GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 1. Không gian metric §1. Metric trên một tập hợp. Sự hội tụ. Không gian đầy đủ Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy (Typing by thuantd ) Ngày 10 tháng 11 năm 2004 A. Tóm tắt lý thuyết 1. Không gian metric Định nghĩa 1. Cho tập X = ∅. Một ánh xạ d từ X × X vào R được gọi là một metric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X: i. d(x, y) ≥ 0 d(x, y) = 0 ⇔ x = y ii. d(x, y) = d(y, x) iii. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác) Nếu d là metric trên X thì cặp (X, d) gọi là một không gian metric. Nếu d là metric trên X thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác) Ví dụ 1. Ánh xạ d : R m × R m → R, định bởi d(x, y) =  m  i=1 (x i − y i ) 2  1/2 , x = (x 1 , . . . , x m ), y = (y 1 , . . . , y m ) 1 là một metric trên R m , g ọi là metric thông thường của R m . Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x − y| Trên R m ta c ũng có các metric khác như d 1 (x, y) = m  i=1 |x i − y i | d 2 (x, y) = max 1≤i≤m |x i − y i | Ví dụ 2. Ký hiệu C [a,b] là tập hợp các hàm thực x = x(t) liên tục trên [a, b]. Ánh xạ d(x, y) = sup a≤t≤b |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C [a,b] là metric trên C [a,b] , g ọi là metric hội tụ đều. 2. Sự hội tụ Định nghĩa 2. Cho không gian metric (X, d). Ta nói dãy phần tử {x n } ⊂ X hội tụ (hội tụ theo metric d, nếu cần làm rõ) về phần tử x ∈ X nếu lim n→∞ d(x n , x) = 0. Khi đó ta viết lim n→∞ x n = x trong (X, d) x n d → x x n → x lim x n = x Như vậy, lim n→∞ x n = x trong (X, d) có nghĩa ∀ε > 0, ∃n 0 : ∀n ∈ N ∗ , n ≥ n 0 ⇒ d(x n , x) < ε Ta chú ý rằng, các metric khác nhau trên cùng tập X sẽ sinh ra các sự hội tụ khác nhau. Tính chất 1. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất. 2. Nếu dãy {x n } hội tụ về x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x. 3. Nếu lim n→∞ x n = x, lim n→∞ y n = y thì lim n→∞ d(x n , y n ) = d(x, y) Ví dụ 3 . Trong R m ta xét metric thông thường. Xét phần tử a = (a 1 , . . . , a m ) và dãy {x n } với x n = (x n 1 , . . . , x n m ). Ta có d(x n , a) =     m  i=1 (x n i − a i ) 2 ≥ |x n i − a i |, ∀i = 1, . . . , m 2 Từ đây suy ra: lim n→∞ x n = a trong (R m , d) ⇐⇒ lim n→∞ x n i = a i trong R , ∀i = 1, . . . , n Ví dụ 4. Trong C [a,b] ta xét "metric hội tụ đều". Ta có x n d → x ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃n 0 : ∀n ≥ n 0 ⇒ sup a≤t≤b |x n (t) − x(t)| < ε) ⇐⇒ dãy hàm {x n (t)} hội tụ đều trên [a, b] về hàm x(t) =⇒ lim n→∞ x n (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] Như vậy, lim n→∞ x n (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] là điều kiện cần để lim x n = x trong C [a,b] với metric hội tụ đều. Chú ý này giúp ta dự đoán phần tử giới hạn. 3. Không gian metric đầy đủ Định nghĩ a 3. Cho không gian metric (X, d). Dãy {x n } ⊂ X được gọ i là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu lim n,m→∞ d(x n , x m ) = 0 hay ∀ε > 0, ∃n 0 : ∀n, m ≥ n 0 ⇒ d(x n , x m ) < ε Tính chất 1. Nếu {x n } hội tụ thì nó là dãy Cauchy. 