SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - BT THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (5,0 điểm). 1. Cho hàm số 4 2 y x mx m    , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị. 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 f x x 1 x   trên đoạn   0;1 . Câu II (5,0 điểm). 1. Giải bất phương trình   2 2x 5x 3 x 1 x      . 2. Giải hệ phương trình   2 2 x y 4xy 3 x,y x y xy 1             . Câu III (5,0 điểm). 1. Tìm hệ số của 15 x trong khai triển nhị thức Niutơn của n 5 2 1 x , x 0 x         . Biết 0 1 n 1 n n n n n C C C C 1024       (với * n   , k n C là số các tổ hợp chập k của n ) 2. Giải phương trình :     2sin x 1 sin x 2cosx sin2x cosx     . Câu IV (5,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA , đáy là tam giác vuông tại B . Gọi B' là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng SB . Qua điểm B' kẻ đường thẳng song song với đường thẳng BC cắt SC tại C' . 1. Chứng minh rằng: SB vuông góc với mặt phẳng   AB'C' . 2. Tính theo a thể tích khối chóp S.AB'C' , biết SA AB a   và  BC 2a . - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đ ề thi chính thức 1 SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - BT THPT (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm I. 1, (2,5đ) TXĐ: D   Ta có 3 y' 4x 2mx   0,5   3 2 y' 0 4x 2mx 0 x 2x m 0        0,5   2 x 0 2x m 0 1        0,5 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt khác 0 0,5 m 0 m 0 m 0          . Vậy giá trị cần tìm là: m 0  0,5 I. 2, (2,5đ) Hàm số   2 f x x 1 x   liên tục trên đoạn   0;1 Ta có   2 2 2 2 2 x 1 2x f ' x 1 x 1 x 1 x        0,5   2 2 2 1 2x f ' x 0 0 1 2x 0 1 x         0,5     2 x 0;1 2 2 x 0;1 2             0,5 Ta có     2 1 f 0 0, f 1 0, f 2 2          0,5 Vậy         0;1 Minf x f 0 f 1 0    ,     0;1 2 1 Maxf x f 2 2         0,5 II. 1, (2,5đ) Bất phương trình đã cho tương đương với       2 2 2 x 1 0 1 2x 5x 3 0 x 1 0 2 2x 5x 3 x 1                          0,5 2 Hệ BPT   x 1 x 1 1 x 1 3 x 2                  0,5 Hệ BPT   2 x 1 2 x 3x 2 0         0,5 x 1 x 2 x 1 x 2               0,5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:     S ;1 2;      0,5 II. 2, (2,5đ) Hệ phương trình đã cho tương đương với   2 x y 6xy 3 x y xy 1             0,5   2 x y 6xy 3 0 xy x y 1              0,5     2 x y 3 x y 6 x y 9 0 xy 2 xy x y 1                     0,5 x 1 y 2 x 2 y 1                   0,5 Vậy nghiệm   x; y của hệ phương trình đã cho là:     1; 2 , 2;1 0,5 III. 1, (2,5đ) Ta có   n 0 1 n 1 n n n n n 1 1 C C C C        0 1 n 1 n n n n n n C C C C 2        0,5 Từ giả thiết ta suy ra n n 10 2 1024 2 2 n 10      0,5 Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của 10 5 2 1 x x        là   2 10 k k 5k k 7k 20 10 10 C .x .x C .x     0,5 Suy ra 15 x ứng với 7k 20 15 k 5     0,5 Vậy hệ số của 15 x là 5 10 C 252  0,5 III. 2, (2,5đ) PT     2sin x 1 sinx+2cosx 2sinxcosx cosx     0,5       2sin x 1 sinx+2cosx cosx 2sin x 1 0      0,5    2sinx 1 0 (1) 2sin x 1 sinx+cosx 0 sinx+cosx=0 (2)          0,5 3     x k2 1 6 PT 1 sinx= k 52 x k2 6                   0,5     PT 2 2sin x+ 0 x+ k x= k k 4 4 4                     Vậy nghiệm của phương trình là   5 x k2 , x k2 , x k k 6 6 4                0,5 IV. 1, (2,5đ) Ta có   SA ABC SA BC (1)    Mặt khác BC AB (2)  0,5 Từ   1 và   2 suy ra   BC SAB  0,5 Do đó   BC SB B'C' SB 3    (vì B'C'//BC ) 0,5 Theo giả thiết ta có SB AB' (4)  0,5 Từ   3 và   4 suy ra   SB AB'C'  0,5 IV. 2, (2,5đ) Ta thấy tam giác SAB cân tại A suy ra B' là trung điểm của SB , do đó 1 SB' SB 2  0,5 2 2 a 2 SB SA AB a 2 SB' 2      Vì SAB  vuông tại A nên ta có a 2 AB' SB' 2   0,5 Do     BC SAB B'C' SAB B'C' AB'      0,5 Ta có B'C' là đường trung bình của tam giác SBC suy ra 1 B'C' BC a 2   0,5 Thể tích của khối chóp S.AB'C' là 3 1 a V SB'.AB'.B'C' 6 12   . 0,5 Hết Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng. - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm. B’ B A C C’ S . GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - BT THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đ ề thi chính thức 1 SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - BT. khối chóp S.AB'C' là 3 1 a V SB'.AB'.B'C' 6 12   . 0,5 Hết Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng. - Khi chấm giám khảo không