BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH TS NGUYỄN ĐỨC TÍNH (Chủ biên) ThS NGUYỄN THANH HUYỀN, Ths NGUYỄN DUY PHAN GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP DÀNH CHO BẬC ĐẠI HỌC (Lưu hành nội bộ) QUẢNG NINH, NĂM 2017 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình Tốn Cao Cấp 1, bậc Đại học biên soạn dành cho đối tượng sinh viên, giảng viên bậc đại học, cao đẳng trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Giáo trình biên soạn theo nội dung đề cương chi tiết mơn Tốn Cao Cấp 1, bậc Đại học nhà trường Cuốn giáo trình biên soạn với mục đích cung cấp cho sinh viên tài liệu sát với đề cương mơn học, có nhiều dạng tập phong phú đáp ứng yêu cầu môn học chuyên ngành Cấu trúc giáo trình gồm chương Mỗi chương trình bày phần lý thuyết, tập, ví dụ phong phú phần tập luyện tập cuối chương Phần lý thuyết trình bày chi tiết giúp người đọc hiểu sâu vấn đề để áp dụng làm tập Phần tập ví dụ minh họa phong phú, đa dạng Cuối chương có tập luyện tập Chương giới thiệu kiến thức phép tính giải tích hàm biến Phần trình bày tương đối sâu, hồn thiện đầy đủ nội dung giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi Chương trình bày kiến thức phép tính giải tích hàm nhiều biến giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân cực trị tự hàm nhiều biến Chương trình bày phép tính tích phân bội, bao gồm định nghĩa, tính chất, phương pháp tính ứng dụng tích phân hai lớp tích phân ba lớp Chương trình bày kiến thức tích phân đường loại tích phân đường loại 2, bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính tích phân mối liên hệ hai loại tích phân đường loại loại Để sử dụng giáo trình hiệu quả, người đọc cần đọc kĩ tất nội dung lý thuyết theo trình tự, cấu trúc giáo trình để hiểu vấn đề trình bày giáo trình cách lơgic, đọc tập, ví dụ minh họa làm tập phần luyện tập cuối chương Trong q trình biên soạn, chúng tơi nhận giúp đỡ quý báu nhiều đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Khoa học Công nghệ Hợp tác Quốc tế đội ngũ giảng viên khoa Khoa học Cơ trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh tạo điều kiện thuận lợi cho giáo trình hồn thiện Mặc dù có nhiều cố gắng từ nhóm tác giả biên soạn, song giáo trình khơng tránh khỏi hạn chế Nhóm tác giả mong nhận đóng góp ý kiến từ phía bạn đọc để giáo trình hoàn thiện Chủ biên tác giả Chương PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 Hàm số 1.1.1 Định nghĩa ánh xạ hàm số 1.1.1.1 Ánh xạ a Định nghĩa Ánh xạ từ tập E khác rỗng tới tập F qui luật f liên hệ E F cho tác động vào phần tử x E tạo phần tử y F Ký hiệu f : E  F x y  f ( x) E gọi tập nguồn, F gọi tập đích, y gọi ảnh x; x gọi nghịch ảnh y qua ánh xạ f f x y F E Hình 1-1 Như để có ánh xạ phải có tập nguồn E, tập đích F, quy luật xác định f , quy tắc thỏa mãn điều kiện: ứng với x E tồn y F cho y  f ( x) Ví dụ E tập hợp thương hiệu xe tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’, ‘Mercedes’}, F tập hợp tên số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’, ‘Hoa Kì’, ,’Anh’}, f quy luật cho tương ứng thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe Rõ ràng quy luật thỏa mãn tính tồn tại, (mỗi hãng xe thuộc tập E có tên nước xuất xứ tương ứng tập F) Khi ta có ánh xạ f từ E đến F, ta viết f(‘Lexus’) =‘Nhật Bản’, f(‘Ford’) =‘Hoa Kì’, f(‘Mercedes’) =‘Đức’ Tập hợp f(E)={ y  F |  x  E, y = f(x)} gọi ảnh E qua ánh xạ f Ánh xạ f : E  F gọi đơn ánh f(x1) = f(x2)  x1= x2 , tức không tồn phần tử F có nghịch ảnh x1 y x2 Hình 1-2 Đơn ánh Ánh xạ f : E  F gọi toàn ánh yF, xE: y = f(x); tức phần tử F có nghịch ảnh Hình 1-3a Ánh xạ tồn ánh Hình 1-3b Ánh xạ khơng tồn ánh Ánh xạ f : E  F gọi song ánh f toàn ánh đơn ánh Tức phần tử F có nghịch ảnh nghịch ảnh Hình 1-4 Song ánh Ánh xạ f ví dụ thực tế vừa nêu đơn ánh khơng tồn ánh, không song ánh b Ánh xạ ngược Cho ánh xạ f :E F song ánh Khi phần tử y = f(x) với y thuộc x y  f ( x) F ảnh phần tử x E Như vậy, đặt tương ứng phần tử y F với phần tử x E Phép tương ứng xác định ánh xạ từ F sang E, ánh xạ gọi ánh xạ ngược ánh xạ f g:F E y x  g ( y) Ta gọi ánh xạ với đặc điểm x  g ( y )  y  f ( x) , ánh xạ ngược ánh xạ f viết Tuy nhiên, ta thường kí hiệu phần tử ảnh y, nghịch ảnh x, hàm số g:F  E x y  g ( x) Ánh xạ ngược g ánh xạ f thường kí hiệu g=f-1 Trở lại ví dụ thực tế trên, E tập hợp thương hiệu xe tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’, ‘Mercedes’}, F tập hợp tên số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’, ‘Hoa Kì’}, f quy luật cho tương ứng thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe Khi ta có song ánh f từ E đến F Ta viết f-1(‘Nhật Bản’) =‘ Lexus’, f-1(‘Hoa Kì’) =‘ Ford’, f-1(‘Đức’) =‘ Mercedes’ Khi tập nguồn tập đích tập số, ta có khái niệm hàm số Hàm số trường hợp đặc biệt ánh xạ 1.1.1.2 Hàm số a Định nghĩa Cho E  R; F  R; E   ; F   ; Một ánh xạ f từ E vào F, f :E→F gọi hàm số (thực) biến số (thực) Ký hiệu : f : E→F xf(x) X gọi tập xác định f, ký hiệu Df f(X)=  f(x), x  X  gọi tập giá trị f ; ký hiệu Rf x gọi đối số biến số độc lập, f(x) gọi hàm số biến số phụ thuộc Đôi người ta ký hiệu hàm số ngắn gọn x f(x) y = f(x) Trong chương trình mơn Tốn bậc Trung học phổ thông Việt Nam : Nếu E, F tập tập số thực hàm số gọi hàm số thực, E, F tập tập số phức hàm số gọi hàm số biến số phức, X tập tập số tự nhiên hàm số gọi hàm số số học(Ví dụ: Hàm Euler   n  (phi hàm Euler) biểu diễn số số tự nhiên không vượt n nguyên tố với n, hàm Sigma σ(n) biểu diễn tổng tất ước số tự nhiên n Trong chương trình, ta nghiên cứu sâu khái niệm hàm số thực Ví dụ 1) y=x hàm đồng thường ký hiệu id(x) 2) y=c; c lµ số; gọi hm hng số 3) y=E(x) (hoặc y=[x]), với E(x) số nguyên lớn không v- ợt x, gọi hm phn nguyờn, vy [2,13]=2, [-2,13]=-3 4) y = 2x2+x+1 lµ hµm sè bËc 1  5) y = sgn(x) víi sgn(x) = 0 1  x0 x0 x0 gäi lµ hµm số dấu x (đọc xicnum) nu x số vô tỉ 1 x số hữu tỉ 6) y = D(x) víi D(x) =  gäi lµ hµm sè Dirichlet Có bốn cách biểu thị hàm số : công thức, bảng, đồ thị lời Nếu hàm số biểu thị nhiều cách ta hiểu rõ Ta thường gặp hàm số biểu thị cơng thức y=f(x) từ xác định đồ thị nó, đồ thị hàm số định nghĩa sau: b Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y=f(x) tập hợp điểm mặt phẳng có toạ độ (x; f(x)) , với x  Df 1.1.2 Một số lớp hàm số đặc biệt hàm số sơ cấp 1.1.2.1 Một số lớp hàm số có tính chất đặc biệt a Hàm số chẵn, lẻ Hàm y = f(x) xác định Df hàm chẵn nếu: ) x  D f   x  D f  ) f ( x)  f ( x), x  D f Hàm y = f(x) xác định Df hàm lẻ ) x  D f   x  D f  ) f ( x)   f ( x), x  D f Hàm chẵn Hàm lẻ Hình 1-5 b Hàm tuần hoàn Cho hàm số y = f(x) xác định X gọi hàm tuần hoàn X tồn t >0 cho với x  X x + t  X f (x + t) = f(x) Nếu có số dương T nhỏ số t xác định T gọi chu kỳ hàm số tuần hồn f(x) Ví dụ hàm y=sinx, y=cosx tuần hồn với chu kì T= 2π Hàm y = sin3x tuần hoàn với chu kỳ T= 2π/3 Hàm Dirichlet D(x) hàm tuần hồn khơng có chu kỳ Hình 1-6 Đồ thị hàm tuần hoàn y = sin3x [ ;  ] c Hàm số đơn điệu Hàm y=f(x) gọi hàm tăng X với x1 , x2  X , x1  x2 f(x1)  f(x2) Hàm y=f(x) gọi tăng ngặt X với x1 , x2  X , x1< x2 f(x1) < f(x2) Hàm y=f(x) gọi hàm giảm X với x1 , x2  X , x1  x2 f(x1)  f(x2) Hàm y=f(x) gọi giảm ngặt X với x1 , x2  X , x1 f(x2) Hàm tăng giảm gọi hàm đơn điệu; Hàm tăng ngặt giảm ngặt gọi hàm đơn điệu ngặt d Hàm số bị chặn Hµm sè f(x) gọi bị chặn X tồn sè B cho víi mäi x  X, f(x) B Hàm số f(x) gọi bị chặn d- íi X nÕu tån t¹i sè A cho víi mäi x  X, f(x)  A Hµm sè f(x) gọi bị chặn X tồn c¸c sè A, B cho víi mäi x  X, A  f(x)  B e Hàm sè hợp Cho ánh xạ f : X Y ; g: Y  R Ta gọi ánh xạ h : X  R x hợp hàm f g, ký hiệu h = g f y  g ( f ( x)) hàm Ví dụ, hàm số h(x) = sin (x2+1) hàm số hợp g(f(x)), g(t) = sin(t), f(x) = (x2 +1) Việc nhận biết hàm số hàm hợp hàm khác, nhiều trường hợp khiến tính tốn giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản f Hàm ngược Cho song ¸nh f : X  Y ; X, Y  R Ánh xạ ngược f-1 : Y  X y ngược f, ký hiệu y = f-1 (x) x  f 1 ( y) gọi hàm Nếu f−1(x) tồn ta nói hàm số f(x) khả nghịch Có thể nói tính chất song ánh điều kiện cần đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức f(x) song ánh ta ln tìm hàm ngược f−1(x) Ví dụ Cho hàm f : R \ 2  R \ 0 x Ta có y  y 2 x 1 x  Hàm ngược hàm số hàm 2 x y f-1 : R\{0}  R \ 2 y x 1 2 y Tuy nhiên, ta thường kí hiệu biến số x, hàm số y, viết hàm ngược là: f-1 : R\{0}  R \ x y x Đồ thị hai hµm sè y = f(x) vµ y = f-1(x) mặt phẳng Oxy đối xứng qua đ- ờng phân giác góc phần t- thứ I thứ III Hình 1-7 Đồ thị hàm y  1 y   hệ tọa độ x 2 x Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 4.1 Tích phân đường theo độ dài cung ( loại một) 4.1.1 Định nghĩa tính chất 4.1.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f(M) = f(x, y) xác định y An-1 cung phẳng AB Chia cung AB thành n cung nhỏ điểm: Ao =A, A1, A2, , An= B Gọi độ dài B=An A2 A=A0 A1 cung Ai 1 Ai si (i= 1, n ) Trên cung Ai 1 Ai x O lấy điểm Mi i ,i  tuỳ ý Lập tổng tích phân Hình 4-1 n I n   f i ,i .si i 1 Nếu n   cho max si  mà tổng In dần tới giới hạn I xác i 1, n định không phụ thuộc vào cách chia cung AB cách chọn điểm Mi cung Ai 1 Ai , i= 1, n giới hạn gọi tích phân đường loại hàm số f(x,y) dọc theo cung AB ký hiệu là:  f ( x, y )ds AB Vậy I   AB f ( x, y)ds  lim I n max si 0 ds gọi vi phân cung Nếu tích phân tồn ta nói hàm số f (x, y) khả tích cung AB Ý nghĩa tích phân đường loại Nếu cung vật chất AB có khối lượng riêng M(x, y)  (x, y) khối lượng cung AB m    ( x, y)ds tích phân tồn AB Chiều dài cung AB tính  ds AB Chú ý Nếu cung AB cung kín, kín ta viết: I   f ( x, y)ds L 4.1.1.2 Tính chất tích phân đường loại 1) Tích phân đường loại khơng phụ thuộc vào chiều lấy tích phân 169  f  x, y  ds   f  x, y  ds AB 2) BA  [f  x, y   g ( x, y)]ds   f  x, y  ds   g  x, y  ds AB 3) AB AB  C f  x, y  ds  C  f  x, y  ds AB với C số AB 4) Nếu chia cung L thành hai cung L1 , L2 không dẫm lên ta có :  f  x, y  ds   f  x, y  ds   f  x, y  ds L L1 L2 4.1.1.3 Cung trơn tính khả tích tích phân đường loại a Cung trơn Cho cung AB cho phương trình tham số x = x (t), y=y (t), t1  t  t2, cung AB gọi cung trơn hàm số x (t), y (t) có đạo hàm liên tục [t1, t2] không đồng thời không Cung AB gọi trơn khúc gồm số hữu hạn cung trơn b Định lý Nếu cung AB trơn khúc hàm số f (x, y) liên tục cung AB f(x, y) khả tích cung AB 4.1.2 Cách tính tích phân đường loại 4.1.2.1 Cách tính Giả sử cung AB trơn cho phương trình tham số x = x(t); y = =y(t), t1  t  t2, hàm số f(x, y) liên tục cung AB : ds  xt/2 (t )  yt/2 (t )dt Do đó: I   t2 f  x, y  dS   f  x  t  , y  t   x '2 (t )  y '2 (t )dt (4.1) t1 AB 4.1.2.2 Các trường hợp đặc biệt Nếu cung AB cho phương trình y = y(x), a  x  b b  f  x, y  dS   f ( x)  y '2  x dx (4.2a) a AB Nếu cung AB cho phương trình x = x(y), c  y  d  d f  x, y  dS   f ( y )  x '2  y dy c AB 4.1.2.3 Một số ứng dụng tích phân đường loại a Độ dài cung L mặt phẳng xác định công thức 170 (4.2b) s   ds   x '2 (t )  y '2 (t )dt L L b Cho cung vật chất L có mật độ khối lượng phụ thuộc điểm P ( x, y )  ( x, y ) Khối lượng cung tính theo cơng thức m    ( x, y)ds L c Cung vật chất L có mật độ khối lượng phụ thuộc điểm P ( x, y )  ( x, y ) Khi đó, trọng tâm G ( x, y ) cung có tọa độ tính theo cơng thức: x  x  ( x, y ) d L   ( x, y)ds s ;y L  y  ( x, y ) d L   ( x, y)ds L Nếu cung đồng chất  ( x, y)   khơng đổi, 1 x   xds ; y   yds s L s L Ví dụ 1.Tính tích phân đường I   ( x  y )dS , với OA đoạn thẳng nối hai điểm OA O (0, 0), A (4, 3) Giải Phương trình đường thẳng OA y  x  y '  0  x   Cung AB xác định   y  x 3 ds     dx  dx 4    Vậy   x  y  ds    x  x   dx   dx  4 16 2 16   0 OA x x2 Chú ý Ta viết đường thẳng OA x= y, cung OA xác định 4y   0  y  3, x     xy/  4  ds  ( )2  1dy  dy Đây trường hợp 4.2b 3  x  4t  y  3t Hoặc ta viết phương trình tham số cung thẳng AB  áp dụng cơng thức (4.1) Ví dụ Tính I   x  y ds , L đường tròn x2 + y2 = ax, a>0 L 171  t  1, sau  a a2 Giải Ta có: x  y  ax   x    y  2  a y  Đây phương trình đường trịn tâm I  ,  , 2  a bán kính R  Phương trình tham số đường trịn là: a  a a   x   cos t  x  (1  cos t ) ;  t   ,   a a  y  sin t  y  sin