2. Nếu dãy {x n } là dãy Cauchy và có dãy con hội tụ về x thì {x n } cũng hội tụ về x. Định nghĩa 4. Không gian metric (X, d) gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong nó đều là dãy hội tụ. Ví dụ 5. Không gian R m với metric d thông thường là đầy đủ. Thật vậy, xét tùy ý dãy Cauchy {x n }, x n = (x n 1 , . . . , x n m ).  Vì  d(x n , x k ) ≥ |x n i − x k i | (i = 1, . . . , m) lim n,k→∞ d(x n , x k ) = 0 ⇒ lim n,k→∞ |x n i − x k i | = 0, nên ta suy ra các dãy {x n i } n (i = 1, . . . , m) là dãy Cauchy trong R, do đó chúng hội tụ vì R đầy đủ.  Đặt a i = lim n→∞ x n i (i = 1, m) và xét phần tử a = (a 1 , . . . , a m ), ta có lim n→∞ x n = a trong (R m , d). Ví dụ 6. Không gian C [a,b] với metric hội tụ đều d là đầy đủ. Giả sử {x n } là dãy Cauchy trong (C [a,b] , d). 3 Với mỗi t ∈ [a, b], ta có |x n (t) − x m (t)| ≤ d(x n , x m ). Từ giả thiết lim n,m→∞ d(x n , x m ) = 0 ta cũng có lim n,m→∞ |x n (t) − x m (t)| = 0 Vậy với mỗi t ∈ [a, b] thì {x n (t)} là dãy Cauchy trong R, do đó là dãy hội tụ.  Lập hàm x xác định bởi x(t) = lim x n (t), t ∈ [a, b]. Ta cần chứng minh x ∈ C [a,b] và lim d(x n , x) = 0. Cho ε > 0 tùy ý. Do {x n } là dãy Cauchy, ta tìm được n 0 thỏa ∀n, m ≥ n 0 ⇒ d(x n , x m ) < ε Như vậy ta có |x n (t) − x m (t)| < ε, ∀n ≥ n 0 , ∀m ≥ n 0 , ∀t ∈ [a, b] Cố định n, t và cho m → ∞ trong bất đẳng thức trên ta có |x n (t) − x(t)| ≤ ε, ∀n ≥ n 0 , ∀t ∈ [a, b] Như vậy, ta đã chứng minh rằng ∀ε > 0, ∃n 0 : ∀n ≥ n 0 ⇒ sup a≤t≤b |x n (t) − x(t)| ≤ ε Từ đây suy ra: • Dãy hàm liên tục {x n (t)} hội tụ đều trên [a, b] về hàm x(t), do đó hàm x(t) liên tục trên [a, b]. • lim n→∞ d(x n , x) = 0. Đây là điều ta cần chứng minh. B. Bài tập Bài 1. Cho không gian metric (X, d). Ta định nghĩa d 1 (x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y) , x, y ∈ X 1. Chứng minh d 1 là metric trên X. 2. Chứng minh x n d 1 −→ x ⇐⇒ x n d −→ x 3. Giả sử (X, d) đầy đủ, chứng minh (X, d 1 ) đầy đủ. Giải 1. Hiển nhiên d 1 là một ánh xạ từ X × X vào R. Ta kiểm tra d 1 thỏa mãn các điều kiện của metric 4 (i) Ta có: d 1 (x, y) ≥ 0 do d(x, y) ≥ 0 d 1 (x, y) = 0 ↔ d(x, y) = 0 ↔ x = y (ii) d 1 (y, x) = d(y, x) 1 + d(y, x) = d(x, y) 1 + d(x, y) = d(x, y) (iii) Ta cần chứng minh d(x, y) 1 + d(x, y) ≤ d(x, z) 1 + d(x, z) + d(z, y) 1 + d(z, y) Để g ọn, ta đặt a = d(x, y), b = d(x, z), c = d(z, y). Ta có a ≤ b + c; a, b, c ≥ 0 (do tính chất của d) ⇒ a 1 + a ≤ b + c 1 + b + c  do hàm t 1 + t tăng trên [0, ∞)  ⇒ a 1 + a ≤ b 1 + b + c + c 1 + b + c ≤ b 1 + b + c 1 + c (đpcm) 2.  Giả sử x n d −→ x. Ta có lim d(x n , x) = 0 d 1 (x n , x) = d(x n , x) 1 + d(x n , x) Do đó , lim d 1 (x n , x) = 0 hay x n d 1 −→ x  Giả sử x n d 1 −→ x. Từ lim d 1 (x n , x) = 0 d(x n , x) = d 1 (x n , x) 1 − d 1 (x n , x) ta s uy ra lim d(x n , x) = 0 hay x n d −→ x. 3. Xét tùy ý dãy Cauchy {x n } trong (X, d 1 ), ta cần chứng minh {x n } hội tụ trong (X, d 1 ).  