Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2)

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆ P BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tâ.p Phép t´ınh vi phân các hàm ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆĆ GIA HA ` NO Î NHA http://tieulun.hopto.org Mu.c lu.c a liˆ en tu.c cu’a h` am sˆ o´ Gi´ o.i ha.n v` 7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 7.1.1 Các bài toán liên quan tó.i di.nh ngh˜ıa gió.i ha.n 7.1.2 Ch´ u.ng minh su hô.i tu cu’a dãy sô´ du a trên các è gió.i ha.n di.nh l´ y vˆ èu 7.1.3 Ch´ u.ng minh su hô.i tu cu’a dãy sô´ du a trên diˆ kiê.n du’ dê’ dãy hô.i tu (nguyên l´ y Bolzano-Weierstrass) èu 7.1.4 Ch´ u.ng minh su hô.i tu cu’a dãy sô´ du a trên diˆ àn và du’ dê’ dãy hô.i tu (nguyên l´ kiê.n cˆ y hô.i tu 11 17 Bolzano-Cauchy) 7.2 Gió i ha.n hàm mô.t biêń è gió.i ha.n y co ba’n vˆ 7.2.1 Các khái niê.m và di.nh l´ 27 7.3 41 7.4 Hàm liên tu.c èu biêń Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm nhiˆ 25 27 51 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am mˆ o.t biˆ eń 60 - a.o hàm 61 8.1 D - a.o hàm câ´p 61 8.1.1 D - a.o hàm câ´p cao 62 8.1.2 D 8.2 Vi phân 8.2.1 Vi phân câ´p 75 75 http://tieulun.hopto.org MU C LU C 8.3 8.2.2 Vi phân câ´p cao è hàm kha’ vi Quy t˘ác l’Hospital Các di.nh l´ y co ba’n vˆ Công th´ u.c Taylor è hàm kha’ vi 8.3.1 Các d i.nh l´ y co ba’n vˆ 8.3.2 Khu’ các da.ng vô di.nh Quy t˘ác Lôpitan (L’Hospitale) 8.3.3 Công th´ u.c Taylor èu biˆ Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am nhiˆ eń - a.o hàm riêng 9.1 D - a.o hàm riêng câ´p 9.1.1 D - a.o hàm cu’a hàm ho p 9.1.2 D 9.1.3 Hàm kha’ vi - a.o hàm theo hu.ó.ng 9.1.4 D - a.o hàm riêng câ´p cao 9.1.5 D èu biêń 9.2 Vi phân cu’a hàm nhiˆ 9.2.1 Vi phân câ´p ´ du.ng vi phân dê’ t´ınh gˆ àn d´ 9.2.2 Ap ung 9.2.3 Các t´ınh châ´t cu’a vi phân 9.2.4 Vi phân câ´p cao 9.2.5 Công th´ u.c Taylor 9.3 9.2.6 Vi phân cu’a hàm â’n èu biêń Cu c tri cu’a hàm nhiˆ 9.3.1 Cu c tri èu kiê.n 9.3.2 Cu c tri có diˆ 9.3.3 Giá tri ló.n nhâ´t và bé nhâ´t cu’a hàm 77 84 84 88 96 109 110 110 111 111 112 113 125 126 126 127 127 129 130 145 145 146 147 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng a liˆ en tu.c cu’a Gi´ o.i ha.n v` h` am sˆ o´ 7.1 Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ ay sˆ o´ o.i 7.1.1 C´ ac b` to´ an liên quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´ ha.n 7.1.2 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a trên è gi´ y vˆ o.i ha.n c´ ac di.nh l´ 7.1.3 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a èu kiê.n du’ dê’ d˜ ay hˆ o.i tu (nguyên trên diˆ Bolzano-Weierstrass) 7.1.4 11 l´ y 17 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a trên àn v` èu kiê.n cˆ a du’ dê’ d˜ ay hˆ o.i tu (nguyên diˆ l´ y hˆ o.i tu Bolzano-Cauchy) 25 7.2 Gi´ o.i ha.n h` am mˆ o.t biˆ eń 27 è gi´ y co ba’n vˆ o.i ha.n 27 7.2.1 C´ ac kh´ niê.m v` a di.nh l´ 7.3 H` am liˆ en tu.c 41 èu biˆ a liˆ en tu.c cu’a h` am nhiˆ eń 51 Gi´ o.i ha.n v` 7.4 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ 7.1 Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ ay sˆ o´ Hàm sô´ xác di.nh trên tâ.p ho p N du.o c go.i là dãy sô´ vô ha.n Dãy sô´ thu.