t    t  t    cos  2 2 Vậy f ( x(t ), y (t ))  x (t )  y (t )  a cos a/2 O Hình 4-2 t t  a.cos 2 a Vi phân cung: ds  dt t t t t t  Vậy I  a  cos d ( )  2a  cos d ( )  2a sin( )  2a 2 2    Ví dụ Tính khối lượng m đường cong K xác định x  t; y  t2 t3 ; z  ;0  t  , biết mật độ khối lượng M (x,y) thuộc K  ( x, y)  y Giải Ta có: m   yds   K t '2 x  y '2  z '2 dt 1 m   t  t  t dt   (t  )2  d (t  ) 20 2 m  [ t  t   ln(t   t  t  1)] t2  3 m  (3   ln ) (đơn vị khối lượng) Ví dụ Tìm tọa độ trọng tâm cung xiclôit L đồng chất xác định phương trình x  t  sin t ; y   cos t ;0  t   Giải Tọa độ trọng tâm cung đồng chất thuộc đường cong L tính theo s s công thức x   x.ds; y   y.ds với s độ dài cung L L 172 a x t Ta có ds  x '2 (t )  y '2 (t ).dt  2.sin dt   s   x (t )  y (t ).dt   (1  cost )  sin t dt '2 '2 0 t t  s    2cost dt   sin dt  4 cos  2 0    1 t Khi ta có: x   x.ds   x.ds   (t  sin t ).2sin dt s L L t t t t t  1 x   (t.sin  sin t.sin )dt  [  2t.cos  4sin  sin ]  2 2 2 3  4  t 2  t t Tương tự ta có: y   y.ds   (1  cos t ).2sin dt   (sin  cos t.sin )dt L 0 3t t t  y  [  2co s  co s  cos ]  2 2 4.1.3 Trường hợp đường lấy tích phân đường khơng gian a Tích phân đường loại hàm số f(x, y, z) dọc theo cung không gian định nghĩa tương tự trên:  x  x t   Nếu AB có pt tham số là:  y  y  t  , t1  t  t2 ds  x /2 (t )  y /2 (t )  z /2 (t )dt   z  z t  Do ta có:  t2 f ( x, y, z )ds   f (t ) x '2 (t )  y '2 (t )  z '2 (t )dt (4.3) t1 AB b Trường hợp đặc biệt Nếu cung AB xác định a  x  b, y  y ( x), z  z ( x) ta có:  AB t2 f ( x, y, z ).ds   f ( x)  y '2 ( x)  z '2 ( x)dx (4.4) t1 4.2 Tích phân đường theo tọa độ (loại hai) 4.2.1 Định nghĩa tính chất 4.2.1.1 Định nghĩa Cho hai hàm số P(x, y), Q(x, y) xác định cung AB Chia cung AB thành n cung nhỏ điểm chia A0=A, A1, A2, , An=B Gọi hình chiếu vec tơ Ai 1 Ai lên hai trục Ox, Oy  xi,  yi, i= 1, n ; Mi( i ,i ) điểm tuỳ ý chọn cung Ai 1 Ai Lập tổng tích phân 173 n I n   [ P(i ,i )xi  Q(i ,i )yi ] i 1 Nếu n   cho max Si  mà In dần tới giới hạn I xác định không phụ i 1, n thuộc vào cách chia cung AB , i= 1, n cách chọn Mi cung Ai 1 Ai , i= 1, n giới hạn gọi tích phân đường loại hai hàm số P(x,y), Q(x,y) dọc theo cung AB ký hiệu là: I  P( x, y)dx  Q( x, y)dy AB Người ta chứng minh cung AB trơn hàm số P(x, y), Q(x, y) liên tục AB tích phân đường loại hai tồn Nếu đường lấy tích phân đường cong kín L, ta quy ước chọn chiều dương L chiều cho người dọc L theo chiều thấy miền giới hạn L gần bên trái Ký hiệu là:  P  x, y  dx  Q  x, y  dy L Ý nghĩa học tích phân đường loại I  P( x, y)dx  Q( x, y)dy công lực F  P( x, y ).i  Q( x, y ) j biến thiên liên AB tục sinh di chuyển chất điểm M dọc cung AB 4.2.1.2 Tính chất tích phân đường loại Tích phân đường loại hai có tính chất giống tích phân xác định Đặc biệt, khác với tích phân đường loại một, đổi chiều lấy tích phân, giá trị tích đổi dấu  P( x, y)dx  Q( x, y)dy    P( x, y)dx  Q( x, y)dy BA AB 4.2.2 Cách tính tích phân đường loại  x  x  t   y  y  t  a Giả sử cung AB trơn