TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - BIẾN ĐỔI LAPLACE Môn: Điều khiển tối ưu Sinh viên thực hiện: GIÁP VĂN HIỆP 20091069 TRẦN NGỌC DUYỆT 20090497 Hà Nội - 2013 Điều khiển tối ưu Table Laplace Transform Pais STT f(t) F (s) 1 Unit impluse δ(t) 1 2 Unit step 1(t) 1 s 3 t 1 s 2 4 t n−1 (n−1)! (n = 1, 2, . . .) 1 s n 5 t n (n = 1, 2, . . .) n! s n+1 6 e −at 1 s+a 7 te −at 1 (s+a) 2 8 1 (n−1)! t n−1 e −at (n = 1, 2, . . .) 1 (s+a) n 9 t n e −at (n = 1, 2, . . .) n! (s+a) n+1 10 sin ωt ω s 2 +ω 2 11 cos ωt s s 2 +ω 2 12 sinh ωt ω s 2 −ω 2 13 coth ωt s s 2 −ω 2 14 1 a (1 − e −at ) 1 s(s+a) 15 1 b−a (e −at − e −bt ) 1 (s+a)(s+b) 16 1 b−a (be −bt − ae −at ) s (s+a)(s+b) 17 1 ab  1 + 1 a+b (be −at − ae −bt )  1 s(s+a)(s+b) 18 1 a 2 (1 − e −at − ate −at ) 1 s(s+a) 2 19 1 a 2 (at − 1 + e −at ) 1 s 2 (s+a) 20 e −at sin ωt ω (s+a) 2 +ω 2 21 e −at cos ωt s+a (s+a) 2 +ω 2 22 ω n √ 1−ξ 2 e −ξω n t sin ω n  1 − ξ 2 t ω 2 n s 2 +2ξω n s+ω 2 n 23 − 1 √ 1−ξ 2 e −ξω n t sin  ω n  1 − ξ 2 t − φ  φ = arctan √ 1−ξ 2 ξ s s 2 +2ξω n s+ω 2 n 24 1 − 1 √ 1−ξ 2 e −ξω n t sin  ω n  1 − ξ 2 t + φ  φ = arctan √ 1−ξ 2 ξ ω 2 n s(s 2 +2ξω n s+ω 2 n ) 25 1 − cos ωt ω 2 s(s 2 +ω 2 ) 26 ωt − sin ωt ω 3 s 2 (s 2 +ω 2 ) 27 sin ωt − ωt cos ωt 2ω 3 (s 2 +ω 2 ) 2 28 1 2ω t sin ωt s (s 2 +ω 2 ) 2 2 Điều khiển tối ưu STT f(x) F (s) 29 t cos ωt s 2 −ω 2 (s 2 +ω 2 ) 2 30 1 ω 2 2 −ω 2 1 (cos ω 1 t − cos ω 2 t) (ω 2 1 = ω 2 2 ) s (s 2 +ω 2 1 )(s 2 +ω 2 2 ) 31 1 2ω (sin ωt + ωt cos ωt) s 2 (s 2 +ω 2 ) 2 Chứng minh các công thức ở bảng trên: 1. L{δ(t)} = 1. Chứng minh. Hàm Unit impluse δ(t): δ(t) =  +∞ nếu x = 0 0 nếu x = 0 và thỏa mãn +∞  −∞ δ(t)dt = 1. Khi đó L{δ(t)} = ∞  0 − δ(t)e −st dt = 0 +  0 − δ(t)e −st dt = 0+  0 − δ(t)dt = 1 2. L{u(t)} = 1 s . Chứng minh. Ta có f(t)=Unit step u(t) u(t) =  1 nếu t ≥ 0 0 nếu t < 0 Vậy L{u(t)} = ∞  0 f(t)e −st dt = ∞  0 e −st dt = − 1 s ∞  0 e −st d(−st) = − 1 s  lim t→∞ e −st − 1  = 1 s , (s > 0) 3 Điều khiển tối ưu 3. L{t} = 1 s 2 Chứng minh. Ta có L{t} = ∞  0 f(t)e −st dt = ∞  0 te −st dt = − 1 s ∞  0 td(e −st ) − 1 s   lim t→∞ (te −st ) − 0  − ∞  0 e −st dt  (2) = − 1 s  0 − 1 s  = 1 s 2 (do lim t→∞ te −st = lim t→∞ e ln t e −st = lim t→∞ e ln t−st = 0, s > 0) 4. L  t n−1 (n − 1)!  = 1 s n , n = 1, 2, . . . Chứng minh. Ta có • Với n=1,2 thì đẳng thức trên đúng. • Giả sử đẳng thức trên đúng với n = k, tức là L  t k−1 (k −1)!  = 1 s k (∗) • Ta sẽ chứng minh đẳng thức trên đúng với n = k + 1, tức là L  t k k!  = 1 s k+1 Thật vậy, ta có L  t k k!  = ∞  0 t k k! e −st dt = − 1 s ∞  0 t k k! d(e −st ) = − 1 s  t k k! e −st    ∞ 0 − ∞  0 t k−1 (k−1)! e −st dt  (∗) = − 1 s  lim t→∞ t k k! e −st − 0  − 1 s k  Ta có lim t→∞ t k k! e −st = 1 k! lim t→∞ t k e −st = 1 k! lim t→∞ e k ln|t| e −st = 1 k! lim t→∞ e k ln t−st = 0 với s > 0 Từ đó L  t k k!  = − 1 s  0 − 1 s k  = 1 s k+1 4 Điều khiển tối ưu 5. L{t n } = n! s n+1 n = 1, 2, . . . Chứng minh. Ta có hàm Gama được định nghĩa như sau: Γ(n) = ∞  0 e −x x n−1 dx với n > 0 và công thức truy hồi Γ(n) = (n − 1)! Khi đó L{t n } = ∞  0 t n e −st dt Đặt u = st ⇒ t = u s , dt = du s , suy ra L{t n } = 1 s n+1 ∞  0 e −u u n du = Γ(n + 1) s n+1 = n! s n+1 , s > 0 6. L  e −at  = 1 s + a Chứng minh. Ta có L{e −at } = ∞  0 e −at e −st dt = ∞  0 e −(s+a)t dt = − 1 s+a ∞  0 d(e −(s+a)t ) = − 1 s+a  lim t→∞ e −(s+a)t − 1  = 1 s+a , s > −a 7. L  te −at  = 1 (s + a) 2 5 Điều khiển tối ưu Chứng minh. Ta có L{te −at } = ∞  0 te −at e st dt = ∞  0 te −(s+a)t dt = − 1 s+a ∞  0 td  e −(s+a)t  = − 1 s+a   lim t→∞ te −(s+a)t − 0  − ∞  0 e −(s+a)t dt  (6) = − 1 s+a  0 − 1 s+a  = 1 (s+a) 2 (do lim t→∞ te −(s+a)t = lim t→∞ e ln t−(s+a)t = 0, s > −a) 8. L  1 (n − 1)! t n−1 e −at  = 1 (s + 1) n n = 1, 2, . . . Chứng minh. Ta có • n = 2 thì đẳng thức trên đúng. • Giả sử đúng với n = k L  1 (k −1)! t k−1 e −at  = 1 (s + 1) k (∗∗) • Ta sẽ chứng minh đúng với n = k + 1, tức là L  1 k! t k e −at  = 1 (s + 1) k+1 Thật vậy L  1 k! t k e −at  = ∞  0 1 k! t k e −at e −st dt = 1 k! ∞  0 t k e −(s+a)t dt = − 1 k! 1 s+a ∞  0 t k d(e −(s+a)t ) = − 1 k! 1 s+a   lim t→∞ t k e −(s+a)t − 0  − ∞  0 kt k−1 e −(s+a)t dt  − 1 s+a  0 − ∞  0 t k−1 (k−1)! e −(s+a)t dt  (∗∗) = − 1 (s+a)  0 − 1 (s+a) k  = 1 (s+a) k+1 (do lim t→∞ t k e −(s+a)t = lim t→∞ e ln t−(s+a)t = 0, s > −a) 6 Điều khiển tối ưu 9. L  t n e −at  = n! (s + a) n+1 n = 1, 2, . . . Chứng minh. Ta có • n = 1, đúng. • Giả sử đúng với n = k, L  t k e −at  = k! (s + a) k+1 (∗ ∗ ∗) • Ta sẽ chứng minh đúng với n = k + 1, tức là L  t k+1 e −at  = (k + 1)! (s + a) k+2 Thật vậy L  t k+1 e −at  = ∞  0 t k+1 e −at e −st dt = − 1 s+a ∞  0 t k+1 d(e −(s+a)t ) = − 1 s+a  lim t→∞  t k+1 e −(s+a)t − 0  − ∞  0 (k + 1)t k e −(s+a)t dt  = − 1 s+a  0 − (k + 1) ∞  0 t k e −st e −st dt  (∗∗∗) = − 1 s+a  0 − k! (s+a) k+1  = (k+1)! (s+a) k+2 (do lim t→∞ t k+1 e −(s+a)t = lim t→∞ e (k+1) ln t−(s+a)t = 0, s > −a) 10. L{sin ωt} = ω s 2 + ω 2 Chứng minh. Ta có sin ωt = e iωt − e −iωt 2i 7 Điều khiển tối ưu Từ đó L{sin ωt} = ∞  0 e iωt −e −iωt 2i e −st dt = 1 2i  ∞  0 e −(s−iω)t dt − ∞  0 e −(s+iω)t dt  (6) = 1 2i  1 s−iω − 1 s+iω  = ω s 2 +ω 2 s > 0 Cách khác: Ta có L{sin ωt} = ∞  0 e −st sin ωtdt = I I = − 1 s ∞  0 sin ωtd(e −st ) = − 1 s  e −st sin ωt| ∞ 0 − ω ∞  0 e −st cos ωtdt  = − 1 s  e −st sin ωt| ∞ 0 − ω s ∞  0 cos ωtd(e −st )  = − 1 s  e −st sin ωt| ∞ 0 − ω s  e −st cos ωt| ∞ 0 + ω ∞  0 sin ωtd(e −st )  = − 1 s  e −st sin ωt| ∞ 0 − ω s  e −st cos ωt| ∞ 0 + ωI  ⇒ I = e −st s 2 +ω 2 (ω cos ωt − s sin ωt)| ∞ 0 = ω s 2 +ω 2 , s > 0 11. L{cos ωt} = s s 2 + ω 2 Chứng minh. Ta có cos ωt = e iωt + e −iωt 2 Khi đó L{cos ωt} = ∞  0 e iωt +e −iωt 2 e −st dt = 1 2  ∞  0 e −(s−iω)t dt + ∞  0 e −(s+iω)t dt  (6) = 1 2i  1 s−iω + 1 s+iω  = s s 2 +ω 2 , s > 0 Cách khác: Ta có L{sin ωt} = ∞  0 e −st sin ωtdt = J 8 Điều khiển tối ưu J = − 1 s ∞  0 cos ωtd(e −st ) = − 1 s  e −st cos ωt| ∞ 0 + ω ∞  0 