Thông tin tài liệu
KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI TẬP THƯỜNG KỲ
HỌC PHẦN
TOÁN CAO CẤP A 2
(HỆ ĐẠI HỌC)
GVHD: ThS. PHAN MINH CHÍNH
KHOA:………………….Lớp:…….
Nhóm 1:
1. Nguyễn Như Ngọc (08881771)
2. Bùi Văn Tiệp (08267261)
Thành phố Hồ Chí Minh, 06/2009
Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ 0xy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều
kiện:
a) Phần thực của z bằng -2
b) Phần thực của z thuộc khoảng (-1;2)
c)
1
z
d) 1<
z
2
Giải:
Ta có: z = a+bi trong đó a là phần thực và b là phần ảo
a) Phần thực của z bằng -2
z = -2+bi với b
R
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = -2+bi là đường thẳng có phương trình x = -
2 được biểu diễn trên đồ thị:
(y)
x = -2
(x)
-2 O
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực bằng -2 là đường thẳng
có phương trình x = -2
b) Phần thực của z thuộc khoảng (-1;2)
Tương tự như câu a ta ta có nhận xét:
Tập hợp những điểm biểu diễn số phức có phần thực bằng -1 là đường thẳng
có phương trình x = -1
Tập hợp những điểm biểu diễn số phức có phần thực bằng 2 là đường thẳng
có phương trình x = 2
Do đó tập hợp những điểm biểu diễn số phức có phần thực thuộc khoảng (-1,2) là
phần mặt phẳng được giới hạn bởi 2 đường thẳng x = -1 và x = 2 như trên đồ thị:
(y)
x=-1 x=2
-1 0 2 (x)
c)
1
z
Ta có r =
2 2
a b
=
1
z
2 2
a b
= 1
a
2
+ b
2
= 1
Do đó tập hợp những điểm biểu diễn số phức có độ lớn bằng 1 là đường tròn (0,1)
được biểu diễn như trên hình vẽ:
(y)
1
(x)
-1 0 1
-1
d)
1
<
z
2
Ta có r =
2 2
a b
=
z
Suy ra:
1
< z 2
1<
2 2
a b
2
1 < a
2
+ b
2
4
Tương tự như câu c ta có nhận xét:
Tập hợp những điểm biểu diễn số phức có độ lớn bằng 1 là đường tròn (0,1)
Tập hợp những điểm biểu diễn số phức có độ lớn bằng 2 là đường tròn (0,2)
Do đó tập hợp những điểm biểu diễn số phức có độ lớn thỏa mãn
1
<
z
2 là phần
mặt phẳng bên trong giới hạn bởi 2 đường tròn (0,1) và (0,2) bao gồm cả những
điểm nằm trên đường tròn (0,2) như theo hình vẽ dưới đây:
(y)
2
1
(x)
-2 -1 0 1 2
-1
-2
Câu 3: Thực hiện các phép tính sau:
a) A =
2
3 2
i
i
f) F =
21
321
335
i
i
Giải:
a) A =
2
2
2 (3 2 )
2 6 7 2 4 7
3 2 3 2 3 2 9 4 13
i i
i i i i
i i i i
f) F =
21
321
335
i
i
=
21
2
2
21
2
13
31313
121
313185
121
321335
i
i
ii
i
ii
=
21
31 i
Đặt A = -1 + i
3
F = A
21
Viết A = -1 + i 3 dưới dạng lượng giác:
Modun: r =
2
2
31
=2
Argument:
1
cos
2
2
2
3
3
sin
2
k
Lấy giá trị chính
2
3
Suy ra dạng lượng giác của A là: A = 2
3
2
sin.
3
2
cos
i
F = A
21
= 2
21
.
21.2 21.2
cos .sin
3 3
i
= 2
21
(1 + 0) = 2
21
Vậy F =
21
321
335
i
i
= 2
21
Câu 5a: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: -3z
2
+ 2z – 1 = 0
Giải:
Ta có :
'
= 1
2
– 3 = -2 = 2i
2
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm:
X
1
=
3
21
3
21
2''
ii
a
b
X
2
=
3
21
3
21
2''
ii
a
b
Câu 5f: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: z
4
+z
2
+1 = 0 (1)
Giải:
Đặt X = z
2
suy ra (1)
X
2
+ 2X +1 =0 (2)
Ta có:
(2)
= 2
2
- 4.1.1 = 0
X
12
= 1
2
a
b
= i
2
z
2
= X
12
= i
2
z =
i
Vậy (1) có nghiệm là z =
i
Câu 7a: Viết theo dạng lượng giác z = 1+i
3
Giải:
Modun: r =
2
2
31
=2
Argument z:
2
3
2
3
sin
2
1
cos
k
r
b
r
a
Lấy giá trị chính
3
Suy ra dạng lượng giác của z là: z = 2
3
sin.
