Bài tập lớn đại số tuyến tính -2013 1 Hình thức đánh giá 1.1 Phần 1: Lập trình 2 câu (5điểm) . • Chạy được chương trình: 3 điểm. • Hỏi các lệnh trong chương trình: 2 điểm. 1.2 Phần 2: Giải bài toán cụ thể bằng các lệnh matlab trên Command window. (5 điểm) Phân làm 2 phần • 3 câu loại 1: mỗi câu 1 điểm • 1 câu loại 2: 2 điểm (cho làm trong 5phút, chấm theo mức độ hoàn thiện công việc). 2 Bài tập lập trình Đề tài 1 1. Nhập vào ma trận A. Kiểm tra xem A có vuông hay không? Nếu có, dùng lệnh rref để tìm ma trận nghịch đảo. Không được dùng bất cứ lệnh nào tính trực tiếp ma trận nghịch đảo. 2. Nhập vào một họ véc tơ ở dạng ma trận cột. Kiểm tra xem họ véc tơ có độc lập tuyến tính hay không? Nếu có, dùng công thức Gram-smith trực chuẩn họ véc tơ. Dùng lệnh norm và dot để tính độ dài và tích vô hướng của 2 véc tơ. Không được dùng lệnh qr. Đề tài 2 1. Nhập 2 họ véc tơ E, F dưới dạng ma trận cột, vuông cấp n. Xét xem 2 họ véc tơ có là cơ sở hay không? Nếu có, nhập ma trận của axtt f trong cơ sở E và tìm ma trận của f trong cơ sở F . 2. Nhập vào ma trận A. Kiểm tra A có vuông và đối xứng hay không? Nếu có, tính các các định thức con chính của A và suy ra A có xác định dương hay âm : nếu các định thức con chính dương thì A xác định dương; nếu các định thức con lẻ âm và chẵn dương thì A xác định âm; trường hợp còn lại không kết luận được gì. Đề tài 3 1. Nhập 2 ma trận A, B. Kiểm tra điều kiện để của phép nhân A.B. Nếu thỏa, hãy tính từng phần tử của ma trận tích AB theo định nghĩa và xuất ra ma trận tích. 2. Nhập vào ma trận A. Đưa A về dạng bậc thang. Xuất ra ma trận bậc thang của A và hạng ma trận A. Không được dùng lệnh rref, rank. 1 Đề tài 4 1. Nhập họ véc tơ E ở dạng ma trận cột. Kiểm tra xem E có là cơ sở hay không? Nếu có nhập ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E và véc tơ x. Tìm f (x). 2. Nhập vào ma trận A. Kiểm tra xem A có vuông và khả nghịch hay không? Nếu có, hãy tính các phần tử bù đại số A ij , lập ma trận phụ hợp và suy ra ma trận nghịch đảo. Không được dùng bất cứ lệnh mặc định nào tìm ma trận nghịch đảo. Đề tài 5 1. Nhập ma trận A, b. Xét xem hệ Ax = b có là hệ Cramer hay không? Nếu có, hãy tìm nghiệm của hệ theo công thức Cramer. 2. Nhập ma trận A. Kiểm tra A vuông và dùng lệnh rank hoặc det kiểm tra A khả nghịch hay không? Nếu có, hãy tìm ma trận nghịch đảo của A bằng phép biến đổi sơ cấp. Không được dùng lệnh rref hay lệnh mặc định tìm ma trận nghịch đảo. Đề tài 6 1. Nhập đa thức f(x) và ma trận vuông A. Kiểm tra xem A có vuông hay không? Nếu có, hãy tính f (A). 2. Nhập 2 không gian con ở dạng ma trận cột (KG con sinh bởi các véc tơ cột). Kiểm tra xem 2 KG con có tương thích về số chiều hay không? Nếu có, hãy tìm cơ sở GK giao của 2 KG trên. Được dùng tất cả các lệnh của Matlab. Đề tài 7 1. Nhập 2 ma trận cùng số cột A, B. Kết hợp với lệnh null, tìm cơ sở và số chiều của giao 2 không gian nghiệm của hệ thuần nhất Ax = 0, Bx = 0. 