www.MATHVN.com www.MATHVN.com SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Môn: Toán - Khối A, A1,B. www.MATHVN.com Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/ 12/ 2012. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm). Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số 21 1 x y x    (C) 1. Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. T?m các giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên: 22 2 (2) 10 2450 yxy xxyy m       Câu II (2,0 điểm). 1. Giải phương tr?nh: 2 2cos3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3 cos (2 ) 4 xx x x   2. Giải phương tr?nh: x-2 + 4-x = 2x 2 − 5x − 1 Câu III (1,0 điểm). Tìm các giá trị của tham số m để bất phương tr?nh: 2 (2 ) ( 2 2 1) 0xxmxx  nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn 0; 1 3      . Câu IV (1,0 điểm). Trên mp (P) cho đường tr?n (T) đường kính AB bằng 2R. S là một điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A. Đặt SA = h. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB cắt SB tại K. C là một điểm nằm trên đường tr?n (T) sao cho  ,(0 ) 2 BAC    . SC cắt mp (Q) tại H. Tính thể tích tứ diện SAHK theo h, R và  . Câu V (1,0 điểm). Cho các số dương ,, xy z thoả m?n 3xyz   . T?m giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 222 x yz P x yyzzx    II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần( Phần A hoặc Phần B) A.Theo chương tr?nh chuẩn. Câu VIa (2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương tr?nh đường cao AH và trung tuyến AM lần lượt là: 2130xy và 13 6 9 0xy . Biết tâm đường tr?n ngoại tiếp tam giác ABC là I(-5; 1). T?m toạ độ các đỉnh A, B, C. 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tr?n (C): 22 (4) 25xy   và M(1; - 1). Viết phương tr?nh đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho MA = 3MB. Câu VIIa (1,0 điểm). Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3 . B.Theo chương tr?nh nâng cao. Câu VIb (2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho h?nh chữ nhật ABCD có M là trung điểm của BC, đỉnh A thuộc đường thẳng d: 20xy , phương tr?nh đường thẳng DM: 360xy   và đỉnh C(3; - 3). T?m toạ độ các đỉnh A, B, D biết D có hoành độ âm. 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Elip (E) có phương tr?nh chính tắc là: 22 1 16 9 xy   và hai điểm A(4;-3), B(- 4; 3). T?m toạ độ điểm C thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. www.MATHVN.com www.MATHVN.com Câu VIIb (1,0 điểm). Tính tổng 0 11 1 10 10 1 11 0 20 12 20 12 20 12 20 12 SCC CC CC CC . …………….Hết………… ( Đề thi gồm có 01 trang) SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Môn: Toán - Khối A, A1,B. Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/ 12/ 2012. Câu ? Đáp án Điểm I 1 Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1,0 Tập xác định D = R\1 Sự biến thiên: -Chiều biến thiên: 2 3 '0, (1) y xD x    . Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; 1) và ( 1 ; + ). - Cực trị: Hàm số không có cực trị. 0.25 - Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận: 21 21 lim 2 ; lim 2 11 xx xx x x      . Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang. 11 21 21 lim ; lim 11 xx xx x x       . Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng. 0,25 -Bảng biến thiên: x - 1 + y’ - - y 2 +  -  2 0,25 Đồ thị: - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểmhai tiệm cận I( 1; 2). 0,25 2 y I www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 T?m các giá trị của m để hệ phương tr?nh sau có đúng 4 nghiệm nguyên 22 2 (2) 10 (1) 2450(2) yxy xxyy m       1,0 Nhận thấy x = 1 không thỏa m?n phương tr?nh (1) dù y lấy bất k? giá trị nào Suy ra (1) 21 (1) 21 1 x xyx y x      Phương tr?nh (2) 222 (1)( 2) x ym   là phương tr?nh đường tr?n (T) có tâm I(1;2) bán kính m với mọi m khác 0 Vậy hệ phương tr?nh đ? cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đồ thị (C) ở câu 1 và đường tr?n (T) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có tọa độ nguyên 0,25 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 15 -10 -5 5 10 15 1 -1 5 4 1 3 -2 I y x o D C B A Đồ thị (C) chỉ đi qua đúng 4 điểm có tọa độ nguyên là A(1;5), B(4; 3), C(0,-1)và D(-2; 1) Từng cặp AvaC, B và D đối xứng nhau qua I(1;2) 0,5 Hệ đ? cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đường tr?n (T) phải đi qua 4 điểm A, B, C, D khi và chỉ khi (T) đi qua A khi và chỉ khi 22 10 10Rm m 0,25 II 1 . Giải phương tr?nh: 2 2cos3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3 cos (2 ) 4 xx x x   1,0 O 1 x www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 2cos3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3cos (2 ) 4 2cos3 cos 3 3sin 2 3 1 cos(4 ) 2 2cos3 cos 3 3sin 2 3 3sin 4 2cos3 cos 3(sin 4 sin 2 ) 0 2cos3 cos 2 3 sin 3 cos 0 2cos (cos3 3 sin3 ) 0 cos 0 xx x x xx x x xx x x xx x x xx xx x x x x              cos 0 2 () 3 cos3 3 sin 3 0 tan3 3 18 3 x xk kZ xx x xk                           Vậy nghiệm của phương tr?nh là ;() 2183 x kx k kZ        0,5 0,5 2 Giải phương tr?nh: x-2 + 4-x = 2x 2 − 5x − 1 (1) 1,0 2 (1) 2 1 4 1 2 5 3 x xxx  33 1 1 (3)(21) (3)( 21)0 2141 2141 30 11 21(2) 21 4 1 xx xx x x xx xx x x xx                  0,5 * 30 3xx *Xét phương tr?nh (2) ĐK 24x VP 5 VT đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [2;4] bằng 1 1 21   khi x = 2 nên phương tr?nh (2) vô nghiệm Vậy phương tr?nh có nghiệm duy nhất x = 3 0,25 0,25 III T?m các giá trị của tham số m để bất phương tr?nh: 2 (2 ) ( 2 2 1) 0xxmxx   1.0 Đặt 2 22txx . Lập BBT của hàm 2 22yx x   với x thuôc 0;1 3    ta có t thuộc đoạn  1; 2 0,25 Bpt trở thành 2 2 2 (1) 2 (1) 1 t mt t m t    (do t+1>0) Bpt đ? cho nghiệm đúng với mọi x thuôc 0;1 3      khi và chỉ Bpt (1) nghiệm đúng với moi t thuộc đoạn  1; 2 0,25 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Xét  2 2 () , 1;2 1 t ft t t    2 1 '( ) 1 0, (1) f tt t     t 1 2 f’(t) + f(t) 2 3 1 2  0,25 Từ BBT ta có Bpt (1) nghiệm đúng với moi t thuộc đoạn   1; 2 khi 1 2 m   Vậy với 1 2 m   thoả m?n yêu cầu bài toán. 0,25 IV Trên mp (P) cho đường tr?n (T) đường kính AB bằng 2R. S là một điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A. Đặt SA = h. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB cắt SB tại K. C là một điểm nằm trên đường tr?n (T) sao cho  ,(0 ) 2 BAC    . SC cắt mp (Q) tại H. Tính thể tích tứ diện SAHK theo h, R và  . 1.0 O  H K C B S A www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chứng minh AH  SC. Ta có: () BC AC B C SAC BC AH BC SA        (1) Lại có: ()mp Q SB SB AH (2) Từ (1) và (2) suy ra () A H SBC AH SC Suy ra 2 SA SH SC SK SB 4 22 22 . . . SAHK SABC V SA SH SK SH SK SH SC SK SB SA VSASCSBSCSBSCSBSCSB   0,25 0,25 2 2 22 22 22 2 11 sin2 .sinos. 36 3 4os, 4 SABC Rh VdtABCSHABcSA SC h R c SB h R         0,25 25 22222 sin 2 3( 4 )( 4 os ) SAHK Rh V hRhRc     0,25 V T?m giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 222 x yz P x yyzzx    1,0 222 2 2 2 222 2 2 2 222 222 ()()() () x yz xy yz zx Pxyz x yyzzx xy yz zx xy yz zx Pxyz xy yz zx            0,25 Ta có 22 2 2 22 22 22 2 2 2 ; 22 22 ()( ) 222 xy xy y x xy yx xy yx zy y zyz zxzxxz yz zx zy xz zy yx xz Pxyz             0,25 Mặt khác 111 ;; 22 22 22 4 31 91 ()( )( ) 44 44 x xy y y yz z z xz x yx y zy z xz x xyzxyyzxz Pxyz P x y z xy yz zx xy yz zx          0,25 www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2222 () 2( )3( ) 91 3 3.3 44 2 x yz x y z xyyzzx xyyzzx xy yz zx P             Dấu = xảy ra khi 222 ;; 1 1; 1; 1 1 1 3 xyyzzx x xyz y xyx z xyz                 Vậy GTNN của P là 3/2 khi x = y = z =1. 0,25 VIa 1 1.0 Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 2130 3 (3;8) 13 6 9 0 8 xy x A xy y         0,25 Ta có IM đi qua I(-5; 1) và song song với AH .Phương tr?nh IM là 270xy Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ 270 3 (3;5) 13 6 9 0 5 xy x M xy y         0,25 Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH. Phương tr?nh BC là 2110xy  Gọi B(b;11-2b). Ta có IB = IA 222 2 ( 5) (10 2 ) 85 6 8 0 4 b bbbb b           0,25 Với b = 2 suy ra B(2;7), C(4;3) Với b = 4 suy ra B(4;3), C(2,7) Vậy A( -3; -8), B(2;7), C(4;3) hoặc A( -3; -8), B(4;3), C(2;7) 0,25 2 1,0 Đường tr?n (C ) có tâm I(4;0), bán kính R=5. A B C H M I I A B H M www.MATHVN.com www.MATHVN.com Do IM <5 nên M nằm trong đường tr?n (C) Gọi H là h?nh chiếu của I trên AB, H là trung điểm của AB. Do MA= 3MB nên M là trung điểm của HB Xét hai tam giác vuông IHM và IHB ta có 222 22 222 2 2 10 5 425 5 IH HM IM IH HM HM IH HB IB IH HM IH                 0,5 Đường thẳng (d) đi qua M(1; - 1) có phương tr?nh 22 (1)(1)0( 0)ax by a b    22 22 2 3 (, ) 5 2 3 2 0 (2 )( 2) 0 2 ab ab d I d a ab b a b a b ab ab                  Với 2ba chon 1; 2ab . Phương tr?nh (d): x + 2y +1 = 0 Với 2ab chon 1; 2ba  . Phương tr?nh (d): 2x - y -3 = 0 Vậy phương tr?nh đường thẳng (d) là x + 2y +1 = 0 hoặc 2x - y -3 = 0 0,5 VIIa 1,0 Gọi số có 5 chữ số là (0)abcde a  . Do 3abcde  nên ()3abcde     Nếu 3abcd th? e = 0 hoặc e = 3 Nếu abcd chia 3 dư 1 th? e = 2 hoặc e = 5 Nếu abcd chia 3 dư 2 th? e = 1 hoặc e = 4 Như vậy từ một số có 4 chữ sô abcd (các chữ số được lấy từ tập A) sẽ tạo được 2 số tự nhiên có 5 chữ số thoả m?n yêu cầu bài toán Từ các chữ số của tập A lập được: 5.6.6.6 = 1080 số tự nhiên có 4 chữ số Nên từ các chữ số của tập A lập được: 2.1080 = 2160 sô chia hết cho 3 có 5 chữ số VII b 1 1,0 Do A thuộc d: 20xy   , gọi A (; 2)aa   . Ta có 3 4 2.6 2 (,)2(,) 3 10 10 ADM CDM a a S S d A DM d C DM a          Với 3(3;5)aA  , trường hợp này không thoả m?n v? A, C nằm cùng phía với đường thẳng DM. Với 3(3;1)aA   . Gọi I là tâm của h?nh chữ nhật, I là trung điểm của AC suy ra I(0;-1) 0,5 Điểm D thuộc DM: 360xy , gọi D(3d+6;d) (d < -2) A D C M B I www.MATHVN.com www.MATHVN.com 22 3 (3 6) ( 1) 13 3 4 5 d ID IA d d d d           Suy ra D(-3;-3), B(3;1) Vậy A(-3;1), D(-3;-3), B(3;1) 0,5 2 1,0 Gọi 0 (; ) o Cx y ta có 22 22 0 00 1 9 16 144 (1) 16 9 o xy xy   Phương tr?nh AB là: 3x +4y = 0 0,25 00 34 1 (, ) , .(, ) 52 ABC xy dCAB S ABdCAB    Do AB không đổi nên diện tích tam giác ABC lớn nhất khi d(C,AB) lớn nhất 0,25 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số ta có 222 00 0 00 (3 4 ) 2(9 16 ) 2.144 12 2 34 122 (,) 5 o xy x y xy dCAB       (Dấu = xảy ra khi 00 34 x y ) Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi 00 34 x y  0,25 Kết hợp với (1) ta có 00 22 00 00 00 3 22; 916 144 2 3 34 22; 2 xy xy xy xy                  Vậy toạ độ điểm C là 32 (2 2; ) 2 hoặc 32 (22; ) 2  0,25 VII b Tính tổng 0 11 1 10 10 1 11 0 20 12 20 12 20 12 20 12 SCC CC CC CC . 1,0 Ta có 32 20 12 (1 ) (1 ) .( 1) (1)xxx  32 0 1 2 2 32 32 32 32 32 32 (1 ) VT x C Cx Cx Cx     Hệ số của 11 x trong khai triển vế trái là 11 32 C (2) 0 1 2 2 20 20 0 1 2 2 12 12 20 20 20 20 12 12 12 12 ( )( )VP C C x C x C x C C x C x C x    Hệ số của 11 x trong khai triển vế phải là 011 110 101 110 20 12 20 12 20 12 20 12 CC CC CC CC (3) Từ (1),(2),(3) ta có 0 11 1 10 10 1 11 0 11 20 12 20 12 20 12 20 12 32 SCC CC CC CC C 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ?: Đối với ? 2 câu 1 thí sinh có thể giải không sử dụng đồ thị mà viết phương tr?nh (1) tương đương với 21 3 2 11 x y x x    (sau khi nhận xét x = 1 không thỏa m?n phương tr?nh với mọi y) Nhận xét y nguyên khi x nguyên th? 3 1 x  phải nguyên. Suy ra x – 1 phải là ước của 3 hay { 2;0;2;4}x  thay vào t?m y tương ứng Thay 4 cặp (x; y) nguyên vào phương tr?nh (2) t?m được m 2 = 10. www.MATHVN.com www.MATHVN.com . ĐÁP ÁN ĐỀ THI Đ I HỌC LẦN I NĂM HỌC 201 2- 2013 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Môn: Toán - Kh i A, A1,B. Th i gian làm b i: 180 phút không kể th i gian giao đề . ĐỀ THI THỬ Đ I HỌC LẦN I NĂM HỌC 201 2- 2013 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Môn: Toán - Kh i A, A1,B. www.MATHVN.com Th i gian làm b i: 180 phút không kể thời