TRƯ ỜNG PTTH CHUY ÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đ Ề THI THỬ ĐẠI HỌC L ẦN II NĂM 2013 TỈNH QUẢNG TRỊ Môn: Toán; khối A+A 1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm): Câu 1(2 điểm).Cho hàm số: 2 2 x y x = − a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB thỏa mãn: 2 ABOA = ( O là gốc tọa độ) Câu 2(1điểm). Giải phương trình: ( ) 2 3cot1 15 3cot42os1 sinx4 x xcx π +  +−+=   Câu 3(1điểm). Giải hệ phương trình: 22 22 217 12 xyxy yxy  ++−=   −=   Câu 4(1điểm). Tính tích phân: ( ) ( ) 2 1 12ln1 1 e xx Idx xx +− = + ∫ Câu 5(1điểm). Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD, với AD = 2a. Gọi I là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ I tới mặt phẳng (SCD) bằng 33 8 a . Tính thể tích khối chóp SABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng SO và AD, với O là giao điểm của AC và BD. Câu 6(1điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x + y + 1 = 3xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( ) 22 3311 11 xy P yxxyxy =+−− ++ II. PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A.Theo chương trình chuẩn: Câu 7.a (1điểm).Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có AC = 2 BD và I(2;1) là giao điểm hai đường chéo. Biết 1 (0;) 3 M nằm trên đường thẳng AB, N(0;7) nằm trên đường thẳng CD. Tìm tọa độ điểm B biết B có hoành độ dương. Câu 8.a(1điểm). Lập phương trình mặt cầu qua A(0;1;3), có tâm I thuộc đường thẳng () 12 : 121 xyz d +− == − và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 23620 xyz +−−= . Câu 9.a(1điểm)Cho 0 x > và 12322136 2121212121 2 nnnnn nnnnn CCCCC ++++ +++++ +++++= .Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 5 1 2 n x x  −   . B. Theo chương trình nâng cao Câu 7.b(1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): 22 16 xy += .Viết phương trình chính tắc của Elip biết tâm sai 1 2 e = , Elip cắt đường tròn (C) tại bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho AB song song với trục hoành và AB = 2 BC Câu 8.b(1 điểm). Cho A(3;5;4), B(3;1;4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (P): 10 xyz −−−− sao cho tam giác ABC cân ở C và có diện tích bằng 217 . Câu 9.b(1 điểm). Từ một bộ bài Tú lơ khơ gồm 52 con (13 bộ tứ). Người ta rút 5 con bất kỳ. Tính xác suất để rút được 2 con thuộc một bộ tứ, 2 con thuộc bộ tứ khác, con thứ 5 thuộc bộ tứ khác nữa. ………………Hết………………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh………………………………………….Số báo danh………………………. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT II, MÔN TOÁN,KHỐI A,A 1 Câu Nội dung Điểm I a) 1đ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1đ TXĐ: { } \2 R ( ) 2 4 '0;2 2 yx x − =<∀≠ − 0.25 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ( ) ;2;2; −∞+∞ Hàm số không đạt cực trị limlim2 x x yy →−∞ →+∞ ==⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=2 22 lim;lim xx yy −+ →→ =−∞=+∞⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =2 0.25 BBT 0.25 Đồ thị: 0,25 b) 1đ Gọi ( ) 2 ; 2 o o o x MxC x  ∈  −  , (d) là tiếp tuyến của (C) tại M, cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho: 2 ABOAABO =⇒∆ vuông cân ở O nên hệ số góc của tiếp tuyến 1 k =± 0.25 0 0 '()1 4 o o x yx x =  =−⇔  =  0.25 0(): o xdyx =⇒=− 4():8 o xdyx =⇒=−+ .Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là y = -x + 8 0.25 Tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là y= -x+8 Chú ý: Nếu tìm ra mà không loại trường hợp y = -x thì trừ 0.25đ 0.25 2 1đ Đk; , xkkZ π ≠∈ Pt ( ) 2 22 oscossinx 334sinxcos1 sinsin cxx x xx + ⇔+−+= 0.25 ( ) 2 (34sin)cossinx10 xx ⇔−++= 0.25 2 1 34sin0os2 2 1 cossinx1os 4 2 xcx xcx π −  −=⇔=  ⇔ −   +=−⇔−=     0.25 3 () 2,2 2 xk kZ xkxk π π π πππ  =±+  ⇔∈  −  =+=+   Đối chiếu ĐK ta có nghiệm pt là 3 xk π π =±+ ; 2 2 xk π π − =+ 0.25 3 1đ ĐK: 22 0 xy −≥ .Đặt 22 tyxy =+−, hệ trở thành: 22 217 24 xt xt +=   −=−  0.25 Giải hệ ta có: ( ) ( ) 5355 ;5;7;; 33 xt   =−     . 