Nguyễn Sinh Bảy, Nguyễn Văn Pứ, Nguyễn Ngọc Hiền, Nguyễn Sỹ Thìn, Nguyễn Khánh Tồn, Lê Ngọc Tú, Đinh Thị Nhuận TOÁN CAO CẤP (DÙNG CHO SINH VIÊN HỌC CÁC HỆ KINH TẾ) NHÀ XUẤT BẢN THỐNG KÊ, 2017 Mục lục Lời nói đầu Chương Ma trận định thức 1.1 Ma trận 1.1.1 Khái niệm mở đầu 1.1.2 Ma trận vuông 1.1.3 Các phép toán ma trận 1.1.4 Ba phép biến đổi sơ cấp ma trận 1.2 Định thức 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất định thức 1.2.3 Cách tính định thức 1.2.4 Phương trình đặc trưng giá trị riêng 1.3 Hạng ma trận 1.3.1 Định nghĩa, tính chất 1.3.2 Cách tính hạng ma trận 1.4 Ma trận nghịch đảo 1.4.1 Định nghĩa, tính khả nghịch 1.4.2 Các tính chất ma trận nghịch đảo 1.4.3 Cách tính ma trận nghịch đảo 1.4.4 Dùng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận Chương Vectơ không gian vectơ 2.1 Khái niệm phép toán vectơ 2.1.1 Vectơ n chiều 2.1.2 Các phép toán vectơ n chiều 2.2 Hệ vectơ độc lập, phụ thuộc tuyến tính 2.2.1 Khái niệm 2.2.2 Dấu hiệu nhận biết 2.3 Hạng sở 2.3.1 Cơ sở hạng hệ vectơ 2.3.2 Các phép biến đổi sơ cấp hệ vectơ 2.4 Không gian vectơ i 3 9 11 13 16 17 17 18 20 20 21 22 25 31 31 31 32 33 33 35 36 36 38 41 2.4.1 Cơ sở không gian Rn 2.4.2 Phép đổi sở 2.4.3 Không gian tuyến tính sinh hệ vectơ 2.4.4 Biểu diễn tuyến tính Chương Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Cách biểu diễn hệ 3.2 Hệ có hình dáng đặc biệt 3.2.1 Hệ 3.2.2 Hệ Cramer 3.3 Biện luận tập nghiệm 3.4 Cách giải hệ phương trình tuyến tính 3.4.1 Phương pháp biến đổi sơ cấp 3.4.2 Phương pháp Cramer 3.4.3 Phương pháp ma trận nghịch đảo Chương Dạng toàn phương 4.1 Các khái niệm 4.1.1 Mở đầu dạng toàn phương 4.1.2 Dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc 4.1.3 Phép biến đổi tuyến tính 4.1.4 Giá trị riêng vectơ riêng 4.2 Đưa dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc 4.2.1 Phương pháp giá trị riêng 4.2.2 Phương pháp Jacobi 4.2.3 Phương pháp Lagrange 4.2.4 Định luật quán tính 4.3 Tính xác định dấu, tính khơng xác định dấu 4.3.1 Định nghĩa hệ 4.3.2 Dấu hiệu nhận biết tính xác định dấu 4.4 Một vài ứng dụng dạng toàn phương 4.4.1 Nhận dạng đường, mặt bậc hai 4.4.2 Tìm cực trị hàm số nhiều biến số Chương Hàm số, giới hạn liên tục 5.1 Số thực hàm số biến số 5.1.1 Tập số thực 5.1.2 Hàm số biến số 5.2 Giới hạn hàm số 5.3 Các định nghĩa 5.3.1 Một số giới hạn dạng vô định 5.3.2 Hai giới hạn quan trọng 5.3.3 Vô bé vô lớn 41 43 45 48 53 53 55 55 55 56 59 59 62 63 80 80 80 82 82 83 84 84 86 91 95 96 97 98 105 105 108 112 112 112 113 120 120 126 128 129 5.4 Sự liên tục hàm số biến số 5.4.1 Các định nghĩa 5.4.2 Các phép tính hàm liên tục Chương Đạo hàm vi phân hàm biến 6.1 Đạo hàm 6.1.1 Các khái niệm 6.1.2 Tính đạo hàm cơng thức 6.1.3 Đạo hàm bậc cao 6.2 Vi phân 6.3 Một số ứng dụng đạo hàm, vi phân 6.3.1 Tính gần vi phân 6.3.2 Tính giới hạn dạng vô định 6.3.3 Tìm cực trị hàm số Chương Hàm hai biến 7.1 Các khái niệm mở đầu 7.1.1 Giới hạn tính liên tục hàm hai biến 7.1.2 Đạo hàm vi phân hàm hai biến 7.2 Hàm ẩn 7.3 Bài toán cực trị 7.3.1 Cực trị tự 7.3.2 Cực trị có điều kiện Chương Phép tính tích phân 8.1 Tích phân bất định 8.1.1 Nguyên hàm định nghĩa tích phân 8.1.2 Các tính chất tích phân bất định 8.1.3 Bảng công thức tính tích phân 8.1.4 Các phương pháp tính tích phân bất định 8.2 Tích phân xác định 8.2.1 Định nghĩa tích phân xác định 8.2.2 Các tính chất tích phân xác định 8.2.3 Công thức Newton - Leibnitz 8.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định 8.3 Tích phân suy rộng 8.3.1 Trường hợp khoảng lấy tích phân vơ hạn 8.3.2 Trường hợp hàm số có điểm gián đoạn vơ cực Chương Phương trình vi phân 9.1 Các khái niệm mở đầu 9.2 Phương trình vi phân cấp 9.2.1 Giới thiệu chung phương trình vi phân cấp 9.2.2 Phương trình cấp biến số phân li 133 133 135 143 143 143 147 152 153 154 154 156 159 167 167 169 173 176 178 178 181 193 193 193 194 194 198 207 207 208 209 211 215 215 222 232 232 233 233 235 9.2.3 Phương trình đẳng cấp cấp 9.2.4 Phương trình tuyến tính cấp 9.2.5 Phương trình Bernoulli 9.3 Phương trình vi phân cấp hai 9.3.1 Giới thiệu phương trình vi phân cấp hai 9.3.2 Các trường hợp giảm cấp 9.3.3 Phương trình tuyến tính cấp hai 9.4 Ôn lại Số phức (phần phụ lục) Chương 10 Phương trình sai phân 10.1 Sai phân phương trình sai phân 10.1.1 Lưới thời gian sai phân 10.1.2 Khái niệm phương trình sai phân 10.1.3 Tính chất phương trình dạng tuyến tính 10.2 Phương trình tuyến tính cấp 10.2.1 Phương trình hệ số 10.2.2 Phương trình khơng hệ số 10.2.3 Phương trình hệ số biến thiên 10.2.4 Phương trình khơng hệ số biến thiên 10.3 Phương trình tuyến tính cấp hệ số 10.3.1 Phương trình 10.3.2 Phương trình khơng 10.4 Phần tham khảo 10.4.1 Phương trình tuyến tính cấp k hệ số 10.4.2 Phương trình tuyến tính không cấp hệ số biến thiên 10.4.3 Phương trình sai phân dạng phi tuyến 10.4.4 Một vài ứng dụng phương trình sai phân 10.4.5 Một vài toán thực tiễn Tài liệu tham khảo 238 241 248 249 249 250 254 260 274 274 274 276 277 279 279 280 286 287 295 295 297 300 300 301 303 304 307 315 Lời nói đầu (CHO LẦN XUẤT BẢN) Giáo trình tập thể giáo viên giảng dạy mơn Tốn Cao cấp, Bộ mơn Tốn, Trường Đại học Thương mại biên soạn lại sở giáo trình tên, xuất năm 2000 Trong giáo trình này, chúng tơi có lược vài nội dung đưa vào số nội dung khác cho phù hợp với quy định chương trình Bộ Giáo dục Đào tạo đối tượng sinh viên khối Kinh tế Chắc giáo trình cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý, nhận xét quý độc giả Xin trân trọng cám ơn Hà Nội, ngày 20 tháng 01 năm 2008 Các tác giả (CHO BẢN TÁI BẢN LẦN 1) Giáo trình Toán Cao cấp tập thể giảng viên cựu giảng viên, Bộ mơn Tốn Kinh tế, Trường Đại học Thương mại biên soạn vào năm 2008 Do số tín chương trình giảm bớt so với trước, chúng tơi rút gọn nội dung giáo trình lần Chúng tơi sửa lại số sai sót phát Do thời lượng nên mệnh đề nói chung khơng chứng minh đầy đủ, nhiên có gợi ý cách chứng minh Trong lần chỉnh sửa này, nhận nhiều ý kiến trao đổi vô q giá từ thầy giáo, Bộ mơn Tốn Kinh tế, Trường Đại học Thương mại Tập thể đồng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô Mặc dù tác giả cố gắng chắn giáo trình khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong tiếp tục nhận ý kiến trao đổi, lời góp ý từ đồng nghiệp quý bạn đọc Xin trân trọng cám ơn Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2015 Các tác giả (CHO BẢN TÁI BẢN LẦN ) Giáo trình tái có sửa chữa cấu trúc lại vào năm 2015 Trong tái này, tiếp tục sửa lại số lỗi chế nội dung hình thức Tuy nhiên, giáo trình khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong tiếp tục nhận ý kiến trao đổi, lời góp ý từ đồng nghiệp quý bạn đọc Xin trân trọng cám ơn Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2017 Các tác giả Chương Ma trận định thức 1.1 1.1.1 Ma trận Khái niệm mở đầu Ta biết số thực phép toán tập số thực Khi nhiều số thực xếp lại với theo trật tự quy định đó, ta có đối tượng tổng quát Một số ma trận, định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Có m × n số thực aij , nhật gồm m dòng, n cột sau  a11 a12  a21 a22  A =   am1 am2 thành bảng hình chữ  · · · a1n · · · a2n     · · · amn Khi đó, bảng gọi ma trận cỡ m × n Số aij gọi phần tử nằm giao dòng thứ i cột thứ j (i = 1, m, j = 1, n) ma trận A • Ta thường dùng kí hiệu rút gn: A = (aij )mìn ã Ma trn A = (−aij )m×n gọi ma trận đối A • Ma trận cỡ m×n có phần tử gọi ma trận không cỡ m × n, kí hiệu O chi tiết l Omìn ã Ma trn chuyn v ca A ma trận có kí hiệu A (hoặc AT ), nhận từ A cách đổi cột thành dòng, dòng thành cột giữ nguyên thứ tự dòng, cột   a11 a21 · · · am1  a12 a22 · · · am2    A =     a1n a2n · · · amn Quan hệ "bằng" ma trận Định nghĩa 1.2 Hai ma trận cỡ A = (aij )m×n B = (bij )m×n gọi cặp phần tử tương ứng chúng đôi nhau: A = B ⇔ aij = bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n Chú ý Trong chương trình ta khơng đưa vào phép so sánh ma trận: A > B, A < B; A > 0, không so sánh ma trận khác cỡ 1.1.2 Ma trận vng Các ma trận có dạng đặc biệt sau quan trọng nội dung • Ma trận cỡ n × n cịn gọi ma  a11 a12  a21 a22  A =   an1 an2 trận vuông cấp n  · · · a1n · · · a2n     · · · ann Các phần tử a11 , a22 , , ann phần tử nằm đường chéo Cịn phần tử an1 , a(n−1)2 , , a1n phần tử nằm đường chéo phụ • Ma trận tam giác ma trận vng có tất  a11 0  phía đường chéo 0: A =   phần tử nằm  a12 · · · a1n a22 · · · a2n     · · · ann   0     · · · ann a11 · · ·  a21 a22 · · ·  Tương tự, ma trận tam giác dưới: A =   an1 an2 • Ma trận đường chéo ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo   a11 · · ·  a22 · · ·    A =     0 · · · ann • Ma trận đơn vị cấp n:   ··· 0 · · · 0   En :=     0 · · · n×n Nếu khơng có khả nhầm lẫn, nhiều ta kí hiệu En cách đơn giản E 1.1.3 Các phép toán ma trận Phép cộng, trừ hai ma trận phép nhân ma trận với số Định nghĩa 1.3 Cho hai ma trận cỡ A = (aij )mìn v B = (bij )mìn ã Tng ca hai ma trận A B ma trận cỡ, kí hiệu A+B, xác định sau: A + B = (aij + bij )m×n • Hiệu A B ma trận A − B = A + (−B) = (aij − bij )mìn ã Tớch ca ma trn A vi s thực α ma trận cỡ với ma trận √ π π đó: + 2i = 2(cos + i sin ) 4 Vậy nghiệm tổng quát phương trình √ π π x¯(n) = C1 + (2 2)n (C2 cos n + C3 sin n ) 4 10.4.2 Phương trình tuyến tính khơng cấp hệ số biến thiên Xét phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp hai hệ số biến thiên sau đây: x(n + 2) + b(n)x(n + 1) + c(n)x(n) = f (n) (c(n) = 0) (10.23) Lưu ý rằng, khơng có khái niệm phương trình đặc trưng cho trường hợp Bằng cách đưa vào vectơ không gian R2 , ta đưa phương trình phương trình ma trận tuyến tính cấp Cách giải phương trình ma trận trình bày sau cách đặt Ta đặt: x1 (n) = x(n) x2 (n) = x(n + 1); X(n) = A(n) = ; −c(n) −b(n) x1 (n) ; F (n) = x2 (n) f (n) Khi đó: x1 (n + 1) = x(n + 1) = x2 (n) x2 (n + 1) = x(n + 2) = −c(n)x(n) − b(n)x(n + 1) = −c(n)x1 (n) − b(n)x2 (n) Phương trình tuyến tính cấp hai R1 trở thành: X(n + 1) = A(n)X(n) + F (n) Đây loại phương trình tuyến tính cấp khơng gian R2 Nói cách khác, phương trình ma trận Việc giải phương trình khơng khác nhiều so với việc giải phương trình tương tự R1 Sự sai khác độ phức tạp việc tính tốn ma trận so với việc tính tốn số thực Dưới cách giải phương trình ma trận nói trên: X(n + 1) = A(n)X(n) + F (n) 301 (10.24) Phương trình tương ứng là: X(n + 1) = A(n)X(n) (10.25) A(n) ma trận phụ thuộc vào n, có cỡ × 2; X(n), F (n) ∈ R2 Để đơn giản, ta giả thiết |A(n)| = 0, ∀n ∈ Z+ Đầu tiên, ta tìm cơng thức nghiệm tổng quát phương trình (10.25) Đặt W (n, s) := A(n − 1)A(n − 2) A(s) W (n, s) gọi ma trận nghiệm hệ Có thể kiểm tra ma trận nghiệm có tính chất sau: i) W (n, r)W (r, s) = W (n, s) ∀n, r, s ∈ Z+ ii) W (n, n) = I, ∀n ∈ Z+ Nghiệm phương trình là: X(n) = W (n, s)X(s), ∀n, s ∈ Z+ , n ≥ s Tại thời điểm khởi tạo n0 lấy số tự C = X(n0 ) = X0 nghiệm tổng quát phương trình X(n) = W (n, n0 )X0 = W (n, n0 )C (10.26) Tiếp theo, ta giải phương trình không phương pháp biến thiên số Ở nghiệm tổng quát phương trình coi C hàm n: (C = C(n)) Khi đó: X(n) = W (n, n0 )C(n) X(n + 1) = W (n + 1, n0 )C(n + 1) Thay X(n), X(n + 1) vào phương trình khơng nhất, ta có W (n+1, n0 )C(n+1) = A(n)W (n, n0 )C(n)+F (n) = W (n+1, n0 )C(n)+F (n) ⇔ C(n + 1) − C(n) = W (n0 , n + 1)F (n) Từ ta suy n−1 C(n) = C(n0 ) + W (n0 , n0 + i + 1)F (n0 + i) i=0 Lấy số tự C = C(n0 ), ta nghiệm tổng quát phương trình 302 khơng là: n−1 X(n) = W (n, n0 )[C + W (n0 , n0 + i + 1)F (n0 + i)] i=0 hay n−1 X(n) = W (n, n0 )C + W (n, n0 + i + 1)F (n0 + i) (10.27) i=0 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao (hệ số biến thiên) giải cách tương tự Trong công thức trên, phép tính ma trận Để trở phép tính vơ hướng, đơi khi, toán đặt theo chiều ngược lại: Ta giải hệ phương trình bậc thấp (hay phương trình ma trận) cách đưa phương trình vơ hướng bậc cao Ví dụ, giải hệ phương trình sau: x(n + 1) = ax(n) + bx(n) x(n + 