Lý thuyết và bài tập phương trình lượng giác không mẫu mực pot

11 2,555 84
  • Loading ...
1/11 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 24/03/2014, 23:20

CHƯƠNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM Áp dụng Nếu A0B0AB0≥∧ ≥⎧⎨+=⎩ thì A = B = 0 Bài 156 Giải phương trình: 224cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + += Ta có: ()()⇔−++⎧=⎪⎪⇔⎨⎪=−⎪⎩π⎧=± + π ∈⎪⎪⇔⎨⎪=−⎪⎩π⇔=−+ π ∈22(*) 2 cos x 3 3tgx 1 03cos x21tgx3xk2,k61tgx3xk2,k6= Bài 157 Giải phương trình: ()28cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− += Ta có: () ( )⇔+++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0= ()()⇔+++−⇔++−=⎧⎧=− =−⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪==π∈⎩⎩224cos 4x 4cos4x 1 1 cos3x 02cos4x 1 1 cos3x 011cos 4x cos 4x22cos 3x 1 3x k2 , k= ⎧=−⎪⎪⇔⎨π⎪=∈⎪⎩1cos 4x2k2x , k (có 3 đầu ngọn cung)3 == = = + = + 1cos 4x222x +m2hay xm2hayxm2,m 332xm2,m3 (ta nhaọn =k1 vaứ loaùi k = 0 ) Baứi 158 Giaỷi phửụng trỡnh: ()()2233sin 3xsin x cos 3xsin x sin 3x cos x sin x sin 3x *3sin4x++=2 Ta coự: 33cos 3x.sin 3x sin 3x.cos x+()()()= += + = ==33 3333 24cosx 3cosxsinx 3sinx 4sinxcosx3cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x33sin 2x.cos 2x sin 4x242 ()()+ = +=+ =22 2224222221Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 04111sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 vaứ sin 4x 024411sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 024 +=== =222211sin 3x sin x sin 6x 0 vaứ sin 4x 0216sin 4x 01sin 3x sin x2sin3x0cos3x0 ====sin 4x 0sin 4x 01sin 3x 0 sin x2sin x 0 (VN)sin 3x 1 ==3sin 4x 01sin x23sinx 4sin x 1 ≠⎧⎪⇔⎨=⎪⎩≠⎧⎪⇔ππ⎨=+ π∨ + π∈⎪⎩ππ⇔=+π∨= +π∈sin 4x 01sin x2sin 4x 05xk2 k2,k665xk2x k2,k66 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập Nếu AMBAB≤≤⎧⎨=⎩ thì ABM== Bài 159 Giải phương trình: −=+44sin x cos x sin x cos x (*) Ta có: (*) ⇔−=+22sin x cos x sin x cos x ⇔− = +≤⎧⎪⇔⎨=+⎪⎩≤⎧≤⎧⎪⇔⇔⎨⎨==±−=⎪⎩⎩⇔=−π⇔=+π∈22cos 2x sin x cos xcos 2x 0cos 2x 1 2 sin x cos xcos 2x 0cos 2x 0sin 2x 0 (cos 2x 1)sin 2x 2 sin 2xcos 2x 1xk,k2 Cách khác Ta có −≤ ≤≤+44 4x cos x sin x sin x sin x cos xsin Do đó =⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩4cos x 0(*) cos x 0sin x sin xπ=+π∈xk,k2 ⇔ Bài 160: Giải phương trình: () 2cos 2x cos 4x 6 2sin 3x (*)−=+ Ta có: (*) 224 sin 3x.sin x 6 2sin 3x⇔=+• Do: 2sin 3x 1≤2sin x 1≤ nên 224sin 3xsin x 4≤ • Do nên 62≥−sin 3x 1 sin3x4+≥ Vậy 224 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+ Dấu = của phương trình (*) đúng khi chỉ khi ⎧=⎧⎪==⇔⎨⎨=−⎩⎪=−⎩222sin 3x 1sin