Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên Hà Nội Khoa Toán-Cơ-Tin học Bộ môn Cơ học Người dịch: Tr ần Thanh Tuấn, Nguyễn Xuân Nguyên DAVID MORIN INTRODUCTION TO CLASSICAL MECHANICS With Problems and Solutions Hiệu đính: PGS.TS. Đào Văn Dũng Hà Nội - 2013 Mục lục 1 Những chiến thuật giải bài toán Cơ học 10 1.1 Những chiến thuật chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Phân tích đơn vị và thứ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Xấp xỉ kết quả và những trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Giải số phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Tĩnh học 35 2.1 Cân bằng lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Cân bằng moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 Sử dụng F = ma 87 3.1 Các định luật Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2 Biểu đồ vật thể tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.3 Giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4 Ném xiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.5 Chuyển động trong một mặt phẳng, các tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . 108 3.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.7 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.8 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4 Dao động 156 4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.2 Chuyển động điều hòa đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.3 Chuyển động điều hòa có cản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.4 Chuyển động điều hòa cưỡng bức (có cản) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 i 4.5 Cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.6 Dao động liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4.8 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4.9 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5 Bảo toàn năng lượng và động lượng 207 5.1 Định luật bảo toàn năng lượng trong trường hợp một chiều . . . . . . . . . 208 5.2 Dao động nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 5.3 Định luật bảo toàn năng lượng trong trường hợp ba chiều . . . . . . . . . . 219 5.4 Tr ọ ng lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.4.1 Định luật hấp dẫn của Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.4.2 Thí nghiệm Cavendish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.5 Động lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.5.1 Định luật bảo toàn động lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.5.2 Chuyển động tên lửa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.6 Hệ tọa độ khối tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 5.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 5.6.2 Động năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 5.7 Va chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 5.7.1 Chuyển động một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 5.7.2 Chuyển động hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.8 Va chạm không đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 5.10 Bài tập luyện tậ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 5.11 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 83 6 Phương pháp Lagrange 318 6.1 Các phương trình Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 6.2 Nguyên lý tác dụng dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 6.3 Các lực liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 6.4 Thay đổi hệ tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 6.5 Các định luật bảo toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 6.5.1 Các tọa độ Cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 6.5.2 Bảo toàn năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 6.6 Định lý Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 6.7 Dao động nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 6.8 Những ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 6.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 6.10 Bài tập luyện tậ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Người dịch: T .T. Tuấn và N.X. Nguyên ii 6.11 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 70 7 Lực xuyên tâm 407 7.1 Bảo toàn moment động lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 7.2 Thế hiệu dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 09 7.3 Giải hệ phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 7.3.1 Tìm r(t) và θ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 7.3.2 Tìm r(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 7.4 Lực hấp dẫn, các định luật Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 7.4.1 Tính r(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 7.4.2 Các dạng quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 7.4.3 Chứng minh quỹ đạo chuyển động là các đường conic . . . . . . . . 418 7.4.4 Các định luật Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 7.4.5 Khối lượng hiệu dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 7.