TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC HUẾ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PGS.TSKH NGUYỄN CÁT HỒ TS. NGUYỄN CÔNG HÀO Giáo trình LOGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG ( Dành cho học viên cao học ) Huế, 2009 5 Chương 1 LÝ THUYẾT TẬP MỜ 1.1. Tập mờ và thông tin không chắc chắn L.A. Zadeh là người sáng lập ra lý thuyết tập mờ với hàng loạt bài báo mở ñường cho sự phát triển và ứng dụng của lý thuyết này, khởi ñầu là bài báo “Fuzzy Sets” trên Tạp chí Information and Control, 8, 1965. Ý tưởng nổi bật của khái niệm tập mờ của Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ, không chắc chắn như trẻ, nhanh, cao-thấp, xinh ñẹp , ông ñã tìm ra cách biểu diễn nó bằng một khái niệm toán học, ñược gọi là tập mờ, như là một sự khái quát trực tiếp của khái niệm tập hợp kinh ñiển. ðể dễ hiểu chúng ta hãy nhớ lại cách nhìn khái niệm tập hợp kinh ñiển như là khái niệm các hàm số. Cho một tập vũ trụ U. Tập tất cả các tập con của U ký hiệu là P(U) và nó trở thành một ñại số tập hợp với các phép tính hợp ∪, giao ∩, hiệu \ và lấy phàn bù –, (P(U), ∪, ∩, \, –). Bây giờ mỗi tập hợp A ∈ P(U) có thể ñược xem như là một hàm số λ A : U → {0, 1} ñược xác ñịnh như sau:      ∉ ∈ = Axkhi Axkhi x A 0 1 )( λ Mặc dù λ A và A là hai ñối tượng toán học hoàn toàn khác nhau, nhưng chúng ñều biểu diễn cùng một khái niệm về tập hợp: x ∈ A khi và chỉ khi λ A (x) = 1, hay x thuộc vào tập A với “ñộ thuộc vào” bằng 1. Vì vậy, hàm λ A ñược gọi là hàm ñặc trưng của tập A. Như vậy tập hợp A có thể ñược biểu thị bằng một hàm mà giá trị của nó là ñộ thuộc về hay ñơn giản là ñộ thuộc của phần tử trong U vào tập hợp A: Nếu λ A (x) = 1 thì x ∈ A với ñộ thuộc là 1 hay 100% thuộc vào A, còn nếu λ A (x) = 0 thì x ∉ A hay x ∈ A với ñộ thuộc là 0 tức là ñộ thuộc 0%. 0 1 U a λ A (a) =1 1 b λ A (b) = 0 6 Trên cách nhìn như vậy, chúng ta hãy chuyển sang việc tìm kiếm cách thức biểu diễn ngữ nghĩa của khái niệm mờ, chẳng hạn, về lứa tuổi “trẻ”. Giả sử tuổi của con người nằm trong khoảng U = [0, 120] tính theo năm. Theo ý tưởng của Zadeh, khái niệm trẻ có thể biểu thị bằng một tập hợp như sau: Xét một tập hợp A trẻ những người ñược xem là trẻ. Vậy, một câu hỏi là “Một người x có tuổi là n ñược hiểu là thuộc tập A trẻ như thế nào?” Một cách chủ quan, chúng ta có thể hiểu những người có tuổi từ 1 – 25 chắc chắn sẽ thuộc vào tập hợp A trẻ , tức là với ñộ thuộc bằng 1; Nhưng một người có tuổi 30 có lẽ chỉ thuộc vào tập A trẻ với ñộ thuộc 0,6 còn người có tuổi 50 sẽ thuộc vào tập này với ñộ thuộc 0,0 … Với ý tưởng ñó, ngữ nghĩa của khái niệm trẻ sẽ ñược biểu diễn bằng một hàm số µ trẻ : U → [0, 1], một dạng khái quát trực tiếp từ khái niệm hàm ñặc trưng λ A của một tập hợp kinh ñiển A ñã ñề cập ở trên. Một câu hỏi tự nhiên xuất hiện là tại sao người có tuổi 30 có lẽ chỉ thuộc vào tập A trẻ với ñộ thuộc 0,6 mà không phải là 0,65? Trong lý thuyết tập mờ chúng ta không có ý ñịnh trả lời câu hỏi kiểu như vậy mà ghi nhận rằng tập mờ của một khái niệm mờ phụ thuộc mạnh mẽ vào chủ quan của người dùng hay, một cách ñúng ñắn hơn, của một cộng ñồng, hay của một ứng dụng cụ thể. Khía cạch này cũng thể hiện tính không chính xác về ngữ nghĩa của các khái niệm mờ. Tuy nhiên, thực tế này không ảnh hưởng ñến khả năng ứng dụng của lý thuyết tập mờ vì mỗi giải pháp dựa trên lý thuyết tập mờ cũng chỉ nhằm vào một miền ứng dụng cụ thể trong ñó các khái niệm mờ trong ứng dụng (hay trong cộng ñồng sử dụng ứng dụng ñó) sẽ có ý nghĩa chung thống nhất. 1.1.1. Khái niệm tập hợp mờ ðịnh nghĩa 1.1. Cho một tập vũ trụ U. Tập hợp A ∼ ñược xác ñịnh bởi ñẳng thức: A ∼ = { )( ~ u A µ /u : u ∈ U, µ A ∼ (u) ∈ [0, 1]} ñược gọi là một tập hợp mờ trên tập U. Biến u lấy giá trị trong U ñược gọi là biến cơ sở và vì vậy tập U còn ñược gọi là tập tham chiếu hay miền cơ sở. Hàm ~ A µ : U → [0, 1] ñược gọi là hàm thuộc (membership function) và giá trị )( ~ u A µ tại u ñược gọi là ñộ 7 thuộc của phần tử u thuộc về tập hợp mờ A ∼ . Nếu không gây nhầm lẫn, hàm thuộc ~ A µ cũng ñược ký hiệu là A ∼ (.), nếu biến cơ sở u không biểu thị hiển, hay A ∼ (u), nếu biến u xuất hiện hiển. Lưu ý rằng vế phải của ñịnh nghĩa A ∼ là một tập kinh ñiển và do ñó ñịnh nghĩa trên là hoàn chỉnh. Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U ñược ký hiệu là F(U), F(U) = { ~ A µ : U → [0, 1]} = [0, 1] U Có nhiều cách biểu diễn hình thức một tập mờ. Trong trường hợp U là một tập hữu hạn, ñếm ñược hay vô hạn liên tục, tập mờ A ∼ có thể ñược biểu diễn bằng các biểu thức hình thức như sau: Trong trường hợp U hữu hạn, U = {u i : 1 ≤ i ≤ n}, ta có thể viết: A ∼ = µ A ∼ (u 1 )/u 1 + µ A ∼ (u 2 )/u 2 + + µ A ∼ (u n )/u n hay A ∼ = ∑ ≤≤ ni ii A uu 1 /)( ~ µ Trong trường hợp này tập mờ ñược gọi là tập mờ rời rạc (discrete fuzzy set). Trong trường hợp U là vô hạn ñếm ñược, U = {u i : i = 1, 2, …}, ta có thể viết: A ∼ = ∑ ∞<≤i ii A uu 1 /)( ~ µ Trong trường hợp U là vô hạn liên tục, U = [a, b], ta có thể viết A ∼ = ∫ b a A uu /)( ~ µ Lưu ý rằng các biểu thức trên chỉ có tính hình thức, các phép cộng +, phép tổng Σ và phép lấy tích phân ñều không có nghĩa theo quy ước thông thường. Tuy nhiên cách biểu diễn như vậy sẽ rất tiện dụng khi ñịnh nghĩa và thao tác các phép tính trên các tập mờ sau này. Ví dụ 1.1. Xét tập U gồm 5 người là x 1 , x 2 ,….x 5 tương ứng có tuổi là 10, 15, 50, 55, 70 và A ∼ là tập hợp các người “Trẻ”. Khi ñó ta có thể xây dựng hàm thuộc như sau: 8 µ Trẻ (10) = 0.95, µ Trẻ (15) = 0.75, µ Trẻ (50) = 0.35, µ Trẻ (55) = 0.30, µ Trẻ (70) = 0.05 và tập mờ A ∼ = 54321 05.030.035.075.095.0 xxxxx ++++ ðịnh nghĩa 1.2. Tập mờ A ∼ có dạng hình thang xác ñịnh bởi bộ 4 giá trị (a, b, c, d), ký hiệu A ∼ = (a, b, c, d) và ñược xác ñịnh:          − − − − = 0 1 0 )( ~ cd xd ab ax x A µ 1.1.2. Tập lát cắt của tập mờ Ở trên chúng ta thấy khai niệm tập mờ là một sự khái quát trực tiếp, ñẹp ñẽ của khái niệm tập kinh ñiển. ðiều này cho phép hy vọng nó sẽ ñặt cơ sở cho mối liên hệ chặt chẽ giữa hai khái niệm tập hợp này. ðể dẫn ñến việc nghiên cứu ñó, trước hết chúng ta ñưa ra khái niệm tập lát cắt α của một tập mờ. ðịnh nghĩa 1.3. Cho một tập mờ A ~ trên tập vũ trụ U và α ∈ [0, 1]. Tập lát cắt α (hoặc α +) của tập A ~ là một tập kinh ñiển, ký hiệu là ~ α A (hoặc ~ + α A ), ñược xác ñịnh bằng ñẳng thức sau: ~ α A = {u ∈ U : α µ ≥ )( ~ u A } (hoặc ~ + α A = {u ∈ U : αµ >)( ~ u A }). Như vậy, mỗi tập mờ A ~ sẽ cảm sinh một họ các tập kinh ñiển, ta có ánh xạ h : A ~ ∈ F(U) → { ~ α A ∈ P(U): 0 ≤ α ≤ 1} (1*) ðể ñơn giản ký hiệu, ta viết họ các tập kinh ñiển như vậy bằng h(A ~ ) = { ~ α A : 0 ≤ α ≤ 1}, A ~ ∈ F(U). Họ các tập hợp như vậy có các tính chất sau: ðịnh lý 1.1. Cho A ~ , B ~ ∈ F(U), h là ánh xạ ñược cho trong (1*) và h(A ~ ) = { ~ α A : 0 ≤ α ≤ 1}, h(B ~ ) = { ~ α B : 0 ≤ α ≤ 1}. Khi ñó, (i) Mỗi họ h(A ~ ) như vậy là dãy ñơn ñiệu giảm, nếu α < β , thì ~ α A ⊇ ~ β A ; nếu x ≤ a nếu a < x < b nếu b ≤ x ≤ c nếu c < x < d nếu x ≥ d 9 (ii) Nếu A ~ ≠ B ~ thì { ~ α A : 0 ≤ α ≤ 1} ≠ { ~ α B : 0 ≤ α ≤ 1}. Nghĩa là tồn tại một song ánh từ họ các tập mờ F(U) vào họ của những họ tập kinh ñiển P(U) ở dạng (1*). Chứng minh: Tính chất (i) dễ dàng rút ra từ tính chất (A ∼ (u) ≥ β ⇒ A ∼ (u) ≥ α ). ðể chứng minh (ii), giả sử A ∼ ≠ B ∼ , ∃u∈U(A ∼ (u) ≠ B ∼ (u)). ðể ñịnh ý, ta giả sử rằng có u 0 ∈ U sao cho A ∼ (u 0 ) > B ∼ (u 0 ). Chọn α ∈ [0, 1] sao cho A ∼ (u 0 ) > α > B ∼ (u 0 ). ðiều này khẳng ñịnh u 0 ∈ ~ α A nhưng u 0 ∉ ~ α B hay ~ α A ≠ ~ α B . Vậy, { ~ α A : 0 ≤ α ≤ 1} ≠ { ~ α B : 0 ≤ α ≤ 1}. Hiển nhiên là nếu A ~ = B ~ thì { ~ α A : 0 ≤ α ≤ 1} = { ~ α B : 0 ≤ α ≤ 1}. Như vậy ta ñã chứng tỏ rẳng ánh xạ h là song ánh. 1.1.3. Một số khái niệm ñặc trưng của tập mờ ðịnh nghĩa 1.4. (i) Giá của tập mờ: Giá của tập mờ A ~ , ký hiệu là Support(A ~ ), là tập con của U trên ñó )( ~ u A µ ≠ 0, Support(A ~ ) = {u: )( ~ u A µ > 0}. (ii) ðộ cao của tập mờ: ðộ cao của tập mờ A ~ , ký hiệu là hight(A ~ ), là cận trên ñúng của hàm thuộc ~ A µ trên U, hight(A ~ ) = sup{ )( ~ u A µ : u ∈ U}. (iii) Tập mờ chuẩn (normal): Tập mờ A ~ ñược gọi là chuẩn nếu hight(A ~ ) = 1. Trái lại, tập mờ ñược gọi là dưới chuẩn (subnormal). (iv) Lõi của tập mờ: Lõi của tập mờ A ~ , ký hiệu là Core(A ~ ), là một tập con của U ñược xác ñịnh như sau: Core(A ~ ) = {u ∈ U: )( ~ u A µ = hight(A ~ )}. Bây giờ chúng ta sẽ lấy một số ví dụ về việc biểu diễn ngữ nghĩa của các khái niệm mờ thuộc các lĩnh vực khác nhau bằng tập mờ. Ví dụ 1.2. Giả sử U là tập vũ trụ về số ño nhiệt ñộ thời tiết, chẳng hạn U = [0, 50] tính theo thang ñộ C. Chúng ta sẽ xác ñịnh tập mờ biểu thị khái niệm mờ thời tiết NÓNG và LẠNH. Trong ví dụ này ta sử dụng một hàm số mẫu, gọi là S-hàm vì ñồ thị của nó có hình chữ S. Chúng ta ký hiệu hàm này là S(u, a, b, 10 c), trong ñó a, b và c là những tham số. Nó là hàm từng khúc bậc 2 và ñược ñịnh nghĩa như sau: S(u, a, b, c) = 0 ñối với u ≤ a = 2 2       − − ac au ñối với a ≤ u ≤ b = 1 − 2 2       − − ac cu ñối với b ≤ u ≤ c = 1 ñối với c ≤ u Hàm thuộc µ A~ (u) = S(u, 15, 25, 35) là khái niệm thời tiết NÓNG của người Lạng Sơn ở cực Bắc nước ta, còn hàm thuộc µ B~ (u) = S(u, 25, 35, 45) là khái niệm NÓNG của người Sài Gòn (xem Hình 1.1). Với hai tập mờ này ta có: Support(A ~ ) = [15, 50], Support(B ~ ) = [25, 50], Hight(A ~ ) = Hight(B ~ ) = 1, Core(A ~ ) = [35, 50] và Core(B ~ ) = [45, 50]. Hàm thuộc biểu thị khái niệm mờ LẠNH ñược xác ñịnh qua hàm thuộc NÓNG bằng biểu thức sau: µ A’~ (u) = 1 − µ A~ (u) và µ B’~ (u) = 1 − µ B~ (u) Ví dụ này thể hiện tính chủ quan về ngữ nghĩa của khai niệm mờ và do ñó thể hiện tính tự do trong việc xây dựng các hàm thuộc. Tình huống tương tự như vậy khi ta nói ñến khái niệm cao của giới nữ và giới nam, hay khái niệm cao của người Việt Nam và người Châu Âu. Ví dụ 1.3. Tập mờ hình chuông: Người ta có thể biểu diễn ngữ nghĩa của khái niệm mờ trời mát mẻ hay dễ chịu bằng hàm dạng hình chuông như sau: exp (− ((u − u 0 )/b) 2 ) Chúng ta có thể chấp nhận hàm chuông trong Hình 1.2 là biểu thị ngữ nghĩa của khái niệm nhiệt ñộ DỄ CHỊU và khi ñó tập mờ D ~ có dạng: µ D~ (u) = exp (− ((u − 24)/10) 2 ) 1,0 0 50 45 35 25 15 Hình 1.1: Hàm thuộc của tập mờ NÓNG và LẠNH µ µµ µ A~ (u) µ µµ µ B~ (u) µ B’~ ( u ) µ µµ µ A’~ (u) 1,0 0 50 45 35 25 15 Hình 1. 