2. Nhập các véc tơ tập sinh của V ở dạng ma trận cột và véc tơ x. Tìm một cơ sở của V và tìm hình chiếu vuông góc của x xuống không gian con V . Đề tài 8 1. Nhập 2 tập véc tơ ở dạng ma trận. Kết hợp lệnh rref để tìm cơ sở và số chiều của tổng 2 không gian con sinh bởi 2 tập trên. 2. Nhập vào ma trận A và véc tơ cột b. Giải hệ phương trình Ax = b. Hướng dẫn: Dùng lệnh rank để xét xem hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hay vô số nghiệm. Trong trường hợp hệ vô số nghiệm, ta tìm nghiệm tổng quát ở dạng x tq = x r + x tn . Trong đó, x tn là KG nghiệm của hệ Ax = 0 được tìm bằng lệnh null. Tìm x r : dùng lệnh rref đưa về bậc thang và tìm các ẩn cơ sở. Cho các ẩn tự do bằng 0, ta được hệ Cramer gồm r pt , r ẩn số. Tìm nghiệm hệ này ta được nghiệm riêng. Xuất ra cơ sở của x tn và x r . Đề tài 9 1. Cho ánh xạ tuyến tính ở dạng ma trận. Tìm cơ sở và số chiều của Imf và ker f. 2. Nhập 2 ma trận cùng số cột A, B. Kết hợp với lệnh null và rref, tìm cơ sở và số chiều của tổng 2 không gian nghiệm của hệ thuần nhất Ax = 0, Bx = 0. 2 Đề tài 10 1. Nhập véc tơ x và tập sinh của V theo ma trận cột. Tìm cơ sở của V , suy ra cơ sở trực chuẩn của V bằng lệnh qr(A). Xuất ra véc tơ hình chiếu. 2. Nhập vào ma trận A. Kiểm tra xem A có vuông hay không? Nếu có, hãy tính định thức A bằng phép biến đổi sơ cấp (có thể đưa về ma trận tam giác hoặc kết hợp với phương pháp khai triển). Không được dùng lệnh det. 3 Các câu hỏi làm trên command window 3.1 Nhóm câu 1 điểm 1. Tìm argument và modul của số phức (a) z = 1 + i √ 3 1 + i . (b) z = (1 + i √ 3)(1 −i). (c) z = −1 + i √ 3 1 −i . 2. Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau (a)  |z + 1 − i| = 1 |z − 1 + 2i| = 2 (b)  |2z − i| = 1 |3z − 3 + 2i| = 2 3. Giải phương trình trong phức (a) z 2 = ¯z. (b) z 2 = z − ¯z. 4. Đưa ma trận     1 1 2 1 2 3 4 5 3 2 7 4 −1 2 −3 1     về dạng bậc thang. 5. Cho A =  2 −1 4 5  ; B =  1 2 0 −1  . Tính vết của ma trận BA T . 6. Cho A =     0 2 −4 −1 −4 5 3 1 7 0 5 −10     . Chứng tỏ r(A) = r(AA T ) = r(A T A). 7. Cho A =  1 2 1 −1 1 −2  , B =   −1 2 0 2 −1 1   , C =   2 1 0 −1 1 1 0 2 −1   . Tính 2AC −(CB) T 8. Tìm chỉ số lũy linh của ma trận   −2 1 1 −3 1 2 −2 1 1   3 9. Tìm chuẩn Frobenius của   3 4 6 2 1 7 −2 5 3   10. Cho A =     1 1 1 1 2 3 −1 4 −1 1 0 2 2 2 3 m     . Với giá trị nào của m thì A khả nghịch? 11. Tìm ma trận nghịch đảo của  1 0 2 0 1 0    1 0 1 1 0 1   . 12. Cho A =   2 1 1 3 1 2 1 −1 0   . Tính f(A), với f(x) = x 2 − 2x −3 13. Tính       2 3 2 3 1 4 −2 3 2       14. Tính       a + x x x x b + x x x x c + x       15. Cho A =   3 −2 6 5 1 4 3 1 1   , B =   1 1 −1 0 2 5 1 −2 7   . Tính det(2AB). 16. Cho A =   −1 3 2 2 1 0 4 3 1   . Tính det(A 2 ). 17. Dùng định thức để biện luận tính khả nghịch của ma trận   1 2 1 2 3 m 3 2 −1   .   1 1 1 2 3 2 5 7 5   18. Cho ma trận A =   2 3 1 3 4 2 5 3 −1   . Tìm P A . 19. Giải phương trình ma trận (a)  2 −1 3 1  .X =  −2 3  (b) X.  3 −2 5 −4  =  −1 2 −5 6  (c)  3 −1 5 −2  .X =  5 6 7 8  (d)   0 −8 3 1 −5 9 2 3 8   X =   −25 23 −30 −36 −2 −26 −16 −26 7   20. Tìm SỐ nghiệm của hệ phương trình        x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 7 2x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 6 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 7 4x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 = 18 4 21. Tìm SỐ nghiệm của hệ phương trình        x 1 + 2x 2 − 3x 3 + 5x 4 = 1 x 1 + 3x 2 − 13x 3 + 22x 4 = −1 3x 1 + 5x 2 + x 3 − 2x 4 = 5 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 − 7x 4 = 4 22. Tìm SỐ nghiệm của hệ phương trình        x 1 −2x 2 +3x 3 −4x 4 = 2 3x 1 +3x 2 −5x 3 +x 4 = −3 −2x 1 +x 2 +2x 3 −3x 4 = 5 3x 1 +3x 3 −10x 4 = 8 23. Giải hệ phương trình theo phương pháp Cramer      x 1 + 2x 2 − x 3 = 12 2x 1 + 3x 2 − 3x 3 = 4 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 = −8 24. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất            x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 1 + x 2 + 3x 3 − x 4 = 2 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 = 6 −2x 1 − x 2 + mx 4 = m − 1 25. Giải hệ phương trình        x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 4x 5 = 0 x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 3x 4 + 7x 5 = 0 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 + x 4 + 5x 5 = 0 x 1 + 5x 2 + 7x 3 + 6x 4 + 10x 5 = 0 26. Tìm hạng và họ con ĐLTT cực đại của họ véc tơ M = {(1; 1; 1; 0), (1; 2; 1; 1)(2; 1; 2; −1)} 27. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con V =< (1; 2; 1; −1), (3; 1; 0; 5), (0; 5; 3; −8) > 28. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con V =< (1; 2; 1; 1), (2; −1; 1;3), (5; 5; 3; 2) >. 29. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F = x 2 + x + 1, 2x 2 + 3x −1, x 2 + 2x −2. 30. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con V = {(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) ∈ R 4 x 1 + x 2 − x 3 = 0 ∧ 2x 1 − x 3 − x 4 = 0} 31. Xét sự ĐLTT, PTTT của họ véc tơ M =  1 1 1 0  ,  2 1 1 −1  ,  5 2 2 −3  . 32. Trong R 3 và cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 2; 1)} và [x] E = (1; −3; 2) T . Tìm x. 33. Trong R 3 và cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 1)}. Tìm toạ độ của x = (1; 2; −1) trong cơ sở E. 34. Tìm m để M = {(1; 2; −1), (2; 1; 3), (−1; 2; m)} là tập sinh của R 3 . 35. Tìm m để M = {(1; −2; 1), (3; 1; −1), (m; 0; 1)} là cơ sở của R 3 . 36. Kiểm tra tập M = {x 2 + x + 1, 2x 2 + x + 1, x 2 + 2x + 2} có là cơ sở của P 2 [x]? 37. Trong R 3 , cho 2 cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1;0)} và E  = {(1; 1; 2), (1; 2; 1), (1; 1; 1)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang E  và ma trận chuyển cơ sở từ E  sang E. 38. Tìm m để x = (1; 0; m) là tổ hợp tuyến tính của M = {(1; 1; 1), (2; 3; 1)}. Hướng dẫn: tìm hạng của M và hạng của {M, x} bằng định thức. 5 39. Trong R 4 , cho 2 không gian con F =        x ∈ R 4 |  1 1 −1 −1 1 −1 3 −1      x 1 x 2 x 3 x 4     = 0        , G =< (2; −1; 0; m) > . Tìm m để G ⊂ F. 40. Trong R 4 , cho không gian con V = {(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) ∈ R 4 |x 1 − x 2 + x 3 = 0 ∧ x 2 + x 3 + x 4 = 0}. Tìm dim(V ⊥ ). 