⇔=⇔           − =           − ⇔= 2. Phép toán trên ma trận a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số Định nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m × n: [ ] [ ] nm ij nm ij bB;aA ×× == Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × n, kí hiệu A + B và được xác định như sau: [ ] nm iiij baBA × +=+ Tích của ma trận A với một số α là một ma trận cấp m × n, kí hiệu α A và được xác định như sau: [ ] nm ij a.A × α=α Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B) Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m × n, βα ; là các số bất kì ta luôn có: 1) A + B = B + A 2) (A + B) +C = A + (B + C) 3) A + 0 = A 4) A + (-A) = 0 5) 1.A = A 6) α (A + B) = α A + α B 6 7) ( α + β )A = α A + β A 8) ( α β )A = α ( β B) Ví dụ 6. Cho các ma trận       − =       − − = 312 212 B; 110 421 A . Khi đó       −−− −− =       − −+       − − =− 1116 1474 312 212 ).3( 110 421 .2B3A2 Ví dụ 7. Cho ma trận       = 35 31 B . Tìm ma trận C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E Giải: Phương trình đã cho       − =       −       =−=⇔ 2/12/5 2/32/1 10 01 35 31 . 2 1 EB 2 1 C b) Phép nhân ma trận với ma trận Cho hai ma trận : A =             mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa ; B =               np2n1n p22221 p11211 b bb b bb b bb Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B. Định nghĩa 4. Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m × p, kí hiệu là AB và được xác định như sau: AB =             mn2m1m n22221 n11211 c cc c cc c cc trong đó ( ) p, ,2,1j;m, ,2,1i;baba babac n 1k kjiknjinj22ij11iij ===+++= ∑ = Chú ý 1. • Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma trận đứng sau. • Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau. 7 • Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử ij c là tích vô hướng của dòng thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau. Ví dụ 8. Cho hai ma trận       = 13 21 A và       = 231 410 B . Tính A.B và B.A Giải : Ta có       =       +++ +++ =             = 1461 872 2.14.33.11.31.10.3 2.24.13.21.11.20.1 231 410 . 13 21 B.A Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA. Ví dụ 9. Cho ma trận       − − = 023 012 A ;           − − = 1203 0112 1321 B . Tính A.B, BA Giải: Ta có       −− − =           − −       − − = 3781 1753 1203 0112 1321 . 023 012 B.A Còn B.A không tồn tại Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận Tính chất 2. Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được. 1) (AB)C = A(BC) 2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD 3) α (AB) = ( α A)B = A( α B) 4) AE = A; EB =B Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A 5) ( ) T T T AB B A= Chú ý 2. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Nếu θ= B.A thì chưa chắc θ= A hoặc θ= B . Ví dụ 10. Cho các ma trận       =       = 01 00 B; 00 10 A . Khi đó       =       = 10 00 A.B; 00 01 B.A và BAAB ≠ Ví dụ 11. Cho       =       = 10 00 B; 00 01 A , ta có       =             = 00 00 10 00 . 00 01 B.A 8 c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác định A 0 = E; A n = A n -1 . A ( n là số nguyên dương) Ví dụ 12. Cho       = dc ba A . Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình θ=−++− )bcad(X)da(X 2 Giải: Ta có       −+       +−             =−++− 10 01 ).bcad( dc ba ).da( dc ba . dc ba E)bcad(A)da(A 2 = θ=       =       − − +       ++ ++ −       ++ ++ 00 00 bcad0 0bcad )da(d)da(c )da(b)da(a dbcc)da( b)da(bca 2 2 . (đpcm) Ví dụ 13. Cho ma trận       = 10 11 A . Tính A 2 , A 3 , , A n (n là số tự nhiên) Giải: Ta có       =             = 10 21 10 11 10 11 A 2 ;       =             = 10 31 10 11 10 21 A 3 ; ; tương tự ta có thể dự đoán       = 10 n1 A n . Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức A n . Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [a ij ] m x n là các phép biến đổi có dạng i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: )cc(dd jiji ↔↔ ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0: )kc(kd ii iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác: )chc(dhd jiji ++ Ví dụ 14. Cho ma trận           − − − = 4211 5212 6421 A . Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau: (1) nhân dòng 2 với 2 (2) hoán vị dòng 1 cho dòng 2 (3) nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3 Giải: Phép biến đổi (1):           − − − →           − − − = 4211 20424 6421 4211 5212 6421 A 9 [...]... là D123 = 2 3 8 = 0 ; 3 9 12 3 2 12 Định lý 1 Trong ma trận A, nếu mọi định thức con cấp k của A bằng 0 thì mọi định thức con cấp cao hơn k cũng bằng 0 Định nghĩa 1 Cho ma trận A cấp m x n: A =[aij]m x n ≠ θ Cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A) (rank(A)) Nếu r(A) = r thì các định thức con cấp r khác 0 của A được gọi là định thức con cơ... (Phương pháp biến đổi sơ cấp) Thực tế ta sẽ áp dụng đồng thời các phép biến đổi sơ cấp về dòng đó để đưa A về E và đưa E về ma trận A-1 Từ đó, ta có quy tắc tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss – Jordan): Bước 1: Viết ma trận đơn vị E cùng cấp với ma trận A bên cạnh phía phải ma trận A được ma trận mới ký hiệu (A|E) Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với... hạng của ma trận như sau: Bước 1: Tìm một định thức con cấp Dk khác 0 cấp k ( 0 < k < min{ m, n} ) Bước 2: Ta tính các định thức cấp k + 1 chứa Dk (nếu có) Trường hợp 1: Nếu các định thức cấp k + 1 đó đều bằng 0 thì ta kết luận r(A) = k Trường hợp 2: Nếu có một định thức cấp k + 1 khác 0 thì ta lại tính các định thức cấp k + 2 chứa định thức cấp k + 1 khác 0 này (nếu có) Quá trình cứ tiếp tục như vậy... thức con cấp 2: D12 = 1 −1 = 5 ≠ 0 nên r(A) ≥ 2 2 3 Xét các định thức con cấp 3 chứa D12 : có 2 định thức con cấp 3 của A chứa D12 12 12 30 D 123 123 1 −1 3 1 −1 4 124 = 2 3 6 = 0 ; ; D123 = 2 3 8 = 0 3 2 9 3 2 12 Như vậy, mọi định thức con cấp 3 chứa D12 đều bằng 0 nên r(A) = 2 12 a) Phương pháp biến đổi sơ cấp Từ định lý trên, ta có phương pháp biến đổi sơ cấp để tìm hạng của A: Bước 1: Sử dụng các... 0 khi i ≠ k n ii) ∑a i =1 ij ∆ khi j = k A ik =  n (4) 0 khi j ≠ k Nhận xét: Mục đích của công thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức cấp n về tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến định thức cấp 3, 2 Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dòng hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0 nhất để khai triển Nếu không có dòng hoặc cột như vậy ta biến đổi định... ].(a − x ) 6 a − x 0 0 a−x 21 §3 Ma trận nghịch đảo Trong phần này chúng ta xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp n, điều kiện tồn tại và cách tìm ma trận nghịch đảo 1 Định thức của tích hai ma trận vuông Cho hai ma trận vuông cấp n : A = [aij]n x n; B = [bij]n x n Định lý 1 Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của ma trận thành phần: det(AB)= det(A)det(B)... A là ma trận cấp m x n, B là ma trận vuông cấp n x p thì r(A) + r(B) ≤ r(AB) + n Hệ quả: Nếu A, B là các ma trận vuông cấp n thì ta có r (A) + r (B) ≤ n + r (AB) 2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận a) Phương pháp định thức Trước hết, ta chứng minh kết quả: Định lý 4 Cho ma trận A = [aij]m x n có một định thức con cấp r khác 0 là Dr Nếu mọi định thức con cấp r + 1 chứa Dr đều bằng 0 thì hạng của A... nhân một phần tử của E với một phần tử của trường K ( ¡ hoặc £ , trong giáo trình này chỉ xét trường số thực ¡ ; các kết của của các phép toán đó cũng là phần tử của E) Nếu hai phép toán đó thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ thì E cùng với hai phép toán đó được gọi là không gian véc tơ trên trường K Ví dụ 1 Tập Matm xn(K) các ma trận cấp m x n với các phần tử trên trường K cùng với phép cộng 2 ma... Xét phần tử aij của A, bỏ đi dòng i và cột j của A   a nn  ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma trận con con ứng với phần tử aij (i,j = 1, 2, 3, , n)  a 11  Ví dụ 1 A = a 21 a 31  a 12 a 22 a 32 a 13  a 23  Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A  a 33   Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A là a M 11 =  22 a 32 a 23  a 21 ; M 12 = a a 33  ... min{m, n} ii) r(A) = r(AT) iii) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì 28 * r(A) = n ⇔ A ≠ 0 hay A không suy biến * r(A) < n ⇔ A = 0 hay A suy biến 1 − 1 3 4    Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận A = 2 3 6 8  3 2 9 12   Giải: 24 Ta có định thức con cấp 2: D 23 = 3 8 = 20 ≠ 0 nên r(A) ≥ 2 2 12 Xét các định thức con cấp 3: có tất cả C 3 = 4 định thức con cấp 3 của A 4 D 123 123 1 −1 3 1 3 4 134 = 2 3 6 = 0