x 1sin x 1sin 3x 1sin 3x 1 π⎧=± + π ∈π⎪⇔⇔=+⎨⎪=−⎩π∈xk2,kxk2,k22sin 3x 1 Bài 161 Giải phương trình: 33cos x sin x2cos2x(*)sin x cos x−=+ Điều kiện: si n x 0 cos x 0≥∧ ≥Ta có: (*) ()( )()()22cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − + ()()−=⎡⎢⇔+=+ +⎢⎣cos x sin x 0 (1)1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2) Ta có: (1) π⇔=⇔=+π∈tgx 1 x k , k4  Xét (2) Ta có: khi si thì n x 0≥≥≥2sin x sin x sin x Tương tự ≥≥2cos x cos x cos x Vậy si n x cos x 1+≥sin x cos x 1+≥ Suy ra vế phải của (2) thì 2≥ Mà vế trái của (2): 131sin2x22+≤ Do đó (2) vô nghiệm Vậy: (*) π⇔=+π∈xk,k4 Bài 162: Giải phương trình: 3 cos x cos x 1 2(*)−− += Ta có: (*) 3cosx 2 cosx1⇔− =+ + ()3cosx 5cosx4cosx12cosx 1 4 cosx 1⇔− =+ + +⇔− + = + Ta có: ()2cosx 1 0 x−+≤∀ mà 4cosx 1 0x+≥∀ Do đó dấu = của (*) xảy ra cos x 1⇔=− ⇔=π+ π ∈xk2,k Bài 163: Giải phương trình: ()22cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+− = + Do bất đẳng thức Bunhiacốpski: 222 2AXBY A B.X Y+≤ + + nên: ()2221cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+− ≤ +− = Dấu = xảy ra 2cos3x 2 cos 3x⇔=− 22cos3x 0cos 3x 2 cos 3xcos3x 0cos3x 1cos3x 1≥⎧⇔⎨=−⎩≥⎧⇔⇔⎨=±⎩=Mặt khác: ()221 sin 2x 2+≥ dấu = xảy ra sin 2x 0⇔=Vậy: ()22cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+− ≤≤ + dấu = của (*) chỉ xảy ra khi: =∧ ==⎧⎪⇔⎨π=∈⎪⎩⇔= π ∈cos 3x 1 sin 2x 0cos 3x 1kx,k(có4đầungọncun2x2m,mg) Bài 164: Giải phương trình: 22 5tg x cotg x 2sin x (*)4π⎛⎞+= +⎜⎟⎝⎠ Điều kiện: sin 2x 0≠ • Do bất đẳng thức Cauchy: 22tg x cotg x 2+≥ dấu = xảy ra khi tgx cotgx= • Mặt khác: sin x 14π⎛⎞+≤⎜⎟⎝⎠ nên 52sin x 24π⎛⎞+≤⎜⎟⎝⎠ dấu = xảy ra khi sin x 14π⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠ Do đó: 22 5tg x cotg x 2 2sin x4π⎛⎞+≥≥ +⎜⎟⎝⎠ Dấu = của (*) xảy ra tgx cotgxsin x 14=⎧⎪⇔π⎨⎛⎞+=⎜⎟⎪⎝⎠⎩ ⎧=⎪⇔⎨π=+π∈⎪⎩π⇔=+ π∈2tg x 1xk2,k4xk2,k4 Trường hợp 3: Áp dụng: NếuAMvàB M A MthìABMN BN≤≤⎧⎧⎨⎨+= + =⎩⎩= =⎧+=⇔⎨=⎩sin u 1sin u sin v 2sin v 1 =⎧−=⇔⎨=−⎩sin u 1sin u sin v 2sin v 1 =−⎧+=−⇔⎨=−⎩sin u 1sin u sin v 2sin v 1 Tương tự cho các trường hợp sau ±=± ±=±sin u cos v 2 ; cos u cos v 2 Bài 165: Giải phương trình: ()3xcos 2x cos 2 0 *4+−= Ta có: ()3x*cos2xcos4⇔+ 2= 3xDo cos 2x 1 cos 14≤≤ nên dấu = của (*) chỉ xảy ra ()=π ∈=⎧⎧⎪⎪⇔⇔ ⇔=ππ⎨⎨=∈=⎪⎪⎩⎩ππ= ⇔ ==∈Ζ =∈xk,kcos 2x 1x8m,m8h3xx,hcos 1348h 8hDo : k k33để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m ) Cách khác ==π∈⎧⎧⎪⎪⇔⇔=π∈⎨⎨π==⎪⎪⎩⎩cos 2x 1 x k , kx8m,m3x 3kcos 1 cos 144 Bài 166: Giải phương trình: ()cos2x cos4x cos6x cosx.cos2x.cos3x 2 *++= + ()2cos2x cos 4x cos6x 2cos 3x cos x 2 cos 