41. Trong R 4 , cho 2 không gian con V 1 =< (8; −6; 1; 0), (−7; 5; 0; 1) >, V 2 =< (1; 0; −8; 7), (0; 1; 6; −5) > . Kiểm tra xem V 1 ⊥ V 2 hay không? 42. Trong R 4 , cho 2 không gian con V 1 =< (−2; 0; −6; 5), (1; 1; −1; 0) >, V 2 =< (2; −1; 1; 2), (−1; 3; 2; m) > . Tìm m để V 1 ⊥ V 2 . 43. Trong không gian R 3 với tích vô hướng chính tắc, cho u = (1; 1;2), v = (2; 1; −1). Tính cos(u, v). 44. Trong không gian R 3 với tích vô hướng chính tắc, cho u = (1; 1; 2), v = (2; 1; −1). Tính d(u, v) và tìm 1 véc tơ w vuông góc với 2 véc tơ u, v. 45. Tìm cơ sở và số chiều nhân của ánh xạ tuyến tính f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (2x 1 + x 2 − 3x 3 ; x 1 − 4x 2 ). 46. Tìm cơ sở và số chiều ảnh của ánh xạ tuyến tính f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (2x 1 + x 2 − 3x 3 ; x 1 − 4x 2 ). 47. Tìm cơ sở và số chiều nhân của ánh xạ tuyến tính f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (x 1 + x 2 ; x 2 + x 3 ; x 1 − x 3 ). 48. Tìm cơ sở và số chiều ảnh của ánh xạ tuyến tính f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (x 1 + x 2 ; x 2 + x 3 ; x 1 − x 3 ). 49. Cho axttf : R 3 −→ R 2 , biết f(1; 1; 0) = (2; −1), f(1; 1; 1) = (1; 2), f (1; 0; 1) = (−1; 1). Tìm f (2; 0; 3). 50. Cho axtt f : R 3 −→ R 2 biết ma trận của f trong cặp cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 1), (2; 1)} là A E,F =  2 1 −3 0 3 4  . Tìm f (1; 2; 3). 51. Cho f (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (x 1 + x 2 ; x 2 + x 3 ; x 3 + x 1 ). Tìm véc tơ x sao cho f (x) = (1; 2; 3). 52. Cho A =  1 6 5 2  và u =  6 −5  , v =  3 −2  . Xét xem véc tơ nào là VTR của A. 53. Cho A =  3 4 6 5  , λ 1 = −1, λ 2 = 3. Số nào là TR của A? 6 54. Cho A =   3 1 1 2 4 2 1 1 3   . Tìm tất cả các TR và VTR tương ứng của ma trận A. 55. Cho A =   0 −8 6 −1 −8 7 1 −14 m   . Tìm m để A có trị riêng bằng 2. Tìm tất cả các TR và VTR tương ứng của ma trận A với m vừa tìm được. 3.2 Nhóm câu 2 điểm 1. Cho A =   1 2 3 2 5 4 3 7 8   . Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng các phép biến đổi sơ cấp. 2. Trong R 3 , cho M = {(1; 2; −1), (3; 2; −1), (0; 2; −1)}. Tìm m để (3; 8; m) là tổ hợp tuyến tính của M . 3. Trong R 3 , cho V =< (1; 2; −1), (3; 2; −1), (0; 2; −1) >. Tìm m để (−3; 5; m) ∈ V . 4. Trong R 4 , cho U = (1, 2, 1, 1); (2, 1, 0, −2) và V = (1, 5, 3, 5); (3, 0, −1, m). Tìm m để U ≡ V . Hướng dẫn: Kiểm tra v 1 ∈ U. Để v 2 ∈ U thì r(u 1 , u 2 , v 2 ) = 2 suy ra mọi ma trận con cấp 3 suy biến. Chọn ma trận con cấp 3 có chứa m, tính định thức suy ra m. Thử lại suy ra kết quả. 5. Trong R 4 , cho V là tập nghiệm của hệ phương trình      x 1 + x 2 − x 3 = 0 2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + 2x 3 + mx 4 = 0 Tìm m để dim(V ) lớn nhất. Tìm cơ sở và số chiều của V với m ở câu a. 6. Trong R 4 , cho U = (1, 2, 1, 0);(2, −1, 1, 1) V = (1, 1, −2, 1); (2, 0, 4, m). Tìm m để dim(U + V ) bé nhất. Tìm cơ sở và số chiều của U + V . 7. Trong R 4 , cho 2 không gian dưới dạng tập nghiệm của hệ phương trình U :  1 1 2 0 0 −1 1 −1 2 0  , V :  1 2 2 2 0 −1 0 −1 m 0  . Tìm m để dim(U ∩ V ) lớn nhất. Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . 8. Trong R 4 , cho không gian con V = {(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) ∈ R 4 |x 1 − x 2 + x 3 = 0 ∧ x 2 + x 3 + x 4 = 0}. Tìm một cơ sở của V ⊥ . 9. Trong R 4 , cho không gian con V = {(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) ∈ R 4 |x 1 + x 2 + x 3 = 0 ∧ −x 1 + x 2 + x 4 = 0}. Tìm một cơ sở của V ⊥ . 10. Trong R 4 , cho KG con V =< (2; −1; 1; 0), (−2; 1; 0; 1) > và x = (1; 1; 0; 1). Tìm P r V (x). 7 11. Trong R 3 , cho 2 KG con V 1 =< (1; 2; 1), (−1; 0; 1) >, V 2 = {(x 1 ; x 2 ; x 3 ) ∈ R 3 |x 1 − x 2 + mx 3 = 0} Tìm m để V 1 ≡ V 2 . 12. Trong không gian R 3 với tích vô hướng chính tắc, cho F =< (1; 1; 2), (2; 1; −1) > và véc tơ x = (1; 2; 3). Tìm hình chiếu của x xuống F . 13. Trong R 3 , cho tích vô hướng (x, y) = x 1 y 1 + 2x 2 y 2 + 3x 3 y 3 −x 1 y 3 −x 3 y 1 . Tính góc và khoảng cách giữa 2 véc tơ u = (1; 1; 2) và v = (2; 1; −1). Hướng dẫn: Nhập tích vô hướng dưới dạng ma trận đối xứng A: (u, v) = uAv T . 14. Trong R 3 , cho tích vô hướng (x, y) = x 1 y 1 + 2x 2 y 2 + 5x 3 y 3 −2x 1 y 3 −2x 3 y 1 . Tìm không gian bù vuông góc của F =< (1; 2; 3) >. 15. Cho axttf : R 3 −→ R 2 , biết f(1; 1; 0) = (2; −1), f(1; 1; 1) = (1; 2), f (1; 0; 1) = (−1; 1). Tìm f (x 1 ; x 2 ; x 3 ). 16. Cho axtt f : R 3 −→ R 2 biết f (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (x 1 + 2x 2 − 3x 3 ; 2x 1 + x 3 ). Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 3), (2; 5)}. 17. Cho axtt f : R 3 −→ R 3 biết ảnh của một tập sinh f(1; 1; 1) = (1; 2; 1), f(1; 1; 2) = (2; 1; −1), f(1; 2; 1) = (5; 4; −1) Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 1; 1)}. 18. Cho axtt f : R 3 −→ R 2 biết ma trận của f trong cặp cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 1), (2; 1)} là A E,F =  2 1 −3 0 3 4  . Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc. 19. Cho axtt f : R 3 −→ R 3 có ma trận trong cơ sở E = {(1; 2; 1), (1; 1; 2), (1; 1; 1)} là A =   1 0 1 2 1 4 1 1 3   . Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc. 20. Cho axtt f : R 3 −→ R 3 có ma trận trong cơ sở E = {(1; 2; 1), (1; 1; 2), (1; 1; 1)} là A =   1 0 1 2 1 4 1 1 3   . Tìm ma trận của f trong cơ sở E  = {(1; 2; 3), (2; 3; 5), (5; 8; 4)}. 21. Cho axtt f : R 3 −→ R 3 có ma trận trong cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} là A E =   1 1 −1 2 3 3 1 2 4   . Tìm cơ sở và số chiều của Imf. 22. Cho axtt f : R 3 −→ R 3 có ma trận trong cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} là A E =   1 1 −1 2 3 3 1 2 4   . Tìm cơ sở và số chiều của ker f. 8 Chú ý: Những bài tập cụ thể trên chỉ đại diện cho một lớp các bài toán tương tự. Do vậy, mọi tính toán các em phải dùng matlab mà không được tính bằng tay. 9 . đánh giá 1.1 Phần 1: Lập trình 2 câu ( 5đi m) . • Chạy được chương trình: 3 đi m. • Hỏi các lệnh trong chương trình: 2 đi m. 1.2 Phần 2: Giải bài toán cụ thể. các lệnh matlab trên Command window. (5 đi m) Phân làm 2 phần • 3 câu loại 1: mỗi câu 1 đi m • 1 câu loại 2: 2 đi m (cho làm trong 5phút, chấm theo mức