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 7.6 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 7.7 Lời giải bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 8 Moment động lượng, Phần I ( ˆ L không đổi) 445 8.1 Vật phẳng trong mặt phẳng tọa độ x − y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.1.1 Chuyển động quay quanh trục z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 8.1.2 Chuyển động tổng quát trong mặt phẳng x − y . . . . . . . . . . . 449 8.1.3 Định lý trục song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 8.1.4 Định lý trục vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 8.2 Các vậ t t hể không phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 8.3 Tính các moment quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 8.3.1 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 8.3.2 Một mẹo hay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 8.4 Moment lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 8.4.1 Khối lượng chất điểm, gốc tọa độ cố định . . . . . . . . . . . . . . . 465 8.4.2 Khối lượng mở rộng, gốc tọa độ cố định . . . . . . . . . . . . . . . 466 8.4.3 Khối lượng suy rộng, gốc tọa độ không cố định . . . . . . . . . . . 468 8.5 Va chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 8.6 Xung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 8.8 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 8.9 Lời giải bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 Người dịch: T .T. Tuấn và N.X. Nguyên iii 9 Momen động lượng, Phần II ( ˆ L tổng quát) 545 9.1 Các nội dung mở đầu liên quan đến chuyển động quay . . . . . . . . . . . 545 9.1.1 Dạng của chuyển động tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 9.1.2 Vector vận tốc góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 9.2 Tensor quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 9.2.1 Chuyển động quay quanh một trục đi qua gốc tọa độ . . . . . . . . 553 9.2.2 Chuyển động tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 9.2.3 Định lý trục song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 9.3 Các trục chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 9.4 Hai dạng bài tập cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 9.4.1 Chuyển động sau một xung tác động . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 9.4.2 Tần số của chuyển động do một moment lực . . . . . . . . . . . . . 577 9.5 Các phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 9.6 Con quay đối xứng tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 9.6.1 Quan sát từ hệ quy chiếu vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 9.6.2 Nhìn từ hệ quy chiếu cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 9.7 Con quay đối xứng có trọng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 9.7.1 Các góc Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 9.7.2 Độ lệch của các thành phần của ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 9.7.3 Phương pháp moment lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 9.7.4 Phương pháp Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 9.7.5 Con quay tự quay tròn với ˙ θ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 9.7.6 Một ”giải thích” về sự quay tiến động . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 9.7.7 Chương động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 9.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 9.9 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 9.10 Lời giải bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 10 Hệ quy chiếu không quán tính 688 10.1 Mối liên hệ của các tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 10.2 Các lực ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 10.2.1 Lực quán tính tịnh tiến: −md 2 R/dt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 10.2.2 Lực quán tính ly tâm: −mω × (ω × r) . . . . . . . . . . . . . . . . 695 10.2.3 Lực quán tính Coriolis: −2mω × v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698 10.2.4 Lực quán tính góc phương vị: −m(dω/dt) × r . . . . . . . . . . . . 706 10.3 Thủy triều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 10.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 10.5 Bài tập luyện tậ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 10.6 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 9 Người dịch: T .T. Tuấn và N.X. Nguyên iv 11 Thuyết tương đối (Động học) 754 11.1 Sự chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755 11.1.1 Phép biến đổi Galileo. Phương trình Maxwell . . . . . . . . . . . . 756 11.1.2 Thí nghiệm Michelson - Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 11.2 Các tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 65 11.3 Những ảnh hưởng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 11.3.1 Sự mất tính đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769 11.3.2 Sự giãn nở thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 11.3.3 Sự co độ dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 11.4 Phép biến đổi Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788 11.4.1 Sự hình thành phép biến đổi Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 788 11.4.2 Các ảnh hưởng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794 11.5 Cộng vậ n tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 11.5.1 Cộng vận tốc dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 11.5.2 Cộng vận tốc ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 11.6 Khoảng bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 11.7 Sơ đồ Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 11.8 Ảnh hưởng Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811 11.8.1 Ảnh hưởng Doppler theo chiều dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1 11.8.2 Ảnh hưởng Doppler theo chiều ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 11.9 Tốc độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817 11.9.