Chuyên Đề 06 phương pháp toa độ trong không gian

74 867 6
  • Loading ...
1/74 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 21/03/2014, 14:24

Chuyên Đề 06 phương pháp toa độ trong không gian Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn  Tọa độ của vectơ và của điểm: Cho ( ; ; )( ; ; )u x y z u xi y j zkM x y z OM u xi y j zk= ⇔ = + += ⇒ = = + +         Nếu ()( ; ; ), ( ; ; ) ; ;A A A B B B B A B A B AA x y z B x y z AB x x y y z z= = → = − − −  Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu: Cho 1 1 1 2 2 2( ; ; ), ( ; ; )u x y z v x y z= = . Khi đó ( )1 2 1 2 1 21 1 11 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 21 21 21 2; ;( ; ; ),( ; ; ), ,; ( ) ( ) ( )A B A B A Bu v x x y y z zku kx ky kz kmu nv mx nx my ny mz nz m nu x y z v x y z AB x x y y z zx xu v y yz z± = ± ± ±= ∈± = ± ± ± ∈= + + = + + → = − + − + −== ⇔ == ℝ ℝ    Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ 1 1 1 2 2 2( ; ; ), ( ; ; )u x y z v x y z= =  cùng phương 2 12 2 22 11 1 12 1:x kxx y zk v ku y ky hayx y zz kz=⇔ ∃ ∈ = ⇔ = = == ℝ  Tích vô hướng của hai vectơ: Cho 1 1 1 2 2 2( ; ; ), ( ; ; )u x y z v x y z= = . Tích vô hướng của hai véc tơ cho bởi ()1 2 1 2 1 2. .cos ,u v u v u v x x y y z z= = + +      Từ đó suy ra ( )1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2.cos , . 0 0.x x y y z zu vu v u v u v x x y y z zu vx y z x y z+ += = → ⊥ ⇔ = ⇔ + + =+ + + +        Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho: = − = − = − − =(1; 1;0), ( 1;1;2), 2 ,     a b c i j k d i a) Xác định k để véctơ = −(2;2 1;0)u k cùng phương với .a b) Xác định các số thực m, n, p để:= − +   d ma nb pc c) Tính +; ; 2   a b a b Hướng dẫn giải: a) Để u cùng phương với 1 1 12 2 1 2a kk−⇔ = ⇔ = −− b) 2 (1; 2; 1); (1;0;0)c i j k c d i d= − − ⇒ − − = ⇒     01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Ta có 32( ; ;0)11( ; ;2 ) 2 022 0( ; 2 ; )1mma m mm n pnb n n n d ma nb pc m n p nn ppc p p pp== −+ + =  = − → = − + ⇔ − − − = ⇔ =    − − == − −= −     c) 2 2 2 2 21 ( 1) 2; ( 1) 1 2 6a b= + − = = − + + =  2 2 22 (1 2.1; 1 2.1;0 2.2) ( 1;1;4) 2 ( 1) 1 4 18 3 2+ = − − + + = − → + = − + + = =   a b a b Ví dụ 2: Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3). a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD. b) Tính cosin các góc của tam giác ABC. c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB. Hướng dẫn giải: a) Ta có (1; 2;1)AB DC= = −  nên ABCD là hình bình hành Lại có 0. 1.2 2.1 0.1 0 . 90AB BC AB BC ABC= − + = → ⇔ =   . Vậy ABCD là hình chữ nhật 2 2 2 2 2 . 1 1 2 . 2 1 30ABCDS AB BC= = + + + = b) Gọi góc giữa các cạnh của tam giác ABC là φ1; φ2; φ3 Ta có (1; 2;1); (2;1;0); (3; 1;1)AB BC AC= − = = −   Do góc giữa 2 đường thẳng không vượt quá 900 nên ta có: ( )( )( )12 2 2 2 222 2 2 2 2 232 2 2 2 21.2 2.1 1.0cosφ cos ; 01 2 1 . 1 21.3 2.1 1.16cosφ cos ;661 2 1 . 1 1 32.3 1.1 0.15cosφ cos ;552 1 . 1 1 3AB BCAB ACBC AC− += = =+ + ++ += = =+ + + +− += = =+ + +    c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0)(1; 1 ;1), (2; 3 ;2)IA y IB y→ = − − = − −  I cách đều A và B khi 2 2 2 2 2 2 2 27 71 (1 ) 1 2 (3 ) 2 0; ;02 2IA IB IA IB y y y I− − = ⇔ = ⇔ + + + = + + + ⇔ = →   Ví dụ 3: Cho: ()()()2 5 3 0 2 1 1 7 2− −= = =         . Tìm toạ độ của các vectơ  với: a) 14 32= − +      b) 4 2= − −      c) 243= − +    d) 3 5= − +      e) 1 422 3= − −      f) 3 24 3= − −      Ví dụ 4: Cho ba vectơ ()()()1 1 1 4 0 1 3 2 1= − = − = −          . Tìm: a) ()    b) ()2    c) 2 2 2+ +          Ví dụ 5: Cho ba vectơ ()()()2 1 1 0 3 4 1 3= = − = +            . Tìm m để a) 2 3 2 69+ − =a b c   (Đ/s: m = 2) b) ()3 . 0+ =a c b   c) ( )22cos ; 23045+ − =a b b c    (Đ/s: m = 1) Ví dụ 6: Cho ba vectơ ()()()1 3 4 2 1 1 2 1= = − − =            . Tìm m để a) 2 74+ =a c  (Đ/s: m = 1) b) ()()2 . 