Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Đề Thi Thử Lớp 9 Năm 2011 Trường THPT Chuyên KHTN Môn : Toán (Vòng 2-Đợt 3) Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. 1) Giải phương trình     2 3x 7x 2 4 3x 1 x 2 4x 2         2) Giải hệ phương trình xyz y 2 yz xyz z 3 2xz xyz x 1 3xy               Câu 2. 1) Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 2 3n . Chứng minh rằng 2 n d  là số chính phương khi và chỉ khi 2 d 3n  2) Với các số a, b, c thỏa mãn điều kiện   2 2 2 a b 4c ab 3 5c a b       . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ab bc ca    Câu 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A. I là một điểm cố định trên đoạn AB. DE là dây cung thay đổi của (O) luôn qua I . BD, BE cắt d lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh rằng tứ giác DEMN là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng AM.AN không đổi. 3) Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEMN thuộc một đường thẳng cố định. Câu 4. Trên đường tròn có 25 vị trí được viết các số gồm 12 số 1 và 13 số -1. Mỗi bước ta thực hiện như sau: Với mỗi hai cặp số ở vị trí kề nhau trên đường tròn, ta tính tổng giá trị của chúng và viết số vừa tính vào giữa hai số kề nhau đó trên đường tròn; sau đó xóa tất cả 25 số ban đầu ta thu được 25 số mới. Chứng minh rằng sau 100 bước, một trong các số trên đường tròn có giá trị nhỏ hơn 28 10  Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Giải Câu 1. 1) Giải phương trình     2 3x 7x 2 4 3x 1 x 2 4x 2         Đk : 1 x 3   Đặt 3x 1 a; x 2 b     Ta có               2 2 ab 4 a b 2 a b a b ab 4 2a 2b 0 a b a 2 b 2 0                 Với 1 a b 3x 1 x 2 3x 1 x 2 x 2             Với a 2 3x 1 2 x 1        Với b 2 x 2 2 x 2       Vậy nghiệm của phương trình là 1 x ;x 1;x 2 2    2) Giải hệ phương trình             2 2 2 xyz y 2 yz xyz z 3 2xz xyz x 1 3xy y 2 yz 1 x x 1 z 3 xz 2 y x 1 y 2 z 3 x y z 1 0 y 2 z 3 x 1 xy 3 z                                            Vậy nghiệm của hệ phương trình là x 1 y 2 z 3         Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Câu 2. 1) Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 2 3n . Chứng minh rằng 2 n d  là số chính phương khi và chỉ khi 2 d 3n   Nếu 2 d 3n  thì ta có 2 2 n d 4n   là số chính phương.  Nếu 2 n d  là số chính phương. Ta giả sử 2 2 n d a   Nếu d và n không có ước chung ngyên tố thì d 1 d 3      từ đó ta có n 1;d 3   thỏa mãn 2 d 3n  Nếu d và n có ước chung nguyên tố là k thì a k  từ đó 2 2 n ;d;a đều chia hết cho 2 k , từ đó ta rút gọn sẽ được phương trình 2 2 0 0 0 n d a   với 0 d và 0 n không có ước chung nguyên tố từ đó suy ra 0 0 n 1;d 3   . Từ đó nếu 2 n d  là số chính phương thì 2 d 3n  2) Với các số a, b, c thỏa mãn điều kiện   2 2 2 a b 4c ab 3 5c a b       . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ab bc ca    Ta có         2 2 2 2 2 2 a b 4c ab 3 5c a b a b 4c a b 4c 3 ab bc ca a b c 3 ab bc ca ab bc ca 3                           Dấu bằng xảy ra khi a b c   Câu 3. Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 1) Ta có   EDB EAB  (góc nội tiếp cùng chắn một cung)   EAB ANE  (cùng phụ với  NAE ). Từ đó   EDB ANE  , nên tứ giác DEMN là tứ giác nội tiếp. 2) Giả sử đường tròn qua D, E, M, N cắt đoạn AB tại H và cắt tia đối của tia AB tại K. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 2 AB BE.BN  , do tứ giác HENK là tứ giác nội tiếp nên BE.BN BH.BK  . Từ đó ta có : 2 BH.BK BA  Tứ giác ADBE là tứ giác nội tiếp nên ID.IE IA.IB  Tứ giác DHEK là tứ giác nội tiếp nên ID.IE IH.IK  . Từ đó ta có IH.IK IA.IB  Từ 2 BH BA BA BH.BK BA x BH BA.x;BK BA BK x              2 2 IH.IK IA.IB BI BH BK BI AB AB.BI BI AB.x BI BI AB AB.BI.x x x                  Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath   2 2 2 1 AB.BI x IA.IB BI AB x 1 AB.BI x AB BI AB x AB x 1 x 1 0 BI                                 Phương trình này có hai nghiệm dương phân biệt có tích là 1, do BH x BA  nên có duy nhất x thỏa mãn bài toán. Từ đó ta có H, K cố định Do tứ giác KMHN nội tiếp nên AM.AN AH.AK  không đổi. 3) Tâm đường tròn ngoại tiếp DEMN luôn thuộc trung trực của HK không đổi. Câu 4. Sau bước 1 tổng của 25 số gấp đôi tổng của 25 số ban đầu nên tổng của chúng là -2. Cứ như vậy, sau 100 bước tổng của 25 số trên đường tròn là 100 2  , trong 25 số phải có số bé hơn 100 2 25  . Ta chứng minh 100 28 100 28 2 10 2 25.10 25      Ta có     9 9 100 92 10 3 28 2 256.2 250. 2 250. 10 25.10     . Từ đó ta có đpcm . Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Đề Thi Thử Lớp 9 Năm 2011 Trường THPT Chuyên KHTN Môn : Toán. vậy, sau 100 bước tổng của 25 số trên đường tròn là 100 2  , trong 25 số phải có số bé hơn 100 2 25  . Ta chứng minh 100 28 100 28 2 10 2 25 .10 25  