TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA GIÁO DỤC CƠ BẢN BÀI GIẢNG XÁC SUẤT & THỐNG KÊ (LƯU HÀNH NỘI BỘ-NĂM 2012) BIÊN SOẠN: LÊ VĂN TRỌNG 2 Phần xác suất Ch0: Giải tích tổ hợp Ch1: Xác suất các biến cố ngẫu nhiên Ch2: BNN & luật phân phối xác suất Ch3: Một số luật phân phối thường dùng Ch4: Các định lý giới hạn và luật số lớn Phần thống kê Ch1: Mẫu, và các đặc trưng mẫu Ch2: Ước lượng tham số Ch3: Kiểm định giả thiết thống kê 3 CHƯƠNG 0: GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Quy tắc nhân 2. Chỉnh hợp chập k 3. Hoán vị bậc n 4. Chỉnh hợp lặp chập 5. Tổ hợp chập k 6. Nhị thức newton Bài tập chương 0 1. Công thức nhân Công việc A được chia thành k giai đoạn, giai đoạn thứ i có n i cách hoàn thành i=1 k. Vậy số cách để hoàn thành cả công việc A là: n=n 1 n 2  n k (1) TD1: Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo? Giải: Công việc xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo được chia thành 5 giai đoạn. Gđ1: Xếp cuốn thứ nhất, có 3 cách Gđ2: Xếp cuốn thứ hai, có 3 cách Gđ5: Xếp cuốn thứ năm, có 3 cách Vậy số cách để xếp 5 cuốn sách là: n = 3 5 2. Hoán vị bậc n Một cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự xác định gọi là một hoán vị bậc n. Số hoán vị bậc n là: P n =n! (2) Qui ước: n! = n(n-1)(n-2) 2.1; 0! = 1 ; 1 !=1 3. Chỉnh hợp chập k Một cách lấy k phần tử theo một thứ tự xác định trong một tập hợp gồm n phần tử, gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số chỉnh hợp chập k của là: k n n! A n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k)!        (3) Chú ý: Một hoán vị bậc n là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. TD2: Có 5 quả cầu, trên mỗi quả cầu ghi một số từ 1 5. Lầy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả cầu. Hỏi có bao nhiêu số có 2 chữ số được hình thành từ 2 số trên hai quả cầu được lấy ra? 4 Giải: Một cách lấy hai quả cầu có thứ tự cho ta một số có 2 chữ số. Vậy số có 2 chữ số là: n=A 2 5 =20 TD3: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 8 tốt và 2 xấu. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản phẩm để kiểm tra. a- Có bao nhiêu cách lấy như thế? b- Có bao nhiêu cách lấy để có đúng một sản phẩm tốt ? c- Có bao cách lấy có ít nhất một xấu ? d- Có không quá 1 tốt ? Giải: a) n 1 =A 2 10 =90; b) n 2 =32; c) n 3 =A 2 10 –A 2 8 =34; d) n 4 = A 2 10 –A 2 8 =34 4. Chỉnh hợp lặp chập k Một cách lấy k phần tử theo một thứ tự xác định có hòan lại trong một tập hợp gồm n phần tử là một chỉnh hợp lặp chập k của n phân tử. Số chỉnh hợp lặp chập k là: P k n =n k (4) TD3: Cho các chữ số số 0,1,2, ,6. a- Có bao nhiêu số có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho? b- Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho? c- Có bao nhiêu số chia hết cho 3 có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho? 5. Tổ hợp chập k Một cách lấy k phần tử không phân biệt thứ tự trong một tập hợp gồm n phần tử, gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số