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817 11.9.2 Ý nghĩa vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 11.10Thuyết tương đối không có c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 11.11Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825 11.12Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836 11.13Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848 12 Chuyển động tương đối (Động lực học) 882 12.1 Năng lượng và động lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882 12.1.1 Động lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 12.1.2 Năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885 12.2 Các phép biến đổi của E và p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895 12.3 Va chạm và phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898 12.4 Các đơn vị trong vật lý hạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903 12.5 Lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 12.5.1 Lực trong trường hợp một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 12.5.2 Lực trong trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906 12.5.3 Phép biến đổi các lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907 Người dịch: T .T. Tuấn và N.X. Nguyên v 12.6 Chuyển động tên lửa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911 12.7 Dây tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915 12.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 12.9 Bài tập luyện tậ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924 12.10Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930 13 Vectơ bốn chiều 950 13.1 Định nghĩa vectơ bốn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951 13.2 Ví dụ về vectơ bốn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952 13.3 Tính chất của vectơ bốn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955 13.4 Năng lượng, động lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957 13.4.1 Chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957 13.4.2 Phép biến đổi của E và p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958 13.5 Lực và gia tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958 13.5.1 Sự biến đổi của lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9 13.5.2 Sự biến đổi của gia tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961 13.6 Dạng của các định luật vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964 13.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965 13.8 Bài tập luyện tậ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967 13.9 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9 14 Thuyết tương đối tổng quát 972 14.1 Nguyên lý tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 14.2 Sự giãn nở thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975 14.3 Hệ quy chiếu gia tốc không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978 14.3.1 Chất điểm gia tốc không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978 14.3.2 Hệ quy chiếu gia tốc không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 14.4 Nguyên lý thời gian riêng cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 14.5 Quay trở lại nghịch lý của anh em sinh đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6 14.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988 14.7 Bài tập luyện tậ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 14.8 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6 A Các công thức cần thiết 1007 A.1 Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007 A.2 Những công thức đẹp đẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008 A.3 Các công thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009 B Giải tích hàm nhiều biến, giải tích vector 1011 B.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011 Người dịch: T .T. Tuấn và N.X. Nguyên vi B.2 Tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013 B.3 Các đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015 B.4 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017 B.5 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019 B.6 Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021 C F=ma hay là F=dp/dt 1025 D Sự tồn tại các trục chính 1028 E Chéo hóa các ma trận 1032 F Các câu hỏi định tính về thuyết tương đối 1036 G Các cách dẫn đến kết quả Lv/c 2 1044 H Các cách giải bài toán nghịch lý của anh em sinh đôi 1047 I Phép biến đổi Lorentz 1050 J Các hằng số vật lý và một vài dữ liệu 1055 Người dịch: T .T. Tuấn và N.X. Nguyên vii Lời dịch giả Môn