1) = cx(n) + dx(n) (abcd = 0) Từ phương trình cuối ta có d x(n + 2) = cx(n + 1) + dx(n + 1) ⇔ x(n + 1) = x(n + 2) − x(n + 1) c c Thay x(n); x(n + 1) vào phương trình đầu, ta x(n + 2) − (a + d)x(n + 1) + (ad − bc)x(n) = Đây phương trình tuyến tính cấp hai mà ta biết cách giải 10.4.3 Phương trình sai phân dạng phi tuyến Các cách giải trình bày dùng cho phương trình dạng tuyến tính Việc giải phương trình sai phân dạng phi tuyến khó khơng thể Tuy nhiên, ta giải phương trình phi tuyến dạng tắc: Phương trình sai phân cấp k dạng tắc Xét phương trình x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), , x(n)) 303 Từ điều kiện ban đầu đó, chẳng hạn:  x(n0 ) = x00    x(n + 1) = x0     x(n0 + k − 1) = x0k−1 cách truy hồi liên tiếp ta nhận giá trị hàm nghiệm bước hữu hạn bất kỳ: x(k) = f (k, x(k − 1), x(k − 2), , x(0)) x(k + 1) = f (k + 1, f (k, x(k − 1), x(k − 2), , x(0)), x(k − 1), , x(1)) Việc tính tốn rõ ràng cồng kềnh, khó thực n lớn 10.4.4 Một vài ứng dụng phương trình sai phân a) Tính tổng số hạng dãy số Một tập có thứ tự số liệu phụ thuộc vào n (n ∈ Z+ ) gọi dãy Trong nhiều trường hợp người ta cần tính tổng số số hạng dãy số liệu Có nhiều cách khác để giải tốn Sau cách tính tổng cách sử dụng kiến thức phương trình sai phân Cách giải tỏ có hiệu cho lớp tổng có dạng với nét đặc trưng riêng Ví dụ 10.15 Tính tổng S1 = 13 + 23 + 33 + + n3 Lời giải Đặt k = x(k + 1) − x(k) (k = 1; 2; 3; ; n), ta có S1 = x(n + 1) − x(1) Ta tìm x(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau: x(n + 1) − x(n) = n3 Phương trình nhất: x(n + 1) − x(n) = Phương trình đặc trưng: λ − = ⇔ λ = Nghiệm tổng quát phương trình nhất: x¯(n) = C Tìm nghiệm riêng phương trình không dạng: xˆ(n) = n(An3 + Bn2 + Cn + D) = An4 + Bn3 + Cn2 + Dn 304 Tính xˆ(n + 1), thay xˆ(n), xˆ(n + 1) vào phương trình khơng nhất, so sánh hệ số n, ta hệ phương trình:     A = 4A =       6A + 3B = B = − ⇔   4A + 3B + 2C =     C=     A + B + C + D =  D = 1 1 1 ⇒ xˆ(n) = n4 − n3 + n2 ; x(n) = x¯(n) + xˆ(n) = C + n4 − n3 + n2 4 4 Do đó: 1 1 1 n2 (n + 1)2 S1 = x(n+1)−x(1) = (n+1)4 − (n+1)3 + (n+1)2 − + − = 4 4 Ví dụ 10.16 Tính tổng S2 = 1.21 + 2.22 + 3.23 + + n.2n Lời giải Đặt k.2k = x(k + 1) − x(k) (k = 1; 2; 3; ; n), ta có S2 = x(n + 1) − x(1) Ta tìm x(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau: x(n + 1) − x(n) = n.2n Phương trình nhất: x(n + 1) − x(n) = Phương trình đặc trưng: λ − = ⇔ λ = Nghiệm tổng quát phương trình nhất: x¯(n) = C Tìm nghiệm riêng phương trình khơng dạng: xˆ(n) = 2n (An + B) Tính xˆ(n + 1), thay xˆ(n), xˆ(n + 1) vào phương trình khơng nhất, so sánh hệ số n, ta hệ phương trình: A=1 2A + B = ⇔ A=1 B = −2 ⇒ xˆ(n) = (n − 2)2n ; x(n) = x¯(n) + xˆ(n) = C + (n − 2)2n Do đó: S2 = x(n + 1) − x(1) = (2n − 2)2n + 305 Ví dụ 10.17 Tính tổng S3 = 1!1 + 2!2 + 3!3 + + n!n Lời giải Đặt k!k = x(k + 1) − x(k) (k = 1; 2; 3; ; n), ta có S3 = x(n + 1) − x(1) Ta tìm x(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau: x(n + 1) − x(n) = n!n Phương trình nhất: x(n + 1) − x(n) = Phương trình đặc trưng: λ − = ⇔ λ = Nghiệm tổng quát phương trình nhất: x¯(n) = C Ta thử tìm nghiệm riêng phương trình khơng dạng: xˆ(n) = n!