3x 12cos3x cosx cos3x 14 cos 3x.cos 2x.cos x 1++ = + −=+−=− Vậy: ()1cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos4x cos6x 14=+++ Do đó: () ()()⇔++= ++⇔++=19* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x4439cos2x cos4x cos6x44+ ⇔++===π∈⎧⎧⎪⎪⇔=⇔=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩cos2x cos4x cos6x 3cos 2x 1 2x k2 , k (1)cos 4x 1 cos4x 1 (2)cos 6x 1 cos 6x 1 (3) ⇔ = π∈⇔=π∈2x k2 ,k x k ,k ( Thế (1) vào (2) (3) ta thấy hiển nhiên thỏa) Bài 167: Giải phương trình: ()cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+= Ta có: ()⎛⎞⎛⇔=− + + +⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝13 31* 2 cos2x sin 2x sin x cos x22 22⎞⎟⎟⎠ ππ⎛⎞⎛⇔= − + +⎜⎟⎜⎝⎠⎝2sin2x sinx66⎞⎟⎠ ⎧π⎛⎞ππ⎧−=−=+ π∈⎜⎟⎪⎪⎪⎝ ⎠ ⎪⇔⇔⎨⎨πππ⎛⎞⎪⎪+=+ π∈+=⎜⎟⎪⎪⎩⎝⎠⎩π⎧=+π∈⎪π⎪⇔⇔=+π⎨π⎪=+ π∈⎪⎩∈sin 2x 12x k2 ,k662xh2,hsin x 1626xk,k3xh,h3xh2,h3 Cách khác ⎧π⎛⎞⎧π⎛⎞−=−=⎜⎟⎪⎜⎟⎪⎪⎝ ⎠ ⎪⎝⎠⇔⇔⎨⎨πππ⎛⎞⎪⎪+=+=+ π∈⎜⎟⎪⎪⎩⎝⎠⎩sin 2x 1sin 2x 166(*)sin x 1xh2,h662 ⎧π⎛⎞−=⎜⎟⎪π⎪⎝⎠⇔⇔=+⎨π⎪=+ π∈⎪⎩π∈sin 2x 16xh,h3xh2,h3 Bài 168: Giải phương trình: ()4cosx2cos2xcos4x1*−−= Ta có:()()()⇔−−−−22* 4 cos x 2 2cos x 1 1 2sin 2x 1= ⇔− + =⇔= −+ =22224cosx 4 cos x 8sin x cos x 0cos x 0 hay 1 cos x 2sin x cos x 0 ()⇔= + −=⇔= − =2cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *) ()⇔= − + =⇔=∨ +=1cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 02cos x 0 cos 3x cos x 2 =⎧⇔=∨⎨=⎩cos 3x 1cos x 0cos x 1 =⎧⇔=⇔⎨−=⎩⇔=∨=π⇔=+π∨= π∈3cos x 1cos x 04cos x 3cosx 1cos x 0 cos x 1xkxk2,k2 Cách khác ⇔= =( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1− ==⎧⎧⇔=∨ ∨⎨⎨==−⎩⎩cos x 1 cos x 1cos x 0cos2x 1 cos2x 1 =π∈ =π+ π∈⎧⎧π⇔=+π∈∨ ∨⎨⎨==−⎩⎩xk2,k x k2,k (loạixk,kcos 2x 1 cos 2x 12) π⇔=+π∨= π∈xkxk2,k2 Bài 169: Giải phương trình: ()1tg2x tg3x 0 *sin x cos 2x cos 3x++ = Điều kiện: sin 2x cos 2x cos 3x 0≠ Lúc đó: ()⇔++sin 2x sin 3x 1*0cos2x cos 3x sin x.cos2x.cos 3x=+== ()⇔+⇔++sin2xsinxcos3x sin3xsinx.cos2x 1 0sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0 ()⇔=−⇔− − =−⇔−===⎧⎧=⎧⎪⎪⇔⇔−=⇔−⎨⎨ ⎨=−⎩⎪⎪=−=−⎩⎩332sin x.sin 5x 11cos6x cos4x 12cos 6x cos4x 2tcos2x tcos2xcos6x 14t 3t 1 4t 3t 1cos4x 1t02t 1 1= Do đó: (*) vô nghiệm. Cách khác ==−⎧⎧⇔=−⇔⎨⎨=−=⎩⎩sin x 1 sin x 1sin x.sin 5x 1 haysin 5x 1 sin 5x 1 ππ⎧⎧=+ π∈ =−+ π∈⎪⎪⇔⎨⎨⎪⎪=− =⎩⎩xk2,k x k2,khay22sin 5x 1 sin 5x 1 x⇔∈∅ Bài 170: Giải phương trình: ()22cos 3x.cos2x cos x 0 *−= Ta có: () () ()⇔+−+11* 1 cos 6x cos2x 1 cos 2x 022= ()⇔=⇔+=⇔+==⎧⇔⎨=⎩⎧−=⇔⎨=⎩⎧=⇔⎨=⎩⇔=⇔=π∈π⇔= ∈22cos 6x cos 2x 11cos 8x cos 4x 12cos 8x cos 4x 2cos 8x 1cos 4x 12cos 4x 1 1cos 4x 1cos 4x 1cos 4x 1cos 4x 14x k2 ,kkx,k2 Cách khác ⇔=cos 6x cos 2x 1 ==−⎧⎧⇔⎨⎨==−⎩⎩cos2x 1 cos2x 1haycos6x 1 cos6x 1 =π∈ =π+π∈⎧⎧⇔⎨⎨==−⎩⎩2x k2 , k 2x k2 , khaycos 6x 1 cos 6x 1 π=∈kx,k2 Cách khác ==⎧⎧⇔⎨⎨==π∈⎩⎩cos8x 1 cos8x 1cos 4x 1 4x k2 , k π⇔= ∈kx,k2 Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ y = ax là hàm giảm khi 0< a <1. Do đó ta có sin sin , ,cos s , ,mnmnxxnmxkkxcoxnmx kkππππ<⇔>∀≠+∈<⇔>∀≠+22∈ sin sin ,cos s ,mnmnxxnmxxco x n m x≤⇔≥≤⇔≥∀∀ Bài 171: Giải phương trình: ()2x1cosx2−= * Ta có: ()2x*1 cos2⇔= + x Xét 2xycosxtrên2=+ R Ta có: y' x sinx=−và y'' 1 cosx 0 x R=−≥∀∈ Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R Vậy ()()()x0,:x0nêny'xy'0∀∈ ∞ > > =0 ()()()x,0:x0nêny'xy'0∀∈−∞ < < =0 Do đó: Vậy : 2xycosx1x2=+ ≥∀∈R Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0 Do đó ()*x0⇔=• [...]... phương trình sin 4 x + sin 6 x = sin 8 x + sin10 x (*) Ta có ⎧sin 4 x ≥ sin 8 x dấu =xảy ra khi chỉ khi sin 2 x = 1hay sinx = 0 ⎪ ⎨ 6 10 2 ⎪ sin x ≥ sin x dấu =xảy ra khi chỉ khi sin x = 1 hay sinx = 0 ⎩ ⇔ sin 2 x = 1 ∨ sinx = 0 π ⇔ x = ± + k 2π ∨ x = k 2π , k ∈ 2 Cá c h khá c (*) ⇔ sin 4 x = 0 hay 1+ sin 2 x = sin 4 x + sin 6 x ⇔ sin x = 0 hay sin 2 x =1 Giả i cá c phương trình sau 1 BÀI... hay sinx = 0 ⎩ ⇔ sin 2 x = 1 ∨ sinx = 0 π ⇔ x = ± + k 2π ∨ x = k 2π , k ∈ 2 Cá c h khá c (*) ⇔ sin 4 x = 0 hay 1+ sin 2 x = sin 4 x + sin 6 x ⇔ sin x = 0 hay sin 2 x =1 Giả i cá c phương trình sau 1 BÀI TẬP lg ( sin2 x ) − 1 + sin 3 x = 0 4 π⎞ ⎛ sin 4x − cos 4x = 1 + 4 2 sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ 1 sin 2 x + sin 2 3x = sin x sin 2 3x 4 sin x π = cos x 5 2 cos x + 2 sin 10x = 3 2 + 2 cos 28x sin x 6 ( cos 4x − . CHƯƠNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM Áp dụng Nếu A 0B0 AB0 ≥∧ ≥ ⎧ ⎨ += ⎩ thì A = B = 0 Bài 156 Giải phương trình: 22 4cos. () *x0 ⇔ =• Bài 172: Giải phương trình sin sin sin sin x xx+=+ 46810 x (*) Ta có sin sin sin sin 2 2 và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx = 0 và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin. (2) cos 6x 1 cos 6x 1 (3) ⇔ = π∈⇔=π∈  2x k2 ,k x k ,k ( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa) Bài 167: Giải phương trình: ( ) cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+= Ta có: () ⎛⎞⎛ ⇔=− +
- Xem thêm -

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập phương trình lượng giác không mẫu mực pot, Lý thuyết và bài tập phương trình lượng giác không mẫu mực pot, Lý thuyết và bài tập phương trình lượng giác không mẫu mực pot

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay