CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ (PHẦN 3) Phương trình bất phương trình nội dung quan trọng chương trình Đại số phổ thông, nội dung phong phú đa dạng ẩn chứa nhiều thú vị Để giải phương trình bất phương trình có nhiều phương pháp, sử dụng ẩn phụ phương pháp phổ biến, thâm chí đơi lựa chọn tối ưu Tiếp theo lý thuyết sử dụng ẩn phụ phần 2, tác giả xin trình bày tới quý độc giả lý thuyết sử dụng ẩn phụ phần 3, chủ đạo dùng hai nhiều ẩn phụ đưa phương trình cho trước hệ phương trình, giảm thiểu cồng kềnh sai sót tính tốn KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nắm vững phép biến đổi đại số (nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử) Nắm vững kiến thức thức, biến đổi tương đương, phân tích đẳng thức Biết cách giải hệ phương trình phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại ; hệ phương trình đồng bậc; hệ phương trình đa ẩn Sử dụng thành thạo ký hiệu logic toán học MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Bài tốn Giải phương trình 2x 1  x  Lời giải 2 x   a; x  b Điều kiện x  Đặt  a  0; b    x   a ; x  b2  a  2b2  1 Mặt khác phương trình cho trở thành a  b  Ta có hệ phương trình a  b  a   b a   b a  a   (Loại)     a  2b  1 b  4b   2b  1 b  4b   b  b  5  a  2 x 1  Với    x  b   x  Phương trình cho có nghiệm x  Bài tốn Giải phương trình x   x   Lời giải Đặt x   a; x   b  a  0; b    a  3x  2; b  x   2a  3b  1 Mặt khác phương trình cho tương đương với 2a  b  Ta có hệ phương trình    2a  b  b  2a  b  a  b  a      2 2  a  1 5a  1   2a  3b  1 2a   4a  4a  1  1 10a  12a     1 3   a; b   1;1 ,  ;   5 5 1 3 Loại trường hợp  a; b    ;   Với a  b   x   x    x  5 5 Phương trình cho có nghiệm Điều kiện x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Lời giải 2 Phương trình cho tương đương với 3 x   x    12 x   x  2 x   x   x  Điều kiện x  4   x  x     x 1 5 25 x  40 x  16  x  25 x  42 x  17    Đối chiếu điều kiện thu nghiệm x  Nhận xét Bài tốn giải đơn giản theo phương pháp biến đổi tương đương – nâng lũy thừa lời giải Với cách nhìn tốn nhìn mắt "hệ phương trình", lời giải độc đáo gọn gàng Các bạn ý đặt ẩn, tìm điều kiện cho ẩn so sánh với điều kiện xác định ban đầu lời giải xác Bài tốn Giải phương trình 3x   x   x  Lời giải Điều kiện x   Đặt 3x   a; x   b  a  0; b   suy a  b2  x  Mặt khác phương trình cho tương đương với a  b  x  Ta có hệ phương trình  x   2  x  1 a  b    x  1  x  1 a  b    a  b  x    a  b       a  b    a  b  x  a  b  x  a  b  x    a  b  x    Xét x  nghiệm phương trình cho  x   a  b  x      2a  x   3x   x     a  b  x  12 x   x  x   x       Kết luận tập nghiệm phương trình S  1;5  7;5  Bài toán Giải phương trình 5x   x  x  Lời giải Điều kiện x  Đặt 5x   a; x  b  a  0; b   thu hệ phương trình 2 a  b  x 1 a  b  a  b  a  b   a  b  a  b  1     a  b  a  b  x  1  x 1 a  b  x  x   Kết hợp   2a  x  x   x    x  a b 1  4 x2  x      Xét a  b  x   x  x    Kết luận nghiệm S   ;1 4  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐỒN BỘ BINH Nhận xét Hai tốn ngồi lời giải cịn giải phép nhân lượng liên hợp – hệ tạm thời Phần trình bày phía đặc điểm tên gọi "hệ tạm thời" phổ biến nhiều tài liệu tham khảo; tức kết hợp phương trình hệ thu phương trình ban đầu, sử dụng phép – cộng đại số để làm giảm số lượng biểu thức, giảm thiểu cồng kềnh biến đổi Đối với hai toán toán tương tự, giải đẳng thức liên hợp hay hệ phương trình chung chất làm xuất nhân tử, khác phép đặt ẩn phụ Bài tốn Giải phương trình x2  5x   x2  5x   Lời giải Phương trình cho tương đương với  x  5x    x2  5x     2 x  x    x  5x      x  x   x  x   25  10 x  x   x2  5x     x 1  x  x    x  5x      x  6 Thử lại thấy hai giá trị thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm S  6;1 Lời giải x  x   a; x  x   b  a  0; b   ta thu hệ phương trình Đặt a  b  a  b   a   x  x        x  x    x  6;1  2 a b 1 b2  x  5x     a  b   Thử lại thấy hai giá trị thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm S  6;1 Lời giải x  x   x  x  x   nên phương trình cho tương đương với   x  x   x  x   (*) 2 x  5x   x  5x  Nhận xét: Kết hợp (*) phương trình cho x  x   x  x   thu x  x    x  x    x  x    x  x    x  6;1 Thử lại thấy hai giá trị thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm S  6;1 Nhận xét  Ba lời giải không thông qua điều kiện phức tạp mà sử dụng phép thử lại nghiệm  Lời giải sử dụng phép biến đổi tương đương nâng lũy thừa túy, với hệ điều kiện hệ không "mượt mà" Bằng cách sử dụng phương châm "khoan thư sức dân, sâu gốc bền   rễ", tạm thời chưa giải điều kiện chi tiết x2  x   ; tránh việc đối chiếu nghiệm phức tạp Lời giải sử dụng phép đặt hai ẩn phụ đẳng thức hiệu hai bình phương quen thuộc AB Lời giải sử dụng đẳng thức liên hợp, với ý A  B   A  B  , sử dụng hệ A B phương trình tạm thời thu phương trình f  x   g  x  , may mắn g  x  lại số Như trình bày trên, chất hai lời giải một, có hình thức khác CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn Giải phương trình x  3x   x  x   x Lời giải Từ phương trình suy điều kiện có nghiệm x  Đặt x  x   a; x  x   b  a  0; b   Ta thu hệ phương trình a  b  x  a  b  a  b   a  b  a  b  1   a  b   2 a  b  x  x  1 a  b  x 7  10 Kết hợp   2a  x   x  x   x     x a  b  4 x  16 x   x  x  So sánh với điều kiện x  , kết luận phương trình cho vơ nghiệm Bài tốn Giải phương trình x  x   x  3x   x Lời giải Điều kiện x   x  3 x  x   a; x  3x  b Đặt  a  0; b   ta thu hệ phương trình a  b   x a  b  a  b  a  b   a  b  a  b  1     a  b  a  b   x a  b  x  x   x  3x  x  (thỏa mãn điều kiện x   x  3 ) Kết hợp  8  19 8  19  x  a  b     2a   x  x  x    x    x ;   3   a  b   x 3 x  16 x       8  19   8  19 So sánh với điều kiện x   x  3 ; kết luận nghiệm phương trình S   ;3;  3       Bài toán Giải phương trình x2  5x   x2  x   9x  Lời giải Đặt x  x   a; x  x   b  a  0; b    a  b  x  Ta thu hệ phương trình a  b  x  a  b  a  b  a  b   a  b  a  b  1     a  b  a  b  x   a  b  x    x   (Loại)   a  b  x   x    Kết hợp   2a  x     (*) 2 a  b  x  4  x  x  1  81x  72 x  16 65 x  52 x  20    Hệ điều kiện (*) vơ nghiệm phương trình 65 x2  52 x  20  vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm CREATED BY HỒNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn Giải phương trình x   x  10  x   x  Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với x  11  x  11x  10  x   x  x  10  x  11x  10   x  x  10  x  11x  14  x  11x  10  x  x  10  x  11x  10   x   x    x  1    x  1  x  11x  10  x  x   x  1 So sánh với điều kiện x  1 thu nghiệm S  1 Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với Đặt x  10  x   x   x  x  10  a; x   b  a  0; b   ta thu hệ phương trình   x   x 1 a  b   a  b  x   x 1   3a  b  x   a  b  x   x   2a  2b  x   x       x  10  x   x   x  90  17 x  82  x  x  10 x    x   x  x  10    x  1  x  x   x  x  10 So sánh với điều kiện x  1 thu nghiệm S  1 Nhận xét  Lời giải tốn hồn tồn sử dụng biến đổi tương đương nâng lũy thừa bản, xuất phát đặc tính đặc tính đặc biệt: Sau bình phương hai thức số, hệ số x hai nên bậc tối đa x sau bình phương  Lời giải sử dụng hệ phương trình tạm thời, khơng khỏi đẳng thức liên hợp x   x 1 x   x 1     Về bản, lời giải trở nên phức tạp so với lời giải 1, nhiên đổi lại mở hướng nhiều toán khác Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x   x   x  2, x   x   3, x   x  x  4, 10 x   x   x  5, x2  6x   x2  x   4x  6, x   x   x   x  7, x   x   x  8, x   x   x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 10 Giải phương trình Lời giải Điều kiện x   Đặt 3 x   x 1  x   a; x   b ta thu hệ phương trình  a  b3   a  b   3ab  a  b    ab       a; b    0; 2  ,  2;0   a  b  a  b  a  b    a   x    x  7  a   x    x  Thử lại hai giá trị nghiệm phương trình Kết luận nghiệm S  7;1 Bài tốn 11 Giải phương trình 3x    3x  Lời giải Điều kiện x   Đặt 3 x   a;  x  b  a  b  Ta có hệ phương trình  a  b 3  3ab  a  b    a3  b3  27  3ab.3   ab   a   a        a  b   a  b  b   a a  b  a  b    a   a  3a     a  1 a      a    a   3x    3x    x   3 a   3x    x    x    Thử lại thấy nghiệm phương trình ban đầu Kết luận nghiệm S   ;1   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x    x  3 x   x   x    x  27  3 x   x  18     x    3x    x  x    x   ;1     Thử lại hai giá trị thấy nghiệm phương trình ban đầu Kết luận nghiệm S   ;1   3 Bài tốn 12 Giải phương trình x   x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x   a; x   b ta thu hệ phương trình   a    a 3    a  b  7 2a  9a  27 a  20    a  1  2a  a  20       b   a a  b  b   a b   a    5x   a  5 x        x 1 b  5 x    5x    Thử lại thấy nghiệm phương trình ban đầu Kết luận nghiệm S  1 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 13 Giải phương trình 3x   x   Lời giải Điều kiện x   Đặt 3 x   a; x   b ta thu hệ phương trình  a  2b   a  2b  a  2b      3 3  2a  3b  1   2b  1  3b   13b  24b  12b    a  2b  a      3x    x  b   b  1 13b  11b  1   Phương trình có nghiệm x  Nhận xét Các phương trình từ 10  13 giải phương pháp đưa hệ phương trình, giải theo phương pháp có kết hợp sử dụng đẳng thức Phương pháp biến đổi tương đương nâng lũy thừa có hiệu lực lớn tốn chứa thức bậc cao (Lời giải toán 11) Đặc biệt ý, đặt ẩn đưa hệ phương trình cần khéo léo tạo mối liên hệ cho thuận tiện Bài tốn 14 Giải phương trình x  x   Lời giải Điều kiện x  Đặt x  a; x   b  a  0; b   thu hệ phương trình a  b  b   a b   a a  b  b         x0  2 a   a  b  1  a  b   a  b   1  2a  2a  1  2a  1   a  2a  3a       Phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Từ điều kiện x   x    x  x   Do phương trình có nghiệm x  Bài toán 15 Giải phương trình Lời giải Điều kiện  x  Đặt 4 x   x  x  a;  x  b  a  0; b   thu hệ phương trình a  b  2ab    2 a  b   a  b   2ab  a  b   2ab  2   2  4 2 2 a  b  2   ab   a b   a b  8ab    a  b   a b       ab   a  b   2ab  a  b   2ab   a  b      ab     ab   ab  1 ab      ab       ab    2    ab  a   a   a    a  1      x   b   a a  b  b  b      a  2a    ab  a   a     (Hệ vô nghiệm)  b   a a  b  b   a  Vậy phương trình cho có nghiệm x   CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy AM – GM cho hai số thực khơng âm ta có x 1 1 x 1 x3 4 x  x.1    2 2  x  1 1  x 1 5 x 2  x    x     2 Kết hợp lại suy 4 x 1  x 35  x  x  2 x   Phương trình có nghiệm   x   x  0  x    Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky liên tiếp ta có     1    x   x    x   x  x   x   1    x   x    x   x  Kết hợp lại thu  x   x   2.2   x   x  x  2 x 2 2 4 4 4 x 2 x   Phương trình cho có nghiệm dấu đẳng thức xảy   1  x  0  x   Nhận xét  Hai toán 14 15 giải hai phương pháp: Đưa hệ phương trình sử dụng tính chất bất đẳng thức  Hai lời giải toán sử dụng hai ẩn phụ, đưa phương trình ban đầu hệ phương trình đối xứng loại 1, giải phương pháp có thơng qua biểu thức đối xứng biến để giảm thiểu khai triển đẳng thức phức tạp  Các lời giải lại dùng bất đẳng thức cổ điển AM – GM Bunyakovsky, đánh giá thơng thường, gần gũi (lời giải tốn 14) Để giải phương cách này, toán cần có đặc biệt mặt hình thức Về vấn đề này, tác giả xin trình bày Lý thuyết sử dụng đánh giá – bất đẳng thức – hàm số; Sư đoàn – Quân đồn binh Bài tốn 16 Giải phương trình  x  x  14  Lời giải Điều kiện 14  x  Đặt  x  a; x  14  b  a  0; b   Ta thu hệ phương trình b   a  a  b   b   a    4 a  6a  27 a  54a  32   a   a  3  17  a  b  17   Ta có      a  6a  9a  18a  54a  32    a  3a   18  a3  3a   32    a  3a   a  3a  16     a  1 a    a  3a  16    a  1; 2  x  13;1 Kết luận phương trình có tập nghiệm S  13;1 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Nhận xét Bằng phương pháp sử dụng ẩn phụ, toán đưa hệ phương trình đối xứng loại Các bạn giải thơng qua biểu thức đối xứng với a, b lời giải toán 15 Tuy nhiên không đơn giản, cồng kềnh chưa ngắn gọn Phương pháp sử dụng khai triển đẳng thức trường hợp mang tính khả thi, tất yếu dẫn tới phương trình bậc Sử dụng thuật giải phương trình bậc cao biết với linh hoạt, nhạy bén, bạn hồn tồn có lời giải súc tích Bài tốn 17 Giải phương trình x   15 x   x Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x  15 x  1      15   x x x x 1  a; 15   b  a  0; b   ta thu hệ phương trình x x b   a  a  b   b   a    4 a  6a  27 a  54a  32     a   a  3  17  a  b  17   Ta có Đặt 2    a  6a  9a  18a  54a  32    a  3a   18  a  3a   32    a  3a   a  3a  16     a  1 a    a  3a  16    a  1; 2   14;1  x  x Kết luận phương trình có tập nghiệm S  1 Bài tốn 18 Giải phương trình x   14 x  25  x  (1) Lời giải Điều kiện x  1  Nhận xét x  không nghiệm phương trình cho Xét trường hợp  x  ta có 3  x    14  x    x   14 x  25 1 3    3  14   x2 x2 x2 x2 x2 1  a; 14   b  a  0; b   thu hệ phương trình x2 x2 b   a  a  b   b   a    4 a  6a  27 a  54a  32     a   a  3  17  a  b  17   Phương trình (*) giải hai tốn 16 17, tác giả xin không giải lại nhằm tránh đơn điệu Đặt 3 Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x   3 x   2, x7  2 x 3 3, x   x 1  x 4, x  97  x  5, x 1  x   x 6, 17  x  x  15  x CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 19 Giải phương trình  x  x  2x  x2  Lời giải Điều kiện  x  t2  t  2 Phương trình cho trở thành t   t     5t  2t  24    t   12  Đặt  x  x  t t  0  t   2  x x  2x  x2  So sánh điều kiện thu t    x  x   x  x   x  Kết luận tập nghiệm phương trình: S  1 Lời giải Điều kiện  x  Đặt  x  a; x  b  a  0; b    a  b 2  2ab  a  b2   Ta thu hệ phương trình    a  b  5ab   a  b  5ab     ab     5ab   2ab  25a b  72ab  47   ab    47      ab   25 a  b  a  b  5ab  a  b  5ab    a  b  5ab   2 47  ab    25   a  b   12     12  47 47  ab   a  a    25     25    (Hệ vô nghiệm)   12 12 a  b   a  b       a   a   a   ab        x  a  b  a  b  b   Vậy phương trình cho có nghiệm x  Nhận xét  Lời giải toán 19 dựa phép đặt hai ẩn phụ, đưa toán ban đầu hệ phương trình đối xứng loại 1, hướng giải thơng qua biểu thức đối xứng với tổng tích hai ẩn a, b quen thuộc Theo cách nhìn tổng quan chặt chẽ, lời giải mạch lạc song lại văn tự, liệu có phải lựa chọn "tối ưu" ?  