Giải tích phức Nguyễn Trờng Thanh Bộ môn Toán, Trờng Đại Học Mỏ Địa Chất Đông Ngạc, Từ Liêm, Hµ Néi 04/03/2009 Mơc lơc Sè Phøc vµ Hµm Số Phức 1.1 Số phức phép toán ®èi víi sè phøc 1.1.1 Định nghÜa 1.1.2 BiĨu diƠn hình học số phức-Mặt phẳng phức 1.1.3 Dạng lợng giác số phức 1.1.4 C¸c phÐp to¸n ®èi víi sè phøc Hµm sè phøc 1.2.1 Khái niệm hàm phức 1.2.2 Các hàm sơ cấp 1.2.3 Bài tập chơng 10 1.2 12 2.1 Định nghĩa đạo hàm 12 2.2 Điều kiện tồn đạo hàm 13 2.3 Vài ví dụ đạo hàm 13 2.4 TÝnh chÊt h×nh häc cđa Môdun Argmen đạo hàm 14 2.5 Khái niệm hàm giải tích 14 2.6 Đạo hàm Vi Phân Vi phân hµm biÕn phøc 14 Tích phân đờng 16 3.1 Tích phân đờng hàm biến phức 16 3.1.1 Định nghĩa 16 3.1.2 Cách tách phần thực phần ảo 17 3.1.3 17 3.2 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đờng lấy tích phân định lí CôSi 18 3.3 Công thức tính tích phân hàm giải tích 19 3.3.1 Nguyên hàm 19 3.3.2 Nguyên hàm hàm giải tÝch 19 3.3.3 Công thức tính tích phân với hàm giải tích 20 3.3.4 Các tính chất tích phân C«ng thøc tính tích phân CôSi 20 23 4.1 Khái niệm chuỗi số phức 23 4.1.1 Định nghĩa 23 4.1.2 Sự tách phần thực phần ảo 23 4.1.3 Sù héi tơ tut ®èi 24 4.2 Khái niệm tổng quát chuỗi hàm 24 4.3 Chuỗi luỹ thừa 24 4.4 Chuỗi Taylo 25 4.5 Chuỗi Lô (Laurent) 26 4.6 Chuỗi số chuỗi hàm Điểm bất thờng cô lập 28 Lý thuyết thặng d 30 5.1 Khái niệm thặng d Các định lí thặng d− 30 5.1.1 Định nghĩa thỈng d− 30 5.1.2 Định lí thặng d− 30 C¸ch tÝnh thặng d ứng với cực điểm 31 5.2.1 Thặng d cực điểm đơn 31 5.2.2 ThỈng d− víi cùc ®iÓm cÊp m 32 ThỈng d− loga 32 5.3.1 Không điểm hàm giải tích 32 5.3.2 ThỈng d− loga 32 Applications 33 5.4.1 33 5.2 5.3 5.4 TÝch ph©n hàm phức theo đờng cong kín b 5.4.2 TÝnh tÝch ph©n xác định hàm số thực f(x)dx : 33 34 a +∞ 5.4.3 TÝnh tÝch phân suy rộng f(x)dx + 5.4.4 Tính tích phân suy rộng + f(x) cos(mx)dx f(x) sin(mx)dx 36 −∞ Lý thut to¸n tư 38 6.1 Kh¸i niƯm vỊ phÐp tÝnh to¸n tư 38 6.2 To¸n tư Laplace 38 6.3 Mét sè vÝ dô 41 6.4 Định lí đồng dạng toán tử Laplace 42 6.5 TÝnh chÊt tuyÕn tÝnh cđa to¸n tư Laplace 42 6.6 Tính chất rời chỗ toán tử Laplace 42 6.7 Hàm tuần hoàn 43 6.8 TÝnh chÊt chËm trƠ cđa to¸n tư Laplace 43 6.9 Định lí vi phân tích phân hàm gốc 43 6.10 Định lí vi phân tích phân hàm ảnh 44 6.11 Các công thức nhân 44 6.11.1 Nhân xếp hai hàm số (Tích chËp) 44 6.11.2 Định lí ảnh tích xếp: (Công thức nhân ảnh) 45 6.11.3 C«ng thøc Duhamel 45 6.12 To¸n tư Laplace ng−ỵc 45 6.12.1 Định nghĩa Các định lí tìm hàm gốc 45 6.12.2 Trờng hợp riêng 46 6.13 To¸n tư Fourier 47 6.13.1 Định nghĩa 47 6.13.2 TÝnh chÊt cđa to¸n tư Fourier 48 Ch−¬ng Sè Phức Hàm Số Phức 1.1 Số phức phép toán số phức 1.1.1 Định nghĩa ã Đơn vị ảo số mà bình phơng −1 kÝ hiƯu bëi i Nãi c¸ch kh¸c i2 = −1 • Mét biĨu thøc z = x + iy, x, y R, đợc gọi số phức Ngoài ra, x gọi phần thực z, kí hiệu Re(z), y gọi phần ảo z, kÝ hiƯu bëi Imz NÕu x = th× z = iy gọi tuý ảo Tơng tự, y = z = x đợc gọi tuý thực