Phần Chuyên đề 11: CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN CÓ TRỤC QUAY CỐ ĐỊNH A TÓM TẮT KIẾN THỨC I Momen lực - Tác dụng làm quay lực: Một lực có tác dụng làm quay vật quanh trục lực có giá khơng qua trục khơng song song với trục - Momen lực: Momen lực trục đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay vật quanh trục đo tích độ lớn lực với tay đòn lực M = Fd (11.1) (d: tay đòn lực khoảng cách từ giá lực đến trục quay) II Điều kiện cân vật rắn có trục quay cố định - Quy tắc momen lực - Tổng momen lực có tác dụng làm vật quay theo chiều kim đồng hồ tổng momen lực có tác dụng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ (11.2) ∑M = ∑M ( ∑ M tổng momen lực có tác dụng làm vật quay theo chiều kim đồng hồ; ∑ M th ng th ng tổng momen lực có tác dụng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ) - Điều kiện cân gọi quy tắc momen lực B NHỮNG CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP  VỀ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG - Momen lực trục quay khác khác phụ thuộc vào tay đòn lực (M = Fd) - Chú ý sử dụng tính chất tam giác đồng dạng, cơng thức tính cạnh, góc tam giác, định lý hàm sin, cosin,… - Quy tắc momen lực áp dụng trục quay tức thời (được xem trục quay cố định thời điểm ta xét)  VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Với dạng tập momen lực Phương pháp giải là: - ur Sử dụng công thức: M = Fd (d tay đòn lực, khoảng cách từ giá lực F đến trục quay) - Chú ý: ur ur + Khi lực F có giá qua trục quay momen lực F trục quay là: M uFur = + Trường hợp vật chịu tác dụng nhiều lực tổng momen lực trục quay là: ∑ M =∑ M + ∑ M ( ∑ M tổng momen lực có tác dụng làm vật quay theo chiều kim đồng hồ; ∑ M th ng th momen lực có tác dụng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ; ∑M th ∑M ng ng tổng trái dấu nhau) Với dạng tập cân vật rắn có trục quay cố định Phương pháp giải là: - Xác định lực tác dụng lên vật - Xác định trục quay thích hợp để việc vận dụng quy tắc momen đơn giản (nên lựa chọn trục quay qua giá nhiều lực thành phần qua giá lực mà ta chưa biết độ lớn, lúc momen lực trục quay ta chọn 0) - Sử dụng quy tắc momen lực: ∑M th = ∑ M ng C CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG 11.1 Một nhẹ gắn vào sàn B Tác dụng lên đầu A lực kéo F = 100 N theo phương ngang Thanh giữ cân nhờ dây AC Áp dụng quy tắc momen tìm lực căng dây Biết α = 30° Bài giải - ur ur ur ur Các lực tác dụng vào thanh: trọng lực P , phản lực Q , lực căng dây T , lực kéo F Áp dụng quy tắc momen lực trục quay qua B ta được: ur ur M uFur = M Tur (vì P Q có giá qua trục quay nên M uPr = M Qur = ) ⇒ F AB = T AB sin α ⇒ T = ⇒T = F sin α 100 100 = = 200 N sin 30° Vậy: Lực căng dây T = 200 N uu r uur 11.2 Thanh nhẹ OB quay quanh O Tác dụng lên lực F1 , F2 đặt A B Biết uu r uu r F1= 20N,OA = 10cm,AB = 40cm Thanh cân bằng, F1 F2 hợp với AB góc α , β Tìm F2 : a) α = β = 90° b) α = 30°, β = 90° c) α = 30°, β = 60° - Bài giải uu r uu r ur Các lực tác dụng lên OB: lực F1 , F2 đặt A B; phản lực Q đặt O (bỏ qua trọng lượng thanh) - ur Áp dụng quy tắc momen lực cho trục quay O, ta có: M uFur1 = M uFu2r (vì Q có giá qua trục quay O nên M Qur = ) a) Khi α = β = 90° Từ M uFur1 = M uFu2r ⇒ F1.OA = F2 OB ⇒ F2 = OA OA 10 F1 = F1 = 20 = N OB OA + OB 10 + 40 Vậy: Độ lớn lực F2 = N b) Khi α = 30°, β = 90° Từ M uFur1 = M uFu2r ⇒ F1.OA sin α = F2 OB 10 OA.sin α OA.sin 30° 20 = N ⇒ F2 = F1 = F1 = OB OA + OB 10 + 40 Vậy: Độ lớn lực F2 = N c) Khi α = 30°, β = 60° Từ M uFur1 = M uFu2r ⇒ F1.OA sin α = F2 OB.sin β OA.sin α OA.sin 30° ⇒ F2 = F1 = F = OB.sin β ( OA + OB ) sin 60° 10 ( 10 + 40 ) 20 = 2,3 N Vậy: Độ lớn lực F2 = 2,3 N ur 11.3 Bánh xe có bán kính R, khối lượng m Tìm lực kéo F nằm ngang đặt trục để bánh vượt qua bậc có độ cao h Bỏ qua ma sát Bài giải - ur ur ur Các lực tác dụng lên bánh xe: trọng lực P , lực kéo F , phản lực Q đặt A - Áp dụng quy tắc momen lực cho trục quay qua A: + Khi bánh xe chưa vượt qua A: M uPr = M Fuur ur (vì Q có giá qua trục quay A nên M Qur = ) + Để bánh xe vượt qua A: M uPr < M uFur ⇒ P R − ( R − h ) < F ( R − h ) ⇒F> P R2 − ( R − h ) R−h = mg Rh − h R−h ur Vậy : Để bánh vượt qua bậc có độ cao h lực kéo F phải có độ lớn mg Rh − h F> R−h 11.4 Tìm lực F cần để làm quay vật hình hộp đồng chất m = 10 kg quanh O hình vẽ Biết a = 50 cm, b = 100 cm Bài giải - ur ur ur Các lực tác dụng lên bánh xe: trọng lực P , lực F ; phản lực Q O ur Để vật quay quanh trục quay qua O: M uFur > M uPr ( Q có giá qua O nên M Qur = ) ⇒ Fb > P ⇒ F > P a a a 50 = mg = 10.10 = 25 N 2b 2b 2.100 ur Vậy: Để vật quay quanh trục quay qua O lực F phải có độ lớn F > 25 N 11.5 Thanh gỗ đồng chất AB, khối lượng 20 kg quay quanh ur Ban đầu nằm ngang sàn Tác dụng lên B lực nâng F (ln vng góc với AB) Tìm F để có thể: a) Nâng AB khỏi sàn b) Giữ AB nghiêng góc 30° so với mặt sàn Bài giải ur ur Các lực tác dụng lên bánh xe: trọng lực P , lực nâng F , ur phản lực Q A a) Để nâng AB khỏi sàn: Để nâng AB lên khỏi sàn thì: ur M uFur ≥ M uPr ( Q có giá qua A nên M Qur = ) A ⇒ F AB ≥ P ⇒F≥ AB P mg 20.10 = = = 100 N 2 ur Vậy: Để nâng AB khỏi sàn độ lớn lực nâng F phải F ≥ 100 N b) Để giữ AB nghiêng góc 30° so với mặt sàn thì: M uFur = M uPr ⇒ F AB = P AB cos 30° P cos 30° mg cos 30° ⇒F= = = 2 20.10 ≈ 86, N ur Vậy: Để giữ AB nghiêng góc 30° so với mặt sàn độ lớn lực nâng F phải F ≈ 86, N 11.6 Thanh AB ( m = 100 g) quay quanh A bố trí hình: m = 500 g; m2 = 150 g; BC = 20 cm Tìm chiều dài AB, biết cân Bài giải - - ur Các lực tác dụng lên AB; trọng lực P , lực căng dây ur uu r ur T1 , T2 , phản lực Q A (T1 = P1; T2 = P2 Áp dụng quy tắc momen lực cho trục quay qua A, ta được: ur M Tuur = M uPr + M Puur (vì Q có giá qua trục quay A nên M Qur = ) ⇒ T2 AB = P AB AB + P1 AC = P + P1 ( AB − BC ) 2 P  ⇒ P2 AB =  + P1 ÷ AB − P1.BC 2  ⇒ AB = P1 0,5.10 BC = 20 = 25 P 0,1.10 N P1 + − P2 0,5.10 + − 0,15.10 2 Vậy: Chiều dài AB AB = 25 cm 11.7 Treo bốn vật nặng cách vào đồng chất (dài m; nặng kg) hai vật ngồi nằm hai đầu Vật nặng bên trái có khối lượng m1 = kg, vật lớn vật trước kg Cần phải treo điểm cách đầu trái khoảng để cân bằng? Bài giải ur Gọi I điểm treo vật để cân Các lực tác dụng vào là: trọng lực P ; lực căng dây ur uu r uur uu r uu r T , T1 , T2 , T3 , T4 (T1 = P1 , T2 = P2 , T3 = P3 , T4 = P4 ) Xét trục quay qua A (đầu treo vật có khối lượng m1) Khi cân bằng, ta có: T = P + T1 + T2 + T3 + T4 = (m+ m1+ m2 + m3 + m4 )g (1) ⇒T = ( + + + + ) 10 = 200 N Và M Tur = M uPr + M Tuu2r + M Tuur3 + M Tuu4r ⇒ T AI = P AB AB AB + T2 + T3 + T4 AB 3 ⇒ T AI = P AB AB AB + P2 + P3 + P4 AB 3 (2)  P P 2P  ⇒ T AI =  + + + P4 ÷ AB 2   P P2 P3   6.10 3.10 2.4.10  + P4 ÷ AB  + + + 5.10 ÷.3  + + 3 3   ⇒ AI =  = T 200 ⇒ AI = 1, 75 m Vậy: Phải treo điểm I, cách đầu trái khoảng AI = 1,75 m để cân 11.8 Thanh đồng chất đặt bàn ngang, nhô chiều dài khỏi bàn Treo vào đầu nhô vật trọng lượng P’ Khi P’ = 300 N bắt đầu nghiêng cân Tìm trọng lượng Bài giải - Khi bắt đầu cân bằng, lực tác dụng vào ur ur thanh: trọng lực P , phản lực Q mép bàn, lực căng ur dây T (T = P’) - Áp dụng quy tắc momen lực trục quay qua O (mép bàn), ta có: M uPr = M Tur ⇒ P AB AB = P ' 4 ⇒ P = P ' = 300 N Vậy: Trọng lượng P = 300 N 11.9 Dùng cân địn để cân vật Vì cánh tay địn cân khơng thật nên đặt vật đĩa cân bên ta cân 40 g đặt vật sang đĩa cân ta cân 44,1 g Tính khối lượng vật Bài giải Gọi “đĩa cân bên này” đĩa cân 1, “đĩa cân bên kia” đĩa cân 2; Px trọng lượng vật cần cân Ta có: - Khi cân lần 1: Pl 1 = Px l2 ⇒ m1l1 = mx l2 (1) - Khi cân lần 2: Px l1 = P2l2 ⇒ mxl1 = m2l2 (2) - Lấy (1) chia cho (2) ta được: m1 mx = ⇒ mx = m1m2 mx m2 ⇒ mx = 40.44,1 = 42 g Vậy: Khối lượng vật mx = 42 g 11.10 Bán cầu đồng chất khối lượng 100 g Trên mép bán cầu đặt vật nhỏ khối lượng 7,5 g Hỏi mặt phẳng bán cầu nghiêng góc α có cân biết tọng tâm bán cầu cách mặt phẳng bán cầu đoạn 3R (R bán kính mặt bán cầu) Bài giải - - ur Các lực tác dụng lên bán cầu: trọng lực P (bán cầu), trọng lực ur ur p (vật nhỏ), phản lực Q (tại điểm tiếp xúc A) Áp dụng quy tắc momen lực trục quay qua O: ur M uPr = M upr (vì Q có giá qua trục quay A nên M Qur = ) ⇒ P.OG sin α = pR cos α ⇒ Mg 3R sin α = mgR cos α Vậy: Khi có cân bằng, mặt phẳng bán cầu nghiêng góc α ≈ 11° 11.11 Gió thổi vào xe theo hướng vng góc với thành bên xe với vận tốc V Xe có khối lượng m = 104 kg , chiều cao 2b = 2,4 m, chiều ngang 2a = m, chiều dài l = m Áp suất gió tính cơng thức p = ρV với ρ = 1,3 kg / m3 khối lượng riêng khơng khí Tìm V để xe bị lật ngã - Bài giải ur ur ur Các lực tác