Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải phương trình 4133  xx 2) Giải hệ phương trình         .1123 26225 22 yxyxx xyyx Câu II 1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để 391 2 n là số chính phương. 2)Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện 1    zyx . Chứng minh rằng .1 1 22 22    xy yxzxy Câu III Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng. 1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC. 2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. Câu IV Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự 201021 , ,, aaa , ta đánh dấu tất cả các số dương và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương. _____________________________ Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm. Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Vòng II Câu I 1)Giải phương trình 4133  xx Đk: 1 x 3    Với x=1 là nghiệm của phương trình.  Với x > 1 , vế trái lớn hơn 4. Phương trình vô nghiệm  Với x < 1 , vế trái nhở hơn 4. Phương trình vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là x=1 2)Giải hệ phương trình         .1123 26225 22 yxyxx xyyx   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5x 2y 2xy 26 3x 2x 2xy xy y 11 5x 2y 2xy 26 5x 2y 2xy 2 2x 3x y xy 26 2.11 48 2x 3x y xy 11 x 2 9x 6x 48 0 8 x 3                                                   Với x=2. Ta có 2 2 2 y 1 2.2 3.2 y 2y 11 y 2y 3 0 y 3                 Với 8 x 3   . Ta có : 2 2 2 8 8 8 8 43 2 3 y y 11 y y 0 3 3 3 3 9                       Phương trình vô nghiệm Vậy nghiệm của hệ phương trình là     2;1 ; 2; 3  Câu II 1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để 391 2 n là số chính phương. Giả sử 2 2 n 391 a   với a nguyên dương. Ta có        n a 1 n 195 L n a 391 a 196 n a n a 391 n a 391 n 195 TM n a 1 a 196                                                Vậy số nguyên dương n thỏa mãn đề bài là 195. Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 2)Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện 1    zyx . Chứng minh rằng .1 1 22 22    xy yxzxy Ta có      2 2 xy z x y z x y x z y z x y xy z 2x 2y xy z x y 1 1 xy 1 xy 1 xy 1 xy                        Dấu “=” xảy ra khi 1 x y z 3    Câu III 1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC. Ta có các tứ giác BEPH và PHQM là tứ giác nội tiếp. Từ đó     1 1 2 2 H P P H    mà   2 1 H C  (cùng phụ với  QHC )   1 1 H C   nên CM EH CM AB    tương tự BM AC  . Vậy M là trực tâm của tam giác ABC. 2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.   EBH HPF  (cùng bù với góc  HPE )     HPF PFA EBH PFA    Vậy tứ giác BEFC nội tiếp. Câu IV Số các số được đánh dấu 1  Nếu tất cả các số được đánh dấu là số dương ta có đpcm. Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Nếu các số đánh dấu có số âm giả sử là n a thì số n 1 a  là số dương cũng được đánh dấu và n n 1 a a 0    , mọi số âm đều có số có tổng dương, các cặp số này không trùng nhau. Vậy tổng các số được đánh dấu là dương. . x=1 2) Giải hệ phương trình         .1 123 26 225 22 yxyxx xyyx   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5x 2y 2xy 26 3x 2x 2xy xy y 11 5x 2y 2xy 26 5x. LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2 010 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)