ò.ng du.o c viê´t du.ó.i da.ng: a1, a2, , an , (7.1) ho˘a.c {an }, dó an = f(n), n ∈ N du.o c go.i là sô´ ha.ng tô’ng quát cu’a dãy, n là sô´ hiê.u cu’a sô´ ha.ng dãy àn lu.u y ´ các khái niê.m sau dây: Ta cˆ i) Dãy (7.1) du.o c go.i là bi ch˘a.n nêú ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an | M ; và go.i là không bi ch˘a.n nêú: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M ii) Sô´ a du.o c go.i là gió.i ha.n cu’a dãy (7.1) nêú: ∀ ε > 0, ∃ N(ε) : ∀ n N ⇒ |an − a| < ε (7.2) iii) Sô´ a không pha’i là gió.i ha.n cu’a dãy (7.1) nêú: ∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n N ⇒ |an − a| ε (7.3) iv) Dãy có gió.i ha.n du.o c go.i là dãy hô.i tu., tru.o`.ng ho p ngu.o c la.i dãy (7.1) go.i là dãy phân k` y v) Dãy (7.1) go.i là dãy vô c` ung bé nêú lim an = và go.i là dãy n→∞ vô c` ung ló.n nêú ∀ A > 0, ∃ N cho ∀ n > N ⇒ |an | > A và viê´t lim an = ∞ èu kiê.n cˆ àn dê’ dãy hô.i tu là dãy dó pha’i bi ch˘a.n vi) Diˆ Ch´ u ý: i) Hê th´ u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng vó.i: −ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε (7.4) http://tieulun.hopto.org 7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ u.ng to’ r˘àng mo.i sô´ ha.ng vó.i chı’ sô´ n > N cu’a dãy Hê th´ u.c (7.4) ch´ èu n˘àm khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng này go.i là ε-lân hô.i tu dˆ câ.n cu’a diê’m a Nhu vâ.y, nêú dãy (7.1) hô.i tu dêń sô´ a th`ı mo.i sô´ ha.ng cu’a nó tr` u èu n˘a`m ε-lân câ.n bâ´t k` y bé bao mô.t sô´ h˜ u.u ha.n sô´ ha.ng dˆ nhiêu t` uy y ´ cu’a diê’m a ´ r˘àng dãy sô´ vô c` ung ló.n không hô.i tu và k´ y hiê.u ii) Ta lu.u y lim an = ∞ (−∞) chı’ có ngh˜ıa là dãy an là vô c` y hiê.u dó ung ló n và k´ hoàn toàn không có ngh˜ıa là dãy có gió.i ha.n 7.1.1 C´ ac b` to´ an liˆ en quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´ o.i ha.n àn tiêń Dê’ ch´ u.ng minh lim an = a b˘a`ng cách su’ du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆ hành theo các bu ó c sau dây: i) Lâ.p biê’u th´ u.c |an − a| èu dó có lo i) cho |an − a| bn ∀ n và ii) Cho.n dãy bn (nêú diˆ vó.i ε du’ bé bâ´t k` y bâ´t phu.o.ng tr`ınh dôí vó.i n: bn < ε (7.5) ˜e dàng Gia’ su’ (7.5) có nghiê.m là n > f(ε), có thê’ gia’i mô.t cách dˆ àn f(ε) > Khi dó ta có thê’ lâý n là [f(ε)], dó [f(ε)] là phˆ nguyên cu’a f(ε) ´ VÍ DU CAC n V´ı du Gia’ su’ an = n(−1) Ch´ u.ng minh r˘àng: i) Dãy an không bi ch˘a.n ii) Dãy an không pha’i là vô c` ung ló.n Gia’i i) Ta ch´ u.ng minh r˘àng an tho’a mãn di.nh ngh˜ıa dãy không bi ch˘a.n Thâ.t vâ.y, ∀ M > sô´ ha.ng vó.i sô´ hiê.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng èu dó có ngh˜ıa là dãy an không bi ch˘a.n n và ló.n ho.n M Diˆ http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ ung ló.n Thâ.t vâ.y, ii) Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng an không pha’i là vô c` ta xét khoa’ng (−2, 2) Hiê’n nhiên mo.i sô´ ha.ng cu’a dãy vó.i sô´ hiê.u le’ èu thuô.c khoa’ng (−2, 2) v`ı n le’ th`ı ta có: dˆ n n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2) u dó, Nhu vâ.y kho’ng (−2, 2) có vô sô´ sô´ ha.ng cu’a dãy T` theo di.nh ngh˜ıa suy an không pha’i là vô c` ung ló.n V´ı du D` ung di.nh ngh˜ıa gió.i ha.n dãy sô´ dê’ ch´ u.ng minh r˘a`ng: 1) lim n→∞ (−1)n−1 = n 2) lim n→∞ n = n+1 àn ch´ u.ng minh Gia’i Dê’ ch´ u.ng minh dãy an có gió.i ha.n là a, ta cˆ r˘àng dôí vó.i mô˜ i sô´ ε > cho tru.