(An + B) Tính xˆ(n + 1), thay xˆ(n), xˆ(n + 1) vào phương trình khơng nhất, so sánh hệ số n, ta hệ phương trình:   A = A=0 A+B =0 ⇔  B =  A = ⇒ xˆ(n) = n!; x(n) = x¯(n) + xˆ(n) = C + n! Do đó: S3 = x(n + 1) − x(1) = (n + 1)! − b) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số Khi chưa biết số hạng tổng quát dãy số biết số số hạng có mối quan hệ ta xác định biểu thức số hạng tổng quát Dưới ví dụ minh họa cách giải cơng cụ phương trình sai phân Ví dụ 10.18 Tìm số hạng tổng quát dãy số (dãy Fibonacci): 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; Lời giải Gọi số hạng tổng quát dãy số x(n) Ta có quan hệ sau x(n + 2) = x(n + 1) + x(n) ⇔ x(n + 2) − x(n + 1) − x(n) = 306 Đây phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số dạng với điều kiện ban đầu x(1) = 1, x(2) = Phương trình đặc trưng: √ √ + − ;λ = λ2 − λ − = ⇔ λ = 2 Vậy, biểu thức x(n) √ √ 1− n 1+ n x(n) = C1 ( ) + C2 ( ) 2 Thay điều kiện ban đầu x(1) = & x(2) = 2, ta tìm √ √ 5−3 5+3 C1 = √ , C2 = √ 5 Dãy số √ √ √ 5−3 1− n 5+3 1+ n ) + √ ( ) x(n) = √ ( 2 5 √ 10.4.5 Một vài toán thực tiễn Mục tiêu tiểu mục giới thiệu cách lập phương trình sai phân cho vài mơ hình quen thuộc thực tế Các giả thiết mơ hình cho "rất tốt" để nhận phương trình mà ta biết cách giải a) Bài toán Quỹ tiết kiệm (1) Trường hợp lãi suất Giả sử có loại quỹ tiết kiệm, lãi suất tính theo tháng α(%) Gọi x(n) tổng tiền gốc lãi khách hàng tháng thứ n, ta có quan hệ: x(n + 1) = x(n) + αx(n) ⇔ x(n + 1) − (1 + α)x(n) = Đây phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số mà ta biết cách giải (2) Trường hợp lãi suất biến thiên Lấy tháng làm mốc n = Giả sử lãi suất thay đổi theo tháng α(n)(%) Ta có phương trình x(n + 1) − [1 + α(n)]x(n) = 307 Đây phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên mà ta biết cách giải Qua ví dụ ta thấy việc đặt x(0) = C hay x(n0 ) = C không ảnh hưởng đến tốn Độ lớn C nói chung tuỳ ý, để tốn có ý nghĩa, ta lấy C ≥ b) Phương trình tăng trưởng GDP Ta nêu cách thiết lập phương trình tăng trưởng tổng thu nhập Quốc dân (GDP) quốc gia Giả sử đại lượng sau quy tiền: Y(n) tổng thu nhập quốc dân (của quốc gia) năm thứ n G (n) tổng chi dùng Chính phủ năm thứ n C(n) tổng chi dùng Dân sinh (các hộ gia đình, doanh nghiệp tư nhân) năm thứ n I(n) tổng Đầu tư năm thứ n Trong năm tổng GDP quốc gia lấy tổng ba đại lượng: tổng chi dùng Chính phủ, tổng chi dùng Dân sinh tổng Đầu tư: Y (n) = C(n) + I(n) + G(n) Giả sử hàm chi dùng Dân sinh dự kiến sở từ tổng thu nhập năm trước liền kề: C(n) = αY (n − 1), (10.28) đó, α ∈ (0; 1), gọi xu hướng chi dùng cận biên Giả sử lượng Đầu tư tỷ lệ với độ tăng lên hàm chi dùng Dân sinh: I(n) = β[C(n) − C(n − 1)] số β > gọi số quan hệ Giả sử lượng chi dùng Chính phủ γ > 0, khơng thay đổi theo năm G(n) = γ Từ hệ thức trên, ta có phương trình Y (n + 2) − α(1 + β)Y (n + 1) + αβY (n) = γ (10.29) Đây phương trình sai phân tuyến tính cấp mà ta biết cách giải Chú ý Trong thực tế, giả thiết mơ hình phức tạp hơn, phương trình sai phân nhận nói chung khác 308 BÀI TẬP Bài 10.1 Tìm nghiệm tổng quát x(n + 1) − 3x(n) = 2x(n + 1) + x(n) = x(n + 2) − 3x(n + 1) + 2x(n) = 3x(n + 2) + 2x(n + 1) − x(n) = x(n + 3) − x(n + 2) + 2x(n + 1) + 4x(n) = x(n + 3) − 7x(n + 2) + 16x(n + 1) − 10x(n) = x(n + 3) − 6x(n + 2) + 12x(n + 1) − 7x(n) = x(n + 2) + 2x(n + 1) + 4x(n) = x(n + 2) + 4x(n + 1) + 8x(n) = Bài 10.2 Tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện ban đầu x(n + 1) − 3x(n) = với x(0) = −1 x(n + 2) − 3x(n + 1) + 2x(n) = với x(0) = 1; x(1) = −1 x(n + 3) + 3x(n + 2) + 3x(n + 1) + x(n) = với x(0) = 1; x(−1) = 2; x(−2) = −2 Bài 10.3 Giải phương trình phương pháp chọn x(n + 1) − 4x(n) = 3n2 − 8n − x(n + 1) + 3x(n) = (−3)n 3n 2x(n + 1) − x(n) = 2−n+3 (n + 1) 2x(n + 1) − x(n) = 4−n (n2 + n − 1) x(n + 1) − 3x(n) = 5.2n+1 cos n π x(n + 1) + 5x(n) = 6n2 − 4n + 12 x(n + 1) = 3x(n) + 2n (4 − n) 309 x(n + 1) = 2x(n) + cos n π π − sin n 2 x(n + 1) − 6x(n) = 12.6n + 3.7n Bài 10.4 Giải phương pháp biến thiên số x(n + 1) = (n + 1)x(n) + (n + 1)! x(n + 1) + nx(n) = n! +2n x(n + 1) − 9n x(n) = 3n x(n + 1) + n n! x(n) = n 3 x(n + 1) = n! n x(n) + n+1 2 x(n + 1) − 4−n x(n) = n2−n −n x(n + 1) − nx(n) = n! ln(n + 1) +n x(n + 1) − e2n x(n) = en ln(n + 1) Bài 10.5 Giải phương trình (*) x(n + 1) − 5x(n) = 5n nn! x(n + 1) − 3x(n) = 3n+1 (n + 1)2 x(n + 1) − 4x(n) = 4n+1 sin (n+1)π x(n + 1) − 51 x(n) = 5n (n+2)(n+1) x(n + 1) − 2x(n) = 2n+2 (n+1)(n+2)(n+3) +n+1 x(n + 1) − 4n x(n) = 2n cos nπ x(n + 1) − nx(n) = n!n2 Bài 10.6 Tìm nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu x(n + 1) − 3x(n) = n3n+1 với x(0) = x(n + 1) − 3x(n) = 3n sin n π với x(1) = 310 Bài 10.7 Giải phương trình x(n + 2) − 5x(n + 1) + 6x(n) = 2n + x(n + 2) − 3x(n + 1) + 2x(n) = 2n + 3 x(n + 2) − 3x(n + 1) + 2x(n) = 4n3n x(n + 2) − 4x(n + 1) + 4x(n) = 5n (9n + 3) x(n + 2) − 4x(n + 1) + 4x(n) = 16.2n + 18.5n x(n + 2) − 5x(n + 1) + 6x(n) = cos n π π + 12 sin n 2 x(n + 2) − 2x(n + 1) + 4x(n) = 14.3n x(n + 2) + x(n) = cos n π π − sin n 2 x(n + 2) − 3x(n + 1) + 2x(n) = 2n + + 2n+2 Bài 10.8 Tìm nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu x(n + 2) − 4x(n + 1) + 3x(n) = 85n với x(0) = 4; x(1) = 11 x(n + 2) + 9x(n) = cos n π2 với x(0) = 3; x(1) = Bài 10.9 Tính tổng: S1 = 12 + 22 + 32 + + n2 S2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) S3 = 1.3 + 3.5 + + (2n − 1)(2n + 1) S4 = 0.2 + 2.4 + + 2n.2(n + 1) S5 = sin α + sin 2α + + sin nα S6 = 12 31 + 22 32 + 32 33 + + n2 3n ĐÁP SỐ Bài 10.1 x(n) = C3n x(n) = C(− 21 )n x(n) = C1 + C2 2n 311 x(n) = C1 (−1)n + C2 3−n + C2 sin nπ ) x(n) = C1 (−1)n + 2n (C1 cos nπ 3 √ n √ x(n) = C + ( 10) (C cos nφ + C sin nφ); (cos φ = 3/ 10, sin φ = 2 √ 1/ 10) √ √ x(n) = C1 + ( 7)n (C2 cos nφ + C3 sin nφ); (cos φ = 5/2 7; sin φ = √ √ 3/2 7) x(n) = 2n (C1 cos n2π n2π + C2 sin ) 3 n x(n) = (C1 cos n 3π + C2 sin n 3π ) 4 Bài 10.2 x(n) = −3n x(n) = − 2n+1 x(n) = (1 + 9n/2 + 3n2 /2)(−1)n Bài 10.3 x(n) = C4n − n2 + 2n + x(n) = (−3)n (C + n/2 − n2 /2) x(n) = 2−n (C + 4n2 + 4n) x(n) = C2−n − 4−n (2n2 + 6n + 6) x(n) = C1 3n + 2n (− 30 20 cos n π2 + sin n π2 ) 13 13 x(n) = C(−5)n + n2 − n + 12/5 x(n) = C3n + 2n (n − 2) x(n) = C2n + cos n π2 + sin n π2 5 x(n) = C6n + 2n6n + 3.7n Bài 10.4 x(n) = (n + C)n! (C := x(0)) x(n) = (−1)n−1 (n − 1)!(C − 1) n chẵn x(n) = (−1)n−1 (n − 1)!C n lẻ +n x(n) = (C + 3n /2 − 1/2)3n 312 x(n) = C(−1)n−1 (n − 1)!31−n n lẻ x(n) = (C − 1)(−1)n−1 (n − 1)!31−n n chẵn x(n) = 2−n (n − 1)!(C + n) x(n) = 2n−n [C + n(n − 1)/2] x(n) = (n − 1)![C + ln n!] −n x(n) = (C + ln n!)en Bài 10.5 x(n) = [C + (n! − 1)/5]5n x(n) = 3n [C + n(n + 1)(2n + 1)/6] x(n) = 4n [C + √1 3−2 x(n) = 5−n [C + x(n) = 2n [C − −n x(n) = 2n 5n ] (n+1) ] (n+2)(n+1) [C + sin(nπ/2) + cos(nπ/2)] x(n) = (n − 1)![C + Bài 10.6 n(n − 1)(2n − 1) ] x(n) = 3n [5 + n(n − 1)/2] x(n) = 3n−1 [− Bài 10.7 + 12 sin nπ ] cos nπ 6 √ 2 √ + √√ 2−1 sin (n+1)π ] sin nπ 8 x(n) = C1 2n + C2 3n + n + x(n) = C1 + C2 2n − n2 − 4n x(n) = C1 + C2 2n + (2n − 9)3n x(n) = C1 2n + nC2 2n + 5n (n − 3) x(n) = C1 2n + nC2 2n + 2.5n + 2n2 2n 13 π 11 π cos n + sin n 10 10 π π x(n) = 2n (C1 cos n + C2 sin n ) + 2.3n 3 π π π π x(n) = C1 cos n + C2 sin n ) − 3n cos n + 2n sin n ) 2 2 x(n) = C1 2n + C2 3n + 313 x(n) = C1 + C2 2n − n2 − 2n + 2n.2n Bài 10.8 x(n) = 3/2 + 3n+1 /2 + 5n x(n) = 3n ( Bài 10.9 S2 = 23 cos n π2 + sin n π2 ) + cos n π2 8 S1 = n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(n + 2) 3 S3 = (n + 1)3 /3 − (n + 1)2 /2 − 5(n + 1)/6 − S4 = n(n + 1)(4n + 5) S5 = sin(nα/2) sin((n + 1)α/2)/ sin(α/2) S6 = 3n+1 (n2 − n + 1)/2 − 3/2 314 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tốn học Cao cấp (3 tập, tái bản), Nhà xuất Giáo dục,1997 [2] Lê Đình Thịnh (chủ biên), Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [3] Ngô Việt Trung, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [4] Nguyễn Ngọc Hiền, Hướng dẫn giải tập Toán Cao cấp (phần một), Nhà xuất Thống kê, 2004 [5] Nguyễn Sinh Bảy Nguyễn Ngọc Hiền, Hướng dẫn giải tập Toán Cao cấp (phần 2), Nhà xuất Thống kê, 2010 [6] Demidovich, Problems in Mathematical Analysis, MIR, 1976 315 ... Lời nói đầu (CHO LẦN XUẤT BẢN) Giáo trình tập thể giáo viên giảng dạy mơn Tốn Cao cấp, Bộ mơn Tốn, Trường Đại học Thương mại biên soạn lại sở giáo trình tên, xuất năm 2000 Trong giáo trình này,... 2008 Các tác giả (CHO BẢN TÁI BẢN LẦN 1) Giáo trình Tốn Cao cấp tập thể giảng viên cựu giảng viên, Bộ mơn Tốn Kinh tế, Trường Đại học Thương mại biên soạn vào năm 2008 Do số tín chương trình. .. trình tuyến tính cấp 10.2.1 Phương trình hệ số 10.2.2 Phương trình khơng hệ số 10.2.3 Phương trình hệ số biến thiên 10.2.4 Phương trình khơng hệ số biến thiên