111 Chương 5 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM 5.1 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC Nội suy là cơ sở của nhiều khái niệm trong giải tích số. Đó là công cụ để khôi phục các đặc trưng liên tục của một hàm số y=f(x) từ các tập hợp dữ liệu rời rạc do đo đạc hay quan sát được. Khi f(x) là một hàm phức tạp, khó tính toán và khảo sát thì cũng cần được xấp xỉ bởi một đa thức. Nội suy đơn giản nhất là nội suy bằng đa thức. Lý do đa thức là một hàm đơn giản: dễ tính đạo đạo hàm và nguyên hàm… Nội suy bằng đa thức là tìm một đa thức P(x i ) bậc n-1 qua n mốc nội suy x i với 1, i n  thỏa mãn P(x i )= f(x i ). Nói cách khác, có thể mô tả tập các điểm dữ liệu rời rạc của hàm y = f(x) dưới dạng bảng: x x 1 x 2 x n y y 1 y 2 y n Sau đó tính các hệ số của đa thức P(x) bậc n-1 thỏa mãn: y i =P (x i ), 1, i n  (5.1) Bây giời ta cần xây dựng công thức tính các hệ số của đa thức P(x). Giả sử đa thức P(x) được viết dưới dạng tường minh: P(x) = p 1 x n-1 + p 2 x n-2 + +p n-1 x+ p n Từ điều kiện (5.1), để tìm các hệ số p i của đa thức nội suy P(x) ta có thể giải hệ phương trình sau đây: 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n p x p x p x p y p x p x p x p y p x p x p x p y                             112 hay 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 n n n n n n n n x x x p y p y x x x p y x x x                                           . Ma trận hệ số của hệ phương trình chính là ma trận Vandermonde của vector x=( x 1 ,x 2 , x n ). Do đó, để giải hệ phương trình trên có thể sử dụng một câu lệnh đơn giản trong Matlab: >> p =vander(x)\y (5.2) Đa thức nội suy được tính theo công thức trên đơn giản, nhưng khá cồng kềnh. Tính hệ số của đa thức nội suy dạng tường minh bằng giải hệ phương trình như trên sẽ mất nhiều công sức tính toán khi số nút nội suy lớn. Do đó ta cần phải nghiên cứu một số phương pháp tìm đa thức nội suy khác, đơn giản hơn. Định lý 5.1 (Tính duy nhất của đa thức nội suy). Đa thức nội suy bậc n-1 thoả mãn (5.1) là duy nhất. Chứng minh. Thật vậy. Giả sử có 2 đa thức nội suy bậc n-1 là P(x) và Q(x) cùng thoả mãn điều kiện (5.1). Nghĩa là y i =P(x i )=Q(x) với 1, i n  . Xét đa thức R(x)=P(x)-Q(x). Rõ ràng là: R(x i )=P(x i )-Q(x i ) =0 , 1, i n  . Như vậy R(x) là đa thức bậc không quá n-1 nhưng có tới n nghiệm khác nhau x 1 ,x 2 , x n . Do đó R(x) =0 với mọi x, hay P(x)  Q(x). Điều đó chứng tỏ rằng đa thức nội suy bậc n-1 thỏa mãn (5.1) là duy nhất (đ.p.c.m). Khi số nút nội suy lớn, thì việc giải hệ phương trình như trên tốn rất nhiều công sức. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp khác để tìm đa thức nội suy mà không cần giải hệ phương trình. 5.1.1 Đa thức nội suy Lagrange Trước hết ta xây dựng các đa thức cơ bản như sau:                     1 2 1 1 i 1 2 1 1 L x i i N i i i i i i i N x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                với 1, i n  . 113 Dễ thấy các đa thức cơ bản có tính chất:   0 khi i j 1 khi i j i j L x       Do đó nếu đặt P (x) =   n i ii xLy 1 )( (5.3) thì P(x) là đa thức bậc không quá n thoả mãn P(x i )=y i , với 1, i n  . Do đó P(x) chính là đa thức nội suy bậc n-1 của hàm số đã cho. Đa thức dạng (5.3) còn gọi là đa thức nội suy Lagrange. Nó có dạng tổng của n đa thức bậc n-1. Thí dụ 1. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange bậc 2 từ bảng dữ liệu có dạng sau đây: x x 1 x 2 x 3 y y 1 y 2 y 3 Giải: Ta có các đa thức nội suy cơ bản:                 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3 2 1 2 3 ( ) , ( ) x x x x x x x x L x L x x x x x x x x x           và        1 2 3 3 1 3 2 ( ) x x x x L x x x x x      . Do đó                        2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 ( ) x x x x x x x x x x x x P x y y y x x x x x x x x x x x x                . 