2 0+ − =b c a c    (Đ/s: m = –2) Ví dụ 7: Cho hai vectơ  . Tính X, Y khi biết Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn a) 4 6= == −    b) 2 1 2 6 4= − − = − == +            Ví dụ 8: Cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1). a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành. c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức 3 2 0+ − =MA MB CM    Ví dụ 9: Tìm điểm M trên Oy cách đều các điểm (3;1;0), ( 2;4;1)−A B Đ/s: 110; ;06   M BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm tọa độ chân đường vuông góc H của tam giác OAB với ( 3; 2;6), ( 2;4;4), (0;0;0)− − −A B O Đ/s: 96 80 192; ;41 41 41 −  H Bài 2: Cho các điểm A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3). a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. Đ/s: 62=S b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành. Đ/s: D(2;2;2;) c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức 2 ,− + =MA MB MC MD    với D(4; 3; 2) Đ/s: 11; ;02   M Bài 3: Tìm điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C với (1;1;2), ( 1;2;5)−A B Đ/s: ()2;0;0−C Bài 4: Tìm điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông tại B với (2; 1;0), (1; 1;1)− −A B Đ/s: ()0;3;0C Bài 5: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng xOz sao cho M cách đều các điểm (1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)− −A B C Đ/s: 5 7;0;6 6 −  M Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm ()()()()4;2;1 , 1;0;3 , 2; 2;0 , 3;2;1− − −A B C D a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng b) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A c) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: ()()()2;3;1 , 1;2;0 , 1;1; 2− −A B C a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh 3 điểm G, H, I thẳng hàng. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn  Tích có hướng của hai véc tơ: Cho hai véc tơ: 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2( ; ; ), ( ; ; ) ; ; ;y z z x x yu x y z v x y z u vy z z x x y  = = → =       Ví dụ 1: Tính tích có hướng của các véc tơ sau: a) ( )(1;1;2); 6; 4;5( 2;3;0)uu vv= → = − − = −  b) ( )( 1;3;1); 7;0;5( 2;1; 2)uu vv= − → = − = − −  c) ( )(2;0; 1); 2;4;4( 2;2; 1)uu vv= − → = = − −  Ví dụ 2: Cho ()()= = − −1;1;2 , 1; ; 2 . u v m m Tìm m để a)  ⊥ ; ,  u v a với ()= − −3; 1; 2 .a b)  = ; 4. u v c) () = 0; ; 60 ,  u v a với ()= −1;2;0 .a Hướng dẫn giải: Ta có ( )( )( )1;1;2; 2; ; 11; ; 2uu v m m mv m m= → = − − − + − −  a) ( ) ( ); ; . 0 2; ; 1 . 3; 1; 2 0 3 6 2 2 0 4 8 2.u v a u v a m m m m m m m m   ⊥ ⇔ = ⇔ − − − + − − = ⇔ − − + − − = ⇔ = − ⇔ = −         b) ( ) ( ) ( )2 2 22 21; 4 2 1 4 5 6 5 4 5 6 11 0115mu v m m m m m m mm= = ⇔ − − + − + + = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔ = −  c) ()()( )0 221 2 2 1; ; 60 cos ; ; 2 2 5. 5 6 52 25 6 5. 5m mu v a u v a m m mm m+ −   = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = + +   + +      ( )( )22222 02227 2323 2274 2 5 5 6 5 4221 46 9 042mmmmm m mm mm≤− ≥≤− ⇔ ⇔ ⇔ → =  − ±− = + ++ + ==  Các ứng dụng của tích có hướng: +) Ứng dụng 1: Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ (hoặc tính đồng phẳng của bốn điểm phân biệt A, B, C, D). Ba véc tơ ; ;  a b c đồng phẳng khi ; . 0 =   a b c và không đồng phẳng khi ; . 0. ≠   a b c Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi ; . 0 =   AB AC AD và không đồng phẳng khi ; . 