Đang tải... (xem toàn văn)
Được ra đời vào hai thập niên đầu của thế kỉ XIX, với sự biểu diễn hình học của số phức, ngày nay, véctơ được dùng trong nhiều lĩnh vực của Toán học, Vật lí, Hóa học, ... Trong chương trình lớp 10, Học sinh có thể nhận thấy ứng dụng của véctơ trong + Biểu thị và tính toán các lực lượng, vận tốc trong Vật lí; + Biểu thị một số đối tượng và mối quan hệ hình học và nhiều bài toán hình học;
Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải Véctơ KHÁI NIỆM VÉCTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ A Kiến thức Các định nghĩa - Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B - Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ uuu r AB uuu r AB - Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, r kí hiệu - Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu - Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng - Hai vectơ phương hướng ngược hướng - Hai vectơ gọi chúng hướng có độ dài r r a , b , Chú ý: + Ta cịn sử dụng kír hiệu để biểu diễn vectơ + Qui ước: Vectơ phương, hướng với vectơ r Mọi vectơ Các phép toán vectơ a) Tổng hai vectơ uuu r uuur uuur AB + BC = AC Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: uuu r uuur uuur AB + AD = AC Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: r r r r r r r r r r r r r ( a +b) + c = a + (b + c) a + = a a +b =b +a Tính chất: ; ; b) Hiệu hai vectơ r r r r r r r a a −a b a +b =0 Vectơ đối r vectơ cho Kí hiệu vectơ đối r 0 Vectơ đối r r r r a − b = a + ( −b ) Hiệu hai vectơ : uuu r uuu r uuu r OB − OA = AB Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: c) Tích rmột vectơ với r số a ka Cho vectơ số k ∈ R vectơ xác định sau: r r r r ka a ka a + hướng với k ≥ 0, ngược hướng với k < r r ka = k a + r r r r r r r r r k ( a + b ) = ka + kb (k + l )a = ka + la k ( la ) = (kl ) a Tính chất: + ; ; ; Trang 1toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải + r r ka = ⇔ k = r r a =0 Véctơ r r r r r r a vaøb ( a ≠ 0) cù ng phương⇔ ∃k ∈ R : b = ka - Điều kiện để hai vectơ phương: uuu r uuur AB = k AC - Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0: - Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương: Cho hai vectơ không r r r r r r a, b x x = ma + nb phương tuỳ ý Khi ∃! m, n ∈ R: Chú ý: - Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: uuur uuur r uuu r uuu r uuuu r MA + MB = OA + OB = 2OM M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ ⇔ (O tuỳ ý) - Hệ thức trọng tâm tam giác: uuu r uuu r uuur r uuu r uuu r uuur uuur GA + GB + GC = OA + OB + OC = 3OG G trọng tâm ∆ABC ⇔ ⇔ (O tuỳ ý) VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ AC , BD ABCD O Ví dụ Cho hình thoiuuur Gọiuuur giao điểm hai đường chéo Xét uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur DC DA BC BC CD OA CO BO DO AB cặp vectơ: , , , , a) Hãy mối quan hệ phương, hướng độ dài vectơ cặp b) Trong cặp trên, có cặp gồm hai vectơ nhau? Giải ABCD a) Do tứ giác hình thoi, nên cặp cạnh đối diện song song nhau, hai đường chéo cắt trung điểm đường.uuTừ ur uuu r DC AB - Hai vectơ uuur hướng độ dài uuur BC DA - Hai vectơ uuur uuur ngược hướng độ dài BC CD - Hai vectơ uuu r uuur khơng phương có độ dài OA CO - Hai vectơ uuur uuur hướng độ dài BO DO - Hai vectơ độ dài, ngược hướng b) Theo kết câu a) uuur uuu r uuur uuu r DC AB = DC AB - Do hai vectơ uuu r uuur hướng độ dài, nên uuu r uuur OA CO OA = CO - Do hai vectơ hướng độ dài, nên Trang 2toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải Véctơ uuur uuur uuur BC BC DA - Do hai vectơ vàuuur cóucùng độ dài, ngược hướng nên không uur BO DO Tương tự không uuur uuur uuur uuur BC CD BC CD - Do hai vectơ không phương, khơng bằnguunhau u r AB Vậy uuur uuu r uuur cặp vectơ xét, có cặp gồm hai vectơ nhau, DC OA CO ; r Bài Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ? Bài Cho ∆ABC có A′, B′, C′ trung điểm cạnh BC, CA, AB uuuu r uuuu r uuuur ′ ′ BC = C A = A′ B′ a) Chứng minh: uuuur uuuur B′C ′ , C ′ A′ b) Tìm vectơ Bài Cho tứ giác ABCD uuurGọiuuM, ur N, uuuP, u r Qulần uur lượt trung điểm cạnh AB, CD, MP = QN ; MQ = PN AD, BC Chứng minh: uuur DA VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Phương pháp giải: Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình ABCD AB = a AD = a Ví dụ Cho hình chữ nhật với , uuur uuur uuu r DC + BD + AB a) Tính độ dài vectơ uuur uuur uuu r uuuu r DC + BD + AB = BM M b) Xác định điểm cho Giải Trang 3toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải Véctơ a) Do hình chữ nhật ( ABCD AC = BD = a + a ) có AB = a, AD = a nên độ dài hai đường chéo: = a Theo tính chất giao hốn kết hợp phép cộng vectơ, ta có: uu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur = u AB + BD + DC = AD + DC = AC DC + BD + AB = AB + BD + DC uuur uuur uuu r uuur DC + BD + AB = AC = a Do uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuuu r DC + BD + AB = AC DC + BD + AB = BM b) Do nên uuur uuuu r ⇔ AC = BM uuur uuuu r ABMC AC = BM Ta có: tương đương với tứ giác hình bình uuuu r uuu r uuur CM = AB = DC hành Từ C M D Vậy điểm cần tìm đối xứng với điểm qua ( ) ABCDEF O Ví dụ Cho lục giácuu tâm , Độ dài cạnh u r uuu r uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD + OE + OF = a) Chứng minh uuu r uuur uuu r uuur uuur AB + OE AB + CD + EF b) Tính độ dài vec tơ , Giải O ABCDEF O a) Do tâm lục giác nên trung điểm AD, BE , CF u đường chéo uu r uuur r uuu r uuur r uuur uuur r OA + OD = 0, OB + OE = 0, OF + OC = Khi uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD + OE + OF = Suyuura u r uuur uuur uuur uuu r AB + OE = FO + OE = FE b) uuu r uuur uuur AB + OE = EF = ABCDEF Từ đó, độ dài cạnh lục giác nên Bàiuu1 u r Cho uuur6 điểm uuur A,uuB, ur C, D, E, F Chứnguuminh: ur uuu r uuur uuur uuur uuur AB + DC = AC + DB AD + BE + CF = AE + BF + CD a) b) Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: Trang 4toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải uuur uuur uuur uuurVéctơuur AC + BD = AD + BC = IJ a) Nếu b) uuu r uuu r uuur uuur r GA + GB + GC + GD = c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: Bài Cho 4r điểm I,r J trung điểm BC CD Chứng uuu uur A,uuB, r C, uuurD Gọi uuu 2( AB + AI + JA + DA) = 3DB minh: Bài Cho ∆ABC Bên tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS uuu r uur uuu r r RJ + IQ + PS = Chứng minh: Bài Cho tam giác uu r ABC, uur có uurAMr trung tuyến I trung điểm AM IA + IB + IC = a) Chứng minh: uuu r uuu r uuur uur 2OA + OB + OC = 4OI b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: Bài Cho ∆ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường ngoại uuur trònuu uu r tiếp Chứnguuminh: u r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur AH = 2OM HA + HB + HC = HO OA + OB + OC = OH a) b) c) Bài Cho hai tam giác ABC A′B′C′ có trọng tâm G G′ uuur uuur uuuu r uuuur ′ ′ AA + BB + CC ′ = 3GG′ a) Chứng minh b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: uuuu r uuu r uuur AM = AB + AC 3 Bài Cho tam giác ABC uuurGọi M uuu rlà trung điểm AB, D trung điểm BC, N CN = NA điểm thuộc AC cho K trung điểm MN Chứng minh: uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur AK = AB + AC KD = AB + AC a) b) Bài Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: uuur uuur uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuur uuu r AM = OB − OA BN = OC − OB MN = ( OC − OB ) 2 a) b) c) Bài 10 Cho ∆ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: uuu r r uuur uuur r uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu uuuu AB = − CM − BN AC = − CM − BN MN = BN − CM 3 3 3 a) b) c) Bài 11 Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G uuu r uuur AB = CD uuur uuur AC = BD Trang 5toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải a) Chứng minh: uuur uuur uuu r AH = AC − AB 3 uuur r uuur uuu CH = − ( AB + AC ) Véctơ uuuu r uuur uuu r MH = AC − AB 6 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: uuu r r uuur r AB = a , AD = b Bài 12 Cho hình bình hành ABCD, đặt Gọi uur u.uu r I rtrung r điểm CD, G BI , AG a, b trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ theo Bài 13 Cho hình thang OABC, AM uuu r uu u r uulà ur trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích uuuu r OA, OB, OC AM vectơ theo vectơ Bài 14 Cho ∆ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r r MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = cho uuuu r uuur uuu r uuur PM , PN AB, AC a) Tính theo b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Phương pháp giải: Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị tríuu uu r điểm r OM = a hìnhr vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k – Hình bình hành – Trung điểm đoạn thẳng – Trọng tâm tam giác, … uuur uuur uuur r MA − MB + MC = Bài Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: Bài Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý khơng nằm đường thẳng AB Trên MI dài, uuurkéo uuu r ulấy uur điểm N cho IN = MI BN − BA = MB a) Chứng minh: u.uu r uur uuur uuuur uuur uuur NA + NI = ND ; NM − BN = NC b) Tìm điểm D, C cho: Bài Cho hình bình uhành ABCD uu r u uur uuur uuur AB + AC + AD = AC a) Chứng minh rằng: uu.uu r uuu r uuur uuur AM = AB + AC + AD b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC uuuu r uuu r uuur MN = ( AB + DC ) a) Chứng minh: Trang 6toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải uuu r uuu r uuur uuur r OA + OB + OC + OD = Véctơ b) Xác định điểm O cho: Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung điểmuurcủauuAB, r uuCD, ur uuO ur uuur SA + SB + SC + SD = 4SO trung điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: Bài Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: uur uur r uur uuu r uur uuu r IB + 3IC = JA + JC − JB = CA a) uuu b) r uuur uuur uuur uur uuu r uuu r r KA + KB + KC = BC 3LA − LB + LC = c) d) Bài Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: uu r uur uuur uur uur uuu r r IA − 3IB = 3BC JA + JB + JC = a) uuu b) uur uuu r uuu r uuur uuur r uuu r uuur KA + KB − KC = BC LA − LC = AB − AC c) d) Bài Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: uu r uur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur IA + IB − IC = BC FA + FB + FC = AB + AC a) uuu b) r uuu r uuur r uuuu r uuu r uuu r r 3KA + KB + KC = 3LA − LB + LC = c) d) Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng uu r thức uur sau: uur uur uuu r uuu r uuur uuur IA + IB + IC = ID FA + FB = 3FC − FD a) uuu b) r uuu r uuur uuur r KA + 3KB + KC + KD = c) Bài 10 Cho tam giác ABC điểm M tùyuu ý.uu r uuur uuu r uuur uuur uuur MD = MC + AB ME = MA + BC a) , , uuuHãy r uxác uur định uuu r điểm D, E, F cho MF = MB + CA Chứng uuur minh uuur D,uuE, ur F khơng uuuu r phụ uuurthuộc uuurvào vị trí điểm M MA + MB + MC MD + ME + MF b) So sánh véc tơ VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng Phương pháp chứng minh: - Để chứng uuu r minh uuur ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng AB = k AC thức , với k ≠ -uu Để tauuchứng uu r chứng uuur minh hai điểm M, N trùng u u r r minh chúng thoả mãn đẳng thức OM = ON MN = , với O điểm Bài Cho bốn điểm O, A, B, C cho : thẳng hàng uuu r uuu r uuur r OA + 2OB − 3OC = Chứng tỏ A, B, C Trang 7toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải Véctơ Bài Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho: uuur uuur uuur uuur BH = BC , BK = BD uuur uuur uChứng uu r uuurminh: uuur A,uK, uu r H thẳng hàng BH = AH − AB; BK = AK − AB Hướng dẫn: uuu r uur uur uur JC = − JA IB = IC Bài Cho ∆ABC với I, J, K xác định bởi: , , uuu r uuur KA = − KB uu r uuu r uuur uu r uur uuu r uuur IJ = AB − AC IJ , IK theo AB , AC a) Tính (Hướng dẫn: ) b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (Hướng dẫn: J trọng tâm ∆AIB) Bài Cho tam Trên uuugiác r ABC uuur u uu r uuurđường uuu r thẳng uuu r BC, r AC, AB lấy điểm M, MB = 3MC NA = 3CN PA + PB = N, P saoucho , uuu r uuur uu,u r uuur PM , PN AB, AC a) Tính theo b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E 1 2 cho AD = AF, AB = AE Chứng minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành uu r uur r uur uur uuu r r IA + 3IC = JA + JB + JC = Bài Cho ∆ABC Hai điểm I, J xác định bởi: , Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng uuur uuur r uuur uuur r 3MA + MB = NB − NC = Bài Cho ∆ABC Hai điểm M, N xác định bởi: , Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm ∆ABC uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r r MB − MC = NA + NC = PA + PB = Cho ∆ABC Lấy điểm M N, P: uuuu r uuur uuu r uuur PM , PN theo AB, AC a) Tính b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Bài uuur uCho uur tam uuur giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD = DE = EC uuu r uuur uuur uuur AB + AC = AD + AE a) Chứnguuminh u r uuu r uuur uuur uuur uur AS = AB + AD + AC + AE theo AI b) Tính Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng Trang 8toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải Véctơ VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Phương pháp giải: Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn: – Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng – Tập hợp điểm cách điểm cố định khoảng không đổi đường trịn có tâm điểm cố định bán kính khoảng khơng đổi Bài Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB = MA − MB 2MA + MB = MA + 2MB a) b) Hướng dẫn: a) Đường trịn đường kính AB; b) Trung trực AB Bài Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M cho: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB + MC = MB + MC MA + BC = MA − MB a) b) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + MB = MB − MC MA + MB + MC = 2MA − MB − MC c) d) Hướng dẫn: a) Trung trực IG (I trung điểm BC, G trọng tâm ∆ABC) b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp đường trịn tâm D, bán kính BA Bài Cho ∆ABC uu r uur uur r IA + 3IB − IC = a) Xác định điểm I cho: uuur uuur r 3DB − DC = b) Xác định điểm D cho: c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + 3MB − MC = MA − MB − MC d) Tìm tập hợp điểm M cho: Trang 9toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải Véctơ VÉC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A Kiến thức cần nhớ Trục toạ độ, toạ độ trục Trục tọa độ (còn gọi trục r hay trục số) đường thẳng, mà xác định r O e O e điểm vectơ có độ dài Điểm gọi gốc toạ độ, vectơ gọi vectơ đơn vị trục uuuu r r x OM = x0e M Điểm trục biểu diễn số Hệ trục tọa độ, tọa độ hệ trục tọa độ Ox Hệ trục toạ độ hệ gồm hai rtrục (với vectơ đơn vị r Oy j i ) trục (với vectơ đơn vị ) vng góc với Oy O Ox gốc chung Trục gọi trục hoành, trục gọi trục tung r Oxy u Với vectơ mặt phẳng , có cặp số r r r ( x0 ; y0 ) u = x0i + y0 j thực cho r ( x0 ; y0 ) u Cặp số gọi toạ độ vectơ hệ trục Ta viết r r r u = ( x0 ; y0 ) u ( x0 ; y0 ) ( x0 ; y0 ) u hay để vectơ có tọa độ hệ trục toạ r x0 , y0 u độ Các số tương ứng gọi hoành độ, tung độ vectơ uuuu r 2 uuuu r OM = x + y x ; y x ; y 0 ( ) ( ) 0 0 OM M Nếu điểm có toạ độ vectơuuuu có toạ độ r N ( x′; y′ ) MN = ( x′ − x; y′ − y ) M ( x; y ) Với hai điểm và khoảng cách hai uuuu r 2 MN =| MN |= ( x′ − x ) + ( y′ − y ) M,N điểm Tính chất r r u = ( x; y ) , v = ( x′; y′ ) k Cho hai vectơ cho số thực Khi r r r r r u + v = ( x + x′; y + y′ ) ; u − v = ( x − x′; y − y′ ) ; ku = ( kx; ky ) Trang 10toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải a) Chứng minh Véctơ A, B, C ba đỉnh tam giác G ABC b) Tìm toạ độ trọng tâm tam giác Giải −1 uuu r uuur uuu r ≠ AB = ( −1;5) , AC = ( −4;4 ) −4 AB a) Do nên vectơ uuurTừ giả thiết suy A, B, C AC không phương Suy ba đỉnh tam giác + + ( −2 ) = x = 3 y = ( −1) + + = G ( x; y ) ABC b) Gọi trọng tâm tam giác Khi 1 G ;2 ÷ 3 suy uuu r r r Oxy OA = 2i − j A, B Ví udụ mặt phẳng toạ độ cho hai điểm thoả mãn , uu r rTrong r OB = 3i + j O, A, B a) Chứng minh khơng thẳng hàng C ABCO b) Tìm toạ độ điểm cho tứ giác hình bình hành D DA = DB c) Tìm tọa độ điểm thuộc trục hoành cho Giải −3 uuu r uuu r uuu r ≠ OA = ( 2; −3) OB = ( 3;2 ) OA a) Vì nên hai vectơ uuu rTừ giả thiết suy O, A, B OB không phương, hay không thẳng hàng uuu r AB = ( 1;5 ) C ABCO b) Từ giả thiết suy Giả sử tìm điểm cho tứ giác uuur uuur uuu r OC = ( 1;5 ) C ( 1;5 ) OC = AB hình bình hành Khi nên Suy D ( d ;0 ) ∈ Ox DA = ( 2−d) + 9, DB = ( 3− d) c) Xét điểm Khi 2 DA = DB ⇔ DA = DB ⇔ ( − d ) + = ( − d ) + ⇔ d = Suy O ( 0;0 ) D Vậy điểm cần tìm trùng với gốc toạ độ +4 Trang 12toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải Véctơ Oxy A(1;2) B(3; −4) Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm Tìm toạ độ uuu r uuu r C CA + CB điểm thuộc trục tung cho vectơ có độ dài ngắn Giải uuu r uuu r C ( 0; c ) ∈ Oy CA = ( 1;2 − c ) CB = ( 3; −4 − c ) Xét điểm Khi u u u r u u u r uuu r uuu r CA + CB = 16 + ( + c ) CA + CB = ( 4; −2 − 2c ) Do , suy uuu r uuu r CA + CB ≥4 ( + c ) ≥ ∀c c = −1 Do , đẳng thức xảy , nên , đẳng uuu r uuu r C ( 0; −1) ∈ Oy c = −1 CA + CB thức xảy Vậy với điểm vectơ có độ dài ngắn Nhận xét uuu r uuu r uur C CA + CB = 2CI I AB -uuVới điểm có , với trung điểm Suy vectơ u r uuu r uur CA + CB CI có độ dài ngắn vectơ có độ dài ngắn Từ đó, C C I thuộc trục tung, nên hình chiếu vng góc trục tung C ∆ - Khái qt, ta có tốn tìm điểm thuộc đường thẳng cho vectơ uuu r uuu r α,β α CA + β CB có độ dài ngắn nhất, với hai số cho trước VẤN ĐỀ 1: Toạ độ hệ trục Bài Viết tọa độ vectơ sau: r r r 1r r r r r r r a = 2i + j ; b = i − j ; c = 3i ; d = −2 j a) r r r r r r r r r r r r r a = i − j ; b = i + j ; c = −i + j ; d = −4 j ; e = 3i 2 b) r r r r u = xi + yj u Bàir Viết r dạng r r biết toạ độ vectơ là: u = (2; −3); u = (−1;4); u = (2;0); u = (0; −1) a) r r r r u = (1;3); u = (4; −1); u = (1;0); u = (0;0) b) r r a = (1; −2), b = (0;3) Bài Cho Tìm toạ độ vectơ sau: Trang 13toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải Véctơ a) r r r r r r r r r x = a + b ; y = a − b ; z = 2a − 3b b) r r r r r r r 1r u = 3a − 2b ; v = + b ; w = 4a − b r r 1 r a = (2;0), b = −1; ÷, c = (4; −6) 2 Bài Cho r r r r d = 2a − 3b + 5c a) Tìm toạ độ vectơ r r r r ma + b − nc = b) Tìm số m, n cho: r r r c theo a , b c) Biểu diễn vectơ A(3; −5), B(1;0) Bài Cho hai điểm uuur uuu r OC = −3 AB a) Tìm toạ độ điểm C cho: b) Tìm điểm D đối xứng A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3 Bài Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB Bài Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2) uuu r uuur uuur AB, AC , BC a) Tìm toạ độ vectơ b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn uuuu r AB.uuu r uuur CM = AB − AC c) Tìm tọa độ điểm M cho: uuur uuur uuur r AN + BN − 4CN = d) Tìm tọa độ điểm N cho: Bài Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C b) Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC Trang 14toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải Véctơ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A Kiến thức cần nhớ r a O r A a r b r b B Góc hai vectơ uuu r r uuu r r r r r a, b ≠ OA = a, OB = b Cho Từ điểm O vẽ r r · ·AOB ( a, b ) = AOB Khi với ≤ ≤ 1800 Chú ý: r r r ( ar, b ) a ⊥b + = 900 ⇔ r r ( ar, b ) ar, b + =0 ⇔ hướng r r r r ( a, b ) a, b + = 1800 ⇔ ngược hướng r r r r ( a, b ) = ( b , a ) + Tích vơ hướng hai vectơ rr r r r r a.b = a b cos ( a , b ) • Định nghĩa: r r r2 r a.a = a = a Đặc biệt: Trang 15toanc3.online Vectơ Trần Sĩ TùngLê Quang Hải Véctơ r r r a, b , c • Tính chất: Với ∀k∈R, ta có: r r r rr rr rr rr a ( b + c ) = a.b + a.c a.b = b a + ; ; r r r r2 r r r r r r ( ka ) b = k ( a.b ) = a ( kb ) a ≥ 0; a2 = ⇔ a = ; r r r r r r 2 ( ar + b ) = ar + 2ar.b + b ( ar − b ) = ar − 2ar.b + b + ; ; r2 r2 ( r r ) ( r r ) a −b = a −b a +b r r r r rr rr ( ) ( a , b a ,b ) a.b a.b + >0⇔ nhoïn +