Tâp hợp số phức đợc kí hiÖu bëi C := {z = x + iy : x, y ∈ R} 1.1.2 BiĨu diƠn h×nh häc cđa số phức-Mặt phẳng phức ã Một số phức z = x + iy tơng ứng với điểm M(x, y) hệ toạ độ Đề Các, toàn mặt phẳng goi Mặt phẳng phức ã Những điểm nằm trục hoành có toạ độ (x, 0) øng víi sè phø z = x + i0 = x số thực tuý, trục hoành đợc gọi trục thực Tơng tự, trục tung gọi trục ảo Hình 1.1: Mặt phẳng phức 1.1.3 Dạng lợng giác số phức ã Mỗi điểm M(x, y) đợc xác định véc tơ OM có mô đun r tạo với trục 0x góc Do đó, điểm Mcó thể xác định theo cặp số (r.) Hơn thÕ, z = x + iy = r cos(ϕ) + ir sin() gọi dạng lợng giác số phức z • Chóng ta qiu −íc |z| := r = x2 + y 2, Arg(z) := ϕ, z := x iy tơng ứng đợc gọi Mô đun, Argumen số phức liên hợp số phức z 1.1.4 Các phép toán số phức Bằng nhau: Hai sè phøc z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 đợc gọi x1 = x2 , y1 = y2 Sè phøc liên hợp: z = x iy = r(cos() i sin(ϕ)) = r(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) PhÐp céng- PhÐp trõ: z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2), TÝnh chÊt: z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2 ) H×nh 1.2: Dạng lơng giác số phức (a) z + z = 2Re(z), z − z = 2Imz (b) |z1 + z2 | ≤ |z1| + |z2| (c) |z1 − z2 | ≥ |z1| − |z2| PhÐp nh©n hai sè phøc: z1.z2 = (x1x2 − y1 y2) + i(x1y2 + x2y1 ) = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + sin(ϕ1 + ϕ2 )) Do ®ã: |z1z2 | = |z1||z2|, arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2 ) TÝnh chÊt: (a) |z1||z2| = |z2||z1|, (Giao ho¸n) (b) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, (Phân phối phép cộng) (c) z1(z2 z3) = (z1z2)z3 , (KÕt hỵp) (d) zz = |z|2 = (x2 + y 2) PhÐp chia hai số phức: (a) Phép nghịch đảo: 1 x y = (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) = −i z r x +y x + y2 (b) PhÐp chia hai sè phøc: x1 x2 + y1 y2 x1 y2 − x2 y1 r1 z1 = −i = (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )) 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2 r2 TÝnh chÊt: z1 i | z2 | = |z1 | |z2 | ii Arg( z1 ) = Arg(z1) Arg(z2) z2 Phép nhân lên luỹ thừa: n n n k Cn xk (iy)n−k = rn [cos(nϕ) + i sin(nϕ)] z = (x + iy) = k=0 Phép khai căn: ã Định nghĩa: n z số phức saôch n = z • ω = n r(cos ϕ+2kπ + sin ϕ+2kπ ), k = 0, n − n n 1.2 Hµm số phức 1.2.1 Khái niệm hàm phức Định nghĩa: ã = f(z), z : đối số, : hàm số, f : quy luật ã Miền xác định hàm f:={: cho theo quy luật f xác định giá trị tơng ứng }:=Df ã Miền xác định f:={ Mọi giá trị đối số z chạy khắp miền xác định }:=Rf Sự tách phần thực phần ảo quan hệ hàm: Cho hàm số = f(z), z = x + iy Khi ®ã ta cã thĨ biĨu diƠn, ω := u(x, y) + iv(x, y), u, v hàm số thực hai biÕn TÝnh chÊt h×nh häc cđa quan hƯ hàm: = f(z) phép biến hình mặt phẳng phức Hình 1.3: Phép biến hình Ví dụ 1.1 Cho = z Tìm ảnh miền tròn đơn vị Miền D := {z = x + iy : x2 + y ≤ 1} Phơng trình biên miền D {(x, y) : x2 + y = 1} XÐt quan hÖ ω = z = (x2 − y 2) + i2xy Ta thÊy (x2 − y 2)2 + (2xy)2 = 1, 2xy có miền giá trị đoạn thẳng [1, 1] (x, y) chạy biên miền D, quan hệ = z biến hình tròn đơn vị thành Ví dụ 1.2 Tìm nghịch ảnh đờng tròn (u )2 + (v + )2 = ( )2 qua phÐp biÕn h×nh 2 = z Trên mặt phẳng phức u, v, đòng tròn C : (u )2 + (v + )2 = ( )2 , có tâm I( ; ), bán 2 2 kÝnh Ta thÊy, ω= x y x y = −i , u= , v=− , 2 z x +y x +y x +y x + y2 (u, v) C Từ đây, (x 2)2 + (y 2)2 = (nghịch ảnh C) 1.2.2 Các hàm sơ cấp Hàm lịy thõa: Cã d¹ng n ω = z n = (x + iy)n = k Cn xk (iy)n−k = [r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn [cos(nϕ) + i sin(n)] k=1 Hàm mũ: Có dạng = ez với định nghĩa nh sau: z = x + iy th× ω = ex eiy = ex (cos y + i sin y) • ez1 ez2 = ez1 +z2 • ez1 ez2 = ez1 −z2 • (ez )n = enz • ez+2πi = ez Các hàm lợng giác: Ta kí hiệu sin z := tgz := eiz + e−iz eiz − e−iz ; cos z := ; 2i sin z e2zi − cos z e2zi + = ; cotgz := = i 2zi cos z i e2zi + sin z e Hàm Logarit: ã Định nghÜa: Logarit cđa sè phøc z lµ sè ω cho e = z đựoc kí hiệu ln z := ω • NÕu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = eiϕ th× ω = ln z = r + iϕ = ln|z| + iArg(z) (Chó ý: ln z hàm đa trị.) ã Tính chất: ln(z1 z2) = ln(z1) + ln(z2); ln( z1 z ) = ln(z1) − ln(z2 ); ln(z12 ) = z2 ln z1; z2 ã z z = ezlnz Các hàm số lợng giác ngợc: ã Hàm = arcsinz : Gọi arcsinz lµ sè phøc ω cho sin ω = z Khi ®ã, √ ω = arcsinz = ln(iz + z ) i ã Hàm = arccosz : Gäi arccosz lµ sè phøc ω cho cos ω = z Khi ®ã, √ ω = arccosz = ln(z + − z 2) i 35 Do R f(z)dz = C f(z)dz + f(z)dz = −R CR [−R,R] f(z)dz + f(z)dz CR víi R lín tuú ý, dÉn tíi +∞ n f(x)dx = 2πi −∞ VÝ dụ 5.7 Tính I = + Cách giải Res[f(z); zk ] k=1 dx (x2 +1)2 Trong nưa mỈt phẳng hàm f(z) = (x2 +1)2 có điểm bất thờng cô lập cấp hai z = i, thoả mÃn tính chất định lí, ®ã, I = 2πiRes[f(z); i] = 2πi lim[ z→i VÝ dô 5.8 TÝnh +∞ x2 x4 +1 = +∞ −∞ π ]′ = (z + i)2 x2 ? x4 +1 ã Trờng hợp 2: Nếu hàm f(z) có đặc điểm, thay x z hàm f(z) có tính chất sau lim zf(z) = z Trên trục thực hàm f(z) có số hữu hạn điểm bất thờng cô lập đơn a1 , a2, , as Nửa mặt phẳng trên, f(z) có hữu hạn điểm bất thờng cô lập z1 , z2, , zn Khi ®ã, +∞ n f(x)dx = 2πi −∞ s Res[f(z); zk ] + πi k=1 Res[f(z); aj ] j=1 Chứng minh Để cho đơn giản chứng minh ta giả thiết trục thực hàm f(z) có điểm bất thờng a Vẽ nửa mặt phẳng trên, nửa đờng tròn CR tâm với R đủ lớn Cr 36 tâm a với bán kính r đủ nhỏ cho miền D có biên C = CR + Cr + [−R, a − r] + [a + r, R] bao quanh điểm bất th−êng z1, z2, , zn Trong miền D, hàm f(z) giải tích trừ điểm z1, z2, , zn Theo định lí thặng d ta có ar n f(z)dz = 2πi Res[f(z); zk ] = k=1 C f(z)dz + CR f(z)dz + R f(z)dz + −R Cr f(z)dz (4.1) a+r Do a cực điểm đơn, ta có biểu diÔn f(z) = ϕ(z) + a−1 (z − a)−1 , (z) hàm giải tích a Hơn thÕ ta cã, f(z)dz = Cr a−1 (z − a)−1 dz = ϕ(z)dz + Cr Cr ϕ(z)dz + a−1 (−πi) Cr Tõ tÝnh gi¶i tÝch cđa ϕ(z), cho r → ta cã lim f(z)dz = −πia−1 r→0 Cr MỈt khác, lim R C R f(z)dz = (trờng hợp 1) Kết hợp với