ó.c có thê’ t`ım du.o c sô´ N (N phu thuô.c ε) cho n > N th`ı suy |an − a| < ε Thông thu.ò.ng ta ˜e n N qua ε có thê’ chı’ công th´ u.c tu.ò.ng minh biê’u diˆ 1) Ta có: |an − 0| = (−1)n−1 = · n n Gia’ su’ ε là sô´ du.o.ng cho tru.ó.c t` uy y ´ Khi dó: 1 · n ε èu kiê.n: V`ı thê´ ta có thê’ lâý N là sô´ tu nhiên nào dó tho’a mãn diˆ N> 1 ⇒ < ε ε N àn nguyên (Ch˘a’ng ha.n, ta có thê’ lâý N = [1/ε], dó [1/ε] là phˆ cu’a 1/ε) Khi dó ∀ n N th`ı: |an − 0| = n < ε N http://tieulun.hopto.org 7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ (−1)n èu dó có ngh˜ıa là lim = Diˆ n→∞ n 2) Ta lâý sô´ ε > bâ´t k` y và t`ım sô´ tu nhiên N (ε) cho ∀ n > N (ε) th`ı: n − < ε n+1 Bâ´t d˘a’ng th´ u.c |an − 1| < ε ⇔ 1 < ε ⇔ − n+1 ε àn nguyên cu’a Do dó ta có thê’ lâý sô´ N(ε) là phˆ − 1, t´ u.c là: ε N(ε) = E((1/ε) − 1) Khi dó vó.i mo.i n N ta có: n n −1 = < ε ⇒ lim = n→∞ n + n+1 n+1 N +1 V´ı du Ch´ u.ng minh r˘àng các dãy sau dây phân k` y: 1) an = n, 2) an = (−1)n , 3) n∈N n∈N an = (−1)n + · n (7.6) (7.7) (7.8) Gia’i 1) Gia’ su’ dãy (7.6) hô.i tu và có gió.i ha.n là a Ta lâý ε = òn ta.i sô´ hiê.u N cho ∀ n > N th`ı Khi dó theo di.nh ngh˜ıa gió.i ha.n tˆ ta có |an − a| < ngh˜ıa là |n − a| < ∀ n > N T` u dó −1 < n − a < ∀ n > N ⇔ a − < n < a + ∀ n > N Nhu.ng bâ´t d˘a’ng th´ y v`ı tâ.p ho p các u.c n < a + 1, ∀ n > N là vô l´ sô´ tu nhiên không bi ch˘a.n 2) C´ ach Gia’ su’ dãy an hô.i tu và có gió.i ha.n là a Ta lâý lân 1 cu’a diê’m a Ta viê´t dãy dã cho du.ó.i da.ng: câ.n a − , a + 2 {an } = −1, 1, −1, 1, (7.9) http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ 1 là b˘àng nên hai diê’m −1 V`ı dô dài cu’a khoa’ng a − , a + 2 1 òng thò.i thuô.c lân câ.n a − , a + cu’a diê’m a, và +1 không thê’ dˆ 2 èu dó có ngh˜ıa là o’ ngoài v`ı khoa’ng cách gi˜ u.a −1 và +1 b˘àng Diˆ 1 có vô sô´ sô´ ha.ng cu’a dãy và v`ı thê´ (xem ch´ u lân câ.n a − , a + 2 y ´ o’ trên) sô´ a không thê’ là gió.i ha.n cu’a dãy C´ ach Gia’ su’ an → a Khi dó ∀ ε > (lâý ε = ) ta có ∀ n N |an − a| < V`ı an = ±1 nên |1 − a| < , | − − a| < ⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| ⇒2 < 1, |1 − a| + |a + 1| 1 + =1 2 vô l´ y è vó.i nó ´ r˘àng vó.i n = 2m ⇒ a2m = + Sô´ ha.ng kˆ 3) Lu.u y 2m có sô´ hiê.u le’ 2m + (hay 2m − 1) và a2m+1 = −1 + T` u dó suy r˘àng 1 < (hay a2m−1 = −1 + 2m + 2m − 0) |an − an−1 | > àu t` Nêú sô´ a nào dó là gió.i ha.n cu’a dãy (an ) th`ı b˘át dˆ u sô´ hiê.u nào dó (an ) tho’a mãn bâ´t d˘a’ng th´ u.c |an − a| < Khi dó 1 |an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 2 è bâ´t k` u.a hai sô´ ha.ng kˆ y cu’a dãy dã cho luôn luôn Nhu.ng hiê.u gi˜ èu mâu thuˆã n này ch´ ló.n ho.n Diˆ u.ng to’ r˘àng không mô.t sô´ thu c nào có thê’ là gió.i ha.n cu’a dãy dã cho http://tieulun.hopto.org 7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ ` TA ˆP BAI Hãy su’ du.ng di.nh ngh˜ıa gió.i ha.n dê’ ch´ u.ng minh r˘àng 2n − 1 lim an = nêú an = n→∞ 2n + 3n2 + ´ lim an = nêu an = n→∞ 5n − àu t` u sô´ hiê.u N nào th`ı: B˘a´t dˆ |an − 3/5| < 0, 01 lim an = nêú an = n→∞ (DS N = 5) 3n + 3n cos n = n→∞ n 2n + · 6n lim = n→∞ 3n + 6n √ n2 sin n2 = lim n→∞ n+1 Ch´ u.ng minh r˘àng sô´ a = không pha’i là gió.i ha.n cu’a dãy an = n2 − 2n2 − Ch´ u.ng minh r˘àng lim n2 + 2n + + sin n lim = n→∞ n2 + n + Ch´ u.ng minh r˘àng dãy: an = (−1)n + 1/n phân k` y 10 Ch´ u.ng minh r˘àng dãy; an = sin n0 phân k` y 11 T`ım gió.i ha.n cu’a dãy: 0, 2; 0, 22; 0, 222; , 0, 22 2, ˜ ˜e n an du.