5.1.2 Đa thức nội suy Newton Nội suy bằng đa thức Lagrange là một phương pháp khá đơn giản, sử dụng rất ít các kiến thức về đại số, nên dễ nhớ. Tuy nhiên đây lại là một phương pháp kém hiệu quả. Bây giờ xét trường hợp giữ bảng dữ liệu cũ và bổ sung thêm một nút nội suy mới (để hàm số được nội suy chính xác hơn) thì tất cả các đa thức nội suy cơ bản lại phải tính toán lại từ đầu. Thay cho công thức nội suy dạng Lagrange ta viết đa thức nội suy P(x) dưới dạng: P(x)= a 1 + a 2 (x-x 1 ) + a 3 (x-x 1 )(x-x 2 )+…+ a N (x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 ) (x-x n-1 ) (5.4) Các hệ số a i của đa thức có thể được tính trong bảng tỉ hiệu (tỉ sai phân) theo công thức qui nạp như sau: 114   1 1 1 1 , i i i i i i y y f x x x x       : Tỉ hiệu cấp 1 tại x i ;   1 1 2 1 1 2 1 2 2 [ , ] [ , ] , , i i i i i i i i i f x x f x x f x x x x x          : Tỉ hiệu cấp 2 tại x i ;…   1 1 2 1 1 1 [ , , , ] [ , , , ] , , k i i i k k i i i k k i i k i k i f x x x f x x x f x x x x              :Tỉ hiệu cấp k tại x i ; …   2 2 3 2 1 2 1 1 1 2 1 [ , , , ] [ , , , ] , , , n n n n n n n f x x x f x x x f x x x x x        :Tỉ hiệu cấp n-1 tại x 1 . Tại nút x i chỉ phải tính các tỉ hiệu cấp 1 đến cấp n-i. Ta lập một bảng để thuận tiện khi tính toán các tỉ hiệu. Bảng 5-1 Bảng tỉ hiệu với 6 núy nội suy x y f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 x 1 y 1 f 1 [x 1 ,x 2 ] f 1 [x 2 ,x 3 ] f 1 [x 3 ,x 4 ] f 1 [x 4 ,x 5 ] f 1 [x 5 ,x 6 ] x 2 y 2 f 2 [x 1 ,x 2 ,x 3 ] f 3 [x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ] f 3 [x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ] f 3 [x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 ] x 3 y 3 f 2 [x 2 ,x 3 ,x 4 ] f 4 [x 1, x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ] f 5 [x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 ] x 4 y 4 f 2 [x 3 ,x 4 ,x 5 ] f 4 [x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 ] x 5 y 5 f 2 [x 4 ,x 5 ,x 6 ] x 6 y 6 Khi đó các hệ số của đa thức nội suy (5.4) được xác định như sau: a 1 =y 1 , a 2 = f 1 [x 1 ,x 2 ], a 3 = f 2 [x 1 ,x 2 ,x 3 ] a n = f n-1 [x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n ]. Công thức (5.4) với cách tính các hệ số a i như trên gọi là công thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x 1 . Với công thức này, khi thêm một nút nội suy mới x n+1 thì ta chỉ cần tính thêm một hệ số mới a n+1 . Khi đó bảng tỉ hiệu chỉ phải thêm một dòng. Mặt khác, nếu chú ý ta thấy công thức Newton không đòi hỏi sự sắp xếp thứ tự về giá trị của dữ liệu, nên khi đảo ngược thứ tự của dữ liệu thì dạng mới của đa thức nội suy là: P(x)=b 1 + b 2 (x-x n ) + b 3 (x-x n )(x-x n-1 )+…+b n (x-x n )(x-x n-1 )(x-x n-2 ) (x-x 2 ) ( 5.5) Khi đó các hệ số của đa thức nội suy dạng (5.5) được xác định như sau: b 1 =y n , b 2 = f 1 [x n-1 ,x n ], b 3 = f 2 [x n-2 ,x n-1 ,x n ] b n = f n-1 [x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n ]. 115 Công thức với cách tính các hệ số b i như trên gọi là công thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x n . Do định lý 5.1 có thể thấy công thức Lagrange và các công thức Newton tiến hay lùi đều xác định cùng một đa thức, chỉ có hình thức thể hiện là khác nhau và thuận tiện áp dụng cho các trường hợp khác nhau. Thí dụ 2. Cho hàm y =f(x) dưới dạng bảng số sau: x 1 2 3 5 6 8 y 5,230 2,092 1,406 -1,202 -1,321 0,015 Hãy lập đa thức nội suy cho hàm F(x) đã cho dưới dạng: a. Tường minh; b. Lagrange; c. Newton tiến xuất phát từ x 1 =1. d. Newton lùi xuất phát từ x 6 =8. Giải. a. Để tìm hệ số tường minh của đa thức P(x) ta sử dụng công thức (5.2): >> x=[1 2 3 5 6 8]; >> y=[ 5.230 ; 2.092; 1.406; -1.202 ; -1.321; 0.015]; >> p=vander(x)\y p = -0.0187 0.4201 -3.4803 13.2919 -24.3719 19.3890 Do đó :   5 4 3 2 0,0187 0,4201 3,4803 + 13.2919 24,3719 19,389 0 P x x x x x x      b. Lập đa thức nội suy Lagrange: ( 2)( 3)( 5)( 6)( 8) ( 1)( 3)( 5)( 6)( 8) ( ) 5,230 2,092 (1 2)(1 3)(1 5)(1 6)(1 8) (2 1)(2 3)(2 5)(2 6)(2 8) x x x x x x x x x x P x                        133 BÀI TẬP A. Cài đặt chương trình và lập hàm. 1. Cho tập dữ liệu {(x i ,y i )}, ni ,1 . Cài đặt hàm tính vector hệ số: a=(a 1 ,a 2 , a 3 ,…, a n ) của đa thức nội suy Newton tiến bậc n-1, xuất phát từ x 1 : P(x) = a 1 +a 2 (x-x 1 )+ a 3 (x-x 1 )(x-x 2 ) + + a n (x-x 1 )(x-x 2 )…(x-x n-1 ) theo bảng tỉ hiệu. Lệnh gọi hàm có dạng: a = NewtonFit(x,y). 2. Cho tập dữ liệu (x i ,y i )}, ni ,1 . Cài đặt hàm tính xấp xỉ giá trị của đa thức nội suy P(x) bậc n-1 tại xx=(xx 1 , xx 2 ,xx 3 ,…,xx m ) bằng phương pháp Lagrange. Lệnh gọi hàm có dạng: yy = Lagrange(x,y,xx) trong đó yy là vector giá trị hàm tại xx tính được. 3. Cho tập dữ liệu {(x i ,y i )}, ni ,1 . Cài đặt hàm tính hệ số a, b và c của quan hệ hàm y = ax 2 + bx + c theo phương pháp bình phương tối thiểu. Lệnh gọi hàm có dạng: [a,b,c] =ParaboFit(x,y). 4. Cho tập dữ liệu {(x i ,y i )}, ni ,1 . Cài đặt hàm tính hệ số a, b và c của quan hệ hàm y = a +b cosx+ c sinx theo phương pháp bình phương tối thiểu. Lệnh gọi hàm có dạng: [a,b,c] =CosSinFit(x,y). 5. Cho tập dữ liệu {(x i ,y i )}, ni ,1 . Xây dựng công thức tính và cài đặt hàm tính hệ số a và b của quan hệ hàm y = ae bx (a>0) theo phương pháp bình phương tối thiểu. Lệnh gọi hàm có dạng: [a,b] =ExpFit(x,y). 134 B. Sử dụng các hàm nội trú của Matlab. 1. Tìm xấp xỉ các hệ số của đa thức P(x) bậc 3 được cho trong bảng bằng phương pháp bình phương tối thiểu và tính P(x) tại x= 1; 1,2; 1.4; ; 2,8; 3. x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 y 1,2341 3,9242 2,4563 - 0,2224 -1,3215 0,5506 2. Đa thức P(x)= ax 3 + bx 2 +cx +d đo được dưới dạng bảng: x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 y 5,23401 2,09242 1,40563 - 1,20224 -1,32105 0,01501 - Tìm các hệ số a, b, c, d bằng phương pháp bình phương tối thiểu. - Tính P(x) tại x = 1,5; 1,6; 1,7; 3,2. 3. Hàm số y=f(x) được cho dưới dạng bảng: x 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 y -2,95001 -2,90250 -1,00020 2,75754 8,37002 15,83752 Tính xấp xỉ hàm f(x) tại x= 1; 1.1; 1.2; ; 3 bằng phương pháp spline bậc 3. 4. Hàm số y=f(x) được cho bởi bảng số. Tính gần đúng f(x) tại x=1,25 bằng phương pháp spline bậc 3: x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 y 3,85011 -2,30650 -1,12320 4,85754 8,36602 10,99154 5. Dùng ma trận pascal, đưa ra màn hình vector hệ số của khai triển nhị thức Newton bậc 10 . 6. Hàm số y=f(x) được cho dưới dạng bảng, Tính vector hệ số của đa thức nội suy bậc 5 bằng cách sử dụng ma trận Vandermonde x 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 y -2,30650 -1,12320 -1,00020 2,75754 8,37002 15,83752 7. Cho 2 vector: 5x 10 + 12x 9 -4x 7 +3x 6 -5 x 2 -10 = 0 -3x 8 + 6x 5 +8x 7 +3x 3 +2x 4 -11x -2 = 0 Hãy tính vector p, q và s tương ứng là hệ số của tổng tích, thương và phần dư phép chia của 2 đa thức đã cho. . 111 Chương 5 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM 5. 1 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC Nội suy là cơ sở của nhiều khái niệm trong giải. xấp xỉ bởi một đa thức. Nội suy đơn giản nhất là nội suy bằng đa thức. Lý do đa thức là một hàm đơn giản: dễ tính đạo đạo hàm và nguyên hàm Nội suy