cơ học lý thuyết là một môn đã được dạy tr o ng chương trình của nhiều trường đại học từ nhiều năm trước, chủ yếu là trong các trường khoa học và kỹ thuật, và nó được đánh giá là một môn học không phải là dễ dàng để hiểu. Có hai lý do của việc này. Thứ nhất, đó là chương trình môn cơ học lý thuyết thường là khá dài và sinh viên chỉ có một thời lượng không nhiều thời gian để học cả lý thuyết và bài tập. Thứ hai là các giáo trình cơ học lý thuyết từ trước đến nay được sử dụng hầu như là được dựa trên các giáo trình của Nga, mang nặng tính hàn lâm với phần lý thuyết nặng về toán học và không nêu ra đầy đủ những ý nghĩa vật lý của từng phần lý thuyết cụ thể khi áp dụng vào các bài toán cơ học, và các bài tập đa phần khá là khó và có nhiều bài không nêu bật lên các ứng dụng của chúng liên quan đến các hiện tượng, vấn đề trong thực tế. Những điều này nói chung không giúp sinh viên hiểu sâu sắc được các vấn đề và có thể áp dụng những kiến thức đượ c học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Với kinh nghiệm giả ng dạy môn cơ học lý thuyết nhiều năm của dịch giả, thì chỉ có một số ít sinh viên có thể hiểu hết được các nội dung trong các giáo trình mang nặng tính hàn lâm trên. Số sinh viên này đều có một nền tảng rất tốt môn vật lý nên có thể hiểu được cách thức chuyển động và các hiện tượng cơ học của hệ cơ học trong bài toá n. Các sinh viên còn lại thì hầu như là không nắm chắc được vấn đề, chỉ giải được các bài toán cơ học có dạng quen thuộc theo một cách làm đã được biết và không có khả năng làm được những bài tập tương tự nhưng bị thay đổi bản chất đi một chút, và quan trọng hơn là những kiến thức đó không đọng lại lâu trong sinh viên sau khi kết thúc môn học. Quan điểm của dịch giả là để có thể giải quyết được những bài toán cơ học thì sinh viên cần phải có hai khả năng. Thứ nhất là khả năng hiểu những nội dung cơ bản của toán học, nắm rõ ý nghĩa vậ t lý của các nội dung toán học này. Và thứ hai là khả năng hình dung tưởng tượng được (một phần) chuyển động của các hệ cơ học. Và theo ý kiến chủ quan của dịch giả, thì khả năng thứ hai là quan trọng hơn. Với các lý do trên, nhóm dịch giả đã biên dịch và giới thiệu cuốn sách này. Cuốn sách là giáo trình được biên soạn cho sinh viên hệ tài năng năm thứ nhất của đại học Harvard học môn cơ học cổ điển. Cuốn sách được viết theo một hình thức không quá trang trọng, trong đó các vấn đề lý thuyết được trình bày một cách chi tiết, nêu lên được những khả năng áp dụng của nó vào trong rất nhiều khía cạnh khác nhau của các bài toán thực tế. 1 Các hiện tượng cơ học trong cuộc sống cũng được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu trong phần lý thuyết và bài tập. Với rất nhiều ví dụ và khoảng 250 bài tập có lời giải chi tiết và rất nhiều nhận xét thú vị liên quan đến chúng sẽ giúp sinh viên hiểu một cách đầy đủ về lý thuyết, về các hiện tượng cơ học tương tự trong cuộc sống xuất hiện trong các bài toán và quan trong hơn là tạo cho sinh viên một sự thích thú khi nghiên cứu làm các bài toán cơ học. Cuốn sách cũng cung cấp khoảng 350 bài tập (không có lời giải) để dành cho sinh viên làm bài tập về nhà, và để "thử thách" những bạn sinh viên có niềm đam mê giải các bài toán khó trong cơ họ c. Nội dung toán học trong cuốn sách cũng không nhiều. Để hiểu được toàn bộ cuốn sách, sinh viên chỉ cần được trang bị những kiến thức rất cơ bản của giải tích và đại số tuyến tính, nhưng điều quan trọng là sinh viên cần phải hiểu những ý nghĩa vật lý của những kiến thức toán học này. Những nội dung toán học cần thiết và ý nghĩa vật lý của chúng cũng được tác giả tr ình bày một cách ngắn gọn trong các phần phụ lục. Chú ý rằng, để giải các bài toán vật lý thì bạn chắc chắn phải dùng đến công cụ toán học. Do đó, việc hiểu ý nghĩa vật lý của các công cụ toán học này sẽ giúp bạn biết phải dùng nó như thế nào khi áp dụng vào trong các bài toán cụ thể. Với những lý do được nêu ở trên, nhóm dịch giả tin rằng, cuốn sách này sẽ là một cuốn giáo trình tham khảo rất hữu ích cho các sinh viên (kể cả các sinh viên thuộc các chuyên ngành kỹ thuật và nghiên cứu) khi học môn Cơ học lý thuyết, và nó cũng có thể là hoàn toàn đủ để được dùng như là một cuốn giáo trình chính trong một số chương trình dạy môn Cơ học lý thuyết. Với các sinh viên học các chuyên ngành mang nặng tính hàn lâm, nó sẽ giúp các bạn hiểu đượ c những vấn đề ứng dụng của lý thuyết vào tro ng các bài toán thực tế. Và với các sinh viên kỹ thuật, nó sẽ giúp các bạn hiểu sâu hơn các vấ n đề các bạn đang học và có thể áp dụng vào các vấ n đề phức tạp hơn trong thực tế khác. Cuốn sách cũng sẽ có ích cho những bạn học sinh giỏi vật lý ở các trường trung học, đặc biệt là các bạn học sinh chuyên môn Vật lý, khi chưa được trang bị một nền tảng toán học cao cấp tốt nhưng muốn hiểu r õ về những giải thích của các hiện tượng tự nhiên trong cuộc sống. Cuốn sách sẽ cung cấp cho các bạn một hệ thống các cơ cấu vận hành và chuyển động cơ học từ cơ bản cho đến phức tạp nhưng rất thú vị. Nửa đầu của cuốn sách (từ Chương 1 đến Chương 9) được dịch bởi TS. Trần Thanh Tuấn, và nửa sau của cuốn sách (từ Chương 10 đến Chương 14) được dịch bởi ThS. Nguyễn Xuân Nguyên. Từ Chương 7- 9 có sự đóng góp công sức rất nhiều của ThS. Nguyễn Thị Nam. Cuốn sách được hiệu đính bởi PGS. TS. Đào Văn Dũng. Tất cả đều là cán bộ đã và đang giảng dạy môn Cơ học lý thuyết của Bộ môn Cơ học, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Tr ường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội. Tr o ng cuốn sách, giáo sư David Morin đã đưa vào khoảng 50 bài thơ ngắn hài hước để giúp bạn đọc đọc sách một cách thoải mái hơn. Các bài thơ này minh họa những tính chất vật lý của vấn đề mà giáo sư đang trình bày. Tuy nhiên, nhóm dịch giả không có khả năng để chuyển những bài thơ này sang t iếng Việt mà vẫn giữ được nội dung và mục đích của giáo sư. Do vậy, nhóm dịch giả xin lỗi bạn đọc là không dịch những bài thơ này. Người dịch: T .T. Tuấn và N.X. Nguyên 2 [...]