Ta có lim n,m→∞ d 1 (x n , x m ) = 0 d(x n , x m ) = d 1 (x n , x m ) 1 − d 1 (x n , x m ) ⇒ lim n,m→∞ d(x n , x m ) = 0 hay {x n } là dãy Cauchy trong (X, d) ⇒ {x n } là hội tụ trong (X, d) (vì (X, d) đầy đủ)  Đặt x = lim n→∞ x n (trong (X, d)), ta có x = lim n→∞ x n trong (X, d 1 ) (do câu 2). 5 Bài 2. Cho các không gian metric (X 1 , d 1 ), (X 2 , d 2 ). Trên tập X = X 1 × X 2 ta định nghĩa d((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) = d 1 (x 1 , y 1 ) + d 2 (x 2 , y 2 ) 1. Chứng minh d là metric trên X 2. Giả sử x n = (x n 1 , x n 2 ) (n ∈ N ∗ ), a = (a 1 , a 2 ). Chứng minh x n d −→ a ⇐⇒  x n 1 d 1 −→ a 1 x n 2 d 2 −→ a 2 3. Giả sử (X 1 , d 1 ), (X 2 , d 2 ) đầy đủ. Chứng minh (X, d) đầy đủ. Bài 3. Ký hiệu S là tập hợp các dãy số thực x = {a k } k . Ta định nghĩa d(x, y) = ∞  k=1 1 2 k . |a k − b k | 1 + |a k − b k | , x = {a k }, y = {b k } 1. Chứng minh d là metric trên X 2. Giả sử x n = {a n k } k , n ∈ N ∗ , x = {a k } k . Chứng minh x n d −→ x ⇐⇒ lim n→∞ a n k = a k , ∀k ∈ N ∗ 3. Chứng minh (S, d) đầy đủ. Bài 4. Trên X = C [0,1] xét các metric d(x, y) = sup 0≤x≤1 |x(t) − y(t)| d 1 (x, y) = 1  0 |x(t) − y(t)| dt 1. Chứng minh: (x n d −→ x) ⇒ (x n d 1 −→ x) 2. Bằng ví dụ dãy x n (t) = n(t n − t n+1 ), chứng minh chiều "⇐" trong câu 1) có thể không đúng. 3. Chứng minh (X, d 1 ) không đầy đủ. 6 GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 1. Không gian metric Phiên bản đã chỉnh sửa - có phần bổ sung của bài trước PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 6 tháng 12 năm 2004 Nội dung chính của môn Cơ sở Chuyên ngành: Toán Giải tích Phương pháp Giảng dạy Toán Phần 1: Không gian metric 1. Metric trên một tập hợp. Sự hội tụ. Không gian đầy đủ. 2. Tập mở. Tập đóng. Phần trong, bao đóng của tập hợp. 3. Ánh xạ liên tục giữa các không gian metric. Các tính chất: • Liên hệ với sự hội tụ • Liên hệ với ảnh ngược của tập mở, tập đóng. • Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đồng phôi. 4. Tập compắc. Các tính chất căn bản: • Hệ có tâm các tập đóng. • Tính chất compắc và sự hội tụ. • Ảnh của tập compắc qua ánh xạ liên tục. Phần 2: Độ đo và tích phân. 1. σ–đại số trên tập hợp. Độ đo và các tính chất căn bản. 2. Các tính chất của độ đo Lebesgue trên R (không xét cách xây dựng). 3. Hàm s ố đo được. Các tính chất căn bản. 1 • Các phép toán số học, lấy max, min trên 2 hàm đo được. • Lấy giới hạn hàm đo được (không xét: hội tụ theo độ đo, định lý Egoroff, Lusin). 4. Tích phân theo một độ đo. Các tính chất căn bản (không xét tính liên tục tuyệt đối). 5. Các định lý Levi, Lebesgue về qua giới hạn dưới dấu tích phân. Phần 3: Giải tích hàm. 1. Chuẩn trên một không gian vectơ. Chuẩn tương đương. Không gian Banach. 2. Ánh xạ tuyến tính liên tục. Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục (không xét ánh xạ liên hợp, ánh xạ compắc, các nguyên lý cơ bản). 3. Không gian Hilbert. Phân tích trực giao. Chuổi Fourier theo một hệ trực chuẩn. Hệ trực chuẩn đầy đủ. §1 Metric trên một tập hợp. Sự hội tụ. Không gian đầy đủ Phần này có thêm phần bổ sung của bài trước 1. Tóm tắt lý thuyết 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1 Cho tập X = ∅. Một ánh xạ d từ X × X vào R được gọi là một metric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X: i. d(x, y)  0 d(x, y) = 0 ⇔ x = y ii. d(x, y) = d(y, x) iii. d(x, y)  d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác) Nếu d là metric trên X thì cặp (X, d) gọi là một không gian metric. Nếu d là metric trên X thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau |d(x, y) − d(u, v)|  d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác) Ví dụ. Ánh xạ d : R m × R m → R, định bởi d(x, y) =  m  i=1 (x i − y i ) 2  1/2 , x = (x 1 , x 2 , . . . , x m ), y = (y 1 , y 2 , . . . , y m ) 2 là một metric trên R m , g ọi là metric thông thường của R m . Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x − y|. Trên R m ta cũng có các metric khác như d 1 (x, y) = m  i=1 |x i − y i | d 2 (x, y) = max 1im |x i − y i | Ví dụ. Ký hiệu C [a,b] là tập hợp các hàm thực x = x(t) liên tục trên [a, b]. Ánh xạ d(x, y) = sup atb |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C [a,b] là metric trên C [a,b] , g ọi là metric hội tụ đều. 1.2 Sự hội tụ Định nghĩa 2 Cho không gian metric (X, d). Ta nói dãy phần tử {x n } ⊂ X hội tụ (hội tụ theo metric d, nếu cần làm rõ) về phần tử x ∈ X nếu lim n→∞ d(x n , x) = 0. Khi đó ta viết lim n→∞ d(x n , x) = 0 trong (X, d) x n d → x x n → x lim d(x n , x) = 0 Như vậy, lim n→∞ d(x n , x) = 0 trong (X, d) có nghĩa ∀ε > 0, ∃n 0 : ∀n ∈ N ∗ , n  n 0 ⇒ d(x n , x) < ε Ta chú ý rằng, các metric khác nhau trên cùng tập X sẽ sinh ra các sự hội tụ khác nhau. Tính chất. 1. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất. 2. Nếu dãy {x n } hội tụ về x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x. 3. Nếu lim n→∞ x n = x, lim n→∞ y n = y thì lim n→∞ d(x n , y n ) = d(x, y) Ví dụ. Trong R m ta xét metric thông thường. Xét phần tử a = (a 1 , . . . , a m ) và dãy {x n } với x n = (x n 1 , x n 2 , . . . , x n m ). Ta có d(x n , a) =     m  i=1 (x n i − a i ) 2  |x n i − a i |, ∀i = 1, 2, . . . , m Từ đây suy ra: lim n→∞ x n = a trong (R m , d) ⇐⇒ lim n→∞ x n i = a i trong R , ∀i = 1, 2, . . . , n 3 Ví dụ. Trong C [a,b] ta xét metric hội tụ đều. Ta có x n d → x ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃n 0 : ∀n  n 0 ⇒ sup atb |x n (t) − x(t)| < ε) ⇐⇒ dãy hàm {x n (t)} hội tụ đều trên [a, b] về hàm x(t) =⇒ lim n→∞ x n (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] Như vậy, lim n→∞ x n (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] là điều kiện cần để lim x n = x trong C [a,b] với metric hội tụ đều. Chú ý này giúp ta dự đoán phần tử giới hạn. 1.3 Không gian metric đầy đủ Định nghĩa 3 Cho không gian metric (X, d). Dãy {x n } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu lim n,m→∞ d(x n , x m ) = 0 hay ∀ε > 0, ∃n 0 : ∀n, m  n 0 ⇒ d(x n , x m ) < ε Tính chất. 1. Nếu {x n } hội tụ thì nó là dãy Cauchy. 2. Nếu dãy {x n } là dãy Cauchy và có dãy con hội tụ về x thì {x n } cũng hội tụ về x. Định nghĩa 4 Không gian metric (X, d) gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong nó đều là dãy hội tụ. Ví dụ. Không gian R m với metric d thông thường là đầy đủ. Thật vậy, xét tùy ý dãy Cauchy {x n }, x n = (x n 1 , . . . , x n m ). • Vì  d(x n , x k )  |x n i − x k i | (i = 1, . . . , m) lim n,k→∞ d(x n , x k ) = 0 ⇒ lim n,k→∞ |x n i − x k i | = 0, nên ta suy ra các dãy {x n i } n (i = 1, . . . , m) là dãy Cauchy trong R, do đó chúng hội tụ vì R đầy đủ. • Đặt a i = lim n→∞ x n i (i = 1, 2, . . . , m) và xét phần tử a = (a 1 , . . . , a m ), ta có lim n→∞ x n = a trong (R m , d). Ví dụ. Không gian C [a,b] với metric hội tụ đều d là đầy đủ. Giả sử {x n } là dãy Cauchy trong (C [a,b] , d). Với mỗi t ∈ [a, b], ta có |x n (t) − x m (t)|  d(x n , x m ). Từ giả thiết lim n,m→∞ d(x n , x m ) = 0 ta cũng có lim n,m→∞ |x n (t) − x m (t)| = 0. Vậy với mỗi t ∈ [a, b] thì {x n (t)} là dãy Cauchy trong R, do đó là dãy hội tụ. 4 [...]... để giải 7 GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 26 tháng 1 năm 2005 §5 Bài ôn tập Bài 1: Trên X = C[0,1] ta xét metric hội tụ đều Cho tập hợp A = {x ∈ X : x(1) = 1, 0 ≤ x(t) ≤ 1 x2 (t) dt 1 ∀t ∈ [0, 1]} và ánh xạ f : X → R, f (x) = 0 1 Chứng minh inf f (A) = 0 nhưng không tồn tại x ∈ A để f (x) = 0 2 Chứng minh A không là tập compact Giải. .. đóng trong R Bài 9 Cho không gian metric (X, d) và A, B là các tập đóng khác ∅, không giao nhau Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ liên tục f : X → R sao cho 0 ≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ X, f (x) = 0, ∀x ∈ A, f (x) = 1, ∀x ∈ B Hướng dẫn Chứng minh hàm f (x) = d(x, A) cần tìm d(x, A) + d(x, B) 7 GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán Phần 1 Không gian metric §4 Tập compact, không gian compact (Phiên... ánh, 0 M2 = x ∈ C[a,b] : x là toàn ánh, 0 Chứng minh M1 không là tập đóng, M2 là tập đóng 14 x(t) x(t) 1 ∀t ∈ [a, b] 1 ∀t ∈ [a, b] GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán Phần 1 Không gian metric §3 Ánh xạ liên tục (Phiên bản đã chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 20 tháng 12 năm 2004 Tóm tắt lý thuyết 1 Định nghĩa Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh xạ f : X → Y • Ta nói... Vô lý Bài 5 Cho X, Y là các không gian metric, với X là không gian compact và f : X → Y là song ánh liên tục Chứng minh f là ánh xạ đồng phôi Giải Ta cần chứng minh ánh xạ ngược f −1 liên tục Do một bài tập ở §3, chỉ cần chứng tỏ f là ánh xạ đóng Với A ⊂ X là tập đóng, ta có A compact ⇒ f (A) compact ⇒ f (A) đóng Vậy f là ánh xạ đóng Các bài tập tự giải Bài 6 Cho các không gian metric compact X, Y và... của hàm x 10 §2 Tập mở, tập đóng Phần trong, bao đóng của một tập hợp 1 Tập mở Phần trong Cho không gian metric (X, d).Với x0 ∈ X, r > 0, ta ký hiệu B(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} gọi là quả cầu mở tâm x0 , bán kính r Định nghĩa 1 Cho tập hợp A ⊂ X 1 Điểm x được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ A ◦ 2 Tập hợp tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A, ký hiệu Int A... nghĩa là: ∃x1 , x2 ∈ A : f (x1 ) = inf f (A), f (x2 ) = sup f (A) Định lí 3 (Weierstrass) Trong không gian metric X, các mệnh đề sau là tương đương: 1 Tập A ⊂ X là compact 2 Từ mỗi dãy {xn } ⊂ A có thể lấy ra một dãy con hội tụ về phần tử thuộc A 2.3 Tiêu chuẩn compact trong Rn Trong không gian Rn (với metric thông thường), một tập A là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn 2.4 Tiêu chuẩn compact trong... tâm) ∞ • F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ∞ Kn = , n=1 Fn n=1 ∞ Kn = ∅ Do đó, theo ghi chú trên ta có n=1 Bài 2 Cho X là không gian compact và f : X → R liên tục Chứng minh f bị chặn trên X và đạt giá trị nhỏ nhất Giải Đặt a = inf f (x), ta có a ≥ −∞ (ta hiểu cận dưới đúng của tập không bị chặn dưới là −∞) Ta luôn có thể tìm được dãy số {an } sao cho an > an+1 , lim an = a Ta đặt Fn = {x ∈ X : f (x) ≤ an } (n ≥ 1),... = −∞ Ta có đpcm Bài 3 Cho không gian metric (X, d) và A, B là các tập con khác ∅ của X Ta định nghĩa d(A, B) = inf x∈A,y∈B d(x, y) 1 Giả sử A, B là các tập compact, chứng minh tồn tại x0 ∈ A, y0 ∈ B sao cho d(A, B) = d(x0 , y0 ) 2 Giả sử A đóng, B compact và A ∩ B = ∅, chứng minh d(A, B) > 0 Nêu ví dụ chứng tỏ kết luận không đúng nếu thay giả thi t B compact bằng B đóng 4 Giải 1 Tồn tại các dãy {xn... giả thi t A ∩ B = ∅ • Trong R2 ta xét metric thông thường và đặt A = {(t, 0) : t ∈ R}, 1 :t>0 B= t, t Ta có A, B là các tập đóng, A ∩ B = ∅ 1 Đặt x = (t, 0), y = t, (t > 0) t 1 Ta có d(x, y) = → 0 (t → +∞) t Do đó, d(A, B) = 0 Bài 4 Cho không gian metric (X, d) và A ⊂ X, là tập compact, V là tập mở chứa A Ta ký hiệu B(A, ε) := {x ∈ X : d(x, A) < ε} Chứng minh tồn tại số ε > 0 sao cho B(A, ε) ⊂ V Giải. .. − r, x + r) ⊂ (a, +∞) Ví dụ Trong R2 với metric thông thường mỗi hình chữ nhật mở A = (a, b) × (c, d) là tập mở Thật vậy, xét tùy ý x = (x1 , x2 ) ∈ A Ta đặt r = min{x1 − a, b − x1 , x2 − c, d − x2 } thì có B(x, r) ⊂ A Định lí 1 1 Mỗi tập mở trong R là hợp của không quá đếm được các khoảng mở đôi một không giao nhau 2 Mỗi tập mở trong R2 là hợp của không quá đếm được các hình chữ nhật mở 11 2 Tập đóng . "⇐" trong câu 1) có thể không đúng. 3. Chứng minh (X, d 1 ) không đầy đủ. 6 GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 1. Không gian metric Phiên bản đã chỉnh sửa. GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 1. Không gian metric §1. Metric trên một tập hợp. Sự hội tụ. Không gian đầy đủ Phiên bản đã chỉnh sửa PGS