tổ hợp chập k của n phần tử là: )!kn(!k !n !k A C k n k n   (5) Hệ quả: Ta chứng minh được: kn n k n CC   ; k 1 n 1k 1 n k n CCC     (6) 6. Nhị thức Newton 0      n n k n n k n k (a b) C a b (7) Hệ quả: Số các tập con của một tập hợp gồm n phần tử là: 0 2    n k n n k C (8) TD4: Một số có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. a) Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số 1 liền nhau b) Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số 1 bất kỳ 5 Giải: a) n 1 =5 !=120 ; b) n 2 =C 5 9 P 4 !=3024 TD5: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm, hỏi: a) Có bao nhiêu cách lấy? b) Có bao nhiêu cách lấy được 1 tốt? c) Có bao nhiêu cách lấy được ít nhất 1 xấu? d) Có bao nhiêu cách lấy để có không quá 2 xấu? Giải: a) n a =C 3 10 =120; b) n b =C 1 7 C 2 3 =21; c) n c =C 3 10 -C 3 7 =85; d) n d =C 3 10 -C 3 3 =119 TD6: Xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách xếp? b) Có bao cách xếp để ngăn kéo nào cũng có sách? c) Có bao cách xếp để 2 ngăn có số sách bằng nhau? Giải: a) n 1 =3 5 =243 b) n 2 =n 1 -[C 1 3 +C 2 3 (2 5 – C 1 2 )]=93 c) n 3 =3 5 -(C 1 5 *3 !+C 2 5 *3 !) = 153 (tất cả trừ 2 ngăn có sách) Bài tập chương 0: 1) Có 5 đội bóng thi đấu, các đội thi đấu vòng tròn một lượt. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? ĐS: n=A 2 5 2) Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ và 20 nam, giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ngẫu nhiên 4 em vào ban tự quản. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để được: a) 4 sinh viên bất kỳ b) Có 1 nam và 3 nữ c) Có 2 nam và 2 nữ d) Phải có ít nhất 1 nam ĐS: n a =C 4 5 ; n b =C 1 20 C 3 30 ; n c = C 2 20 C 2 30 ; n d =C 4 5 -C 4 30 3) Một hộp có 10 sản phảm, trong đó có 7 tốt và 3 xấu. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để được: a) Hai sản phẩm bất kỳ? b) Một tốt và một xấu? c) Có ít nhất 1 tốt? d) Có không quá một tốt? ĐS: n a =C 2 10 =45; n b =C 1 7 C 1 3 =21; n c =C 2 10 -C 2 3 =42; n d =C 2 10 -C 2 7 =24 4) Biết 3 tháng cuối năm có 3 trận mưa lớn. a) Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra? b) Hỏi có bao nhiêu khả năng để mỗi ngày có không quá một trận mưa lớn? ĐS: n a =C 1 92 +C 2 92 *2+C 3 92 =134044; n b =C 3 92 =125580 5) Một người sáng nào cũng gieo 5 xúc xắc để cầu may. Nếu có ít nhất một con 6 xuất hiện, thì ngày đó là ngày may mắn. a) Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra trong một tuần? b) Biết trong tuần qua có 3 ngày may mắn. Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra? 6 c) Trong tuần qua có 3 ngày may mắn. Hỏi có bao khả năng để những ngày may mắn có không quá một con 6 xuất hiện? ĐS: n a =(6 5 ) 7 ; n b =C 3 7 (6 5 -5 5 ) 7 ; n c =C 3 7 (C 1 5 5 4 ) 7 6) a) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người? b) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho người thứ nhất có đúng 3 tặng phẩm? c) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho mỗi người có 5 tặng phẩm? ĐS: a) n 1 = 4 20 ; b) n 2 = C 3 20 x3 17 ; c) n 3 =C 5 20 xC 5 15 xC 5 10 xC 5 5 7) 7.1. Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu? 7.2. Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu sao cho toa thứ nhất có đúng 4 khách? 7.3. Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu để mỗi toa có 4 khách? ĐS: 7.1. n 1 =3 12 ; 7.2. n 2 =C 4 12 x2 8 ; 7.3. n 3 =C 4 12 xC 4 8 xC 4 4  7 CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CÁC BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1. Phép thử và biến cố ngẫu nhiên 2. Quan hệ giữa các BCNN 3. Định nghĩa xác xuất 4. Các công thức tính xác suất 1. Phép thử và biến cố ngẫu nhiên Phép thử: Phép thử là một khái niệm cơ bản, không được định nghĩa mà chỉ mô tả như một quan sát, một thí nghiệm nhằm trắc nghiệm một tính chất X nào đó trên một lớp các đối tượng đồng nhất, gọi là một phép thử T. Phép thử T có nhiều hơn một kết cục liên quan đến tính chất X, khi chưa thử thì không thể biết trước kết cụ nào sẽ xẩy ra, gọi là phép thử ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất chỉ quan tâm đến phép thử ngẫu nhiên. Biến cố ngẫu nhiên (BCNN): Một kết cục liên quan đến tính chất X của phép thử T gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Ký hiệu A, B, C TD1: Quan sát một người bắn một viên đạn vào một mục tiêu, tính chất X ta quan tâm là viên đạn trúng mục tiêu hay không? Là một phép thử ngẫu nhiên. Gọi A là biến cố viên đạn trúng mục tiêu, B là biến cố viên đạn không trúng mục tiêu là các biến cố ngẫu nhiên. TD2: Gieo một xúc xắc, tính chất X ta quan tâm là số chấm xuất hiện của xúc xắc. Gọi A i là biến cố mặt i chấm xuất hiện i=1 6; A là biến cố mặt chẵn chấm, B là biến cố có số chấm lớn hơn 3 là các biến cố ngẫu nhiên… Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thử T, ký hiệu là . Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xẩy ra khi thử T, ký hiệu là . TD3: Một hộp có 5 sản phẩm, trong đó có 4 tốt và 1 xấu. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm. Biến cố “trong hai sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 tốt” là biến cố chắc chắn. Biến cố “trong 2 sản phẩm lấy ra cả hai đều xấu” là biến cố không thể. Biến cố sơ cấp: Là một kết cục cụ thể có thể xẩy ra khi thử T. Tập hợp các biến cố sơ cấp ký hiệu . TD4: Phép thử gieo đồng thời một xu và một xúc xắc. Gọi S, N là biến cố xu xuất hiện mặt sấp/ngửa, A i là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt i chấm. a) Hãy liệt kê tất cả các biến cố sơ cấp theo S, N, A i b) Hãy mô tả một biến cố ,  Giải: a) SA 1 ,SA 2 SA 6 ; NA 1 ,NA 2 NA 6 (12 biến cố sơ cấp) b) “Xúc xắc có số chấm lớn hơn 0” là biến cố chắc chắn; “Xúc xắc có số chấm lớn hơn 6” là biến cố không thể 8 2. Quan hệ giữa các BCNN Biến cố kéo theo: Nếu biến cố A xẩy ra thì B cũng xẩy ra, Khi đó ta nói A kéo theo B, Ghi AB, đọc A kéo theo B hoặc A thuận lợi cho B. Hai biến cố bằng nhau: Nếu biến cố A xẩy ra thì B cũng xẩy ra và ngược lại, thì ta nói biến cố A bằng biến cố B, Ghi A=B. Hai biến cố đối lập: Ta nói biến cố đối lập của biến cố A là biến cố A không xẩy ra, ký hiệu là A . Hai biến cố xung khắc: A,B xung khắc nếu A xẩy ra thì B không xẩy ra và ngược lại. Họ biến cố xung khắc từng đôi: Họ biến cố {A 1 , A 2 , A n } gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kì trong họ đều xung khắc với nhau. Chú ý: Tập các biến cố sơ cấp thì xung khắc từng đôi Tổng hai biến cố A, B: Là biến cố A xẩy ra hoặc B xẩy ra, ghi A+B. Tích hai biến cố A, B: Là biến cố đồng thời A và B cùng xẩy ra, ghi A.B Biến cố A hiệu B: Là biến cố A xẩy ra và B không xẩy ra; ghi A-B. Các tính chất: a) A+B = B+A b) (A+B)+C = A+(B+C) c) A.B = B.A d) (A.B).C = A(BC) e) A(B+C) = A.B+A.C f) AB  A+B = B; A.B = A g)    A A ;   A.A h) A, B xung khắc  A.B =  B A B A A A + B A.B B 9 i) Họ {A i } xung khắc từng đơi khi và chỉ khi A i A j = ij j) 1/ A B A.B   ; 2/ A.B A B   Chú ý: Tập hợp các biến cố sơ cấp cùng với hai phép tốn cộng và nhân hai biến cố tạo thành khơng gian các biến cố sơ cấp. TD5: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một viên. Gọi A i là biến cố người thứ i bắn trúng mục tiêu, i =1,2 hãy viết các biến cố sau theo A 1 , A 2 . a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng: A= 2 1 A A b) Có đúng một người bắn trúng :   2 1 1 2 B A A A A c) Có ít nhất một người bắn trúng: C= A 1 +A 2 d) Cả hai người đều bắn trúng: D=A 1 A 2 e) Cả hai Khơng trúng : 1 2 A A hoặc 1 2 A A  TD6: Một lơ hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm để kiểm tra. Gọi A i là biến cố có i phế phẩm trong 4 sản phẩm được kiểm tra, Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố A i i=0,1,2,3 a) Cả 3 sản phẩm đều tốt b) Có đúng một phế phẩm c) Có ít nhất 1 tốt d) Có số phế phẩm chẵn e) Có khơng q 1 phế phẩm TD7: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập, mỗi người bắn 1 viên. Gọi A i là biến cố người thứ i bắn trúng mục tiêu i=1 3. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố A i i=1 3. a) Mục tiêu có 1 viên trúng. b) Mục tiêu có ít nhất 1 viên trúng. c) Mục tiêu có khơng q 1 viên trúng. d) ,  e) Bọi B i là biến cố mục tiêu có i viên trúng, i=0,.,3. Chứng tỏ {B i } là họ biến cố xung khắc từng đơi và B 0 +B 1 +B 2 +B 3 = 3. Định nghĩa xác suất các biến cố ngẫu nhiên 3.1. Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển Giả sử T là phép thử có n biến cố sơ cấp có cùng một khả năng xuất hiện như nhau. A là biến cố ngẫu nhiên liên quan đến T có m biến cố sơ cấp kéo theo A. Ta gọi tỷ số m/n là xác suất của biến cố A. Ký hiệu:   m Sốbiếncố sơcấpkéotheoA P(A) n Sốtấtcả cácbiếncốsơcấp TD8: Phép thử gieo một xúc xắc, A là biến cố mặt 2 chấm xuất hiện, B là biến cố mặt chẵn chấm xuất hiện. Tính P(A)=?, P(B)=? Giải: Số các biến cố sơ cấp của phép thử T là n=6 Số các biến cố sơ cấp kéo theo A là m=1 Số các biến cố sơ cấp kéo theo B là m=3 Vậy P(A)=1/6=0.1666, P(B)=3/6=0.5 TD9: Một hộp có 3 bi xanh và 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, tính