ó.i da.ng Chı’ dˆ a n Biê’u diˆ an = 0, 22 = 22 2 + + ··· + n 10 10 10 n (DS lim an = 2/9) http://tieulun.hopto.org èu biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phân hàm nhiˆ 144 ˜ Chı’ dˆ a n Xét hàm f = ln(x3 + y ), M0(0, 1) ii) b = 5e0,02 + (2, 03)2 ˜ Chı’ dˆ a n Xét hàm f = (DS ≈ 3, 037) 5ex + y 2, M0 (0, 2) ´.ng du.ng dê’ t´ınh 35 T´ınh vi phân cu’a hàm f(x, y) = x3 + y U xâ´p xı’ (1, 02)3 + (1, 97)3 (DS ≈ 2, 95) Trong các bài toán sau dây (36-38) hãy t´ınh vi phân câ´p cu’a hàm â’n z(x, y) xác di.nh bo’.i các phu.o.ng tr`ınh tu.o.ng u ´.ng 36 z + 3x2 z = 2xy (DS dz = (2y − 6xz)dx + 2xdy ) 3(x2 + z 2) 37 cos2 x + cos2 y + cos2 z = (DS dz = − sin 2xdx + sin 2ydy ) sin 2z 38 x + y + z = e−(x+y+z) (DS dz = −dx − dy) 39 Cho w là hàm cu’a x và y xác di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh w x = ln + w y T´ınh vi phân dw, d2 w w(ydx + wdy) , (DS dw = y(x + w) w2 (ydx − xdy)2 d w=− ) y (x + w)2 40 T´ınh dw và d2 w nêú hàm w(x, y) du.o c xác di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh y w − x = arctg w−x (w − x)dy , (w − x)2 + y + y 2(y + 1)(w − x)[(w − x)2 + y 2] d2 w = − dy ) [(w − x)2 + y + y]3 (DS dw = dx + http://tieulun.hopto.org èu biêń 9.3 Cu c tri cu’a hàm nhiˆ 9.3 9.3.1 145 èu biˆ Cu c tri cu’a h` am nhiˆ eń Cu c tri Hàm f(x, y) có cu c da.i di.a phu.o.ng (ho˘a.c cu c tiê’u di.a phu.o.ng) b˘àng òn ta.i δ-lân câ.n cu’a diê’m M0 f(x0, y0 ) ta.i diê’m M0 (x0, y0 ) ∈ D nêú tˆ cho vó.i mo.i diê’m M = M0 thuô.c lân câ.n âý ta có f(M) < f(M0 ) (tu.o.ng u ´.ng : f(M) > f(M0 )) Go.i chung cu c da.i, cu c tiê’u cu’a hàm sô´ là cu c tri cu’a hàm sô´ èu kiê.n cˆ àn dê’ tˆ òn ta.i cu c tri di.a phu.o.ng: Nêú ta.i diê’m M0 hàm Diˆ f(x, y) có cu c tri di.a phu.o.ng th`ı ta.i diê’m dó ca’ hai da.o hàm riêng câ´p òn ta.i) dˆ èu b˘àng ho˘a.c ´ıt nhâ´t mô.t hai da.o hàm (nêú ch´ ung tˆ òn ta.i (dó là nh˜ riêng không tˆ u.ng diê’m t´ o.i ha.n ho˘a.c diê’m d` u.ng cu’a èu là diê’m cu c tri hàm f(x, y)) Không pha’i mo.i diê’m d` u.ng dˆ èu kiê.n du’: gia’ su’ Diˆ ′′ fxx (M0 ) =, ′′ fxy (M0 ) = B, ′′ fyy (M0 ) = C Khi dó: i) Nêú ∆(M0) = A B > và A > th`ı ta.i diê’m M0 hàm f có B C cu c tiê’u di.a phu.o.ng ii) Nêú ∆(M0 ) = cu c da.i di.a phu.o.ng A B > và A < th`ı ta.i diê’m M0 hàm f có B C A B < th`ı M0 là diê’m yên ngu a cu’a f, t´ u.c B C là ta.i M0 hàm f không có cu c tri iii) Nêú ∆(M0 ) = A B = th`ı M0 là diê’m nghi vâń (hàm f có B C thê’ có và c˜ ung có thê’ không có cu c tri ta.i dó) iv) Nêú ∆(M0) = http://tieulun.hopto.org èu biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phân hàm nhiˆ 146 9.3.2 èu kiˆ o diˆ Cu c tri c´ e.n èu kiê.n cu’a hàm f(x, y) Trong tru.