Trang 1 THI TH I HC KHI D MễN TON S 12 Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm ) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 2 32 x x y 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đ-ờng tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đ-ờng tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) 1. Giải ph-ơng trình 24 cos2sin 2 cossin 2 sin1 22 x x x x x 2. Giải bất ph-ơng trình xxxxx 2 1 log)2(22)144(log 2 1 2 2 Câu III (1 điểm) Tính tích phân e dxxx xx x I 1 2 ln3 ln1 ln Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = 2 a . 3aSA , 0 30SAB SAC . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số d-ơng thoả mãn : a + b + c = 3 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 333 3 1 3 1 3 1 accbba P Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ đ-ợc làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc phần 2 Phần 1:(Theo ch-ơng trình Chuẩn) Câu VIa (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đ-ờng thẳng 052: 1 yxd . d 2 : 3x +6y 7 = 0. Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đ-ờng thẳng đó cắt hai đ-ờng thẳng d 1 và d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đ-ờng thẳng d 1 , d 2 . 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có ph-ơng trình: 02zyx . Gọi Al hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đ-ờng tròn (C) là giao của (P) và (S). Trang 2 Câu VIIa (1 điểm) Tìm số nguyên d-ơng n biết: 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200 k k k n n n n n n C C k k C n n C Phần 2: (Theo ch-ơng trình Nâng cao) Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có ph-ơng trình: 1 916 22 yx . Viết ph-ơng trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 052: zyxP và đ-ờng thẳng 31 2 3 :)( zy x d , điểm A( -2; 3; 4). Gọi là đ-ờng thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ ph-ơng trình 113 2.322 2 3213 xxyx xyyx Hết P N S 12 Câu Nội dung Điể m I. 1 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 1,00 1) Hàm số có TXĐ: 2\R 0,25 2) Sự biến thiên của hàm số: a) Giới hạn vô cực và các đ-ờng tiệm cận: * ylim;ylim 2x2x Do đó đ-ờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số * lim lim 2 xx yy đ-ờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 0,25 Trang 3 b) Bảng biến thiên: Ta có: 2x,0 2x 1 'y 2 Bảng biến thiên: x - 2 + y - - y 2 - + 2 * Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 2; và ;2 0,25 3) Đồ thị: + Đồ thị cắt trục tung tại 2 3 ;0 và cắt trục hoành tại điểm 0; 2 3 + Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 0,25 I. 2 Tìm M để đ-ờng tròn có diện tích nhỏ nhất 1,00 Ta có: 2x, 2x 3x2 ;xM 0 0 0 0 , 2 0 0 2x 1 )x('y Ph-ơng trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng: 2x 3x2 )xx( 2x 1 y: 0 0 0 2 0 0,25 Toạ độ giao điểm A, B của và hai tiệm cận là: 2;2x2B; 2x 2x2 ;2A 0 0 0 Ta thấy M0 0BA xx 2 2x22 2 xx , M 0 0BA y 2x 3x2 2 yy suy ra M là trung điểm của AB. 0,25 O y x 2 3/2 3/2 2 Trang 4 Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích S = 2 )2x( 1 )2x(2 2x 3x2 )2x(IM 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0,25 Dấu = xy ra khi 3x 1x )2x( 1 )2x( 0 0 2 0 2 0 Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) 0,25 II. 1 Giải ph-ơng trình l-ợng giác 1 điểm )1( 24 cos2sin 2 cossin 2 sin1 22 x x x x x xsin1x 2 cos1xsin 2 x cosxsin 2 x sin11 2 0,25 01 2 x cos 2 x sin2. 2 x cos 2 x sinxsin01xsin 2 x cos 2 x sinxsin 0,25 01 2 x sin2 2 x sin21 2 x sinxsin 2 0,25 2 sin x 0 xk xk x sin 1 x k ,k x 2 x k4 k2 22 xx 2sin 2sin 1 22 0,25 II. 2 Giải bất ph-ơng trình 1 điểm ĐK: * 2 1 x 2 1 x 2 1 x 0)1x2( 2 1 x 01x4x4 0x 2 1 22 0,25 Với điều kiện (*) bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với: 1)x21(log)2x(2x2)x21(log2 22 01)x21(logx 2 0,25 0x 4 1 x 1)x21(2 0x 1)x21(2 0x 0)x21(2log 0x 0)x21(2log 0x 01)x21(log 0x 01)x21(log 0x 2 2 2 2 0,25 Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 2 1 x 4 1 hoặc x < 0. 0,25 Trang 5 III TÝnh tÝch ph©n 1 ®iÓm e 1 2 e 1 xdxlnx3dx xln1x xln I +) TÝnh e dx xx x I 1 1 ln1 ln . §Æt dx x 1 tdt2;xln1txln1t 2 §æi cËn: 2tex;1t1x 0,25 3 222 t 3 t 2dt1t2tdt2. t 1t I 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0,25 +) TÝnh dxxlnxI e 1 2 2 . §Æt 3 x v x dx du dxxdv xlnu 32 0,25 e 3 3 3 3 3 3 e 2 e 2 1 1 1 x 1 e 1 x e e 1 2e 1 I .ln x x dx . 3 3 3 3 3 3 9 9 9 0,25 21 I3II 3 e2225 3 0,25 IV TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp 1 ®iÓm Theo ®Þnh lÝ c«sin ta cã:  2 2 2 2 2 0 2 SB SA AB 2SA.AB.cosSAB 3a a 2.a 3.a.cos30 a Suy ra aSB . T-¬ng tù ta còng cã SC = a. 0,25 S A B C M N Trang 6 Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB SA, MC SA. Suy ra SA (MBC). Ta có MBCMBCMBCMBC.AMBC.SABC.S S.SA 3 1 S.SA 3 1 S.MA 3 1 VVV 0,25 Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh t-ơng ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN BC. T-ơng tự ta cũng có MN SA. 16 a3 2 3a 4 a aAMBNABAMANMN 2 2 2 2222222 4 3a MN . 0,25 Do đó 16 a 2 a . 4 3a .3a 6 1 BC.MN 2 1 .SA 3 1 V 3 ABC.S 0,25 V Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 điểm áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số d-ơng ta có zyx 9 z 1 y 1 x 1 9 xyz 3 xyz3 z 1 y 1 x 1 )zyx( 3 3 (*) áp dụng (*) ta có 333333 a3cc3bb3a 9 a3c 1 c3b 1 b3a 1 P 0,25 áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số d-ơng ta có 3 3 3 a 3b 1 1 1 a 3b 1.1 a 3b 2 33 b 3c 1 1 1 b 3c 1.1 b 3c 2 33 c 3a 1 1 1 c 3a 1.1 c 3a 2 33 0,25 Suy ra 3 3 3 1 a 3b b 3c c 3a 4 a b c 6 3 13 4. 6 3 34 Do đó 3P 0,25 Dấu = xảy ra 3 a b c 1 a b c 4 4 a 3b b 3c c 3a 1 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 4/1cba 0,25 VIa. 1 Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng 1 điểm Trang 7 Cách 1: d 1 có vectơ chỉ ph-ơng )1;2(a 1 ; d 2 có vectơ chỉ ph-ơng )6;3(a 2 Ta có: 06.13.2a.a 21 nên 21 dd và d 1 cắt d 2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đ-ờng thẳng đi qua P( 2; -1) có ph-ơng trình: 0BA2ByAx0)1y(B)2x(A:d 0,25 d cắt d 1 , d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với d 1 ( hoặc d 2 ) một góc 45 0 A3B B3A 0B3AB8A345cos )1(2BA BA2 220 2222 0,25 * Nếu A = 3B ta có đ-ờng thẳng 05yx3:d 0,25 * Nếu B = -3A ta có đ-ờng thẳng 05y3x:d Vậy qua P có hai đ-ờng thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. 05yx3:d 05y3x:d 0,25 Cách 2: Gọi d là đ-ờng thẳng cần tìm, khi đó d song song với đ-ờng phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của d 1 , d 2 của tam giác đã cho. Các đ-ờng phân giác của góc tạo bởi d 1 , d 2 có ph-ơng trình )( 08y3x9 )( 022y9x3 7y6x35yx23 63 7y6x3 )1(2 5yx2 2 1 2222 0,25 +) Nếu d // 1 thì d có ph-ơng trình 0cy9x3 . Do P d nên 05y3x:d15c0c96 0,25 +) Nếu d // 2 thì d có ph-ơng trình 0cy3x9 . Do P d nên 05yx3:d15c0c318 0,25 Vậy qua P có hai đ-ờng thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. 05yx3:d 05y3x:d 0,25 VIa. 2 Xác định tâm và bán kính của đ-ờng tròn 1 điểm Dễ thấy A ( 1; -1; 0) * Gi sử phơng trình mặt cầu ( S) đi qua A, B, C, D l: 0,25 0dcba,0dcz2by2ax2zyx 222222 Vì SD,C,B,'A nên ta có hệ: 1d 1c 1b 2 5 a 021dc4b2a8 029dc4b6a8 014dc4b6a2 02db2a2 Vậy mặt cầu ( S) có ph-ơng trình: 01225 222 zyxzyx 0,25 Trang 8 (S) có tâm 1;1; 2 5 I , bán kính 2 29 R +) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đ-ờng tròn ( C) +) Gọi ( d) là đ-ờng thẳng đi qua I và vuông góc với (P). (d) có vectơ chỉ ph-ơng là: 1;1;1n Suy ra ph-ơng trình của d: t1;t1;t 2 5 H t1z t1y t2/5x Do )P(dH nên: 6 5 t 2 5 t302t1t1t 2 5 6 1 ; 6 1 ; 3 5 H 0,25 6 35 36 75 IH , (C) có bán kính 6 186 6 31 36 75 4 29 IHRr 22 0,25 VII a. Tìm số nguyên d-ơng n biết 1 điểm * Xét 1n21n2 1n2 kk 1n2 k22 1n2 1 1n2 0 1n2 1n2 xC xC)1( xCxCC)x1( (1) * Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta có: n21n2 1n2 1kk 1n2 k2 1n2 1 1n2 n2 xC)1n2( xkC)1( xC2C)x1)(1n2( (2) 0,25 Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có: 1n21n2 1n2 2kk 1n2 k3 1n2 2 1n2 1n2 xC)1n2(n2 xC)1k(k)1( xC3C2)x1)(1n2(n2 0,25 Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 k k 2 k 2n 1 2n 1 2n 1 2 n 1 2 n 1 2n 1 2n(2n 1) 2C 3.2.2C ( 1) k(k 1)2 C 2n(2n 1)2 C 0,25 Ph-ơng trình đã cho 100n020100nn240200)1n2(n2 2 0,25 VIb. 1 Viết ph-ơng trình chính tắc của E líp 1 điể m (H) có các tiêu điểm 0;5F;0;5F 21 . Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3), 0,25 Giả sử ph-ơng trình chính tắc của (E) có dạng: 1 b y a x 2 2 2 2 ( với a > b) (E) cũng có hai tiêu điểm 15ba0;5F;0;5F 222 21 0,25 2bab16a9E3;4M 2222 Từ (1) và (2) ta có hệ: 15b 40a bab16a9 b5a 2 2 2222 222 0,25 Trang 9 Vậy ph-ơng trình chính tắc của (E) là: 1 15 y 40 x 22 0,25 VIb. 2 Tìm điểm M thuộc để AM ngắn nhất 1 điểm Chuyển ph-ơng trình d về dạng tham số ta đ-ợc: 3 1 32 tz ty tx Gọi I là giao điểm của (d) và (P) 3;1;32 tttI Do 4;0;1105)3()1(232 IttttPI 0,25 * (d) có vectơ chỉ ph-ơng là )1;1;2(a , mp( P) có vectơ pháp tuyến là 1;2;1n 3;3;3n,a . Gọi u là vectơ chỉ ph-ơng của 1;1;1u 0,25 u4z uy u1x : . Vì u4;u;u1MM , u;3u;u1AM 0,25 AM ngắn nhất AM 0u.1)3u(1)u1(10u.AMuAM 3 4 u . Vậy 3 16 ; 3 4 ; 3 7 M 0,25 VIIb Giải hệ ph-ơng trình: 1 điểm )2(1xxy1x3 )1( 2.322 2 x3y2y1x3 Ph-ơng trình (2) 0)13( 1 113 01 2 yxx x xxyx x xy x x yx x x 31 1 0 013 0 1 0,25 * Với x = 0 thay vào (1) 11 8 log 11 8 22.12282.322 2 2 y yyyyy 0,25 Trang 10 * Với xy x 31 1 thay y = 1 3x vào (1) ta đ-ợc: 2.322 1313 xx Đặt 13 2 x t Vì 1x nên 4 1 t )83(log2y 183log 3 1 x 83t iạlo83t 01t6t6 t 1 t)3( 2 2 2 0,25 Vậy hệ ph-ơng trình đã cho có nghiệm 11 8 logy 0x 2 và )83(log2y 183log 3 1 x 2 2 0,25 . 0cy9x3 . Do P d nên 05y3x :d1 5c0c96 0,25 +) Nếu d // 2 thì d có ph-ơng trình 0cy3x9 . Do P d nên 05yx3 :d1 5c0c318 0,25 Vậy qua P có hai đ-ờng thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. 05yx3 :d 05y3x :d . e 1 2 e 1 xdxlnx3dx xln1x xln I +) TÝnh e dx xx x I 1 1 ln1 ln . §Æt dx x 1 tdt2;xln1txln1t 2 §æi cËn: 2tex;1t1x 0,25 3 222 t 3 t 2dt1t2tdt2. t 1t I 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0,25 +) TÝnh dxxlnxI e 1 2 2 )1;2(a 1 ; d 2 có vectơ chỉ ph-ơng )6;3(a 2 Ta có: 06.13.2a.a 21 nên 21 dd và d 1 cắt d 2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đ-ờng thẳng đi qua P( 2; -1) có ph-ơng trình: 0BA2ByAx0)1y(B)2x(A :d