Lời giải sử dụng ẩn phụ, kết lại loại bớt giá trị t, dẫn tới nghiệm nhanh chóng Tuy nhiên hai giá trị t thỏa mãn, đồng hành với việc giải hai phương trình chứa căn, có nhiều điều thú vị  Xét cách toàn diện lời giải 1, bạn thấy điều kiện biến phụ t   x  x khơng chặt Trong q trình giải nghiệm phương trình, chặt chẽ (tức tập giá trị biến phụ t) nhiều không cần thiết, hữu hiệu nguyên loại bớt nghiệm t ngoại lai Thành thử, khơng tìm miền giá trị cho t, dùng điều kiện "lỏng" t  t  , trường hợp hai giá trị t dương, việc giải hai phương trình chứa có lẽ khơng có vấn đề Xin lưu ý lớp tốn có chứa tham số, yêu cầu tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn tính chất cho trước, cơng việc tìm miền giá trị bắt buộc Vấn đề tác giả xin trình bày Lý thuyết phương trình quy bậc hai chứa tham số; Sư đoàn – Quân đoàn binh CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 10 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 78 Giải phương trình  x  21x  28 x3  x x  x  x3 28 x  Lời giải Điều kiện 28 x   Nhận xét: x  khơng thỏa mãn phương trình cho Xét trường hợp 28 x   ; x  , phương trình cho tương đương với  x  21x  28 x x  28 x  1 21 1   x  x  x3     28   28     3 x x x x x x x x  Đặt  t thu phương trình hệ x t  4t  21t  28   t  28  2t  9t    t  1   t  18t  27    t  28   t  28  t  1  t  18t  27 Đặt t   u; 2t  9t   v ta có hệ phương trình u   t  t     t  28  v   u  v   t  28  u  v    u  v   u  uv  v  t  28    v   t  28  t   t  t     86 1  3 1 u  uv  v  t  28    u  v    t     (Vô nghiệm) 2  4 3 2  1 u  v  t   2t  9t   t  5t  6t   t  t  1 t     t  0; 1;6  x  1;   6  1 Thử lại giá trị thỏa mãn Kết luận tập nghiệm S  1;   6  Bài tốn 79 Giải phương trình x  x  x   x  x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x  1   x  x    x    x  x   Đặt x   u; x  x   v ta thu hệ phương trình u   x  x    v   u  v  v  u   u  v   u  uv  v  1   v  u   x  x       u  uv  v     u  v   v  1 (Vô nghiệm)    1  1   u  v  x   x  x   x3  x  x     x    x  x  1   x  5; ;  2       1  1  Thử lại, kết luận phương trình cho có tập nghiệm S  5; ;  2     Nhận xét Bài tốn 79 giải cách sử dụng tính đơn điệu hàm số f  t   t  t ; t   sau biến đổi dạng   x  1  x   x2  9x   x2  x  Hàm số đồng biến liên tục Suy x   x  x  thu kết CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH 56 Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x  x   x  2, x  13 x    3x  3, 32 x  32 x  20   x x   x2  x  4, x2 6, 18 x  x  29  61  12 x 5, 81x   x3  x  7, 3 63 x  3x   x  x 8, x   1  x   x x2  5x2  x  5x  x2  x  10,  5x2  x  5x  x  3x  11,  x  17 x  7x  2 x  x  10 12,  5x  x   5x 9, 13,  x   x  3   x  1 x  x  14  14, x  3x   2x2  x 1 15, x   x x  16,  x    x  1 x   x 17, x  x  12 x   x  x  18, x3  x   3 x  x  19, x3  x  10  3 x  x  20, x3  13 x   6 x  12 x  x  21, x3  x  14 x  3  x  12 x  x  3x  x  22, x3  x   3 x  23, x3  x  3x    x  x   3 x  24, x3  13 x  15  3  x  x 25,  10 x  x3  x x3  x 26,  x  10 x3  10 x3  x2 7x CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 57 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 80 Giải phương trình x3  x  24  12  x Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x3  x  12  x   12  x (1) Xét hàm số f  t   2t  5t ; t   ta có f  t   6t   0t   Suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  Khi 1  f  x   f   12  x  x  12  x  x  x  12    x    x  x     x  Thử lại thấy thỏa mãn phương trình ban đầu Kết luận x  nghiệm Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x  36 x  96  20 12  x  x   96  36 x   10 10.2 x   96  36 x  Đặt u  x; v  96  16 x ta thu hệ phương trình u   96  36 x   10v u  v   u  v  10v  10u   u  v   u  uv  v  10      u  uv  v  10  v  10u   96  36 x       u  uv  v  10    u  v   v  10 (Vô nghiệm)   u  v  x  96  16 x  x  12  x  x  x  12    x    x  x     x  2 Thử lại ta thu tập nghiệm phương trình ban đầu: S  2 Lời giải Điều kiện x   Đặt 12  x  y  y  12  x Ta thu hệ phương trình  x3  x  24  y 2 x  x  24  y     3 12  x  y 24  x  y   Thực cộng vế (cộng vế với vế) hai phương trình hệ ta có x  y x3  x  y  y   x  y    x  y     x  y   x  xy  y     2  x  xy  y    x  y  x  12  x  x  x  12    x    x  x     x   2 x  xy  y    x  xy  y  x  y     x  y   x  y  5 (Vô nghiệm) Thử lại ta thu tập nghiệm phương trình cho: S  2 Nhận xét  Lời giải trình bày theo phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số túy, tương đối ngắn gọn  Lời giải đặt ẩn phụ trực tiếp, đưa hệ phương trình "không đối xứng", nhiên sau nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với số thực cộng vế , hệ thu trở nên "đẹp" nhiều Yếu tố cảm quan – kinh nghiệm – liên hệ chứa đựng lời giải Có thể "tạm thời" giải thích sau: Dự đoán cộng trừ vế để thu dạng áp dụng đơn điệu hàm số, đẳng thức phân tích nhân tử theo kiểu gần đối xứng (mất hệ số tự do) Phương án:  Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với cộng lại để đồng 2x3 y , mong muốn thu kết dạng đẳng thức hàm số f  x   f  y  , kết  Triệt tiêu hệ số tự cách nhân phương trình thứ cộng vế, kết  Cố gắng xuất dạng lập phương cách nhân hai vế phương trình thứ với cộng vế, trường hợp khơng may: phương án thất bại CREATED BY HỒNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 58 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH  Lời giải giải theo motip hệ phương trình, có kèm theo nhân hệ số hai vế Xin nhắc lại dạng tổng quát  mx  n  3  b  a a  mx  n   b hay phức tạp  mx  n   g  x   f  x  f  x  mx  n   g  x  Đứng trước toán x3  x  24  12  x bạn thấy vế trái phương trình khó đưa   dạng với hệ số nguyên (chú ý loại trừ tình x  x  24 ) Như tất yếu nhân hai vế với để tạo hệ số 8: x3  36 x  96  20 12  x Để ý thêm f  x   20 nên f  x  mx  n  có dạng nhị thức bậc Hơn phía lại có dạng 12  2x , đưa thừa số từ 20 vào phía có bậc ba nhị thức! Điều chứng tỏ g  x  nhị thức Chú ý phía bên ngồi (vế trái phương trình) khơng xuất hạng tử chứa x nên rõ ràng mx  n  mx , tức n  Dễ thấy phân tích x3  36 x  96   x    96  36 x  Liên hệ vế phải 20 12  x  a a  x    96  36 x  Đến bạn theo hai hướng  Đồng thức 20 12  x    a a  x    96  36 x    203 12  x   a x  a  96  36 x  203.12  a 96 a  10     a  10 3 12.20  2a  36a 12.20 x   2a  36a  x   Hệ số tự sau đưa thừa số vào 96, mặt khác 96 :12   23 nên thừa số đưa vào 2, hiển nhiên thừa số lại 10, tức ta có a  10 hay 10 10.2 x   96  36 x  Tư theo hướng giảm thiểu phức tạp đồng hệ số để tìm m, n, g  x  , f  x   Ngồi để giải hệ phương trình hệ lời giải sử dụng phương pháp hệ số bất định đưa phương trình tích (hệ quả), phương pháp khó thao tác giải hệ phương trình nói chung, có điều kiện tác giả xin trình bày sau Tùy theo đặc thù tốn hồn cảnh, bạn lựa chọn cho phướng án tư trình bày hợp lý nhất, logic tiết kiệm Bài toán 81 Giải phương trình x3  x  12 x    x3  x  19 x  11 Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x3  x  x    x  1   x3  x  19 x  11   x  x  19 x  11   x  1   x  1   x3  x  19 x  11   x3  x  19 x  11   Xét hàm số f  t   t  2t ta có f   t   3t   0t   Do hàm số f  t  liên tục đồng biến  Khi    f  x  1  f    x3  x  19 x  11  x    x  x  19 x  11  x3  3x  x    x  x  19 x  11  x  x  11x     x  1 x   x     x  1; 2;3 Thử lại ba giá trị thỏa mãn phương trình ban đầu Kết luận tập hợp nghiệm S  1; 2;3 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 59 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Lời giải Điều kiện x   Đặt  x3  x  19 x  11  y   x3  x  19 x  11  y Ta thu hệ phương trình  x3  x  12 x   y 2 x3  12 x  24 x  14  y     3   x  x  19 x  11  y  x  x  19 x  11  y   Thực cộng vế hai phương trình hệ ta có  x3  3x  3x    x  1  y  y   x  1   x  1  y  y (1) t  y Đặt x   t 1  t  2t  y  y   t  y    t  y     t  y   t  ty  y     2 t  ty  y    t  y  x    x3  x  19 x  11  x3  x  11x     x  1 x   x  3   x  1; 2;3    t  ty  y     t  y   y  2 (Vô nghiệm)   Thử lại ba giá trị thỏa mãn phương trình ban đầu Kết luận tập hợp nghiệm S  1; 2;3 2 Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x3  12 x  24 x  14   x3  x  19 x  11   x  1    x3  x  21x  13    x  1    x  x  21x  13 Đặt x   u;  x3  x  19 x  11  v ta thu hệ phương trình u    x  x  21x  13   2v u  v   u  v  2v  2u   u  v   u  uv  v      3 u  uv  v   v  2u    x  x  21x  13   u  v  x    x3  x  19 x  11  x3  x  11x     x  1 x   x  3   x  1; 2;3   u  uv  v     u  v   v  2 (Vô nghiệm)   Thử lại ba giá trị thỏa mãn phương trình ban đầu Kết luận tập hợp nghiệm S  1; 2;3  Nhận xét  Lời giải mang tính chất "kinh nghiệm", xin không nhận xét  Lời giải dựa theo motip sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại 2, trước có nhân hai vế phương trình ban đầu với số 2, có khác biệt so với phương trình tương tự trước, vế trái đa thức phân tích dạng lập phương ! Vì lại ? Thêm lần bạn ý dạng tổng quát  mx  n   g  x   f  x  f  x  mx  n   g  x  Liên hệ với toán gốc x3  x  12 x    x3  x  19 x  11 Ở f  x   số, giảm nhẹ tính tốn cho chúng ta, thực tế có đơn giản hay khơng ? Giả dụ vế trái phân tích dạng  x  m    ax  bx  c  Suy cần có 13 1 x  m    ax  bx  c  Như xuất đa thức bậc ba ! Điều chứng tỏ phương án g  x  tam thức ax  bx  c bất khả thi, hợp lý đa thức bậc ba, f  x  nhị thức bậc CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 60 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Để ý chút biểu thức phía (đề bài), tối thiểu ta cần có k k  mx  n     x3  ax  bx  c  Trong k hệ số nguyên nhân vào hai vế phương trình gốc Khơng tính tổng qt, giả sử k  , cụ thể k  1, k    k  Tiếp tục liên hệ vế trái:  mx  n     x3  ax  bx  c  Rõ ràng m  hệ số hạng tử chứa x3 nhỏ 1, với k  hệ số hạng tử chứa x3 bên vế trái tối thiểu Suy m  , tương đương với k  Sử dụng đồng  mx  n     x  ax  bx  c   k k  mx  n     x  ax  bx  c   k  x  x  12 x   Ta thiết lập hệ thức m3   k Thử chọn giá trị k  