HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG KHOA QUỐC TẾ VÀ ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC    Báo cáo chuyên đề môn học XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ NÂNG CAO Nội dung báo cáo PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: TS. Nguyễn Ngọc Minh. NHÓM 9: Đoàn Minh Quân, Nguyễn Kim Dung, Nguyễn Hữu Trường, Hà Thị Lan Anh. LỚP: CH10 ĐT3 Hà nội, tháng 05- 2011 PHẦN 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT WAVELET Mặc dù khái niệm Wavelet đã ra đời cách đây 10 năm, nhưng có rất ít bài báo hay cuốn sách nào viết về nó, và chủ yếu chỉ là các nhà toán học viết ra, với rất ít sự tham khảo hay trợ giúp, vì nó là hoàn toàn mới. Trước hết chúng ta cần biết tại sao phải biến đổi và biến đổi thực chất là gì? Trong toán học, phép biến đổi lên một tín hiệu là để có được các thông tin khác, mà tín hiệu ban đầu (hay còn gọi là tín hiệu thô) không có. Trong phần nghiên cứu này, ta giả thuyết tín hiệu miền thời gian là tín hiệu thô, còn tín hiệu đã được biến đổi qua các công cụ toán học là tín hiệu được xử lý. Có rất nhiều phép biến đổi được áp dụng, song phép biến đổi Fourier là phép biến đổi được ứng dụng rộng rãi nhất. Hầu hết các tín hiệu mà chúng ta đo được đều là tín hiệu trong miền thời gian,và khi chúng ta biểu diễn lên đồ thị, thì luôn có một trục là thời gian, còn trục kia là độ lớn.Tuy nhiên trong xử lý tín hiệu thì cách biểu diễn đó không phải là tối ưu. Và trong nhiều trường hợp, thì thành phần tần số lại là quan trọng để phân biệt các tín hiệu với nhau, người ta dùng phổ tần số để biểu diễn các thành phần tần số có trong tín hiệu. Ta hãy xem xét hình vẽ dưới đây biểu diễn 3 tín hiệu tương ứng 3 tần số khác nhau Vậy làm thế nào để đo được tần số và làm thế nào để tìm ra các thành phần tần số trong tín hiệu? Câu trả lời chính là phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi FOURIER cho ta biết độ lớn tín hiệu trong mỗi thành phần tần số. Xác định thành phần tần số có ý nghĩa quan trọng trong kỹ thuật, ví dụ trong y học, dựa vào thành phần tần số đo được trong nhịp tim, mà ta biết được người đó có khỏe hay không? Tuy nhiên có rất nhiều phép biến đổi được áp dụng trong kỹ thuật và toán học, như biến đổi Hilbert, biến đổi Fourier thời gian ngắn, phân bố Wigner , biến đổi Radon, … Mọi phép biến đổi đều có những vùng ứng dụng riêng với những ưu nhược điểm khác nhau. Phép biến đổi Wavelet mà ta đang nghiên cứu cũng không là ngoại lệ. Để biết sự cần thiết của phép biến đổi Wavelet, chúng ta hãy xem qua phép biến đổi Fourier. FT là phép biến đổi 2 chiều giữa tín hiệu thô và tín hiệu xử lý. Ta sẽ không thể biết được thời gian trong tín hiệu xử lí, và cũng không thể biết được tần số trong miền tín hiệu thô. Vậy một câu hỏi đặt ra là ta có cần biết đến cả tần số và cả thời gian cùng một lúc không? Nếu đối với các quá trình dừng thì việc này là không cần thiết, vì ở quá trình dừng, thành phần tần số là không thay đổi theo thời gian. Ta hãy xem ví dụ dưới đây: Đây là biến đổi Fourier của nó: Khác với tín hiệu ở hình 1.5, ta xét tín hiệu khác không dừng được minh họa dưới đây: Lại xét tiếp một ví dụ khác có 4 