ò.ng ho p do.n gia’n nhâ´t, cu c tri có diˆ èu kiê.n các biêń là cu c da.i ho˘a.c cu c tiê’u cu’a hàm dó da.t du.o c vó.i diˆ x và y tho’a mãn phu.o.ng tr`ınh ϕ(x, y) = (phu.o.ng tr`ınh r` ang buˆ o.c) èu kiê.n vó.i diˆ èu kiê.n ràng buô.c ϕ(x, y) ta lâ.p Dê’ t`ım cu c tri có diˆ h` am Lagrange (h` am bˆ o’ tro ) F (x, y) = f(x, y)λϕ(x, y) dó λ là h˘a`ng sô´ nhân chu.a du.o c xác di.nh và di t`ım cu c tri thông thu.ò.ng cu’a hàm bô’ tro này Dây là phu.o.ng ph´ ap th` u.a sˆ o´ bˆ a´t di.nh Lagrange èu kiê.n cˆ àn dê’ tˆ òn ta.i cu c tri có diˆ èu kiê.n là gia’i T`ım diˆ hê phu.o.ng tr`ınh  ∂F ∂f ∂ϕ   = +λ =0    ∂x ∂x  ∂x ∂F ∂f ∂ϕ (9.15) = +λ =0   ∂y ∂y ∂y    ϕ(x, y) = T` u hê này ta có thê’ xác di.nh x, y và λ è tˆ òn ta.i và d˘a.c t´ınh cu’a cu c tri di.a phu.o.ng du.o c minh di.nh Vâń dˆ trên co so’ xét dâú cu’a vi phân câ´p hai cu’a hàm bô’ tro ∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F dxdy + dx + dy d F = ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 èu du.o c t´ınh dôí vó.i các giá tri x, y, λ thu du.o c gia’i hê (9.15) vó.i diˆ kiê.n là ∂ϕ ∂ϕ dx + dy = (dx2 + dy = 0) ∂x ∂y Cu thê’ là: http://tieulun.hopto.org èu biêń 9.3 Cu c tri cu’a hàm nhiˆ 147 èu kiê.n i) Nêú d2 F < hàm f(x, y) có cu c da.i có diˆ èu kiê.n ii) Nêú d F > hàm f(x, y) có cu c tiê’u có diˆ àn pha’i kha’o sát iii) Nêú d2 F = th`ı cˆ Nhˆ a.n xét èu ho.n du.o c tiêń hành i) Viê.c t`ım cu c tri cu’a hàm ba biêń ho˘a.c nhiˆ tu.o.ng tu nhu o’ èu kiê.n cu’a hàm ba biêń ho˘a.c ii) Tu.o.ng tu có thê’ t`ım cu c tri có diˆ èu ho n vó i mô.t ho˘a.c nhiˆ èu phu o ng tr`ınh ràng buô.c (sˆ nhiˆ o´ phu.o.ng àn lâ.p hàm bô’ tro vó.i tr`ınh r` ang buˆ o.c pha’i bé ho.n sˆ o´ biêń) Khi dó cˆ sô´ th` u.a sô´ chu.a xác di.nh b˘àng sô´ phu.o.ng tr`ınh ràng buô.c iii) Ngoài phu.o.ng pháp th` u.a sô´ bâ´t di.nh Lagrange, ngu.ò.i ta còn èu kiê.n d` ung phu.o.ng ph´ o´ dê’ t`ım cu c tri có diˆ ap khu’ biêń sˆ 9.3.3 Gi´ a tri l´ o.n nhˆ a´t v` a b´ e nhˆ a´t cu’a h` am èn dóng bi ch˘a.n da.t giá tri ló.n nhâ´t (nho’ nhâ´t) Hàm kha’ vi miˆ èn ho˘a.c ta.i diê’m d` u.ng ho˘a.c ta.i diê’m biên cu’a miˆ ´ VÍ DU CAC V´ı du T`ım cu c tri di.a phu.o.ng cu’a hàm f(x, y) = x4 + y − 2x2 + 4xy − 2y èn xác di.nh cu’a hàm là toàn m˘a.t ph˘a’ng R2 Gia’i i) Miˆ ii) T´ınh các da.o hàm riêng fx′ và fy′ và t`ım các diê’m tó.i ha.n Ta có fx′ = 4x3 − 4x + 4y, fy′ = 4y + 4x − 4y Do dó 4x3 − 4x + 4y = 4y + 4x − 4y = http://tieulun.hopto.org èu biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phân hàm nhiˆ 148 và t` u dó x1 = y1 = √ x2 = − √ y2 = √ x3 = √ y3 = − òn ta.i vó.i mo.i diê’m Nhu vâ.y ta có ba diê’m tó.i ha.n V`ı fx′ , fy′ tˆ M(x, y) ∈ R2 nên hàm không còn diê’m tó.i ha.n nào khác iii) Ta t´ınh các da.o hàm riêng câ´p hai và giá tri cu’a ch´ ung ta.i các diê’m tó i ha.n ′′ fxx (x, y) = 12x2 = 4, ′′ fxy = 4, ′′ fyy = 12y − A = −4, B = 4, C = −4 Ta.i diê’m O(0, 0): √ √ Ta.i diê’m M1(− 2, + 2): A = 20, B = 4, C = 20 √ √ Ta.i diê’m M2(+ 2, − 2): A = 20, B = 4, C = 20 iv) Ta.i diê’m O(0, 0)ta có −4 A B = 16 − 16 = = −4 B C Dâú hiê.u du’ không cho ta câu tra’ lò.i Ta nhâ.n xét r˘àng lân òn ta.i nh˜ câ.n bâ´t k` y cu’a diê’m O tˆ u.ng diê’m mà f(x, y) > và nh˜ u.ng diê’m mà f(x, y) < Ch˘a’ng ha.n do.c theo trung c Ox (y = 0) ta có f(x, y) y=0 = f(x, 0) = x4 − 2x2 = −x2(2 − x2 ) < àn (0, 0), và do.c theo du.ò.ng th˘a’ng y = x ta.i nh˜ u.ng diê’m du’ gˆ f(x, y) y=x = f(x, x) = 2x4 > u.ng diê’m khác cu’a mô.t lân câ.n nào dó cu’a Nhu vâ.y, ta.i nh˜ àn ∆f(x, y) không có c` diê’m O(0, 0) sô´ gia toàn phˆ ung mô.t dâú và dó ta.i O(0, 0) hàm không có cu c tri di.a phu o ng √ √ Ta.i diê’m M1(− 2, 2) ta có 20 A B = 400 − 16 > = 20 B C http://tieulun.hopto.org èu biêń 9.3 Cu c tri cu’a hàm nhiˆ 149 √ √ và A > nên ta.i M1 (− 2, 2) hàm có cu c tiê’u di.a phu.o.ng và fmin = −8 √ √ Ta.i diê’m M2 ( 2, − 2) ta có AC − B > và A > nên ta.i dó hàm có cu c tiê’u di.a phu.o.ng và fmin = −8 V´ı du Kha’o sát và t`ım cu c tri cu’a hàm f(x, y) = x2 + xy + y − 2x − 3y Gia’i i) Hiê’n nhiên Df ≡ R ii) T`ım diê’m d` u.ng Ta có fx′ = 2x + y − fy′ = x + 2y − ⇒ 2x + y − = 0, x + 2y − = 4 Hê thu du.o c có nghiê.m là x0 = , y0 = Do dó , là diê’m 3 3 u.ng dó hàm f không có diê’m d` u.ng nào khác v`ı d` u.ng và ngoài diê’m d` òn tâ.i ∀(x, y) fx′ và fy′ tˆ ′′ iii) Kha’o sát cu c tri Ta có A = fx′′2 = 2, B fxy = 1, C = fy′′2 = Do dó ∆(M0) = = > và A = > nên hàm f có cu c tiê’u ta.i diê’m M0 ( , 3 èu kiê.n là V´ı du T`ım cu c tri cu’a hàm f(x, y) = − 4x − 3y vó.i diˆ x và y liên hê vó.i bo’.i phu.o.ng tr`ınh x2 + y = Gia’i Ta lâ.p hàm Lagrange F (x, y) = − 4x − 3y + λ(x2 + y − 1) Ta có ∂F = −4 + 2λx, ∂x ∂F = −3 + 2λy ∂y http://tieulun.hopto.org èu biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phân hàm nhiˆ 150 và ta gia’i hê phu.o.ng tr`ınh −4 + 2λx = −3 + 2λx = x2 + y = Gia’i ta có λ1 = , x1 = , y1 = 5 λ2 = − , x = − , y2 = − 5 V`ı ∂ 2F = 2λ, ∂x2 ∂ 2F = 0, ∂x∂y ∂ 2F = 2λ ∂y nên d2 F = 2λ(dx2 + dy 2) , hàm Nêú λ = , x = , y = th`ı d2 F > nên ta.i diê’m 5 5 èu kiê.n có cu c tiê’u có diˆ Nêú λ = − , x = − , y = − th`ı d2 F < và dó hàm có cu c 5 èu kiê.n ta.i diê’m − , − da.i có diˆ 5 Nhu vâ.y 16 + = 11, 5 16 − = fmin = − 5 èu kiê.n cu’a hàm V´ı du T`ım cu c tri có diˆ 2 1) f(x, y) = x + y + xy − 5x − 4y + 10, x + y = 2) u = f(x, y, z) = x + y + z fmax = + z − x = 1, y − xz = http://tieulun.hopto.org èu biêń 9.3 Cu c tri cu’a hàm nhiˆ 151 Gia’i 1) T` u phu.o.ng tr`ınh ràng buô.c x + y = ta có y = − x và f(x, y) = x2 + (4 − x)2 + x(4 − x) − 5x − 4(4 − x) + 10 = x2 − 5x + 10, ta thu du.o c hàm mô.t biêń sô´ g(x) = x2 − 5x + 10 èu kiê.n cu’a ung ch´ınh là cu c tri có diˆ và cu c tri di.a phu.o.ng cu’a g(x) c˜ ´ du.ng phu.o.ng pháp kha’o sát hàm sô´ mô.t biêń sô´ dôí hàm f(x, y) Ap vó.i g(x) ta t`ım du.o c g(x) có cu c tiê’u di.a phu.o.ng gmin = g Nhu.ng cu c tiê’u dó 15 · = hàm f(x, y) èu diˆ kiê.n (y = − x ⇒ y = − = ) và 2 có fmin = f ta.i dã diê’m cho có , 2 15 , = · 2 2) T` u các phu.o.ng tr`ınh ràng buô.c ta có z =1+x y = x2 + x + và thê´ vào hàm dã cho ta du.o c hàm mô.t biêń sô´ u = f(x, y(x), z(x)) = g(x) = 2x2 + 4x + ˜e dàng thâý r˘a`ng hàm g(x) có cu c tiê’u ta.i x = −1 (khi dó y = 1, Dˆ èu kiê.n ta.i diê’m z = 0) và dó hàm f(x, y, z) có cu c tiê’u có diˆ (−1, 1, 0) và fmin = f(−1, 1, 0) = http://tieulun.hopto.org èu biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phân hàm nhiˆ 152 u.a sô´ bâ´t di.nh Lagrange t`ım cu c tri V´ı du B˘a`ng phu.o.ng pháp th` èu kiê.n cu’a hàm có diˆ u = x + y + z2 èu kiê.n vó.i diˆ z−x = y − xz = (9.16) (xem v´ı du 4, ii)) Gia’i