e −st sin ωtdt  = − 1 s  e −st cos ωt| ∞ 0 − ω s ∞  0 sin ωtd(e −st )  = − 1 s  e −st cos ωt| ∞ 0 − ω s  e −st sin ωt| ∞ 0 − ω ∞  0 e −st cos ωtdt  = − 1 s  e −st cos ωt| ∞ 0 − ω s  e −st sin ωt| ∞ 0 − ωJ  ⇒ J = e −st s 2 +ω 2 (ω sin ωt − s cos ωt)| ∞ 0 = s s 2 +ω 2 , s > 0 12. L{sinh ωt} = ω s 2 − ω 2 Chứng minh. Ta có L{sinh ωt} = ∞  0 e ωt −e −ωt 2 e −st dt = 1 2  ∞  0 e −(s−ω)t dt − ∞  0 e −(s+ω)t dt  (6) = 1 2  1 s−ω − 1 s+ω  = ω s 2 −ω 2 s > |ω| 13. L{cosh ωt} = s s 2 − ω 2 Chứng minh. Ta có L {cosh ωt} = ∞  0 e ωt +e −ωt 2 e −st dt = 1 2  ∞  0 e −(s−ω)t dt + ∞  0 e −(s+ω)t dt  (6) = 1 2  1 s−ω + 1 s+ω  = s s 2 −ω 2 s > |ω| 14. L  1 a (1 − e −at )  = 1 s(s + a) 9 Điều khiển tối ưu Chứng minh. Ta có L  1 a (1 − e −at )  = ∞  0 1 a (1 − e −at )e −st dt = 1 a  ∞  0 e −st dt − ∞  0 e −(s+a)t dt  (2),(6) = 1 a  1 s − 1 s+a  = 1 s(s+a) , s > max {0, −a} 15. L  1 b − a (e −at − e −bt )  = 1 (s + a)(s + b) Chứng minh. Ta có L  1 b−a (e −at − e −bt )  = ∞  0 1 b−a (e −at − e −bt )e −st dt = 1 b−a  ∞  0 e −(s+a)t dt − ∞  0 e −(s+a)t dt  (6) = 1 b−a  1 s+a − 1 s+b  = 1 (s+a)(s+b) , s > max {−a, −b} 16. L  1 b − a (be −bt − ae −at )  = s (s + a)(s + b) Chứng minh. Ta có L  1 b−a (be −bt − ae −at )  = ∞  0 1 b−a (be −bt − ae −at )e −st dt = 1 b−a  b ∞  0 e −(s+b)t dt − a ∞  0 e −(s+a)t dt  (6) = 1 b−a  b s+b − a s+a  = s (s+a)(s+b) , s > max {−a, −b} 17. L  1 ab  1 + 1 b − a (be −at − ae −bt )  = 1 s(s + a)(s + b) 10 [...]... s2 +ω2 = (s2 +ω2 )(s2 +ω2 ) , 1 2 2 1 2 1 20 s>0 Điều khiển tối ưu 31 1 (sin ωt) + ωt cos ωt 2ω L = s2 (s2 + ω 2 )2 Chứng minh Ta có L = 1 2ω 1 2ω ∞ (sin ωt) + ωt cos ωt = ∞ e −st ∞ sin ωt + ω 0 (sin ωt) + ωt cos ωtdt e−st t cos ωtdt 0 0 (10),(29) 1 2 2 ω = 2ω s2 +ω2 + ω s2 −ω2 2 (s +ω ) s2 = (s2 +ω2 )2 , s > 0 21 e−st 2ω Điều khiển tối ưu Properties of Laplace Transforms L [Af (t)] = AF (s) L [f1 (t)... L = 1 a ∞ − 1 + e−at ) = −st te 0 (2),(3),(6) 1 1 = a s2 1 = s2 (s+a) , dt − 1 a2 ∞ 0 ∞ e −st 1 a2 (at dt + 0 1 1 1 − a2 1 + a2 s+a s s > max {0, −a} 11 1 a2 − 1 + e−at )e−st dt ∞ 0 e−(s+a)t dt Điều khiển tối ưu 20 L e−at cos ωt = ω (s + a)2 + ω 2 Chứng minh Ta có ∞ L e−at cos ωt = ∞ e−st e−at cos ωtdt = 0 ∞ 1 I = − s+a 0 sin ωtd(e−(s+a)t ) 0 1 = − s+a e−(s+a)t sin ωt = −(s+a)t e ∞ 0 ∞ 0 1 = − s+a e−(s+a)t... max{0, −a} 0 ∞ ω − s+a 0 ∞ ω − s+a 0 sin ωt e−(s+a)t cos ωtdt −(s+a)t 21 L e−at sin ωt = s+a (s + a)2 + ω 2 Chứng minh Ta có ∞ L e−at cos ωt = ∞ e−st e−at cos ωtdt = 0 e−(s+a)t cos ωtdt = J 0 12 Điều khiển tối ưu ∞ 1 J = − s+a cos ωtd(e−(s+a)t ) 0 1 = − s+a e−(s+a)t cos ωt = = −(s+a)t 1 − s+a e −(s+a)t 1 − s+a e cos ωt cos ωt ∞ 0 ∞ 0 ∞ +ω 0 − ω s+a e−(s+a)t sin ωtdt ∞ sin ωtd(e−(s+a)t ) 0 ∞ ω − s+a 0... tdt = sin ωn 0 ∞ 0 1 − ξ 2 cos ωn 1 − ξ 2 tdt √ ωn 1−ξ 2 = − −s−ξωn cos ωn ∞ −(s+ξωn )t + e−s−ξωn ωn 1 − 0 1− ξ 2 sinωn 13 −(s+ξω )t n ξ 2 t e−s−ξωn ∞ 0 1 − ξ 2 tdt 1 − ξ 2 td e−(s+ξωn )t −s−ξωn Điều khiển tối ưu √ = ωn 1−ξ 2 − −s−ξωn √ ωn 1−ξ 2 −s−ξωn I 1+ Từ đó √ ωn 1−ξ 2 −s−ξωn ⇒I=− √ ωn 1−ξ 2 −s−ξωn 1+ 2 ωn 1 − ξ 2 = 2 2 s + 2ξωn s + ωn Do đó L √ωn 2 eξωn t sin ωn = 1−ξ 2 ωn 2 +2ξω s+ω 2 s n n −ξ... t sin ωn s 2 s2 +2ξωn s+ωn với Φ = arctan √ 1 − ξ 2t − Φ 1−ξ 2 ξ Chứng minh Ta có L −√ 1 1−ξ 2 = −√ 1 = e−ξωn t sin ωn ∞ 1−ξ 2 0 −√ 1 2 J 1−ξ 1 − ξ 2t − Φ e−ξωn t sin ωn 14 1 − ξ 2t − Φ e−st dt Điều khiển tối ưu ∞ J= ∞ e−ξωn t sin ωn 0 sin ωn = e−st dt 1 − ξ 2t − Φ 1 − ξ 2t − Φ d e−(s+ξωn )t s+ξωn ∞ 0 −(s+ξωn )t + = e s+ξωn sin ωn 1 − ξ 2 t − Φ 0 √ 2∞ −(s+ξωn )t ωn 1−ξ cos ωn 1 − ξ 2 t − Φ d e s+ξωn... AB sin(Φ) = BC = ξ 1 = 1 − ξ 2 AC cos(Φ) = BC = ξ Khi đó 1 − ξ2 A=− s + ξωn Tương tự e−(s+ξωn )t −s−ξωn cos cos(Φ) ξ s+ξωn = s+ξωn B= = ωn 15 1 − ξ 2t − Φ ∞ 0 =0− cos(−Φ) −s−ξωn − sin(Φ) s + ξωn Điều khiển tối ưu Do đó ta có √ √ − 1−ξ 2 s+ξωn J= + √ ⇒J = ωn 1−ξ 2 s+ξωn √ ξ s+ξωn − ωn 1−ξ 2 s+ξωn J −s 1−ξ 2 2 s2 +2ξωn s+ωn Vậy L −√ 1 1−ξ 2 = −√ 1 1−ξ 2 = e−ξωn t sin ωn J = −√ 1 1−ξ 2 1 − ξ 2t − Φ √ 2... sin ωn dt − √ 1 ∞ 1−ξ 2 0 0 1 − ξ 2t + Φ 1 − ξ 2t + Φ e−(s+ξωn )t sin ωn e−st dt 1 − ξ 2 t + Φ dt Theo (2) ta có ∞ e−st dt = 1 s 0 Ta cần phải tính ∞ e−(s+ξωn )t sin ωn K= 0 16 1 − ξ 2 t + Φ dt Điều khiển tối ưu Ta có ∞ 1 − ξ 2t + Φ d sin ωn K= e−(s+ξωn )t −s−ξωn ∞ 0 e−(s+ξωn )t + = −s−ξωn sin ωn 1 − ξ 2 t + Φ 0 √ 2∞ −(s+ξωn )t ωn 1−ξ cos ωn 1 − ξ 2 t + Φ d e−s−ξωn s+ξωn 0 √ ωn 1−ξ 2 e−(s+ξωn )t sin(Φ)... ⇒ K = s2 +2ξωn s+ω2 n Vậy L 1− √1 1−ξ 2 − √1 e−ξωn t sin ωn √ 2 (s+2ξωn ) 1−ξ 2 s2 +2ξωn s+ωn = 1 s = 25 1 − ξ 2t + Φ 2 ωn 2 +2ξω s+ω 2 ) s(s n n 1−ξ 2 ω2 L {1 − cos ωt} = s(s2 + ω 2 ) 17 ∞ Φ 0 Điều khiển tối ưu Chứng minh Ta có ∞ (1 − cos ωt)e L {1 − cos ωt} = −st ∞ − s s2 +ω 2 2 ω s(s2 +ω 2 ) , = ∞ dt − e−st cos ωtdt 0 0 0 (2),(11) 1 = s e dt = −st s>0 26 L {ωt − sin ωt} = ω3 s2 (s2 + ω 2 ) Chứng... Ta có ∞ L {sin ωt − ωt cos ωt} = ∞ = e−st sin ωt − ω 0 (10),(29) = ∞ e−st (sin ωt − ωt cos ωt)dt 0 e−st t cos ωtdt 0 ω s2 +ω 2 2 2 −ω − ω (ss2 +ω2 )2 , 28 L 1 t sin ωt 2ω 18 s>0 = s (s2 + ω 2 )2 Điều khiển tối ưu Chứng minh Ta có ∞ 1 2ω L {t sin ωt} = e−st t sin ωtdt = 1 I 2ω 0 ∞ I= 0 = ∞ ∞ e−st t sin ωt|0 = −1 s (10) ∞ e−st t sin ωtdt = − 1 s − t sin ωtd(e−st ) 0 e−st (sin ωt + ωt cos ωt) dt 0 ∞ e−st... s>0 L {t sin ωt} = 29 ∞ (e−st t sin ωt + e−st t cos ωt)|0 2ωs s 1 = 2ω (s2 + ω 2 )2 (s2 + ω 2 )2 s2 − ω 2 L {t cos ωt} = (s2 + ω 2 )2 Chứng minh Ta có ∞ e−st t cos ωtdt = J L {t cos ωt} = 0 19 Điều khiển tối ưu ∞ J= 0 e−st t cos ωt|∞ 0 = −1 s = e−st t cos ωtdt = − 1 s ∞ − 0 −1 s e −st t cos ωt|∞ 0 e−st (cos ωt − ωt sin ωt) dt −st e ∞ cos ωt + ω 0 = − 1 e−st t cos ωt|∞ − 0 s −1 s ∞ e −st t cos ωt|∞ . - BIẾN ĐỔI LAPLACE Môn: Điều khiển tối ưu Sinh viên thực hiện: GIÁP VĂN HIỆP 20091069 TRẦN NGỌC DUYỆT 20090497 Hà Nội - 2013 Điều khiển tối ưu Table Laplace. ωt − ωt cos ωt 2ω 3 (s 2 +ω 2 ) 2 28 1 2ω t sin ωt s (s 2 +ω 2 ) 2 2 Điều khiển tối ưu STT f(x) F (s) 29 t cos ωt s 2 −ω 2 (s 2 +ω 2 ) 2 30 1 ω 2 2 −ω 2 1 (cos