cho phương trình tham số:  Các điểm A B ứng với giá trị tA, tB tham số Giả sử hàm số P(x;y), Q(x,y) liên tục cung AB , ta có cơng thức: tB  P( x, y)dx  Q( x, y)dy   [ P( x(t ), y(t )) x '(t )  Q( x(t ), y(t )) y '(t )]dt (4.5) tA AB b Trường hợp đặc biệt Nếu cung AB cho phương trình y=y(x), a hồnh độ A, b hồnh độ B, ta có công thức: b  P( x, y)dx  Q( x, y)dy   [ P( x, y( x))  Q( x, y( x)) y '( x)]dx AB a 174 (4.6) Nếu cung AB cho phương trình x=x(y), a hoành độ A, b hoành độ B, ta có cơng thức:  b P( x, y )dx  Q( x, y )dy   [ P( x( y ), y ).x '( y )  Q( x( y ), y )]dy (4.7) a AB Ví dụ Tính tích phân sau: I   xdy  ydx , với L đường elip: L x2 y   a b2  x  t   a cos t  y  t   b sin t Giải Phương trình tham số đường cong L là:  Chiều dương L ứng với chiều tăng t từ đến 2 dx  a sin tdt dy  b cos tdt Ta có:  Do đó: I  2 2 0 2  (ab cos t  ab sin t )dt   ab.dt  ab.t 2  ab.2 Ví dụ Tính tích phân sau: I   ( x  y)dx  ( x  y)dy với L đường parabol L y = x2 nối từ điểm O (0, 0) đến điểm A (1, 1) Giải Ta có dy  2dx , áp dụng cơng thức (4.6) ta có: I   ( x  x  x3 )dx  ( x x3 x 4   )  3 Ngoài cách giải ta giải cách khác sau:  x  1,0  y   x  y  dx  y dy Tương tự tính I = Ví dụ Tính tích phân sau: I   (2 xy  x )dx  ( x  y )dy , với L cung L parabol y2=1- x từ điểm A(0,-1) đến điểm B(0,1) y Giải Từ y2 = 1- x suy x = 1-y2 , dx = - 2ydy Vậy I   (2 y  y  y  y  y  1)dy A 1 1 1 1 I   (4 y  y  1)dy   (2 y  y  y)dy I  2 (4 y  y  1)dy  2(4 14 y5 y3   y)  15 O -5 B -2 Hình 4-3 Ví dụ Tính tích phân sau: I   x2 ydy  y xdx , với K xác định K    x  t   cos t ;0  t  K    y  t   sin t 175 C x Giải Ta có dx  co s t  sin t dt; dy  dt Do đó: cos t sin t  I   (cos t sin t sin t co s t ).dt  sin t cos t sin t co s t     cos t sin t t  ).dt   dt   I  ( 2 2 0 2 4.2.3 Trường hợp đường lấy tích phân đường không gian a Nếu AB cung không gian, P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) ba hàm số xác định cung AB , ta định nghĩa tích phân đường loại hai I  P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz (4.8) AB Tương tự tích phân đường loại hai mặt phẳng b Nếu cung AB cho phương trình tham số x=x (t), y=y (t), z=z (t), mút A, B ứng với giá trị tA, tB tham số, ta có cơng thức tính: tB I    P  x  t  , y  t  , z  t   x '  t   Q  x  t  , y  t  , z  t   y ' t   R  x t  , y t  , z t   z ' t  dt (4.9) tA c Trường hợp đặc biệt Nếu cung AB xác định a  x  b, y  y( x), z  z( x) ta có cơng thức: b I    P( x, y ( x), z ( x))  Q( x, y ( x), z ( x)) y / ( x )  R ( x, y ( x ), z ( x )).z / ( x ) dx (4.10) a Nhận xét Công thức (4.10) đại diện cho họ gồm ba công thức tương tự 4.3 Công thức Green 4.3.1 Định lý 4.1 Cho D miền liên thơng, bị chặn, có biên L gồm hay nhiều đường cong kín trơn khúc, rời đôi một, hàm số P(x,y), Q(x,y) đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền D ta có: Q P  P.dx  Q.dy   ( x  y )dxdy L (4.11) D Nhận xét Công thức Green cho ta mối liên hệ tích phân đường loại hai đường cong kín với tích phân hai lớp Ví dụ Tính tích phân sau: I   ( x.arctan x  y )dx  ( x  xy  y 2e- y ) dy L Với L đường tròn x2 + y2 = 2y 176  P  x, y   x.arctan x  y Giải Ta có  y Q  x, y   x  xy  y e Do I   ( D Suy P Q  y,  y 1 y x Q P  )dxdy   dxdy  S x y D S diện tích hình trịn có bán kính suy ra: I  S    Ví dụ Tính tích phân sau: I  2( x  y )dx  (4 y  3) xdy OABO với OABO đường gấp khúc nối điểm: O(0,0), A(1,1), B(0,2)   P  x, y    x  y Giải : Ta có  y   Q  x, y    y  3 x Suy P Q  y,  4y  y x C B(1,1) Theo cơng thức Green ta có: Q P I   (  )dxdy  3 dxdy  3S x  y D D O=A Hình 4-4 S diện tích tam giác OAB Vậy I = 4.3.2 Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc đường lấy tích phân Định lý 4.2 Giả sử hai hàm số P(x; y), Q(x; y) liên tục với đaọ hàm riêng cấp chúng miền đơn liên D Khi bốn mệnh đề sau tương đương với nhau: 1) P Q  , ( x; y )  D y x 2)  Pdx  Qdy  dọc theo đường kín L nằm D L 3)  Pdx  Qdy , cung AB nằm D phụ thuộc hai đầu mút A, B AB mà không phụ thuộc đường từ A đến B 4) Biểu thức Pdx  Qdy vi phân toàn phần hàm số u(x; y) miền D Hệ Nếu Pdx  Qdy vi phân toàn phần hàm số u(x; y)  Pdx  Qdy =u (B)-u(A) dọc theo cung AB nằm miền D AB Hệ Nếu D toàn R2 [P( x, y )dx  Q( x, y )dy ] vi phân toàn phần hàm số u(x;y) cho công thức: 177 x x y x0 y0 u ( x; y )   P( x; y0 )dx   Q( x; y )dy  C Hoặc x y x0 y0 u ( x; y )   P( x; y )dx   Q( x0 ; y )dy  C (4.12) (4.13) Ví dụ Chứng minh biểu thức: xe y dx  (3x2  y  1)e y dy vi phân tồn phần hàm số Tìm hàm số Giải Ta có: P( x, y)  xe y , Q( x, y)  (3x2  y  1)e y , P Q   x.e y y x Vậy biểu thức: P(x,y)dx+Q(x,y)dy vi phân hàm u ( x; y ) xác định x y 0 u ( x; y)   xe y dx   ( y  1)e y dy  C (Áp dụng công thức (4.12) với x0=y0=0) Ví dụ Tính tích phân sau: I   x  y dx  y[xy  ln( x  x  y )]dy với C C 1  x  0  y  chu tuyến hình chữ nhật D    P  x, y   x  y  Giải Ta có  Q  x, y   y[ xy  ln( x  x  y )] Suy P  y y x2  y , Q  Q P y  y2     y2 2 x x y x y Theo cơng thức Green ta có: 4 y3 1  x    Ta có: I   dx. y dy  x I   y dxdy với miền D   3 0  y  D BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 4.1 Tính tích phân đường loại một: I   xy.ds biết rằng: L 1) L biên hình chữ nhật ABCD, A (0, 0), B (4, 0), C (4, 2), D (0, 2) 2) L cung đường elip: x2 y   có phương trình tham số: a b2 x (t) = a.cost, y (t) = b.sint nằm góc phần tư thứ Bài 4.2 Tính tích phân đường loại một: I   AB cubic y  x từ A(3, 3) đến B (8, yds với AB cung parabol nửa x 32 ) Bài 4.3 Tính khối lượng cung trịn x=cost, y=sint (0  t   ) mật độ đường điểm (x,y) y 178 Bài 4.4 Tính tích phân I   K ds với K vòng xoắn ốc x  y2  z2 đường đinh ốc x=a.cost, y=a.sint; z=b.t Bài 4.5 Tính tích phân đường loại hai sau: 1)  ( x  y ) dx  ( x  y ) dy ABC với ABC đường gấp khúc nối điểm A (0, 0), B (2, 2), C (4, 0) 2)  ydx  ( y  x )dy Với L cung Parabol y = 2x - x2 nằm trục Ox theo L chiều ngược chiều kim đồng hồ 3) Tính I   ( xy 1)dx  x ydy Với AB cung nối từ điểm A (1, 0) đến điểm B AB (0, 2) theo đường sau: i) 2x+y = ii) 4x +y2 = iii ) x  y2  Bài 4.6 Tính tích phân đường loại hai sau:  ( xy  x  y)dx  ( xy  x  y)dy L Với L đường tròn x2 + y2 = ax theo chiều dương (a > 0) Bài 4.7 Tính tích phân đường I   (x  y )dx  xydy AB với AB đoạn thẳng nối từ A (1; 1) đến B (3; 4) Bài 4.8 Tính I   xdy  ydx , biết K chu tuyến tam giác ABC ngược K chiều kim đồng hồ với A (1; 2), B (3; 1), C (2; 5) Bài 4.9 Tính tích phân I   2( x2  y )dx  ( x  y)2 dy cách sử dụng công L thức Green, biết L chu tuyến tam giác với đỉnh A(1;1); B(2;2); C(1;3) ngược chiều kim đồng hồ Bài 4.10 Tính tích phân I    x ydx  xy dy cách sử dụng công thức L Green, biết L vòng tròn x2  y  R2 ( R  0) ngược chiều kim đồng hồ 179 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Trí, Tốn Cao Cấp tập II, III, Nhà xuất Giáo dục, năm 2003 [2] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán Cao Cấp tập II, III, Nhà xuất Giáo dục, năm 2003 [3] Phạm Ngọc Thao, Giáo trình Tốn đại cương, tập I, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 1998 [4] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích tập II, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2007 [5] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân tập 2, Nhà xuất Giáo dục, năm 2003 [6] Đinh Ngọc Thanh, Giải tích hàm biến , Nhà xuất Giáo dục, năm 2002 [7] Trường Đại học Thủy Lợi, Bộ mơn Tốn học, Giải tích nhiều biến số, Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công Nghệ, năm 2010 [8] P.E Đankơ, A.G Popơp, T.Ia Cơgiepnhicơva, Bài tập Tốn học Cao Cấp phần I , Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà nội, Nhà xuất “Mir” Maxcơva, năm 1983 [9] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích tập hai, Giáo trình Đại học đại cương, Nhà xuất Giáo dục, năm 2001 180 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Trang Chương PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 Hàm số 1.2 Tích phân suy rộng 65 1.3 Chuỗi số 1.4 Chuỗi số dương 78 81 1.5 Chuỗi đan dấu có dấu 90 1.6 Chuỗi hàm số 94 BÀI TẬP CHƯƠNG Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 106 109 2.1 Các khái niệm 2.2 Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến 109 120 2.3 Cực trị tự 135 2.4 Cực trị có điều kiện (đọc thêm) BÀI TẬP CHƯƠNG 143 145 Chương TÍCH PHÂN BỘI 148 3.1 Tích phân hai lớp 148 3.2 Tích phân ba lớp BÀI TẬP CHƯƠNG 160 168 Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 4.1 Tích phân đường loại 170 170 4.2 Tích phân đường loại 174 4.3 Công thức Green BÀI TẬP CHƯƠNG 177 179 TÀI LIỆU THAM KHẢO 181 ... m(m  1) (m  n  1) x n m(m  1) x +…+ +o(xn) n! 2! n ? ?1 x x x3 + -…+( -1) n n  + o(xn +1) 5) ln (1+ x)= x x k ? ?1 x3 x 6) y = arctanx = x - + -…+( -1) k -1 (2k  1) + o( x2k ) 4) (1  x)m   mx + 7)... x 11 (arcsin x)  (a x )  a x ln a  (e x )  e x 12 (arccos x)  (log a x) /  1  (ln x)  x.ln a x (sin x)  cos x 13 (arctan x)  1  x2 ? ?1  x2 1  x2 14 (arccot anx)  ? ?1  x2... 0 ta có 1 ax  bx lim[x ln( )] x  x x x x x x a b a b a b  1) ] (  1) , x   )  ln [1  ( 2 x  ) ln( x (do ( x a b  1) VCB  1x  a b a ? ?1? ?? b x ? ?1  x? ?1 a  ln a  ln b   1)  lim