Giáo trình thuỷ khí Dòng khí trên âm 1 Dòng khí trên âm Dòng khí chuyển động với vận tốc trên âm bị hãm sẽ có một số tính chất đặc biệt do tính nén được của nó gây ra. Khi đó trong dòng chảy xuất hiện những mặt gián đoạn mà qua các mặt đó các thông số của dòng chảy thay đổi giá trị một cách đột ngột. Các mặt gián đoạn đó gọi là các mặt sóng va, mặt tăng vọt nén hoặc đường đặc trưng. Khi mặt tăng vọt nén vuông góc với phương dòng chảy ta gọi là tăng vọt nén thẳng, khi nó tạo với phương dòng chảy một góc ≠90 o ta gọi là tăng vọt nén xiên. Ký hiêu “1” cho các thông số của dòng chảy trước mặt tăng vọt nén và “2” cho phía sau mặt tăng vọt nén. ♣1 Sự hình thành mặt tăng vọt nén Mọi sự tăng áp suất trong môi trường chất khí sẽ truyền đi mọi phía với vận tốc lớn dưới dạng sóng va. Các sóng áp lực yếu chuyển động với vận tốc âm, các sóng áp lực mạnh truyền với vận tốc lớn hơn vận tốc âm rất nhiều (Ví dụ tiếng nổ của bom nguyên tử). Sự truyền sóng âm: Nếu trong môi trường khí tĩnh có một nguồn kích động yếu nào đó thì kích động đó truyền theo mọi phương với vận tốc bằng vận tốc âm. Nếu các kích động tuần hoàn thì sau một thời gian, không gian xung quanh nguồn kích động sẽ chứa đầy sóng hình cầu. Nếu những kích động đó xảy ra trong chất khí chuyển động thì vùng truyền kích động sẽ phụ thuộc vào giá trị vận tốc chất khí so với vận tốc truyền kích động. - Nếu vận tốc dòng khí nhỏ hơn vận tốc âm (v<a) thì các sóng kích động truyền đi trong toàn mặt phẳng. - Nếu vận tốc dòng khí bằng vận tốc âm (v=a) thì các kích động yếu truyền đi trong nửa mặt phẳng tạo thành các vòng tròn đều đi qua một điểm. - Nếu vận tốc dòng khí lớn hơn vận tốc âm (v>a) thì các kích động truyền đi trong một nón kích động với các đường sinh gọi là đường kích động hay đường đặc trưng. Gọi α là góc của nón, ta có 2 M 1 v a sin ==α 3 Sự hình thành mặt tăng vọt nén Giả sử có sự tăng áp suất đột ngột trong chất khí dưới dạng sóng yếu (vdụ piston chuyển động đột ngột trong xilanh). ở miền gần piston áp suất sẽ thay đổi lớn còn ở xa thì không đổi, ví dụ ở vùng sát trước piston chất khí bị nén nên ρ, p, T tăng, ở vùng sát sau piston chất khí bị loãng ra nên ρ, p, T giảm: Tại một thời điểm, các thông số của chất khí thay đổi liên tục từ gía trị ở gần piston đến giá trị ở xa vô cùng, Sự thay đổi này được truyền đi với vận tốc âm cục bộ. Tại thời điểm t 1 , nhiệt độ chất khí ở trước piston có giá trị lớn (vì p=ρgRT) và giảm dọc theo ống theo chiều tăng của x do đó vận tốc âm kgRTa = sẽ giảm dọc theo ống, còn sau piston vận tốc âm sẽ tăng dọc theo ống theo chiều ngược với chiều của x. Nếu sóng áp suất trước và sau piston tại thời điểm t 1 được biểu diễn bởi đường cong 1 thì các đường cong tương ứng ở các