0.25 Từ pt thứ 2 của hệ suy ra y>0 nên t>0. Vậy x=5 4 y ⇒= hoặc 3 y = 0.25 Vậy: Nghiệm của hệ là: ( ) ( ) ( ) { } ;5;4;5;3 xy = 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Nội dung Điểm 4 1đ I ( ) ( ) ( ) 22 111 22ln 1 11 eee dxxdx xx xx =−+ + ++ ∫∫∫ 0.25 ( ) ( ) 11 2 111 2112 | 111 1 eee e dx Idxdx xxxxx x  =−=−+  +++ + ∫∫∫ 1 222 (lnln(1))|ln 111 e xx xee =−++=+ +++ 0.25 ( ) 21 11 112 2ln2ln| 111 ee e Ixdxdx xxxx −−  ==+  +++  ∫∫ 11 122 2ln|2ln|2ln 1111 ee xe x xxee −−  =+=+  ++++  0.25 Vậy 2 23ln 1 I e =+ + 0.25 5 1đ Gọi E là giao điểm của AB và CD, M là trung điểm của AD. Ta có MA=MC=MD ⇒ ACD vuông ở C ( ) CDCA CDSAC CDSA ⊥  ⇒⇒⊥  ⊥  Kẻ đường cao AH của tam giác SAC thì ( ) AHSCD ⊥ và ( ) ( ) ( ) ( ) 43 ,, 32 a AHdASCDdISCD=== 0.25 Ta có: 222 111 SAa AHSAAC =+⇔= 23 333 3 44 ABCDMABSABCD aa SSV==⇒= I O A D B C S N H 0.25 Kẻ ON//AD, ta có: 2222222 227213 3,,, 33339 AOACaSOSAAOaONaSNSAAN ===+===+= 0.25 Theo định lý cosin trong tam giác SON, 222 OS21 cos 2.OS7 ONSN SON ON +− == . Vậy góc giữa SO và AD bằng arccos 21 7 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 6 1đ ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 3311112 11114() xyxyxyxy P yxxyxyyxxyxy ++ =+−−=+= ++++ Đặt ;21 txytxyt =+≥⇒≥ 0.25 2 51 ;1 4 t Pt t − =≥ Xét () () 23 5125 ;'0;1 44 tt ftftt tt −− ==∀≥ p 0.25 Lập bảng biến thiên, suy ra ( ) 1 maxf111 t ttxy ≥ =⇔=⇔== 0.25 Vậy max111 Ptxy =⇔=⇔== 0.25 7.a 1đ Theo chương trình chuẩn: Gọi E là điểm đối xứng của N qua I thì E(4;-5) AB ∈ :4310 ABxy ⇒+−= 0.25 d (I,AB)=2. Vì AC = 2 BD nên AI = 2 BI Trong tam giác vuông ABI ta có: 2 222 1111 5 4(,)4 BI dIABBIBI ==+⇒= 0.25 B là giao điểm của đường tròn tâm I bán kính R = 5 với đường thẳng AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ ( ) ( ) 22 4310 215 xy xy +−=    −+−=   0.25 Giải hệ trên, kết hợp với 0 B x > ta có B(1;-1) 0.25 8.a 1đ Tâm của mặt cầu là ( ) ;12;2() Itttd −−++∈ , ( ) ( ) ( ) |2312622| |217| ;() 77 ttt t dIP −+−+−+− + == ()() 22 22 4116105 IAttttt =+−+−=−+ 0.25 Mặt cầu qua A và tiếp xúc với (P) nên: ( ) 2 |217| ;()6105 7 t IAdIPtt + =⇔−+= 2 2(2;3;4);3 290558440 1111167279349 ;;; 145145145145145 tIR tt tIR =⇒−=   ⇔−−=⇔ −−   =⇒=     0.25 0.25 Có hai mặt cầu cần tìm: ( ) ( ) ( ) 222 2349 xyz ++−+−= 2222 11167279349 145145145145 xyz  −+++−=   0.25 9.a 1đ Ta có: ( ) 21 011221 212121212121 11 n nnnn nnnnnn CCCCCC + ++ ++++++ +=+++++++ ( ) 21122126 212121 22 2.2 nnnn nnn CCC ++++ +++ ⇔=+++= 0,25 18 n ⇔= 0.25 ( ) 18 18 18 5 5 18 0 1 22 k k k k k xCx x − + =  −=−   ∑ Số hạng của khai triển không phụ thuộc x khi 18 03 5 k kk − +=⇔= 0.25 Vậy số hạng không phụ thuộc x của khai triển là: ( ) 3 3 18 26528 C−=− 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com B 7.b 1đ Chương trình nâng cao Pt chính tắc của Elip có dạng: ( ) 22 22 10 xy ab ab +=>> Ta có: 22 1 2 cab e aa − === 22 3 4 ba ⇔= (*) 0.25 Vì Elip và đường tròn (C) đều nhận trục Ox, Oy làm trục đối xứng và AB=2BC nên giả sử tọa độ B(2t;t), t>0 0.25 Thay tọa độ B vào pt đường tròn ta có: 2 1 5 t = , thay vào pt Elip cùng với (*) thì 22 25664 ; 155 ab== 0.25 Vậy pt chính tắc của Elip: 22 1 25664 155 xy += 0.25 8.b mặt phẳng trung trực (Q) của AB có pt:y- 3 = 0 ( ) () CQP =⇒ I C(t;3;t-4) 025 1đ ( ) ( ) 22 1 .217173817 2 ABC sABICICtt ==⇔=⇔−+−= 4 7 t t =  ⇔  =  0.25 0.25 ( ) ( ) 4;3;0,7;3;3 CC⇒ 0.25 9.b 1đ Chọn 5 con bài bất kỳ: 5 52 C 0,25 Số cách chọn 5 con theo yêu cầu: 2221 13444 11 CCCC 0,5 Vậy xác suất cần tìm là 2221 13444 5 52 12.11 0.048 CCCC C  (Đính chính: bỏ số 12 trong kết quả cuối cùng) 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com . TRƯ ỜNG PTTH CHUY ÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đ Ề THI THỬ ĐẠI HỌC L ẦN II NĂM 2013 TỈNH QUẢNG TRỊ Môn: Toán; khối A+A 1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ. liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh………………………………………….Số báo danh………………………. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT II, MÔN TOÁN,KHỐI A,A 1 . là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD, với AD = 2a. Gọi I là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ I tới mặt phẳng (SCD) bằng 33 8 a . Tính thể tích khối chóp SABCD