thành phần tần số ở 4 khoảng thời gian khác nhau, do đó đây cũng không phải là tín hiệu dừng. Và biến đổi FT của nó có dạng: Ở đây có những đoạn gợn sóng là do sự thay đổi tần số đột ngột. Ta thấy tín hiệu ở thành phần phổ cao thì có biên độ lớn, còn thành phần phổ thấp thì có biên độ nhỏ. So sánh qua hình ta thấy rằng cả hai tín hiệu khác nhau ở miền thời gian lại tương tự nhau ở miền tần số. Do đó, FT không phù hợp đối với các tín hiệu không dừng. Biến đổi Wavelet khắc phục nhược điểm này, nó cho ta mối liên hệ giữa miền tần số và miền thời gian đồng thời. Giả sử ta cho tín hiệu qua một hệ thống các bộ lọc thông cao và bộ lọc thông thấp như mô tả ở sơ đồ H1.1 dưới đây: Giả sử ta có tín hiệu có tần số lên tới 1000Hz, sau khi đi qua hệ thống như sơ đồ trên, ta sẽ thu được 4 vùng tần số là 0-125 Hz, 125-250 Hz, 250-500 Hz, và 500-1000 Hz. Như vậy, ta thu được một tập các tín hiệu con có băng tần khác nhau từ một tín hiệu ban đầu. Nếu ta biểu diễn chúng trên đồ thị 3D thì sẽ có thêm một trục thời gian cho từng tín hiệu con. Chú ý rằng ta sẽ không biết được thời gian tức thời, nhưng ta biết được khoảng thời gian của từng tín hiệu con đó. Biến đổi Wavelet đưa ra giải pháp linh hoạt như sau: thành phần tín hiệu tần số cao sẽ phân giải tốt hơn trong miền thời gian, còn thành phần tín hiệu tần số thấp, sẽ phân giải tốt hơn ở miền tần số. Chúng ta hãy xét sơ đồ lưới dưới đây: f ^ |******************************************* continuous |* * * * * * * * * * * * * * * wavelet transform |* * * * * * * |* * * * |* * > time Lý giải sơ đồ như sau: ở phía trên cùng của trục tần số, ta có nhiều mẫu tín hiệu, tương ứng với những khoảng thời gian nhỏ, hay nói cách khác là ở thành phần tần số cao sẽ H1.1: Hệ thống các bộ lọc phân giải tốt hơn ở miền thời gian. Còn ở dưới đáy trục tần số, ta có rất ít điểm tín hiệu, do đó sẽ khó phân giải tốt trong miền thời gian. ^ frequency | | | | ******************************************************* | | | | * * * * * * * * * * * * * * * * * * * discrete time | wavelet transform | * * * * * * * * * * | | * * * * * | * * * | > time Trong trường hợp thời gian rời rạc, cũng tương tự như trên. Tuy nhiên chú ý rằng ở nhũng thành phần tần số cao, thì khoảng cách giữa các chấm điểm cũng nhỏ hơn. Dưới đây là ví dụ về biến đổi Wavelet liên tục của tín hiệu hình sin có 2 thành phần tần số ở hai thời điểm khác nhau: Biến đổi Wavelet liên tục của tín hiệu trên có dạng như sau: Chú ý là trục tần số được biểu diễn bởi nhãn scale. Định nghĩa scale sẽ được nói rõ hơn ở phần sau, và trong trường hợp này thì scale là nghịch đảo của tần số. Mức scale cao tương ứng tần số thấp, mức scale thấp tương ứng tần số cao. PHẦN 2 PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC Trước hết ta hãy nói tới các hàm cơ bản trong chuyển đổi tín hiệu. Trong biến đổi Fourier, chuỗi Fourier lượng giác là một công cụ cực mạnh được sử dụng trong cả hai trường hợp rời rạc và liên tục nhưng cũng có nhược điểm đáng kể, đó là các hàm cơ bản cos sin ikt e kt i kt = + xác định và liên tục trên toàn đoạn [ ] ;−π π , do đó không thích nghi tốt với các tín hiệu được địa phương hóa, trong đó ý nghĩa của dữ liệu chỉ tập trung trong miền tương đối nhỏ. Thật vậy, ví dụ trường hợp hàm Dirac ( )tδ có giá trị tập trung tại 0t = . Do đó ta có các hệ số Fourier 1 1 ( ) 2 2 ikt k c t e dt π − −π = δ = π π ∫ [...]