2,9, 28, thấy k  thỏa mãn Kết thu lời giải Tài liệu nhỏ trọng tâm đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình số kiến thức liên quan, toán tất yếu nhiều hướng giải độc đáo bất ngờ khác, bạn tùy nghi lựa chọn sáng tạo phù hợp cho mình, kiến thức ln ln vơ tận, chân trời khoa học bao la ! Bài tốn 82 Giải phương trình 52 x3  61x  107  3 x3  27 x  17 x  51 Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với 54 x  54 x  27 x    x  27 x  17 x  51  3 x  27 x  17 x  51   x  1   x  1   x  27 x  17 x  51  3 x  27 x  17 x  51   Xét hàm số f  t   2t  3t ; t   ta có f   t   6t   0t   Suy hàm số liên tục đồng biến     f  3x  1  f   x  27 x  17 x  51  x   x3  27 x  17 x  51  27 x3  27 x  x   x3  27 x  17 x  51  x3  x     x  1  x  x     x  Thử lại, phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   Đặt x3  27 x  17 x  51  y  x3  27 x  17 x  51  y Ta thu hệ phương trình 52 x3  61x  107  y 52 x3  61x  107  y     3  x  27 x  17 x  51  y  x  54 x  34 x  102  y   Thực cộng vế hai phương trình hệ ta có 54 x3  54 x  27 x   y  y   x  1   x  1  y  y Đặt x   t t  y 2t  3t  y3  y   t  y    t  y     t  y   2t  2ty  y  3   2  2t  2ty  y    t  y  x   x  27 x  17 x  51  x  x     x  1  x  x     x   2t  2ty  y    t  2ty  y  t  y     t  y   t  y  3 (Vô nghiệm) Thử lại, phương trình cho có nghiệm x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 61 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 83 Giải phương trình x3  14 x  15   x Lời giải Điều kiện x   Đặt 3 x3  14 x  15  y   3 x  14 x  15  y   3x3  x  y  x  4x  y thu hệ phương trình  3 5  x  y 15  12 x  y     x3  y    x  y     x  y   3x  3xy  y     x  y  x   x  x3  x     x  1  x  x     x     x  xy  y     x  y   y  2 (Vơ nghiệm)   Vậy phương trình cho có nghiệm x  2 Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với 27 x  126 x  135  18  x   x   135  126 x   6.3 x  135  126 x  Đặt x  u;  x  v ta thu hệ phương trình u  135  126 x   6v u  v   u  v3  6v  6u   u  v   u  uv  v       u  uv  v   v  6u  135  126 x       u  uv  v     u  v   v  6 (Vô nghiệm)   u  v  x   x  x3  x     x  1  x  x     x  2 Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1, x3  11x  x   10 2, x  16 x  15  3  x 3, x3  x  x    x  x  4, x3  16 x2  x   3  x3  x  5, x3  12 x  10 x  x2  x  4 6, x   x3  x  5 x3  x  7,  x  x  x3 x3  x  6 8, x3  x  10 x   x  x  9, 3x   x  4x  10, x3  x   x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 62 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 84 Giải phương trình  x  x  x  Lời giải Điều kiện  x    Phương trình cho tương đương với  x   x Đặt x  a;1  x  b   a  1;  b  1 ta thu hệ phương trình a  b  a  b     a  a  1  b  b  1   4  1 a  b a  b   Vì a, b   0;1  a  a  1  0; b  b3  1   a  a  1  b  b  1   a  a  1    Hệ phương trình có nghiệm b  b  1    a; b    0;1 , 1;0   x  0; x   a  b   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  0;1 Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với   x2   x     x2   x    x   x 1  x    x             x 0 x  x2 x 2  0   x   x 1  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  0;1   x 1 x   Bài toán 85 Giải phương trình Lời giải Điều kiện  x  Đặt x  a;  x  b   2  x4   x  a  0; b   ta thu hệ phương trình  a  b  a  b   b   a    4  2a b a  b   a   a  4a       a  4a  12a  16a     a  1  a  2a     a   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Nhận xét Hai tốn 84 85 giải phương pháp biến đổi tương đương, nâng cao lũy thừa đưa phương trình ẩn t  x , dùng kỹ thuật giải phương trình bậc cao để đưa phương trình tích Trong số tốn có điểm đặc biệt, bạn đưa hệ phương trình lưu ý điều kiện ẩn phụ mới, kết hợp đánh giá để thu lời giải ngắn gọn CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 63 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 86 Giải phương trình  10  x  x  Lời giải Điều kiện 74 10 x 27 Phương trình cho tương đương với Đặt x   t  t   (1) trở thành    x  2  x  (1)   3t  t    3t  t 4   3t  y   y   ta thu hệ phương trình 3  4  y  t t  y   3t  y  t  y   t  y  t  y  3       3t  y t  y   Đặt  x  x  t  y  10  x  x      x  10  x  x  x  x  x   x  x  (Hệ vô nghiệm) t  y   10  x   x    10  x  x  10 x  25 x  x  15    74 10 So sánh điều kiện x ta thu nghiệm x  27 Lời giải 74 Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với 27  10  x   x    3 10  x  x  x   12 10  x  x  16 x  10  x   12 10  x   x  28 x  49  10  x  x  2 1  10  3x    x      10  x   x  2  x  x   1  10  x  x      x  10  x  x  x  x  x   x  x      10  x   x   (Hệ vô nghiệm)  2 10  x  x  10 x  25  x  x  15  74 10 So sánh điều kiện ta thu nghiệm x  x 27 Lời giải 74 Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với 27 0  x    10  x   x    10  x  x  x   9 10  x   x  x  16 x    