0. ≠   AB AC AD +) Ứng dụng 2: Tính diện tích tam giác. Ta có 1 1 1; ; ;2 2 2∆     = = =          ABCS AB AC BC BA CA CB 02. TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Từ đó ; ;1 1; .2 2∆       = = → = =     ABC a aAB AC AB ACS AB AC a h ha BC +) Ứng dụng 3: Tính thể tích khối chóp tam giác hoặc tứ diện. Ta có 1 1 3; . . .6 3∆∆ = = → =   ABCD ABCABCVV AB AC AD S h hS ⇒ thể tích khối hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D là ; . ' =   V AB AC AA Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. b) Tính thể tích của tứ diện ABCD. c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Hướng dẫn giải: a) ( 6;3;3), ( 4;2;4), ( 2;3; 3)= − = − = − −  AB AC AD Ta có 3 3 3 6 6 3, ; ; ( 18; 36;0)2 4 4 4 4 2 − − = = − −  − − − −  AB AC , . 18.( 2) 36.3 72 0 ⇒ = − − − = − ≠   AB AC AD nên ba vectơ , ,  AB AC AD không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện b) 1 1, . .72 126 6 = = =   ABCDV AB AC AD (đvtt) c) (2; 1; 7), (4;0; 6)= − − = − BC BD 2 2 21 7 7 2 2 11 1, ; ; (6; 16;4) , 6 16 4 770 6 6 4 4 02 2 − − − −   = = − → = = + + =    − −    BCDBC BD S BC BD Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có 1 12 36. . 3. 3.377 77= → = = =ABCDABCD BDCBDCVV S AH AHS d) ( 6;3;3), (2;1;1)= − = AB CD Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là φ ta có: 2 2 2 26.2 3.1 3.16 1cosφ .33246 3 3 . 2 1 1− + += = =+ + + + Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là φ sao cho 1cosφ3= Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng A(1; 2; –1), B(–1; 1; 3), C(–1; –1; 2) và D’(2; –2; –3) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại. b) Tính thể tích hình hộp. c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số . ' ' ' '. ' ' 'ABCD A B C DA A B CVV d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’. Hướng dẫn giải: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn a) Đặt D(a; b; c) ta có ()1; 2; 1 ; (0; 2; 1)= − − + = − − AD a b c BC 1 0 12 2 0 (1;0; 2)1 1 2− = =  = ⇔ − = − ⇔ = → −  + = − = −  a aAD BC b b Dc c Làm tương tự ' ' '(0; 1;2); ' ' '(0; 3;1); ' ' ' (2;0; 2)= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −     A B AB B B C BC C AA DD A , ; b) 1 4 4 2 2 1, ; ; (9; 2;4) , . ' 9.1 2.( 2) 4.( 1) 92 1 1 0 0 2 − − − −   = = − ⇒ = − − + − =    − − − −     AB AD AB AD AA . ' ' ' ', . ' 9 = =   ABCD A B C DV AB AD AA (đvtt) c) . ' ' ' ''. . ' ' ' . ' ' ' '. ' ' '1 1 3.9 66 6 2= = = = ⇒ =ABCD A B C DA ABC A A B C ABCD A B C DA A B CVV V VV d) ' . ' . '9 936 6= + = + =ABCDD D ACD B ACDV V V (đvtt) Ví dụ 5: Cho ba vectơ ()()()1 1 2 2 1 0 3 2= = − = −            . Tìm m để a) ; 3 5 = a c  (Đ/s: m = 1) b) ; 2 5 = b c  (Đ/s: m = 2) Ví dụ 6: Cho ba vectơ ()()1 3 2 2 1= − = −        . Tìm m để a) 0=  b) ; . 0, = a b c   với (3;1;1)=c c) ; 3 10 = a b  (Đ/s: m = –1) Ví dụ 7: Cho ()()2;1;3 , 1; 1;2 1= − = + − u v m m . Tìm m để a) ; ,u v a ⊥    với ()1;1; 3 .= −a b) ; 2 2. =  u v c) ()0; ; 30 , =   u v a với ()2;1;1 .= −a Ví dụ 8: Cho ba vectơ ()()3 2 1 0 1 3 3 2 1 1= − = − = + −             . Tìm m để a) ; 3 6 = a c  (Đ/s: m = 0) b) ; 2 26 = b c  (Đ/s: m = –1) c) ba véc tơ đã cho đồng phẳng Ví dụ 9: Cho ba vectơ ()()2 3 1 3 1 1 2 2 3 1= + + = − = −             . Tìm m để a) ; 110 = a b  (Đ/s: m = 0) b) (). 6+ =a b c   (Đ/s: m = –1) c) ; . 0 = a b c   Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Ví dụ 10: Cho ba vectô , ,a b c . Tìm m, n biết , = c a b : a) ()()()3; 1; 2 , 1;2; , 5;1;7= − − = =a b m c  b) ()()()6; 2; , 5; ; 3 , 6;33;10= − = − =a m b n c  c) ()()()2;3;1 , 5;6;4 , ; ;1= = =a b c m n  Ví dụ 11: Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ , ,a b c  cho dưới đây: a) ()()()1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3= − = =a b c  b) ()()()4;3; 4 , 2; 1;2 , 1;2;1= = − =a b c  c) ()()()3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1= − − = = −a b c  d) ()()()4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1= = =a b c  Ví dụ 12: Tìm m để ba véc tơ , ,a b c  đồng phẳng: a) ()()()1; ; 2 , 1;2;1 , 0; 2;2= = + = −a m b m c m  b) (2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1;2)= + − = + + = +a m m b m m c m m  d) ()()()1; 3; 2 , 1; 2;1 , 0; 2;2= − = + − − = −a b m m m c m  BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(–4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; –1); D(7; –2; 3). a) Chứng minh rằng A, B, C, D đồng phẳng. b) Tính diện tích tứ giác ABDC. Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. b) Tính thể tích của tứ diện ABCD. c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Bài 3: Trong không gian cho các điểm A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3). a) Chứng tỏ rằng A, B, C không thẳng hàng. b) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. c) Tính diện tích tam giác ABC. d) Tính thể tích tứ diện ABCD. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có A(2; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; –1), S(0; 0; 7). a) Tính diện tích tam giác SAB. b) Tính diện tích tứ giác ABCD. c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Từ đó tính khoảng cách từ S đến (ABCD). d) Tính khoảng cách từ A đến (SCD). Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn 1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng  ()2 2 2; ; , 0= + + >n A B C A B C có phương vuông góc với (P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P).  (P) đi qua điểm ()0 0 0; ;M x y z và có véc tơ pháp tuyến (); ;=n A B C thì có phương trình được viết dạng ()()()()0 0 0: 0.P A x x B y y C z z− + − + − =  (P) có véc tơ pháp tuyến (); ;=n A B C thì có phương trình tổng quát (): 0.P Ax By Cz D+ + + =  (P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến ;Pn AB AC =     (P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho = P Qn n  (P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì ;αα ββ⊥ → = ⊥    PPPn nn n nn n  (P) đi qua điểm A và song song với hai véc tơ ; a b thì ;⊥ → = ⊥    PPPn an a bn b  (P) đi qua điểm A, B và vuông góc với (α) thì ;αα⊥ → = ⊥    PPPn ABn AB nn n Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến ()= −1; 2;1 .n b) qua M(2; 0; 1) và song song với (Q): x + 2y + 5z −−−− 1 = 0. c) qua M(3; −−−−1; 0) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z −−−− 1 = 0; (R): 2x + 3y −−−− z −−−− 5 = 0. Hướng dẫn giải: a) (P) đi qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến ()1; 2;1= −n nên có phương trình ()()()(): 1. 1 2. 1 1. 2 0 2 1 0− − − + − = ⇔ − + − =P x y z x y z b) (P) // (Q) nên // , P Qn n chọn ()()()()()1;2;5 :1. 2 2. 0 5. 1 0= = → − + − + − = P Qn n P x y z (): 2 5 7 0.→ + + − =P x y z c) (P) qua vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến ( ) ( ) ( )4 0 1; 3;6;12 3 1; 2; 4 1; 2; 42 3 1⊥ → = = = − = − − −⇒= − − −⊥     P QP Q R PP Rn nn n n nn n Khi đó (P) có phương trình ()()1. 3 2. 1 4 0 2 4 5 0− − + − = ⇔ − − − =x y z x y z Ví dụ 2. Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6). a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ ()1; 1;5−n làm vectơ pháp tuyến b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mặt phẳng đó là ()()1;2; 1 , 2; 1;3− −a b c) Viết phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với đường thẳng AB. d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC. e) Viết phương trình (ABC). Ví dụ 3. Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2). a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua I(2; 1; 1) và song song với (ABC). b) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với (P): 2x – y – 3z – 2 = 0. 03. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0. d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0. e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz). Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với: a) ( )3 1 1 2 1 42 3 1 0− −− + − =β           b) ( )2 1 3 4 2 12 3 2 5 0− − −+ − + =β           c) ( )2 1 3 4 7 93 4 8 5 0− − −+ − − =β           d) ( )3 1 2 3 1 22 2 2 5 0− − −− − + =β           Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) ()()()1 2 3 2 3 5 0 3 2 5 1 0− − + − = − + − =              b) ()()()2 1 1 4 0 3 1 0− − + − = − + − =              c) ()()()3 4 1 19 6 4 27 0 42 8 3 11 0− − + = − + + =              d) ()()()0 0 1 5 3 2 5 0 2 1 0− + − = − − − =              Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) 2 4 0 3 0 2 0                  + − = + − − = + + − = b) 4 2 5 0 4 5 0 2 19 0                − + − = + − = − + = c) 3 2 0 4 5 0 2 7 0                 − + − = + − = − + = Ví dụ 7. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) 2 3 4 0 2 3 5 0 2 3 2 0                  + − = − − = + − − = b) 2 4 0 3 0 2 0                 + − = + − + = + + − = c) 2 4 0 2 5 0 2 3 6 0                  + − − = + + + = − − + = d) 3 2 0 4 5 0 2 7 0                 − + − = + − = − + = 2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt  Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến là Oz và đi qua gốc tạo độ nên có phương trình là z = 0. Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình là z − a = 0.  Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến là Ox và đi qua gốc tạo độ nên có phương trình là x = 0. Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình là x − a = 0.  Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến là Oy và đi qua gốc tạo độ nên có phương trình là y = 0. Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình là y − a = 0.  Mặt phẳng trung trực: Cho hai điểm A, B. Khi đó mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm I của AB và nhận AB làm véc tơ pháp tuyến.  Phương trình mặt chắn: Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn điểm ()()();0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c thì (P) có phương trình đoạn chắn: ( ): 1+ + =x y zPa b c. Một số đặc điểm của mặt chắn: + Độ dài ; ;= = =OA a OB b OC c + Thế tích tứ diện 1 1. .6 6= =OABCV OA OB OC abc + Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: • Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Do mặt phẳng cắt các tia nên Ta có a, b, c > 0 Phương trình mặt chắn( ): 1.+ + =x y zPa b c • Do ( )2 2 2 1 1 1 112∈ → + + = ⇔ + + =M Pa b c a b c Ta có 1; ;6= = = → =OABCOA a OB b OC c V abc • Do a, b, c là ba số dương nên theo Côsi ta có33 31 1 1 3 1 36 2162+ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥abc abca b cabc abc min1.216 36 36 66→ ≥ =⇒= ⇔ = = =OABCV V a b c , từ đó ta được phương trình (P): x + y + z – 6 = 0 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6. Đ/s: ( ): 12 2y zABC x± ± = Bài 2: Cho điểm A(2; 0; 0) và điểm M(2; 3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho (α) cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho 2OABCV=, với O là gốc tọa độ. Đ/s: ( ): 1; 12 3 2 2 3 2x y z x y zABC+ − = − + = Bài 3: Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho 4OABCV= Đ/s: ( ): 12 3 4x y zABC− + + = Bài 4: Cho điểm B(0; 3; 0) và điểm M(1; -3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua B, M sao cho (α) cắt các trục Ox, Oz lần lược tại các điểm A, C sao cho 72ABCS=, với O là gốc tọa độ. [...]... LyHung95 04 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng 1) Véc tơ chỉ phương, các dạng phương trình đường thẳng u = ( a; b; c ) , A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương song song hoặc trùng với (d) được gọi là véc tơ chỉ phương của (d) (d) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ chỉ phương u = ( a; b; c ) thì có phương trình  x = x0 + at  +) Phương trình tham số ( d ) :  y = y0 + bt  z = z + ct 0  +) Phương. .. ) : x + z + 8 = 0 Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 2; 1), B(–1; 3; 1), C(0; 2; 2), D(4; –3; 1) a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm A đến (BCD) bằng hai cách c) Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho (P) cách đều hai điểm A và B d)* Viết phương trình mặt phẳng cách đều bốn điểm A, B, C, D Ví dụ... 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN a) M ∈ ( P ) b) d ( M ; ( P ) ) = 2 3 (Đ/s: t = ±1 ) x = 2 + t  Ví dụ 6: Cho đường thẳng d :  y = 1 + 3t và mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + 2 z + 10 = 0 Tìm điểm M trên d sao z = 1− t  cho d ( M ; ( P) ) = 14 3 (Đ/s: t = −1; t = − 31 ) 3 Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(1;1;0), B(3;1; 0),... với đường thẳng ∆ ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c Thay a = f(b; c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c Chọn cho c = 1, từ đó tim được các giá trị tương ứng của a và b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) và (P): x + 2y + z −3= 0 Viết 3 phương trình (Q) chứa AB và tạo... trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 08 BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG 1 MẶT PHẲNG XÁC ĐỊNH ĐƯỢC VÉC TƠ PHÁP TUYẾN Phương pháp giải: (P) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) thì có phương trình được viết dạng ( P )... = −1 + t    y = −t  y = −t 1    ⇔  z = −2 + 3t ⇔ y = Tạo độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình  z = −2 + 3t 2    1 7  x + 2 y − z − 3 = 0  −1 + t − 2t + 2 − 3t − 3 = 0 ⇒ t = −    z = − 2  2  Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN  3 1 7 ⇒ I  − ; ; −   2 2 2 Ví dụ 2 Tìm m để đường thẳng... A, B, C, D Ví dụ 11: Cho hai mặt phẳng, (P1): 2x – 2y + z – 3 = 0 và (P2): 2x – 2y + z + 5 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (Q) song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2) Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN 07 BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MẶT PHẲNG II... thay vào d2 ta có Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2 Do d1 // d2 nên n = u1 , M 1M 2  = (0; −2; −2) = −2(0;1;1)   Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng là (P) : y + z – 2 = 0 b) Ta có nP u3 = 2 ≠ 0 ⇒ ( P ) ∩ d3 Gọi giao điểm của (P) và d3 là A Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN y + z − 2 =... sao cho: a) tam giác ABC đều b) tam giác ABC cân tại A c) diện tích tam giác ABC bằng 9/2 d) tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất 2 2 2 e) F = xM − yM + zM đạt giá trị lớn nhỏ nhất f) CA2 + CB2 đạt giá trị nhỏ nhất Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN 05 BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ... − 3 y + 8 z + 35 = 0 c 8 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán x y − 3 z +1 = = 1 2 −1 Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng 5 (OAB) và hợp với đường thẳng (d) một góc α sao cho cos α = 6 Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1; −2) và đường thẳng d : Hướng dẫn giải: Ta có OA = ( 2; −1;1) . 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: ()()()2;3;1 , 1;2;0 , 1;1; 2− −A B C a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ . xOz sao cho M cách đề u các điểm (1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)− −A B C Đ/s: 5 7;0;6 6 −  M Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm
- Xem thêm -

Xem thêm: Chuyên Đề 06 phương pháp toa độ trong không gian, Chuyên Đề 06 phương pháp toa độ trong không gian, Chuyên Đề 06 phương pháp toa độ trong không gian

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay