VÊn ®Ò1: Sai lÇm khi tÝnh tÝch ph©n 1. §æi biÕn sè nhng kh«ng ®æi cËn. VD1: tÝnh tÝch ph©n 4 2 0 1I x dx π = − ∫ Gi¶i: Lêi gi¶i sai: ®Æt sinx t= suy ra dx=costdt 4 4 4 2 2 0 0 0 1 cos 2 1 1 sin .cos . cos . 2 8 4 t I t t dt t dt dt π π π π + = − = = = + ∫ ∫ ∫ Lêi gi¶i ®óng: ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt 0 0 sin 4 4 x t x t arc π π = ⇒ =    = ⇒ =   arcsin arcsin arcsin 4 4 4 2 2 0 0 0 1 cos 2 1 sin .cos . cos . 2 1 1 arcsin sin 2arcsin 2 4 4 4 t I t t dt t dt dt π π π π π + = − = =   = +  ÷   ∫ ∫ ∫ 2. Khi ®æi biÕn kh«ng tÝnh vi ph©n VD2: tÝnh 1 5 0 (2 1) dx I x = + ∫ Gi¶i: Lêi gi¶i sai: ®Æt t = 2x + 1 1 3 0 1 x t x t = ⇒ =  ⇒  = ⇒ =  3 4 5 4 1 3 1 1 20 1 1 4 4 3 81 dt t I t −   = = − = − − =  ÷   ∫ Lêi gi¶i ®óng: ®Æt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx 1 3 0 1 x t x t = ⇒ =  ⇒  = ⇒ =  3 4 5 4 1 3 1 1 10 1 1 2 8 8 3 81 dt t I t −   = = − = − − =  ÷   ∫ 3. Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức VD1: Tính 2 0 . x I x e dx= Giải: * lời giải sai: đặt ' 1 ' x x u x u v e v e = = = = ( ) 2 2 0 2 1 0 x x I xe e dx e = = + *Lời giải đúng: đặt x x u x du dx dv e v e = = = = ( ) 2 2 0 2 1 0 x x I xe e dx e = = + Vấn đề 2: sai lầm khi chứng minh đẳng thức tích phân ví dụ 1: cho n N ; CMR ( ) 2 0 sin sin 0I x nx dx = + = * Lời giải sai: xét f(x)=sin(sinx+nx) trên [ ] 0;2 ta có: f(x) là hàm liên tục trên [ ] 0;2 và f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x) vậy f(x) là hàm lẻ I=0 *Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý. Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên [-a;a] thì ( ) a a f x dx =0 * Lời giải đúng: Đặt x y = + ( ) ( ) 2 0 sin sin sin sinI x nx dx y ny n dx = + = + + = ( ) ( ) 1 sin sin n ny y dx Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên [ ] , là hàm liên tục va g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y) g(y) là hàm lẻ. Vậy thì I=0 Ví dụ 2: cho hàm số f liên tục trên [ ] 0, . Hãy so sánh ( ) 0 sinI xf x dx = và ( ) 0 sinJ f x dx = *Lời giải sai: Tích phân từng phần: ( ) ( ) sin cos u x du dx dv f x dx v f x = = = = ( ) ( ) 0 cos cos 0 I xf x f x dx = + Do f liên tục /[0; ] ( ) ( ) ( ) 0 cos 0 0 cosf f I f x dx = = = (1) Mà ( ) 0 sin 2 J f x dx = (2) Từ (1) và (2) ta có I J * Nguyên nhân sai lầm: Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân. * Lời giải đúng: Đặt x t = ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 sin sinI xf x dx t f t dt = = ( ) ( ) 0 0 sin sinf x dx xf x dx = ( ) ( ) 0 0 2 sin sin 2 I f x dx I f x dx = = Vậy ta có I=J ví dụ 3: Cho hàm số f liên tục trên [a,b]. CMR tồn tại ít nhất 1 điểm [ ] ,C a b sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) c b a c f x f c dx f c f x dx = * Lời giải sai. Do f liên tục trên [a,b] f(x)-f(c)/ [a,c] bằng f(x)-f(c) trên [b,c] vậy ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c b a b c f x f c dx f x f c dx f c f x dx = = * Nguyên nhân sai lầm: Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai. * Lời giải đúng: áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân ít nhất một điểm [ ] ,C a b sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx f c b a f c dx= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 b c b a a c f x f c dx f x f c dx f x f c dx = + = Hay ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) c b a c f x f c dx f c f x dx = (ĐPCM). Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích phân I. Kiến thức chung - Cho hàm số ( ) y f x= khả tích trên [ ] ;a b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox, y = f(x) , x = a, x = b là : ( ) b a S f x dx= II. Những sai lầm thờng gặp 1. Sử dụng sai công thức VD1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 9 0; 1; 4 y x y x x = = = = Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là: 4 2 3 1 4 1 (9 ) 9 7 1 3 S x dx x x = = = ữ Sai lầm: áp dụng sai công thứctính diện tích y Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là: 9 3 2 1 9S x dx= ( ) 3 4 2 2 1 3 3 3 (9 ) 9 3 4 1 1 65 38 9 9 9 1 3 3 3 2 3 x dx x dx x x x x = + = + = = ữ ữ o 1 3 4 x 2. Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn VD: tính diện tích hình giới hạn bởi: 2 0; 1 1; 0 y y y x x = = = = Lời giải sai: 2 1 1y x y x= = 0 1 1 2 y x y x = = = = Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: ( ) 2 3 2 1 2 2 2 1 1 1 3 3 S x dx x= = = Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đờng giới hạn Lời giải đúng: Vẽ hình giới hạn: Vậy diện tích hình giới hạn là: 1 2 S S S= + với : 2 1 1 1S = = ( ) ( ) 2 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 3 3 4 3 S x dx x x S = = = = 3. Xác định sai hình cần tính giới hạn. VD: Tìm diện tích hình giới hạn bởi: ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 6 9 3 5 ; 2 2 y x x C y x x C x x = + + = + + = = y Lời giải sai: ( ) 1 2 2;1C C =I 1 2 3 x Vậy diện tích của hình giới hạn là: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 2 2 2 3 2 2 3 3 1 3 2 5 1 1 2 1 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 7 3 24 24 3 12 S x dx x dx x x = + = + = + + = ữ ữ Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1) 2 y=(x-3) 2 Lời giải đúng: ( ) 1 2 2;1C C = Diện tích hình giới hạn là: 1 2 S S S= + 1 3 x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 3 1 2 1 4 8 2 8 3 2 2 S x x dx x dx x x = = + = + = ( ) ( ) ( ) 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 1 3 5 1 2 4 8 (2 8 ) 2 2 S x x dx x dx x x = = = = Vậy S = 1 1 1 2 2 + = Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân. I, công thức: 1 2 Cho hình phẳng giới hạn bởi ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 2 b b y f x Vox f x dx y x a Voy xf x dx x b = = = = = = Nếu hình phẳng giới hạn bởi ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 . 0 d c x f y x x g y x Voy x x dx c y d f y g y = = = = = > II, Một số sai lầm thờng gặp: 1. Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối: ví dụ 1: Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn ( ) ( ) 2 2 2 0x y b a a b+ < < quay quanh trục 0x. * Lời giải sai: y Phơng trình đờng tròn (C): ( ) 2 2 2 x y b a+ = có thể viết ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 y b a x C y b a x x a y b a x C = + = = Vậy thể tích của hình xuyến là: x ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a a Vox b a x b a x dx = + ữ 2 2 a b = * Sai lầm: mặc dù kết quả đúng nhng sai công thức thể tích: ( ) 2 2 1 2 b a Vox y y dx mà 2 2 1 2 b a Vox y y dx = . * Lời giải đúng: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a a Vox b a x b a x dx a b = + = 2. Sử dụng nhầm Voy ví dụ: Tính Voy của hình 2 1 2 y x x x = = = * Lời giải sai: 2 5 4 1 2 31 1 5 5 x Voy x dx = = = * Sai lầm: Đã sử dụng công thức 2 b a Voy y dx = đây là công thức tính diện tích Vox. Vởy lời giải bị sai. * Lời giải đúng. 2 2 1 15 2 . 2 Voy x x dx = = . (ĐPCM). Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích phân I. Kiến thức chung - Cho hàm số ( ) y f x= khả tích trên [ ] ;a b . Khi đó diện tích hình. * Nguyên nhân sai lầm: Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai. * Lời giải đúng: áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân ít nhất