thời điểm t 2 , t 3 ở phia trước piston có độ dốc tăng dần và đến thời điểm t 4 đường cong sẽ vuông góc với trục x, hình thành mặt tăng vọt, qua đó các giá trị áp suất, vận tốc, khối lượng riêng và nhiệt độ sẽ thay đổi đột ngột, hình thành mặt tăng vọt nén thẳng. Tại vùng phía sau piston, ở vùng khí loãng áp suất tăng dần về phía x<0, vận tốc âm tăng dần về phía x giảm, độ dốc của các đường cong giảm dần tạo thành những sóng bành trướng. 4 Mối liên hệ giữa vận tốc truyền mặt sóng nén và vận tốc của dòng khí sau mặt tăng vọt nén (v 2 ) Giả sử sau khoảng thời gian vô cùng nhỏ dt, mặt TVN di chuyển 1 đoạn dx; trong vùng dx này p 1 tăng lên p 2 và ρ 1 tăng lên ρ 2 . Như vậy trong thời gian dt, trọng lượng chất khí chảy vào vùng dx là: dG=(ρ 2 - ρ 1 ).g.F.dx (1) với dx=v s .dt F: tiết diện của ống Từ pt liên tục cũng có thể suy ra vận tốc dòng khí v 2 dG=ρ 2 g.F.v 2 .dt (2) Vậy (ρ 2 - ρ 1 ).g.F.dx = ρ 2 g.F.v 2 .dt Hay 12 2 2s v dt dx v ρ−ρ ρ == (3) áp dụng định lý biến thiên động lượng cho khối khí trong miền dx: ( ) ( ) FdtppdtRvmd 12 −⇒= ( ) ( ) 12 12 s12122 v pp dt dx vFdtppFdxvdmvvmd ρ − ==⇒−=ρ== (4) (3)*(4) 1 2 12 12 s vv pp v ρ ρ − − = (5) Nếu sóng yếu : p 2 ≈ p 1 ρ 2 ≈ ρ 1 a d dp v s = ρ =⇒ Kết luận: Sóng kích động yếu trùng với sóng âm; sóng nén mạnh thì có vận tốc truyền sóng v s >a 5 ♣2 Tăng vọt nén thẳng: Dòng chảy không thay đổi phương khi đi qua mặt tăng vọt nén I. Hệ thức động học cơ bản: là biểu thức liên hệ giữa v 1 và v 2 Khảo sát trước và sau mặt tăng vọt nén thẳng, có diện tích mặt cắt dS=1 Pt biến thiên lưu lượng: 2211 vv ρ=ρ (6) Pt biến thiên động lượng (bỏ qua lực ma sát và lực khối): 11122221 vvvvpp ρ−ρ=− (7) 21 11 1 22 2 vv v p v p −= ρ − ρ ⇒ (7’) (6); (7) ( ) 122121112212 vvvvvvpp ρ−ρ=ρ−ρ=−⇒ Vậy 12 12 21 pp vv ρ−ρ − = (8) Lập công thức tính a theo thông số dòng hãm và vận tốc dòng khí: Ta có vận tốc âm cục bộ: k 1k oo o 2 p p p ka −         ρ =⇒ Ta lại có:                   − γ− =⇒                   − γ− = −− k 1k oo o 2 k 1k oo o p p 1 p 1k k g2v p p 1 p 1k k g2v o o 2 k 1k o pk2 1k v1 p p ρ − −=         − 6 (1) (2) 2 1k v p k pk2 1k v1 p k p p p ka 2 o o o o 2 o o k 1k oo o 2 − − ρ =         ρ − − ρ =         ρ = − 2 1k v p ka 2 o o − − ρ =⇒ Phương trình Bernoulli: o o 2 p 1k k 2 vp 1k k ρ− =+ ρ− (thông số hãm) ở trạng thái tới hạn (vận tốc dòng khí bằng vận tốc âm): a * =v * 2 1k a p k 2 1k a p ka 2 * o o 2 * o o 2 * + = ρ ⇒ − − ρ = Thay vào pt Ber viết với dòng hãm ta có: ( ) 1k2 1k a p 1k k 2 vp 1k k 2 * o o 2 − + = ρ− =+ ρ− Vậy: 2 2 2 * 2 2 2 1 2 * 1 1 v k2 1k a k2 1kp v k2 1k a k2 1k p − − + = ρ − − + = ρ (9) Thay (9) vào (7’): ( ) ( ) 1 k2 1k vv a k2 1k vvvv k2 1k vv vv a k2 1k vvv k2 1k v a k2 1k v k2 1k v a k2 1k 12 2 * 212121 12 2 * 211 1 2 * 2 2 2 * = − + + ⇒ −=− − +− + ⇒ −= − + + − − − + Vậy: 2 *21 avv = (10): hệ thức động học cơ bản. Kết luận: tích của vận tốc dòng chảy trước và sau mặt TVN bằng bình phương vận tốc âm tới hạn. 7 Hệ thức động học cơ bản có thể biểu diễn dưới dạng: 11 a v a v 21 * 2 * 1 =λ⋅λ⇒=⋅ Vậy dòng trên âm đi qua mặt TVN sẽ thành dòng dưới âm. 8 II. Hệ thức động lực học cơ bản: Tìm mối liên hệ giữa ρ 1 p 1 và ρ 2 p 2 Cộng hai pt (9): ( ) ( ) ( ) 21 2 * 21 21 2121112221 2 22 2 11 2 22 2 11 2 *2121 vv k2 1k a k2 1k pp )11(vao)12(Thay )12(vvvvvvvv )11(vv k2 1k a k2 1k pp − − + = ρ+ρ + ρ+ρ=ρ+ρ=ρ+ρ ρ+ρ − − + ρ+ρ=+ Vì 21 2 * vva = nên k vvpp 21 21 21 = ρ+ρ + (13) Do (8) : 12 12 21 pp vv ρ−ρ − = ⇒ 12 12 21 21 pp k 1 pp ρ−ρ − = ρ+ρ + Hay 21 21 12 12 pp k pp ρ+ρ + = ρ−ρ − (14): Hệ thức động lực học cơ bản Kết luận: tỉ số giữa độ chênh áp suất và khối lượng riêng tỉ lệ với tỉ số giữa áp suất và khối lượng riêng trung bình trước và sau mặt TVN 9 III. So sánh sự biến đổi áp suất và khối lượng riêng trong quá trình đoạn nhiệt và trong TVN thẳng Quá trình đoạn nhiệt: k 2 1 2 1 k 2 2 k 1 1 p p hay pp         ρ ρ = ρ = ρ Nhận xét: áp suất và khối lượng riêng sẽ tăng theo vô hạn TVN thẳng: (14) ⇒ 12 12 12 12 pp pp k − + = ρ−ρ ρ+ρ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 p p 1 p p 1 k p p 1 p p 1 k 1 p p 1 p p 1 k1 p p 1 p p 1 k 1 1 − + − − + ρ ρ =         − ρ ρ             − + =+ ρ ρ − + = − ρ ρ + ρ ρ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 p p 1 p p 1k p p 1k p p 1 p p 1 p p 1 k11 p p 1 p p 1 k −−         +         ++− = ρ ρ ⇒ − + +=             − − + ⋅ ρ ρ 10 [...]... p 2 ρ1 λ1 ( k + 1) − k + 1 k +1 = = = 2 p1 k + 1 − ρ2 ( k − 1) k + 1 − λ1 ( k − 1) 1 − k − 1 λ2 1 ρ1 k +1 p1 p2 (20) Thay (1 9_ vào (20) ta có: p2 p1 p2 p1 k −1   k +1 =  k −1 2  1− λ1  k +1  2k k − 1 2 = M1 − k +1 k + 1  λ2 − 1 (21) Nhận xét: Khi trạng thái 1 là trên âm thì M1>1 do đó p2 >1 nghĩa là p2>p1 p1 14 3) Liên hệ giữa nhiệt độ trước và sau mặt TVN: p=ρgRT ⇒ Pt trạng thái: T2 p 2 ρ1... k + 1 + ( k − 1) (15) (15) là biểu thức va chạm đoạn nhiệt hay đoạn nhiệt Hugoniot ta thấy khi p2 ρ k +1 → ∞ thì 2 → ; nghĩa là ρ tiến đến giá trị hữu hạn p1 ρ1 k −1 p2/p1 2 1 (1) : quá trình đoạn nhiệt 6 (2) : quá trình đoạn nhiệt Hugoniot ρ2/ρ1 12 IV Các mối liên hệ khác: 1) Liên hệ giữa λ và M trong TVN thẳng: Pt liên tục: ρ1 v1 = ρ 2 v 2 ⇒ • λ1 = 2 2 v1 a * v1 v 1 ρ 2 2 v1 v 2 = a ⇒ = 2 ⇒ λ1 = . Giáo trình thuỷ khí Dòng khí trên âm 1 Dòng khí trên âm Dòng khí chuyển động với vận tốc trên âm bị hãm sẽ có một số tính chất. biểu diễn dưới dạng: 11 a v a v 21 * 2 * 1 =λ⋅λ⇒=⋅ Vậy dòng trên âm đi qua mặt TVN sẽ thành dòng dưới âm. 8 II. Hệ thức động lực học cơ bản: Tìm mối liên