... rằng bạn cần thêm một thông tin nữa (giả sử rằng bài to n là giải được) Nó có thể là một định luật bảo to n, hoặc phương trình của định luật II Newton F = ma, vân vân 3 Sử dụng biến ký tự Khi bạn đang giải quyết một bài to n mà những đại lượng trong bài to n được cho dưới dạng số, bạn nên gán những số này bằng các ký tự ngay lập tức và sau đó giải bài to n bằng việc sử dụng những ký tự này Sau khi giải... dài, khối lượng, ) Đối với một vài bài to n, việc vẽ hình là rất quan 10 trọng Ví dụ như trong những bài to n liên quan đến phần "giải phóng vật" (được trình bày trong Chương 3) hoặc những bài to n trong phần động học tương đối (Chương 11), việc vẽ hình có thể làm một bài to n tưởng chừng như là không thể giải được trở thành rất đơn giản Thậm chí trong những bài to n có thể giải được mà không cần vẽ... hàm trong to n giải tích; có những nội dung quan trọng mà phần lý thuyết được xây dựng từ chúng, nhưng việc tìm một đạo hàm thì lại khá là đơn giản Chương 7 nghiên cứu về các lực xuyên tâm và chuyển động của các hành tinh Chương 8 sẽ nghiên cứu về các loại bài to n đơn giản của moment động lượng, trong đó hướng của vector moment động lượng là không đổi Chương 9 nghiên cứu về các loại bài to n phức... 2 Hãy viết ra những gì được cho trong bài to n, và những gì cần tìm Trong một bài to n đơn giản, thực ra bạn đã làm những việc này trong đầu một cách tự động Tuy nhiên, với những bài to n phức tạp, sẽ rất hữu ích nếu bạn viết ra những điều này một cách rõ ràng Ví dụ như, nếu có ba đại lượng phải tìm nhưng bạn mới chỉ viết ra được hai thông tin từ trong bài to n để tìm ba đại lượng này, khi đó bạn có... quyết một bài to n nào đó Tất nhiên, nói chung những chiến thuật này là chưa đủ, bạn phải hiểu những ý nghĩa vật lý đằng sau những vấn đề thì mới có thể tiếp tục giải bài to n Nhưng khi bạn kết hợp những chiến thuật này vào, bạn có thể giải quyết bài to n một cách dễ dàng 1.1 Những chiến thuật chung Có một vài chiến thuật chung mà bạn nên sử dụng một cách không ngần ngại mỗi khi giải một bài to n Chúng... trực tiếp nhất mà không quan tâm đến việc nó tối ưu nhất hay chưa, bởi vì thời gian tính to n không phải là một vấn đề trong những bài to n đơn giản như thế này Tuy nhiên, trong những hệ phức tạp hơn mà yêu cầu phải viết nhiều chương trình thì thời gian tính to n trở thành một vấn đề Một phần chính của quá trình giải to n đó là phải phát triển chương trình lập trình sao cho nó tối ưu nhất có thể Người... lần trong quá trình giải bài to n • mắc ít lỗi hơn Sẽ rất dễ bấm nhầm số 9 thay vì số 8 khi sử dụng máy tính, nhưng sẽ khó mắc lỗi khi viết q thay vì viết g trên giấy.Thậm chí nếu bạn viết nhầm, bạn cũng sẽ nhanh chóng nhận ra là phải viết g bởi vì cuối cùng bạn cũng sẽ thấy rằng không có giá trị (hay đại lượng) nào của q được cho trong bài to n • chỉ phải giải quyết bài to n một lần Nếu bạn được yêu... Tuấn và N.X Nguyên 12 1.4, chúng ta sẽ bàn đến những kỹ thuật trong việc giải số bài to n Bạn sẽ cần những kỹ thuật này khi bạn tìm ra một hệ các phương trình mà bạn không biết cách giải giải tích của nó Mục 1.4 hoàn to n khác với Mục 1.2 và Mục 1.3, trong đó hai mục đầu liên quan một cách cơ bản đến tất cả những bài to n mà bạn sẽ làm, trong khi việc giải số hệ phương trình chỉ phải thực hiện trong... khác một hằng số nào đó Hai là, kiểm tra đơn vị của kết quả sau khi giải bài to n (bạn nên luôn luôn làm việc này) có thể giúp chúng ta biết kết quả đó có đúng hay không Nó sẽ không giúp để biết kết quả có chắc chắn đúng hay không nhưng nó có thể giúp chúng ta biết kết quả đó là hoàn to n sai Ví dụ như nếu bạn giải một bài to n mà phải tìm ra một độ dài nào đó, trong khi đó bạn lại tìm ra kết quả là... vị 1/T là g/ℓ Tổ hợp này dễ dàng tìm được trong bài to n (khá đơn giản) này, nhưng trong những bài to n phức tạp hơn thì những tổ hợp tương tự sẽ không thể nhìn ra được ngay Phương pháp sau đây sẽ giúp bạn tìm được những tổ hợp phức tạp đó Đầu tiên hãy viết ra tích của những đại lượng có thứ nguyên cùng với số mũ bất kỳ cho mỗi đại lượng (trong bài to n này là ma ℓb g c ), sau đó viết ra đơn vị của . Nội Khoa To n-Cơ-Tin học Bộ môn Cơ học Người dịch: Tr ần Thanh Tuấn, Nguyễn Xuân Nguyên DAVID MORIN INTRODUCTION TO CLASSICAL MECHANICS With Problems and Solutions Hiệu. viên có niềm đam mê giải các bài to n khó trong cơ họ c. Nội dung to n học trong cuốn sách cũng không nhiều. Để hiểu được to n bộ cuốn sách, sinh viên chỉ