Ta lâ.p hàm Lagrange F (x, y, z) = x + y + z + λ1 (z − x − 1) + λ2 (y − zx − 1) và xét hê phu.o.ng tr`ınh                        ∂F = − λ1 − λ2 z = ∂x ∂F = + λ2 = ∂y ∂F = 2z + λ1 − λ2 x = ∂z ϕ1 = z − x − = ϕ2 = y − xz − = Hê này có nghiê.m nhâ´t x = −1, y = 1, z = 0, λ1 = và λ2 = −1 ngh˜ıa là M0 (−1, 1, 0) là diê’m nhâ´t có thê’ có cu c tri cu’a èu kiê.n ràng buô.c ϕ1 và ϕ2 hàm vó.i các diˆ T` u các hê th´ u.c z−x = y − xz = ta thâý r˘a`ng (9.16) xác di.nh c˘a.p hàm â’n y(x) và z(x) (trong tru.ò.ng ˜e dàng r´ ho p này y(x) và z(x) dˆ ut t` u (9.16)) Gia’ su’ thê´ nghiê.m http://tieulun.hopto.org èu biêń 9.3 Cu c tri cu’a hàm nhiˆ 153 òng nhâ´t y(x) và z(x) vào hê (9.16) và b˘àng cách lâý vi phân các dˆ th´ u c thu du o c ta có dz − dx = ⇒ dy − xdz − zdx = dz = dx dy = (x + z)dx (9.17) Bây giò t´ınh vi phân câ´p hai cu’a hàm Lagrange d2 F = 2(dz)2 − 2λ2 dxdz (9.18) Thay giá tri λ2 = −1 và (9.17) vào (9.18) ta thu du.o c da.ng toàn phu.o.ng xác di.nh du.o.ng là d2 F = 4dx2 èu kiê.n ta.i diê’m T` u dó suy hàm dã cho có cu c tiê’u có diˆ M0(−1, 1, 0) và fmin = V´ı du T`ım giá tri ló.n nhâ´t và nho’ nhâ´t cu’a hàm f(x, y) = x2 + y − xy + x + y èn miˆ D = {x 0, y 0, x + y −3} èn D dã cho là tam giác OAB vó.i dı’nh ta.i A(−3, 0), Gia’i Miˆ B(0, −3) và O(0, 0) i) T`ım các diê’m d` u.ng: fx′ = 2x − y + = fy′ = 2y − x + = u.ng là M(−1, −1) T` u dó x = −1, y = −1 Vâ.y diê’m d` Ta.i diê’m M ta có: f(M) = f(−1, −1) = −1 http://tieulun.hopto.org èu biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phân hàm nhiˆ 154 ii) Ta có ′′ (−1, −1) = A = fxx ′′ B = fxy (−1, −1) = −1 ′′ C = fyy (−1, −1) = Vâ.y AC − B = − = > 0, nên hàm có biê.t th´ u.c AC − B > và A = > Do dó ta.i diê’m M nó có cu c tiê’u di.a phu.o.ng và fmin = −1 èn D iii) Kha’o sát hàm trên biên cu’a miˆ +) Khi x = ta có f = y + y Dôí vó.i hàm mô.t biêń f = y + y, −3 y ta có (fln ) x=0 (fnn ) x=0 = ta.i diê’m (0, −3) −1 ta.i diê’m 0, − = +) Khi y = ta có hàm mô.t biêń f = x2 + x, −3 tu.o.ng tu : (fln ) y=0 (fnn ) y=0 x và = ta.i diê’m (0, −3) −1 ta.i diê’m − , = +) Khi x + y = −3 ⇒ y = −3 − x ta có f(x) = 3x2 + 9x + và (fnn ) x+y=−3 (fln ) x+y=−3 −3 3 ta.i diê’m − , − 2 = ta.i diê’m (0, −3) và (−3, 0) = iv) So sánh các giá tri thu du.o c dôí vó.i f ta kê´t luâ.n fln = ta.i (0, −3) và (−3, 0) và giá tri fnn = −1 ta.i diê’m d` u.ng (−1, −1) ` TA ˆ P BAI http://tieulun.hopto.org èu biêń 9.3 Cu c tri cu’a hàm nhiˆ 155 Hãy t`ım cu c tri cu’a các hàm sau dây f = + 6x − x2 − xy − y (DS fmax = 13 ta.i diê’m (4, −2)) f = (x − 1)2 + 2y (DS fmin = ta.i diê’m (1, 0)) f = x2 + xy + y − 2x − y (DS fmin = −1 ta.i diê’m (1, 0)) f = x3y (6 − x − y) (x > 0, y > 0) (DS fmax = 108 ta.i diê’m (3, 2)) f = 2x4 + y − x2 − 2y (DS fmax = ta.i diê’m (0, 0), fmin = − ta.i các diê’m M1 fmin = − ta.i các diê’m M3 +xy+y ) f = (5x + 7y − 25)e−(x −1 , −1 và M2 ,1 2 −1 , −1 và M4 , −1 ) 2 (DS fmax = 3−13 ta.i diê’m M1 (1, 3), −1 −3 ) , fmin = −26e−1/52 ta.i diê’m M2 26 26 50 20 + , x > 0, y > (DS fmin = 30 ta.i diê’m (5, 2)) x y 2 f = x + xy + y − 6x − 9y (DS fmin = −21 ta.i diê’m (1, 4)) √ f = x y − x2 − y + 6x + (DS fmax = 15 ta.i diê’m (4, 4)) √ 10 f = (x2 + y) ey (DS fmin = − ta.i (0, −2)) e 11 f = + (x − 1) (y + 1) (DS fmin = ta.i diê’m (1, −1)) f = xy + ˜ àn kha’o sát dâú Chı’ dˆ a n Ta.i diê’m M0 (1, −1) ta có ∆(M0) = Cˆ cu’a f(M) − f(M0 ) = f(1 + ∆x, −1 + ∆y) − f(1, −1) 12 f = − (x − 2)4/5 − y 4/5 (DS fmax = ta.i diê’m (2, 0)) ˜ Chı’ dˆ a n Ta.i diê’m (2, 0) hàm không kha’ vi Kha’o sát dâú cu’a f(M) − f(M0 ), M0 = (2, 0) http://tieulun.hopto.org 156 èu biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phân hàm nhiˆ èu kiê.n cu’a các hàm sau dây T`ım cu c tri có diˆ èu kiê.n x + y = 13 f = xy vó.i diˆ 1 , ) (DS fmax = ta.i diê’m 2 èu kiê.n x2 + y = 14 f = x + 2y vó.i diˆ (DS fmax = ta.i diê’m (1, 2)) x y èu kiê.n + = 15 f = x2 + y vó.i diˆ 36 18 12 ta.i diê’m , ) (DS fmin = 13 13 13 èu kiê.n x2 + y + z = 16 f = x − 2y + 2z vó.i diˆ (DS fmin = −9 ta.i diê’m (−1, 2, −2); fmax = ta.i (1, −2, 2).) èu kiê.n 2x + 3y = 17 f = xy vó.i diˆ 25 5 ta.i diê’m , ) (DS fmax = 24 x y èu kiê.n ràng buô.c + = 18 1) f = x2 + y vó.i diˆ 36 48 144 ta.i , ) (DS fmin = 25 25 25 èu kiê.n x + y = 2) f = exy vó.i diˆ 1 , ) (DS fmax = e1/4 ta.i diê’m 2 ˜ Chı’ dˆ a n Có thê’ su’ du.ng phu.o.ng pháp khu’ biêń èu kiê.n x − y + z = 19 f = x2 + y + 2z vó.i diˆ (DS fmin = 0, ta.i diê’m (0, 4; −0, 4; 0, 2)) èu kiê.n x + y − z = 20 f = x3 + y − z + vó.i diˆ 10 (DS fmin = ta.i diê’m (0, 0, 0) và fmax = ta.i diê’m − , , ) 27 3 http://tieulun.hopto.org èu biêń 9.3 Cu c tri cu’a hàm nhiˆ 157 èu kiê.n x + y + z = 5, xy + yz + zx = 21 f = xyz vó.i các diˆ 4 7 4 ta.i , , ; , , ; , , (DS fmax = 27 3 3 3 3 fmin = ta.i (2, 2, 1); (2, 1, 2); (1, 2, 2)) T`ım giá tri ló.n nhâ´t và nho’ nhâ´t cu’a các hàm sô´ sau 22 f = x2y(2 − x − y), D là tam giác du.o c gió.i ha.n bo’.i các doa.n th˘a’ng x = 0, y = 0, x + y = (DS fln = ta.i diê’m (1, 2); fnn = −128 ta.i diê’m (4, 2)) 23 f = x + y, D = {x2 + y 1} √ √ √ 2 , ; (DS fln = ta.i diê’m biên √2 √ √ 2 ,− ) fnn = − ta.i diê’m biên − 2 24 T` u mo.i tam giác có chu vi b˘àng 2p, hãy t`ım tam giác có diê.n t´ıch ló.n nhâ´t ˜ n D˘a.t a = x, b = y ⇒ c = 2p − x − y và áp du.ng công Chı’ dˆ a th´ u.c Heron S= p(p − x)(p − y)(x + y − p) èu) (DS Tam giác dˆ 25 Xác di.nh giá tri ló.n nhâ´t và nho’ nhâ´t cu’a hàm f = x2 − y 2, D = {x2 + y 1} (DS fln = ta.i (1, 0) và (−1, 0); fnn = −1 ta.i (0, 1) và (0, −1)) 26 Xác di.nh giá tri ló.n nhâ´t và nho’ nhâ´t cu’a hàm f = x3 − y − 3xy, D = {0 x 2, −1 y 2} http://tieulun.hopto.org 158 èu biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phân hàm nhiˆ (DS fln = 13 ta.i diê’m (2, −1); fnn = −1 ta.i diê’m (1, 1) và (0, −1)) http://tieulun.hopto.org ... khoa’ng (−2, 2) Hiê’n nhiên mo.i sô´ ha.ng cu’a dãy vó.i sô´ hiê.u le’ èu thuô.c khoa’ng (−2, 2) v`ı n le’ th`ı ta có: dˆ n n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2) u dó, Nhu vâ.y kho’ng (−2, 2) có... + ··· + 23 an = 1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2) ˜ n Tru ó c hê´t ta ch´ u ng minh r˘àng Chı’ dˆ a 1 1 = − (DS ) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 1 ) + + ··· + (DS 24 an = a1a2 a2 a3... du T`ım lim an nêú: 1) an = (1 + 7n+2 )/(3 − 7n ) 2) an = (2 + + + · · · + 2n)/[1 + + + · · · + (2n + 1)] 3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2) ung l´ y thuyê´t câ´p sô´ Gia’i Dê’ gia’i các