... vào wavelet nào được sử dụng Phép biến đổi CWT ngược tồn tại khi thỏa mãn điều kiện: Trong đó, là biến đổi Fourier của ψ Biến đổi CWT có một điểm lớn đó là độ phân giải linh hoạt mà ta sẽ trình bày dưới đây Phân giải miền thời gian-tần số Đây là ưu điểm để chúng ta sử dụng biến đổi Wavelet chứ không phải là biến đổi STFT Hình 2.2 dưới đây minh họa vấn đề này Tất cả khối hộp đều tương ứng với giá trị biến. .. cho qua phép biến đổi CWT thì sự phân tích trở nên dễ dàng hơn nhiều Dưới đây là đồ thị của tín hiệu sau khi qua CWT Và đây là từ một góc nhìn khác rõ hơn: Còn của người bệnh thì tín hiệu chuyển đổi có dạng sau: Hay từ một góc nhìn khác: PHẦN 3 PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC ĐỂđ Để giảm việc tính toán, mà vẫn hiệu quả cho việc phân tích và tổng hợp tín hiệu ban đầu, người ta sử dụng phép biến đổi Wavelet. .. hàm wavelet Giống như các hàm lượng giác, các hàm Wavelet có bản sao rời rạc nhận được bằng cách lấy mẫu Phép biến đổi wavelet rời rạc có thể tính toán một cách nhanh chóng, do dó rất thuận lợi khi xử lý các tín hiệu phức tạp và các dữ liệu ảnh nhiều chiều Chúng ta bắt đầu với 4 hàm wavelet cơ bản được Alphré Haar (nhà toán học Hungary) giới thiệu năm 1910 Hình 2.1: Bốn hàm Haar wavelet Hàm Haar wavelet. .. Haar wavelet thứ hai gọi là wavelet mẹ (mother wavelet) 1 ϕ2 (t ) = ω(t ) =  −1 0 < t < 1/ 2 1/ 2 < t < 1 Giá trị của hàm ω(t ) tại những điểm rời rạc không quan trọng lắm, nhưng tương tự 1 2 trường hợp khai triển Fourier ta quy ước cho ω(t ) = 0 tại các điểm t = 0, ,1 Hàm Haar wavelet thứ ba và hàm Haar wavelet thứ tư là dạng nén của hàm wavelet mẹ, được gọi là các hàm wavelet con (daughter wavelet) ,... 30Hz Biến đổi CWT của tín hiệu trên có dạng: Lưu ý là trục translation tương ứng với thời gian Ngoài ra, còn có wavelet mẹ khác được sử dụng trong phân tích wavelet mũ Mexican, được định nghĩa từ hàm Gaussian: đó là Và Wavelet Morlet được định nghĩa như sau: trong đó, a là tham số điều chế, còn σ là biến tỉ lệ, ảnh hưởng đến độ rộng cửa sổ Để khôi phục lại tín hiệu ban đầu, ta có công thức biến đổi. .. mô tả như sau: Phép biến đổi Wavelet được ứng dụng rất nhiều trong xử lí hình ảnh, bởi hình ảnh có độ phân giải rất cao, và rất tốn không gian bộ nhớ Kết hợp với mã hóa, Wavelet đạt được hiệu quả cao trong nén dữ liệu, ví dụ như JPEG 2000 Biến đổi Wavelet bắt đầu được áp dụng trong truyền thông tin mà Wavelet OFDM là một công nghệ mạnh được hãng Panasonic áp dụng trong HD-PLC Wavelet OFDM đã được IEEE... và wavelet mẹ ω(t ) được mở rộng lên toàn bộ tập số thực bằng cách cho nhận giá trị 0 bên ngoài khoảng cơ bản: 1 ϕ(t ) =  0 0 < t . đã được biến đổi qua các công cụ toán học là tín hiệu được xử lý. Có rất nhiều phép biến đổi được áp dụng, song phép biến đổi Fourier là phép biến đổi được. nhiều phép biến đổi được áp dụng trong kỹ thuật và toán học, như biến đổi Hilbert, biến đổi Fourier thời gian ngắn, phân bố Wigner , biến đổi Radon, … Mọi phép