TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học : 2005 - 2006 Môn : TOÁN - Khối lớp: 7 Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và c( b + d) = 2bd . Chứng minh ( db ca + + ) 8 = 88 88 db ca + + Bài 2 (2điểm) a/ Tìm x biết: 5. x 3 2 4 3 − - 3,25 = -2{(1,25) 2 – 2,5 . 0,25 + (- 0,25) 2 } b/ Tìm x , y biết: y+3 + yx +2 = 0 Bài 3 (2điểm) a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x 2 - 35x + 42 b/ Đa thức f(x) = ax 2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và a ≠ 0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7. Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7. Bài 4 (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x 2 + 2x - 8y 2 = 41 b/ Biết x ∈ Q và 0 < x < 1. Chứng minh x n < x với n ∈ N, n > 2 Bài 5 (2điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC. Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE. a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau. b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài 1 (2đ) Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d = c bd2 (0,5đ) Viết db ca + + = bd bc 2 2 = d c (0,5đ) Suy ra b a = d c = db ca + + (0,5đ) Biến đổi để có điều phải chứng minh (0,5đ) Bài 2 (2đ) a/ Tính được x 3 2 4 3 − = 4 1 (0,5đ) Tìm được x = 4 3 , x = 2 3 (0,5đ) b/ Nêu y+3 > 0 và yx +2 > 0 (0,25đ) Để có y+3 + yx +2 > 0 (0,25đ) Suy ra y+3 = 0 và yx +2 = 0 (0,25đ) Tìm được x = 2 3 và y = -3 (0,25đ) Bài 3 (2đ) a/ Viết được 7x 2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2) (0,5đ) Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời (0,5đ) b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7 (0,25đ) f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7 (0,25đ) Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7. (0,25đ) Suy ra b chia hết cho 7 (0,25đ) Bài 4 (2đ) a/ Viết được (x+1) 2 = 42 + 8y 2 (0,25đ) Suy ra (x+1) 2 là số chẵn, để có (x+1) 2 chia hết cho 4 (0,25đ) Nêu 42 + 8y 2 không chia hết cho 4. (0,25đ) Kết luận: không có số nguyên x, y nào thõa mãn đề bài (0,25đ) b/ Xét x n – x = x ( x n-1 - 1 ) (0,25đ) + 0 < x < 1 nên x n-1 < 0 và x > 0 (0,25đ) Suy ra: x n - x < 0 (0,25đ) + Suy ra điều phải chứng minh (0,25đ) Bài 5 (2đ) a/ Nêu được AK ⊥ MC (0,5đ) Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau (0,5đ) b/ Chứng minh CE = MN (0,25đ) Viết được AB - AC > BD - CE. Suy ra: BM > BD – MN (0,25đ) Hạ MI ⊥ BD và chứng minh BM > BI (0,25đ) Kết luận AB + CE > AC + BD . THCS NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học : 2005 - 2006 Môn : TOÁN - Khối lớp: 7 Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 (2điểm). 2 3 và y = -3 (0,25đ) Bài 3 (2đ) a/ Viết được 7x 2 - 35x + 42 = 7( x-3)(x-2) (0,5đ) Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời (0,5đ) b/ Từ giả thi t suy ra