dụng lên xe: trọng lực P , phản lực Q , lực tác dụng F gió Khi xe bắt đầu lật, theo quy tắc momen lực trục qua hai bánh xe, ta có: ur M uPr = M uFur (vì Q có giá qua trục quay nên M Qur = ) ⇒ Pa = Fb ⇒ F = - a a P = mg b b Vì F = pS = ρ SV = ρ 2blV = ρV 2bl Suy ρV bl = ⇒V = a mg b amg 1.10000.10 = = 58 m / s b ρ l 1, 2.1,3.8 Vậy: Vận tốc gió để xe bị lật ngã V ≥ 58 m / s 11.12 Thanh đồng chất AB quay quanh lề A Hai vật có khối lượng m1 = 1kg; m2 = 2kg treo vào B hai sợi dây hình vẽ (C rịng rọc nhẹ) Biết AB = AC, khối lượng kg Tính α hệ cân Bài giải - - ur Các lực tác dụng lên gồm: trọng lực P ; lực căng ur uu r ur dây T1 , T2 ; phản lực Q lề A Áp dụng quy tắc momen lực trục quay qua A ta được: ur M Tuur = M uPr + M Tuur (vì Q có giá qua trục quay A nên M Qur = ) ⇒ P2 AB cos ⇒ m2 g cos α AB = P cos β + P1 AB cos β 2 α mg = cos β + m1 g cos β 2 ⇒ cos ⇒ cos α = cos β + cos β = cos β = −2 cos α α = − cos α = cos ( π − α ) α  2π  π − α = = 120° α = ⇒ ⇒ π − α = − α α = 2π  Vậy: Khi hệ cân α = 120° ( α < 2π ) 11.13 Thanh BC nhẹ, gắn vào tường lề C Đầu B treo vật nặng có khối lượng m = kg giữ cân nhờ dây treo AB Cho AB = 30 cm, AC = 40 cm Xác định lực tác dụng lên BC Bài giải - ur uu r Các lực tác dụng lên BC: lực căng dây T1 , T2 (T2 = P); ur phản lực Q C (thanh nhẹ nên bỏ qua trọng lượng thanh) - Điều kiện cân BC là: ur uu r ur r T1 + T2 + Q = (1) M Tuur = M Tuur (đối với trục quay qua C) ⇒ T1 AC = T2 AB ⇒ T1 = T2 - (2) AB AB 30 = mg = 4.10 = 30 N AC AC 40 Chiếu (1) lên tai Ox nằm ngang, ta được: −T1 + Q sin α = ⇒ Q = Với sin α = AB = BC T1 sin α AB AB + AC 2 = 30 30 + 40 2 = 30 ⇒Q= = 50 N 5 Vậy: Độ lớn lực tác dụng lên BC T1 = 30 N, T2 = P = 40 N Q = 50 N 11.14 Một đèn khối lượng m = kg treo vào tường dây µ = α = 30° BC AB Thanh AB gắn vào tường lề A, C Tìm lực tác dụng lên AB, nếu: a) Bỏ qua khối lượng b) Khối lượng AB kg 2 Khi tăng góc α lực căng dây BC tăng hay giảm? Bài giải Các lực tác dụng lên AB ur uu r ur a) Bỏ qua khối lượng thanh: Các lực tác dụng lên thanh: lực căng dây T , T ′ (T = P) ; phản lực Q lề A - Thanh nằm yên nên: ur uu r ur r (1) T +T′+ Q = - Chiếu (1) lên hai trục Ox Oy hệ tọa độ Oxy ta được: −T ′ sin 30° + Q = T ′cos30° − T = Từ (1’’) suy ra: T ′ = ⇒ T′ = (1’) (1’’) T P mg = = cos30° cos30° cos30° 4.10 ≈ 46, N Q = T ′ sin 30° = 46, = 23,1 N 2 Vậy: Khi bỏ qua khối lượng lực tác dụng lên T = P = 40 N, T’ = 46,2 N Q = 23,1 N b) Khi khối lượng AB m’ = kg: Các lực tác dụng lên thanh: lực căng dây ur uu r ur uu r T , T ′ (T = P) ; phản lực Q lề A; trọng lực P′ - Thanh nằm yên nên: ur uu r ur uu r r T + T ′ + Q + P′ = (2) Và M Tuur′ = M Tur + M uPur′ (3) ⇒ T ′ AB.cos30° = T AB + P′ AB P′   = AB  P + ÷ 2  P′  m + m′  g  +  10  ÷  ÷ 2 2 = ⇒ T′ = = ≈ 57, N cos30° cos30° P+ - Chiếu (2) lên hai trục Ox Oy hệ tọa độ Oxy ta được: Qx = T ′ sin 30° = 