2 : Hà m thu ộc của tập mờ DỄ CHỊU µ µµ µ D~ (u) 11 Ví dụ 1.4. Ta sẽ ñưa ra một ví dụ về tập mờ rời rạc (discrete fuzzy set). Xét U là tập các giá trị trong thang ñiểm 10 ñánh giá kết quả học tập của học sinh về môn Toán, U = {1, 2, …, 10}. Khi ñó khái niệm mờ về năng lực học môn toán giỏi có thể ñược biểu thị bằng tập mờ G ~ sau: G ~ = 0,1/4 + 0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1,0/9 +1,0/10 (2*) ở ñây các giá trị của miền U không có mặt trong biểu thức (2*) có nghĩa ñộ thuộc của chúng vào tập mờ G ~ là bằng 0,0. Trong trường hợp tập mờ rời rạc ta có thể biểu diễn tập mờ bằng một bảng. Chẳng hạn, ñối với tập mờ G ~ ở trên ta có bảng như sau: Bảng 1.1: Tập mờ G ~ U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 G ~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0 Ví dụ 1.5. Trong ví dụ này chúng ta sẽ xây dựng tập mờ biểu thị ngữ nghĩa của khái niệm GIÀ và TRẺ của thuộc tính lứa tuổi. Giả sử tập vũ trụ chỉ tuổi tính theo ñơn vị năm là U = {u : 0 ≤ u ≤ 120}, chẳng hạn tuổi của x là 8,37 năm. Khi ñó khái niệm GIÀ có thể ñược biểu thị bằng tập mờ với hàm thuộc như sau: µ GIÀ (u) = ∫ − −       − + 120 0 1 2 /} 6 60 1{ u u µ TRẺ (u) = 1 − µ GIÀ (u) = ∫ − −       − +− 120 0 1 2 /}} 6 60 1{1{ u u Cần nhấn mạnh một lần nữa rằng ñây là công thức hình thức biểu diễn các tập mờ. Dấu tích phân chỉ có nghĩa miền xác ñịnh U của hàm thuộc là vô hạn continuum, tập hợp có lực lượng tương ñương với ñoạn [0, 1]. Ví dụ 1.6. Tập rời rạc trên miền phi số: Trong thực tế ứng dụng người ta cũng hay sử dụng tập mờ trên miền phi số, chẳng hạn, miền giá trị ngôn ngữ. Ví dụ, ta xét biến ngôn ngữ NHIỆT ðỘ có thể xem như xác ñịnh trên miền 3 giá trị ngôn ngữ U = {Thấp, Trung-bình, Cao}. Khi ñó, một tập mờ rời rạc T ~ trên miền U có thể ñược biểu thị như sau: T ~ = µ 1 /Thấp + µ 2 /Trung-bình + µ 3 /Cao 12 Chẳng hạn Trời-mát có thể biểu thị bằng tập mờ như sau: Trời-mát = 0,7/Thấp + 0,8/Trung-bình + 0,2/Cao ðối với tập hợp kinh ñiển A chúng ta có khái niệm số lượng các phần tử của một tập hợp, trong trường hợp A là hữu hạn, hay lực lượng của tập hợp, trong trường hợp A là vô hạn. Hai tập hợp A và B có lực lượng bằng nhau nếu có tồn tại một ánh xạ 1-1 từ A lên B. ðối với tập mờ A ~ , khái niệm lực lượng ñược khái quát hóa bằng ñịnh nghĩa sau: ðịnh nghĩa 1.5. Lực lượng của tập mờ Cho A ~ là một tập mờ trên U (i) Lực lượng vô hướng (scalar cardinality): Lực lượng hay bản số thực của tập A ~ , ký hiệu là Count(A ~ ), ñược tính theo công thức ñếm sau (ñôi khi ñược gọi là sigma count). Count(A ~ ) = ∑ ∈ arith Uu A u)( ~ µ , nếu U là tập hữu hạn hay ñếm ñược = ∫ arith U A duu)( ~ µ , nếu U là tập vô hạn continuum ở ñây ∑ arith và ∫ arith là tổng và tích phân số học. (ii) Lực lượng mờ (fuzzy cardinality): Lực lượng hay bản số mờ của tập A ~ là một tập mờ trên tập các số nguyên không âm N ñược ñịnh nghĩa như sau: Card(A ~ ) = ∫ N ACard dnn)( )( ~ µ trong ñó )( )( ~ n ACard µ ñược xác ñịnh theo công thức sau, với | ~ t A | là lực lượng của tập mức ~ t A , )( )( ~ n ACard µ = suppremum {t ∈ [0, 1]: | ~ t A | = n}. Có thể xem công thức tính Count(A ~ ) ở trên như là công thức “ñếm” số phần tử trong U. Thực vậy, nếu tập A ~ trở về tập kinh ñiển thì µ A~ (u) ≡ 1 trên U và do ñó công thức Count(A ~ ) trên chính là bộ ñếm số phần tử. Khi µ A~ (u) ≠ 1, thì u chỉ thuộc về tập A ~ với tỷ lệ phần trăm bằng µ A~ (u) và do ñó phần tử u chỉ ñược “ñếm” vào số lượng các phần tử một ñại lượng bằng µ A~ (u). 13 Lưu ý rằng, khác với trường hợp tập kinh ñiển, dù tập U là vô hạn ñếm ñược hay vô hạn continuum, thì lực lượng của tập mờ A ~ vẫn có thể là hữu hạn, tùy theo dáng ñiệu của hàm µ A~ (u). 1.2. Biến ngôn ngữ L.A.Zadeh viết “khi thiếu hụt tính chính xác bề ngoài của những vấn ñề phức tạp, một cách tự nhiên là tìm cách sử dụng các biến ngôn ngữ, ñó là các biến mà giá trị của chúng không phải là số mà là các từ hoặc các câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo. ðộng lực cho việc sử dụng các từ, các câu hơn các số là ñặc trưng ngôn ngữ của các từ, các câu thường là ít xác ñịnh hơn của số”. Trong cơ sở dữ liệu quan hệ, các quan hệ hay các bảng dữ liệu chứa các thuộc tính hay các tên cột. Nó chỉ tính chất của ñối tượng. Các thuộc tính này cũng thể hiện trong ngôn ngữ như ñể mô tả tính chất ñối tượng là con người, trong ngôn ngữ tự nhiên chúng ta có những thuộc tính TUỔI, CHIỀU CAO, LƯƠNG, NĂNG LỰC … . Các thuộc tính này có thể ñược mô tả bằng giá trị ngôn ngữ như trẻ, già, rất trẻ, … Vì lý do như vậy, Zadeh gọi các thuộc tính kiểu như vậy là biến ngôn ngữ và miền giá trị của chúng là giá trị ngôn ngữ hay gọi là miền ngôn ngữ (linguistic domain hay term-domain). Tuy nhiên, như chúng ta ñã ñề cập trong Mục 1.1, vì bản thân giá trị ngôn ngữ không phải là ñối tượng toán học, ngữ nghĩa của chúng ñược biểu thị bằng các tập mờ hay hàm thuộc. ðể khái niệm biến ngôn ngữ trở thành một khái niệm toán học, Zadeh hình thức hóa khái niệm này như sau: ðịnh nghĩa 1.6. Biến ngôn ngữ là một bộ năm (X, T(X), U, R, M ), trong ñó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ xem như là một biến mờ trên U kết hợp với biến cơ sở u, R là một qui tắc cú pháp sinh các giá trị ngôn ngữ của T(X), M là qui tắc ngữ nghĩa gán mỗi giá trị ngôn ngữ trong T(X) với một tập mờ trên U. Ví dụ 1.7. Cho X là biến ngôn ngữ có tên là AGE, biến cơ sở u lấy theo số tuổi của con người có miền xác ñịnh là U = [0,100]. Tập các giá trị ngôn ngữ [...]... b = min {a, b} và – a = 1 − b Chúng ta có th ki m ch ng r ng L[0,1] = ([0, 1], ∪, ∩, –) là m t ñ i s De Morgan, hơn n a nó có các tính ch t sau: - Các phép tính h p ∪ và giao ∩ có tính giao hoán a ∪ b = b ∪ a và a ∩ b = b ∩ a - Các phép tính h p ∪ và giao ∩ có tính ch t phân ph i l n nhau a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c) và a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c) - Tính ch t nu t (absorption) và nu t ñ i ng... U α ∈( 0 ,1] U α ∈( 0 ,1] Aα Aα và B = U α ∈( 0 ,1] Bα và ∗ là m t phép tính s h c hai ngôi nào ñó trên s th c, ∗ ∈ {+, –, , /} Theo ñ nh nghĩa s m , Aα và Bα là các kho ng ñóng gi i n i và Aα ∗ Bα là m t phép tính s h c trên các kho ng Khi ñó, ta ñ nh nghĩa: 34 100 A∗B= U α ∈( 0 ,1] Aα ∗ Bα Ví d 1.13 Cho các t p m A và B v i các hàm thu c sau µA(u) = 0 v i u ≤ – 1 và u > 3 = (u + 1)/2 v i –1 < u ≤... 1.3.11.4 Phương trình s h c m Cũng như trong s h c, khi chúng ta có s h c các s m thì chúng ta có th gi i các phương trình s h c Chúng ta s th y v i bi u di n t p m qua h các t p m c, ch ng ta có th d dàng gi i các phương trình s h c m Chúng ta hãy l y m t ví d Ví d 1.14 Xét phương trình m A+X=B trong ñó A và B là các t p m còn X là t p m ch ng t r ng nghi m X = A – B (8*) n Ta hãy tìm nghi m X và s Xét... (8*) n Ta hãy tìm nghi m X và s Xét t p m c m c α ∈ (0, 1] c a 3 t p m trong (8*) và ñ t Aα = [a1α, a2α], Bα = [b1α, b2α] và Xα = [x1α, x2α] Rõ ràng ta ph i có các ràng bu c sau: a1α ≤ a2α, b1α ≤ b2α và x1α ≤ x2α T (8*) ta có: a1α + x1α = b1α và a2α + x2α = b2α và do ñó x1α = b1α − a1α, x2α = b2α − a2α Như v y ñ cho phương trình m (8*) có nghi m ta ph i có gi thi t (i) b1α − a1α ≤ b2α − a2α, v i m i α... tính các hàm thu c k t qu và thu ñư c µA+B(u) = 0 v i u ≤ 0 và u > 8 v i 0 3 −1≤u . Giáo trình LOGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG ( Dành cho học viên cao học ) Huế, 2009 5 Chương 1 LÝ THUYẾT TẬP MỜ 1.1 mờ cũng chỉ nhằm vào một miền ứng dụng cụ thể trong ñó các khái niệm mờ trong ứng dụng (hay trong cộng ñồng sử dụng ứng dụng ñó) sẽ có ý nghĩa chung thống