3
cos
i
Câu 7f: Viết theo dạng lượng giác z =
1 3
1
i
i
Giải:
Đặt
1
2
1 3
1
i
i
z
z
z =
1
2
z
z
(1)
* Viết z
1
= 1 + i
3
dưới dạng lượng giác:
Modun: r
1
=
2
2
31
=2
Argument z
1
:
1
1
1
1
1
1
1
1
cos
2
2
3
3
sin
2
k
a
r
b
r
Lấy giá trị chính
1
3
Suy ra dạng lượng giác của z
1
là: z
1
= 2
3
sin.
3
cos
i (2)
* Viết Z
2
= 1 + i dưới dạng lượng giác:
Modun: r
2
=
2 2
1 1
=
2
Argument z
2
:
2
2
2
2
2
2
2
1
cos
2
2
4
1
sin
2
k
a
r
b
r
Lấy giá trị chính
2
4
Suy ra dạng lượng giác của z
2
là: z
2
=
2
cos .sin
4 4
i
(3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta được:
z =
1
2
z
z
=
2( os isin )
3 3
2( os isin )
4 4
c
c
=
2
.[cos(
3
-
4
) +isin(
3
-
4
)]
=
2
(cos
12
+isin
12
)
Vậy z =
2
(cos
12
+isin
12
)
Câu 9: Đặt
1 2
1 3 1 3
z ;
2 2
i i
z
.
Tính
1 2
z = (z ) ( )
n n
z
(n là số nguyên dương)
Giải:
Ta có:
1
1 3
z
2
i
1
( 1 3)
2
n
n
n
i
z
(1)
2
1 3
2
i
z
2
( 1 3)
2
n
n
n
i
z
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
1 2
z = (z ) ( )
n n
z
=
2
)31(
n
n
i
+
2
)31(
n
n
i
=
2
1
n
[
)31( i
n
+
)31( i
n
] =
2
1
n
(A
n
+B
n
) (3)
Với A = -1 + i 3 và B = -1 - i 3
A = -1 + i
3
Modun: r
1
=
2
2
31
=2
Argument:
2
3
2
2
3
sin
2
1
cos
1
1
1
k
Lấy giá trị chính
3
2
1
Suy ra dạng lượng giác của A là: A = 2
3
2
sin.
3
2
cos
i
A
n
= 2
n
.
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
(*)
B = -1 - i 3
Modun: r
2
=
2
2
31
=2
Argument:
2
3
2
2
3
sin
2
1
cos
2
2
2
k
Lấy giá trị chính
3
2
2
Suy ra dạng lượng giác của B là: B = 2
3
2
sin.
3
2
cos
i
= 2
3
2
sin.
3
2
cos
i
B
n
= 2
n
.
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
(**)
Thay (*) và (**) vào (3) ta được:
z =
2
1
n
(A
n
+B
n
) =
2
1
n
[2
n
.
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
+2
n
.
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
]
=
2
1
n
.2
n
.(
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
+
3
2
sin.
3
2
cos
n
i
n
)
= 2
3
2
cos
n
Vậy z = 2
3
2
cos
n
Câu 10: Đặt z
1
=
2
31 i
. Tính z = (z
1
)
n
với n là số nguyên dương.
Giải:
Đặt z
1
=
2
31 i
=
2
2
z
(*) với z
2
= 1+i 3
Viết z
2
= 1+i
3
dưới dạng lượng giác:
Môđun: r
2
= 1
2
+ ( 3 )
2
= 4 r = 2
Argument z
2
:
2
3
sin
2
1
cos
=
3
+ k2
Lấy giá trị chính
=
3
Từ đó có dạng lượng giác của z
2
là:
z
2
= 2(cos
3
+isin
3
)
Thay vào (*) ta được:
z
1
=
2
2
z
=
2
)
3
sin
3
2(cos
i
=
3
sin
3
cos
i
Do đó: z= (z
1
)
n
= (
3
sin
3
cos
i
)
n
= cos
3
n
+ isin
3
n
với n là số nguyên
dương.
Vậy: z = cos
3
n
+ isin
3
n
với n là số nguyên dương.
Với n = 0 thì z
0
= 1
Với n = 1 thì z
1
=
2
1
+ i
2
3
Với n = 2 thì z
2
= -
2
1
+ i
2
3
Với n = 3 thì z
3
= -1
Vơí n = 4 thì z
4
= -
2
1
- i
2
3
Với n = 5 thì z
5
=
2
1
- i
2
3
Với n = 6 thì z
6
= 1 chu kì được lặp lại.
Câu 11: Tìm tất cả các số phức u là căn bậc ba của z = 4
2
(1 + i)
Giải:
z = 4 2 (1 + i) = 4 2 . z
1
(*) với z
1
= 1+i
Viết z
1
= 1+I dưới dạng lượng giác:
Mođun: r
2
= 1
2
+ 1
2
= 2 r = 2
Argument z
1
:
2
1
sin
2
1
cos
=
4
+ k2
Lấy giá trị chính
=
4
Từ đó có dạng lượng giác của z
1
là:
z
1
=
2
(cos
4
+isin
4
)
Thay vào (*) ta được:
z = 4 2 . z
1
= 4 2 . 2 (cos
4
+isin
4
) = 8(cos
4
+isin
4
)
Theo công thức căn bậc n của số phức ta có:
3
z
=
3
4
sin
4
(cos8
i
= 2.(cos
3
2
4
k
+ isin
3
2
4
k
) với k = 0, 1, 2
k = 0: u
0
=
3
z
= 2(cos
12
+ isin
12
)
k = 1: u
1
= 2(cos
4
3
+isin
4
3
) = 2( -
2
2
+i
2
2
) = 2 (-1+i)
k = 2: u
2
= 2(cos
12
17
+isin
12
17
)
Câu 15: Tính định thức: A=
0
2
7
0
1
2
3
4
2
7
4
4
0
0
1
0
và B=
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
Giải:
a) A=
0
2
7
0
1
2
3
4
2
7
4
4
0
0
1
0
= -1.
0
2
0
1
2
4
2
7
4
= 2.
1
4
2
4
= 2.(4 – 8) = -8
b) B=
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
414
313
212
.1
.1
.1
ddd
ddd
ddd
2 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
1
4 1d d d
3 1 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
[...]... TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 2 3 4 5 6 7 Giáo trình Toán cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ĐHCN TP HCM Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – ĐHCN TP HCM Toán cao cấp A2 – Đỗ Công Khanh – NXBĐHQG TP.HCM Toán cao cấp A2 – Nguyễn Đình Trí – NXB Giáo dục Toán cao cấp A2 – Nguyễn Viết Đông – NXB Giáo dục Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – Lê Sĩ Đồng – NXB Giáo dục Bài tập Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – Hoàng Xuân Sính –... 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 (Theo công thức nhân ma trận) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Câu 119: Cho ma trận vuông cấp 100: A = (aij), trong đó phần tử ở dòng thứ i là (-1)i+j Tìm phần tử a41 của A2 Giải: Theo bài ra ta có: a11 = (-1)1+1 = 1 a12 = (-1)1+2 = -1 a13 = (-1)1+3 = 1 a1n = (-1)1+n = (-1)1+100 = -1 Tương tự: a21 = (-1)2+1 = -1 a22 = (-1)2+2 = 1 a23 =... đó không tồn tại giá trị m cần tìm Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu266: Tìm 1 cơ sở của không gian con nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: x y 2z 0 3 x 2 y z 0 4 x 3 y z 0 Giải: 1 -1 2 Ta có ma trận A= 3 -2 -1 4 -3 1 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận A ta được: 1 -1 2 A= 3 -2 -1 4 -3 1 ... f x, y, z =2x2+6xy+2xz-6y2-4yz+mz2 A= 3 Gọi D1 ,D2,D3 là các định thức con chính của ma trận A f x, y, z xác định âm Tất cả các định thức con chính cấp chẵn thì dương, cấp lẻ thì âm Dễ thấy D 1= 2 > 0 là định thức con chính cấp lẻ mà lại dương Do đó không có giá trị m để dạng toàn phương đã cho xác định tính âm b) f x, y, z =5x2+4y2+mz2+6xy+2xz+2yz xác định tính dương 5 3 1 f ... b2 x a2 x b2 a3 b3 x a3 x b3 a3 a3 c1 a1 2 c2 (1 x ) a2 b1 b2 c1 c2 (Điều phải chứng minh) c3 b3 c3 a3 Câu 55: Tính các định thức cấp n: a x x x x… x a x… a) A= … … … … x x x a Ta thấy mỗi cột của định thức đều có một phần tử bằng a và các phần tử còn lại đều bằng x Nên ta cộng dòng 2, dòng 3,…dòng n vào dòng 1 a+(n-1)x a+(n-1)x a+(n+1)x… a+(n+1)x a x… x x Khi đó: A =... 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 2 1 -1 1 -1 Suy ra A = 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 Do A là ma trận vuông cấp 100 nên A2 là ma trận vuông cấp 100 a41 = (-1).1+1.(-1) + (-1).1+ +1.(-1) = -100 Vậy a 41 = -100 Câu 123d: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau bằng phương pháp phụ đại số: 1 3 5 D= 5... u, v, w của R3 có số chiều là 2 Với u = (1, 3, 1) , v = (1;m+3;3), w = (1;m+6;m+3) Giải: 1 1 1 3 m+3 m+6 Từ 3 vecto ta có không gian veto A= 3 m+3 1 Theo đề bài ta có dim(w)=2 r(A)=2 Ta sử dựng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận A: 1 1 1 3 m+3 m+6 A= 3 m+3 1 d 2 3 d1 d 2 d 3 d1 d3 1 1 1 0 m m+3 0 2 m+2 d 2 d3 1 1 1... R4 có số chiều là 2: Với u = (m;1;0;2), v = (m;m+1;-1:2), w = (2m;m+2;-1;5) Giải: m 1 Từ 3 vecto ta có không gian veto A= 0 2 m 2m m+1 m+2 -1 -1 2 5 Theo đề bài ta có dim(w) = 2 r(A)=2 Ta sử dựng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận A: m 1 A= 0 2 m 2m m+1 m+2 -1 -1 2 5 d1 d 2 1 m+1 m 2 2 d 2 md 1 d 2 d 4 2 d 1 d 4 0 -m2 m ... … … x x a 1 0 1 1 ax 0 0 = [a+(n-1)x].(a-x)n-1 0 ax = [a+(n-1)x].(a-x)n-1 1+a1 a1 b) B = … a1 a2 … an 1+a2 … an … … … a2 … 1+an Ta thấy mỗi dòng của định thức đều chứa các phần tử 1, a1, a2, a3,…an Nên ta cộng các cột 2, cột 3,…cột n vào cột 1 ta được: +…+a a2 1+a1+a2+…+an 1+a … an 1+a1+a2 an n 2 … B= … … … … 1+a1+a2+…+an a2 … 1+an a2 … 1 1+a … an 1 an... 1 x -1 -1 x2 1 1 1 1 1 0 1 1 = 0 có nghiệm với mọi x 1 2 Câu 69: Tìm hạng của ma trận sau: A= 3 4 2 3 4 6 4 5 8 11 6 9 12 14 8 12 16 20 Giải: Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng: 1 2 A= 3 4 d 2 2 d 1 d 2 d 3 3 d1 d 3 d 4 4 d 1 d 4 2 3 4 5 4 6 8 11 6 9 12 14 8 12 16 20 1 0 0 0 1 3 4 5 d3 d2 d3 0 2 0 0 1 0 .
KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI TẬP THƯỜNG KỲ
HỌC PHẦN
TOÁN CAO CẤP A 2
(HỆ ĐẠI HỌC)
GVHD: ThS
Giải:
Ta có: z = a+bi trong đó a là phần thực và b là phần ảo
a) Phần thực của z bằng -2
z = -2+bi với b
R
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
Ngày đăng: 22/03/2014, 13:20
Xem thêm: BÀI TẬP THƯỜNG KỲHỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP potx, BÀI TẬP THƯỜNG KỲHỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP potx