57, = 28,85 N Và Qy = P + P′ − T ′ cos 30° = mg + m′g − T ′.cos30° ⇒ Qy = 4.10 + 2.10 − 57, ≈ 10 N ⇒ Q = Qx2 + Qy2 = 28,852 + 102 ≈ 30,5 N Vậy: Khi khối lượng m’ = kg lực tác dụng lên T = P = 40N;T ' = 57,7N; Q = 30,5N m′   m + ÷g  Khi tăng góc α : Từ  suy α tăng α giảm nên T’ tăng T′ =  cosα 11.15 Thanh AB khối lượng m = 1,5 kg; đầu B dựng vào góc tường, đầu A nối với dây treo AC, góc α = 45° Tìm lực tác dụng lên Bài giải - - ur Các lực tác dụng lên thanh: lực căng dây T ; phản lực uu r uur ur Q1 , Q2 điểm tiếp xúc; trọng lực P Thanh nằm cân nên: ur uu r uur ur r T + Q1 + Q2 + P = (1) Và M Tur = M uPr (trục quay qua điểm tiếp xúc) (2) ⇒ T AB.sin 45° = P - AB P 1,5.10 cos 45° ⇒ T = = = 7,5 N 2 tan 45° 2.1 Chiếu (1) lên hai trục Ox Oy hệ tọa độ Oxy ta được: Q1 = P = mg = 1,5.10 = 15N Q2 = T = 7,5N Vậy : Các lực tác dụng lên : T = 7,5N; Q1 = 15N Q2 = 7,5N 11.16 Thanh AB khối lượng m1 = 10kg, chiều dài l = 3m gắn vào tường lề A Đầu B treo vật nặng m2 = 5kg Thanh giữ cân nằm ngang nhờ dây treo CD; góc α = 45° Tìm lực tác dụng lên AB biết AC = 2m Bài giải - ur uu r ur ur Các lực tác dụng lên thanh: lực căng dây T , T ′ (T' = P2 ); trọng lực P1 ; phản lực Q trục quay A - Thanh nằm cân nên: ur uu r ur ur r T + T ′ + P1 + Q = (1) Và M Tur = M uPur1 + M Tuur′ (trục quay qua A) (2) ⇒ T AC.sin α = P1 ⇒T = T= - AB + P2 AB AB  P1   10.10  = + 5.10 ÷  + P2 ÷ = AC.sin α   2.sin45°    10.10  + 5.10 ÷ ≈ 212,13 N  2  2 Chiếu (1) lên trục Ox ta được: Q = T cos α = 212,13.cos 45° = 212,13 = 150 N Vây : Các lực tác dụng lên AB P1 = 100N;T = 212,13N;T ' = P2 = 50N Q = 150N 11.17 Thanh đồng chất AB có m = 2kg , gắn vào tường nhờ lề A giữ nghiêng góc 60° với tường nhờ dây BC tạo với AB góc 30° Xác định độ lớn hướng lực đàn hồi lề đặt lên AB Bài giải - - ur ur Các lực tác dụng vào AB: trọng lực P , lực căng dây T , phản lực ur (lực đàn hồi) Q lề A ur ur ur r Thanh cân nên: P + T + Q = (1) - Vì ·ACB + ·ABC = 60° ⇒ ·ACB = ·ABC = 30° ur ⇒ tam giác ABC cân A ⇒ phản lực Q có giá vng góc với CB qua trung điểm I CB - Tam giác lực ACI cho: - Q = P sin 30° = mg sin 30° = 2.10 = 10 N · Và β = CAI = 90° − 30° = 60° Vậy: Lực đàn hồi lề đặt lên AB có độ lớn Q = 10 N có hướng hợp tường góc β = 60° với ... có tác dụng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ; ∑M th ∑M ng ng tổng trái dấu nhau) Với dạng tập cân vật rắn có trục quay cố định Phương pháp giải là: - Xác định lực tác dụng lên vật - Xác định. .. cân bên ta cân 40 g đặt vật sang đĩa cân ta cân 44,1 g Tính khối lượng vật Bài giải Gọi “đĩa cân bên này” đĩa cân 1, “đĩa cân bên kia” đĩa cân 2; Px trọng lượng vật cần cân Ta có: - Khi cân lần... lực F có giá qua trục quay momen lực F trục quay là: M uFur = + Trường hợp vật chịu tác dụng nhiều lực tổng momen lực trục quay là: ∑ M =∑ M + ∑ M ( ∑ M tổng momen lực có tác dụng làm vật quay