0  x  0  x      x3  x  x  16 x  27 x  90   x   x    x  x  15    74 10 So sánh điều kiện ta thu nghiệm x  x 27 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 64 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 87 Giải phương trình x3     x Lời giải Điều kiện x   Đặt   x  y    x  y3 Phương trình cho trở thành x3   y Đặt  x  z   x  z3  x3   y  Ta thu hệ phương trình  y   z z3   x  Do vai trị bình đẳng x, y , z nên khơng giảm tính tổng quát, giả sử x  y; x  z Ta có x  y  x  y  x   y   y  z; x  z  x  z  x   z   y  x Kết hợp lại suy x  y Lập luận tương tự thu x  y  z Khi x3  x     x    x  x  3   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 88 Giải phương trình  x  x  1  x  x   x  Lời giải Điều kiện x   Đặt x  x   y ; phương trình cho trở thành y   y  1   x   y  y   4x  1  4x  1 z   Đặt y  y    z  2z   4x     z  z 1  x 2 4 z  z   x    x  x  1  y  x  x 1  y   Ta thu hệ phương trình  y  y   z   y  y  1  z  (*) z2  z 1  x    z  z  1  x   1 xyz  không thỏa mãn hệ phương trình nên xyz  0; x  1; y  1; z  1 Thực nhân vế ba phương trình hệ ta có xyz  x  1 y  1 z  1   x  1 y  1 z  1  xyz  Nhận xét: Do z   Mặt khác cộng vế ba phương trình hệ ta lại có x  y  z  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có  x  y  z  3 x y z  x y z   1  xyz   x2  y  z  Hệ phương trình (*) có nghiệm đẳng thức xảy   xyz   x  y  z 1  z    Vậy phương trình cho có nghiệm x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 65 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐỒN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 89 Giải phương trình 1 x   x  2 Lời giải Điều kiện x  1  x  a;  x  b  b   ta thu hệ phương trình 2 b   a a  b    1 17    a  a  2a   a  a  1 a     a  2;1;0  x   ; ;    2 2  2  a  b  a  1  a     1 17  So sánh điều kiện, kết luận phương trình cho có tập nghiệm S   ; ;   2  2 Đặt Bài toán 90 Giải phương trình x  16  x   Lời giải Điều kiện x     x2  y    x  y   xy  Đặt 16  x  y  x  y  16 Ta thu hệ phương trình   3  x  y  16   x  y   xy  x  y   16  Đặt x  y  a; xy  b hệ trở thành 3 3  a2   a2   a2  b   a  2b  b    b       a  3ab  16   a  3a a   16 a  24a  32   a  4;  2; 2      y  4 x x  y     a; b    4;       x  2   x  x   x   xy      a; b     x     x  y    y   2 x  2;      xy   x   x           12;   12   x  y  2    y  2   x (Hệ vô nghiệm)   a; b   2  2;     xy   x   x            Kết luận nghiệm phương trình: S  2;   12;   12 Nhận xét  Bài toán 87 sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình mang tên "hệ lặp ba ẩn", có tính chất hốn vị vịng quanh, tác giả xin trình bày Lý thuyết giải hệ phương trình đa ẩn  Bài toán 88 sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình ba ẩn đặc biệt giải cách sử dụng đánh giá – bất đẳng thức Ngồi sử dụng đặt ẩn phụ khơng hồn tồn cho lời giải độc đáo  Bài tốn 90 sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại 1, kết lẻ, nhằm mục đích "kiểm tra khả biến đổi thức", bạn ý thao tác cẩn thận, xác lựa chọn phép biến đổi phù hợp để giảm nhẹ tính tốn CREATED BY HỒNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 66 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 91 Giải phương trình x   x  x   x  x   x  x Lời giải Điều kiện  x  Đặt  x  a;  x  b;  x  c  a  0; b  0; c    x   a   b   c Phương trình cho trở thành x  ab  bc  ca Ta thu hệ phương trình b  a  c   a  a  c    a  c  a  b   3  a  ab  bc  ca ab  bc  ca  a      2   b  ab  bc  ca  ab  ac  bc  b    a  b  c   b  c  b     b  c  b  a   5  c  ab  bc  ca ab  ac  bc  c      a  b  c   c b  c    c  a  c  b   1  2  3 Nhân vế ba phương trình (1), (2), (3) thu  a  b  b  c  c  a    60   a  b  b  c  c  a   15 (Do a  0; b  0; c  )   Kết hợp (1), (2), (3) với (4) thu  15 a  b    15 15  a  b  a  b   15 23 15 671    5   c x b  c  60 240  2 a  b  c  47 15  a  b  c  47 15      15 30 60   c  a     671  Thử lại thấy thỏa mãn, phương trình cho có nghiệm S     240  Bài tốn 92 Giải phương trình x   x  (4)   x  30  x  x  36 x  180 Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với x   x  x   x 30  x  30  x  x Đặt  x  a;  x  b; 30  x  c  a  0; b  0; c    x   a   b  30  c Phương trình cho trở thành x  ab  bc  ca Ta thu hệ phương trình  a  c  a  b   1 5  a  ab  bc  ca ab  bc  ca  a     2 6  b  ab  bc  ca  ab  ac  bc  b    b  c  b  a     30  c  ab  bc  ca ab  ac  bc  c  30     c  a  c  b   30   Nhân vế ba phương trình (1), (2), (3) thu (4)  a  b  b  c  c  a    302   a  b  b  c  c  a   30 (Do a  0; b  0; c  )   Kết hợp (1), (2), (3) với (4) thu a  b   a  b   a  b    c  5 x 5 b  c      a  b  c   12 a  b  c   c  a   Lời giải Ta có hàm số f  x   x  36 x  180 nghịch biến miền  0;5 Suy f  x   f    25  Khi x   x  f  x    x  30  x  x  36 x  180  Ta thu x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 