xác suất để: 10 a) Hai bi lấy ra cùng màu xanh? b) Hai bi khác màu? Giải: Phép thử T có số các biến cố sơ cấp n=C 2 5 =10 a) A là biến cố 2 bi màu xanh  m=C 2 3 =3  P(A)=3/10=0.333 b) B là biến cố 2 bi khác màu  m=C 1 3 C 1 2 =6  P(B)=6/10=0.6 TD10: Bỏ ngẫu nhiên 5 viên bi vào 3 hộp. Tính xác suất để: a/ Chỉ có một hộp có bi (A) b/ Một hộp có 3 bi (C) c/ Hộp nào cũng có bi (B) Giải: a/ P(A)=3/3 5 =1/3 4 =1/81=0.0123 b/ P(B)=C 3 5 C 1 3 (2 2 -C 1 2 )/3 5 =60/243=0.2469 c/ P(C)=[3 5 –C 1 3 –(C 2 3 *2 5 -C 1 2 )]/3 5 =146/243=0.6 Nhận xét: 1) Xác suất của biến cố A cho biết khả năng có thể xẩy ra biến cố A khi thử T ở mức bao nhiêu %. P(A)=p nghĩa là tiến hành phép thử T vô hạn lần thì tỷ lệ số lần xuât hiện A bằng p. 2) Xác suất của mỗi biến cố sơ cấp đều bằng nhau và bằng 1/n 3) Phép thử T có số biến cố sơ cấp là vô hạn, hoặc các biến cố sơ cấp có khả năng xẩy ra ở các mức độ khác nhau thì định nghĩa này không tồn tại. Để khắc phục thiếu sót này người ta xây dựng khái niệm xác suất theo lối thống kê như sau: 3.2. Định nghĩa theo lối thông kê Tần suất: Tiến hành phép thử T- n lần độc lập và giả sử có m lần xuất hiện A. Ta gọi số f A n = m/n là tần suất của biến cố A trong n lần thử T. Xác suất: Người ta chứng minh được, khi số lần thử tăng lên vô hạn, thì tần suất f A n biến thiên xoay quanh một số p. (limf A n =p khi n). Ta gọi số p là xác suất của biến cố A ký hiệu P(A)=p. Trong thực tế khi n đủ lớn ta ta có thể coi P(A)=f A n TD11: Hai nhà bác học Buffon và Pearson tiến hành thí nghiệm gieo một xu và có kết quả như sau: Người thực hiện Số lần gieo (n) Số lần sấp (m) Tần suất f n S Buffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 Từ 3 thí nghiệm trên ta thấy f S n  0,5 khi n  P(S) = 0.5 TD12: Để tính tỷ lệ suy dinh dưỡng bé sơ sinh tại thành phố HCM, người ta tiến hành kiểm tra lần lượt 1000 bé (n=1000), trong 1000 lượt kiểm tra thấy có 200 (m=200) bé suy dinh dưỡng.Ta có tần suất bé suy dinh dưỡng tại TP HCM là f 1000 =20%. Do vậy người ta nói tỷ lệ bé suy dinh dưỡng tại TPHCM là 20% 3.3. Định nghĩa theo lối hình học [...]... không xẩy ra (nguyên lý xác suất nhỏ) Ngược lại một biến cố có xác suất lớn p1, thì có rất nhiều khả năng xẩy ra khi thử T Khi đó người ta cho rằng biến cố này sẽ xẩy ra khi thử T (nguyên lý xác suất lớn) Thường P(A) 0,9973 được coi là xác suất lớn BT1: Một hộp có 10 bi trong đó có 5 đỏ, 3 trắng và 2 vàng Lấy ngẫu nhiên 3 bi Tính xác suất để: a) Hai bi cùng... luật phân phối của BNN X Luật phân phối của BNN X thường được thể hiện dưới 3 hình thức: Hàm phân phối xác suất, Bảng phân phối xác suất cho BNN rời rạc; hàm mật độ xác suất cho BNN liên tục 2.1 Hàm phân phối xác suất a) Định nghĩa: Cho BNN X, hàm số F(x)=P[X . BÀI GIẢNG XÁC SUẤT & THỐNG KÊ (LƯU HÀNH NỘI BỘ-NĂM 2012) BIÊN SOẠN: LÊ VĂN TRỌNG 2 Phần xác suất. ra khi thử T (nguyên lý xác suất lớn). Thường P(A)<0,0027 được coi là có xác suất nhỏ và P(A)> 0,9973 được coi là xác suất lớn. BT1: Một hộp có