ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09 -20 10 Môn học : Đại số tuyến tính . Th ời gian làm bài: 90 ph út. Đề thi go àm 7 câu. Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu. HÌNH THỨC T HI: TỰ L UẬN CA 2 Câu 1 : a/ C ho ma tr ận A =  7 −3 1 0 −4  . a/ Che ùo hoá ma trận A. b/ Áp dụn g, tìm ma tr ận B s ao cho B 20 = A. Câu 2 : C ho ánh xạ tuy ến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b iết ma trận của f tr ong cơ s ở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =    1 2 0 2 1 −1 3 0 2    . Tìm ma tr ận của f tron g cơ s ở chính tắc . Câu 3 : C ho ma trận A =    3 2 2 −3 −2 −3 2 2 3    . Tìm trò r iêng, cơ s ở của các k hôn g gian con riên g của ma tr ận A 6 . Câu 4 : T ìm m để ve ctơ X = ( 2 , 1 , m) T là véc tơ rie âng của m a trận A =    −5 3 3 −3 1 3 −3 3 1    . Câu 5 : T ìm m để ma tr ận A =    1 3 −2 3 m −4 −2 −4 6    có đúng h ai trò r iêng d ương và mo ät trò riên g âm. Câu 6 : C ho án h xạ tuye án tính f là p hép quay tro ng hệ trục toạ độ Oxy quan h g ốc tọa độ C ÙNG chiều kim đồn g hồ m ột góc 6 0 o . Tìm a ùnh x ạ tuyến tính f. Giải thích rõ. Câu 7 : C ho A là m a trận v uông cấp n. Ch ứng to û rằng A kh ả ngh òch kh i và chỉ kh i λ = 0 KHÔNG là trò riê ng của A. Khi A kh ả ng hòch chứn g tỏ r ằng n ếu λ là trò ri êng của A, thì 1 λ là trò ri êng cu ûa A −1 . Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm. Câu 1(1. 5đ) . C héo ho ùa ma trận ( 0. 5đ) A = PDP −1 ; P =  3 1 5 2  . D =  2 0 0 1  . Ta có A = P · D · P −1 . Giả sư û B = Q · D 1 · Q −1 , ta có B 20 = Q · D 20 1 · Q −1 = A. Ch ọn Q = P và D 1 =  20 √ 2 0 0 20 √ 1  . Vậy m a trận B = P · D 1 ·P −1 Câu 2 ( 1.5 đ). C ó nh iều cách làm. Gọi ma trận chuy ển cơ s ở từ E san g ch ính tắc làP . Khi đo ù ma trận chuyển cơ s ở từ chín h tắc sang E là : P −1 =    1 1 1 2 1 1 1 2 1    Ma trận của ánh xạ tuyế n t ính trong 1 cơ sở c hính tắc là B = P −1 AP =    −6 5 2 −9 6 4 −1 2 8 4    Câu 3 (1 .5đ) . Giả s ử λ 0 là trò ri êng củ a A ⇔ ∃x 0 : A · x 0 = λ 0 ·x 0 . Khi đó A 6 · x 0 = A 5 · A · x 0 = A 5 · λ 0 · x 0 = λ 0 ·A 5 · x 0 = · · · = λ 6 0 · x 0 . Lập ptr ìn h đặc trưn g, tìm đươ ïc TR của A: λ 1 = 1 , λ 2 = 2 , Cơ s ở của E λ 1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, của E λ 2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }. TR của A 6 : δ 1 = 1 6 , δ 2 = 2 6 , C ơ sở của: E δ 1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, của E δ 2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }. Câu 4 ( 1.5 đ). x là VT R củ a A ⇔ A · x = λ · x ⇔    −5 3 3 −3 1 3 −3 3 1       2 1 m    = λ ·    2 1 m    ⇔ m = 1 Câu 5 ( 1.5đ) . M a tr ận đối xứ ng thực. Dạng t oàn p hươn g tươn g ứng f ( x, x) = x 2 1 + mx 2 2 + 6 x 2 3 + 6 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 8 x 2 x 3 . Đưa v ề chín h tắc b ằng biến đổi L agrang e f( x, x) = ( x 1 + 3 x 2 − 2 x 3 ) 2 + 2 ( x 3 + x 2 ) 2 + ( m − 1 1 ) x 2 3 . M a trận A có mộ t TR d ương, 1 TR â m ⇔ m < 1 1 . Câu 6 ( 1.5 đ). f : IR 2 −→ IR 2 . f đư ợc xác đòn h hoà n toàn nếu b iết ảnh của một cơ s ở của IR 2 . Ch ọn cơ s ở chính tắc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }. Khi đó f( 1 , 0 ) = ( 1 2 , − √ 3 2 ) ,f( 0 , 1 ) = ( √ 3 2 , 1 2 ) . f ( x, y) = ( x 2 + y √ 3 2 , −x √ 3 2 + y 2 ) Câu 7 (1 .0đ) . A k hả ngh òch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 kh ông là T R của A. Giả sử λ 0 là TR của A ⇔ ∃x 0 : A · x 0 = λ 0 ·x 0 ⇔ A −1 · A · x 0 = A −1 · λ 0 · x 0 ⇔ A −1 · x 0 = 1 λ 0 · x 0 (vì λ 0 = 0 ) → đpc m. 2 . ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09 -20 10 Môn học : Đại số tuyến tính . Th ời gian làm bài: 90 ph út. Đề thi go àm 7 câu. Sinh viên k hông được sử dụn. hòch chứn g tỏ r ằng n ếu λ là trò ri êng của A, thì 1 λ là trò ri êng cu ûa A −1 . Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm. Câu. ng hệ trục toạ độ Oxy quan h g ốc tọa độ C ÙNG chiều kim đồn g hồ m ột góc 6 0 o . Tìm a ùnh x ạ tuyến tính f. Giải thích rõ. Câu 7 : C ho A là m a trận v uông cấp n. Ch ứng to û rằng A kh ả ngh