67 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐỒN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 93 Giải phương trình x   x   10  x  15  x   x  10  x  15 Lời giải Điều kiện  x  Xét hàm số f  x    x  10  x  15   x  25 x  150 miền  0; 6 , hàm số nghịch biến liên tục Ta có f    f  x   f   hay 150  f  x   36   Suy x   x   10  x  15  x  f x   x  10  x  15  Kết hợp điều kiện thu x6 Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với x   x 10  x  10  x 15  x   x 15  x Đặt  x  a; 10  x  b; 15  x  c  a  0; b  0; c    x   a  10  b  15  c Ta thu hệ phương trình  a  c  a  b   6  a  ab  bc  ca ab  bc  ca  a  1    2 10  b  ab  bc  ca  ab  ac  bc  b  10   b  c  b  a   10   15  c  ab  bc  ca ab  ac  bc  c  15  3    c  a  c  b   15 Nhân vế ba phương trình (1), (2), (3) thu  a  b  b  c  c  a    302   a  b  b  c  c  a   30 (Do a  0; b  0; c  )   Kết hợp (1), (2), (3) với (4) thu a  b   a  b   a  b    c  3 x  b  c     c  a  2  a  b  c   10 a  b  c   Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài tốn 94 Giải phương trình (4) x   x2  x   x2  8x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x   a;  x  x   b; x  x   c  a  b3  c  Phương trình cho trở thành a  b  c  Ta thu hệ phương trình  3  a3  b3  c3  a  b  c   3   a  b  b  c  c  a    a  b  c   a  b  b  c  c  a   a  b  c    x   x2  x   x  8x       x  x   x  x   7 x    x  1;0;1;9  x  x   x2  8x    x    Thử lại thấy bốn giá trị nghiệm thỏa mãn, phương trình cho có tập nghiệm S  1;0;1;9 Nhận xét Bài toán 94 đặt ẩn phụ đưa hệ hai phương trình với ba ẩn số Với điều kiện toán, khó sử dụng đánh giá – hàm số – bất đẳng thức Tuy nhiên hình thức đặc biệt toán cho sử dụng đẳng thức đưa hệ dạng tích:  a  b  c   a  b  c3   a  b  b  c  c  a  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 68 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 95 Giải phương trình 3x   x    x  Lời giải Điều kiện x   Đặt 3 x   a; x   b;  x  c  a  b  c  Ta có hệ phương trình 3  a3  b3  c3   a  b  c    3   a  b  b  c  c  a     a  b  c   a  b  b  c  c  a   a  b  c   3  3x    x 3x    x 3 1    x   x   5 x   x   x   ; ;   2 5 3 3x   x    3x   x   1  Thử lại ta thu tập nghiệm S   ; ;  2 5 Bài toán 96 Giải phương trình  x  3 x   x  24  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x  3 x   24  x  Đặt  x  a; 3 x   b; 24  x  c ta thu hệ phương trình a  b3  c3  27  a  b  c3  27   3   a  b  b  c  c  a    abc 3 a  b  c   a  b  b  c  c  a   27    x   3x   x   3x  3 25     3x   x  24  3 x   x  24  x  3; 13;   3  3 1  x  x  24    x  x  24  25   Thử lại nghiệm ta thu S  13; 3;  3  Bài toán 97 Giải phương trình 3  x  x   x   5x  Lời giải Điều kiện x   Đặt 3  x  a; x   b; x   c  a  b  c  x  Ta thu hệ phương trình  3  a3  b3  c3  5x   a  b  c  x   3   a  b  b  c  c  a    a  b  c  x  a  b  c   a  b  b  c  c  a   x     x   4x 1  x   4x 1 3  4    x    x    x   x    x    ;  ; 6     3  x   2x  x   2x      4  Thử lại nghiệm, kết luận S   ;  ; 6    CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 69 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 98 Giải phương trình x2  x  3  x  x2  x   x2  x Lời giải Điều kiện x   Đặt x  x  a; 3  x  b; x  x   c  a  b3  c  x  x Ta thu hệ phương trình a  b  c  x2  x  3  a  b  c  x  x  3   a  b  b  c  c  a    3 2 a  b  c   a  b  b  c  c  a   x  x a  b  c  x  x    x2  x  x   x  3   1    x   x  x    x2  3x   x   3;0;   2  2 x2  5x    x2  x   x2  4x    1  Thử lại, kết luận nghiệm S  3;0;  2  Bài tốn 99 Giải phương trình  x  x2   x   x  x2  x  Lời giải Điều kiện x   Đặt  x  x  a;  x  b;  x  c  a  b3  c3  x  x  Ta thu hệ phương trình  3 3 a  b  c  x2  x   a  b  c  x  x   3   a  b  b  c  c  a    3 a  b  c   a  b  b  c  c  a   x  x  a  b  c  x2  x        x  x2    x  x2  2x       1 x  x   0 x   x   3  x  4   x  x2  x    Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 1,  x  x    x  10  x 2, x  x   3x   x  3, 3 x   x    x  1 4, x   3x    x  5, x  x   x3  x  x   x3  x HẾT CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 70 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ... Nhận xét  Hai toán dạng phương trình giải cách sử dụng ẩn phụ đưa phương trình bậc hai dùng hai ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại  Trong trường hợp đặt ẩn phụ t bạn tìm miền giá trị... nhiên, chất phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Về vấn đề này, tác giả xin trình bày Lý thuyết sử dụng ẩn phụ (phần 2); Sở huy trung đoàn – Sư đoàn – Quân đoàn binh Các lời giải lại sử dụng biến... phương trình cho có nghiệm S  1;1;  ;  3     Nhận xét Các toán từ 23  25 hoàn toàn giải phương pháp đặt ẩn phụ, đưa phương trình bậc hai Phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình phương