công thức 4.1, cho R , r ta có điều phải chứng minh + 5.4.4 Tính tích phân suy rộng + f (x) cos(mx)dx f (x) sin(mx)dx ã Trờng hơp 1: Nếu hàm f(x) có đặc điểm thay x z đựoc hàm biến phức f(z) cã nh÷ng tÝnh chÊt sau lim f(z) = z Hàm f(z) giải tích toàn trục thực Nửa mặt phẳng , f(z) có số hữu hạn điểm bất thờng cô lập lµ z1 , z2, , zn Khi ®ã , +∞ n f(x)eimx dx = 2πi −∞ Res[f(z)eimx; zk ] k=1 37 Chøng minh VÝ dụ 5.9 Tính tích phân sau Chứng minh Hµm f(z) = z2 +1 cos x dx + i x2 + −∞ +∞ −∞ cos x dx, x2 +1 +∞ −∞ sin x dx x2 +1 tháa mÃn điều kiện định lí, + Từ đây, + cos x dx x2 +1 + sin x eiz π dx = 2πiRes[ ; i] = +1 x 1+z e −∞ = π e ã Trờng hợp 2: Hàm f(z) có hữu hạn cực điểm đơn a1, a2, , as trơc thùc Khi ®ã, +∞ f(x)e −∞ Chøng minh n imx dx = 2πi s Res[f(z)e k=1 imx Res[f(z)eimx ; aj ] ; zk ] + πi j=1 Chơng Lý thuyết toán tử 6.1 Khái niệm phép tính toán tử ã Cho hai tập hợp A B Một phép toán T cho ứng phần tư x ∈ A víi phÇn tư T x ∈ B đợc gọi toán tử Phần tử T x B đợc gọi ảnh phần tử x A, phần tử x đợc gọi gốc (hay nghịch ảnh) phần tử T x ã Một vµi vÝ dơ: NÕu tËp A, B lµ hai tập số thực toán tử T gọi hàm số thực b f(x)dx đợc gọi Nếu A tập hàm số liên (a, b) hữu hạn Khi phép toán a toán tử tích phân,cho ứng hàm f liên tục (a, b) với phần tử T f số thực → → − → →− → − NÕu A tập hợp vectơ không gian phép to¸n − b0 , (− , b ∈ A), b0 cố a a định, toán tử vô hớng 6.2 Toán tử Laplace Định nghĩa: Cho hàm số thực f(t)xác định với t Xét tích phân 38 39 f(t)eàt dt, (2.1) tham số Giá trị tích phân phụ thuộc vào tham số Do cho số phức biến thiên giá trị tích phân 2.1 hàm Ta gọi hàm hàm số phức F (à) Phép toán 2.1 đợc gọi toán tử Laplace cho ứng hàm gốc f(t) víi mét hµm phøc F (µ, ) kÝ hiƯu ∞ f(t)e−µt dt F (µ) = L[f(t)] = (2.2) Vì phép toán 2.1 tích phân suy rộng cận vô hạn nên vấn đề cần đặt liệu tích phân hội tụ, hàm thực f(t) tham số phức cần điều kiện gì? Điều kiện để tồn toán tử Laplace (a) Hàm gốc f(t) : i Vì toán tử Laplace tích phân đoạn nửa vô hạn [0, +∞], ®ã ta cã thĨ coi f(t) ≡ 0, t < 0, mà không làm ảnh hởng đến giá trị tích phân 2.1 ii Ta gọi hàm 1(t) = víi t < 0, víi t ≥ Khi coi hàm gốc hàm 1(t)f(t) = víi t < 0, f(t) víi t iii Vì tích phân 2.1 theo biến t [0, +) nên trớc tiên cần đòi hỏi hàm f(t) phải giải tích [0, +) Trong giải tích đà biết hàm f(t) phải liên tục có đạo hàm f (t) liên tục [0, +) trừ số hữu hạn điểm gián đoạn loại (nếu có) iv Hàm dới dấu tích phân f(t)eàt để tích phân 2.1 hội tụ hàm f(t) không đợc tăng nhanh hàm mũ ®ã Nãi c¸ch kh¸c, |f(t)| ≤ Mes0 t, víi M, s0 lµ h»ng sè H»ng sè s0 gäi lµ chØ số tăng hàm f(t) (2.3) 40 Vậy hàm gốc f(t) cần phải thoả mÃn hai điều kiện iii, iv (b) Hàm ảnh F (à) : i Ta giả thiết hàm gốc f(t) có số tăng s0 Do tích phân 2.1 hội tụ giá trị cần phải lấy cho hàm eàt tăng nhanh so với f(t) t + Giả sử số phức = s + i Ta sÏ chøng tá r»ng nÕu Reµ = s > s0 tích phân 2.1 hội tụ (không héi tơ tut ®èi) Chøng minh Ta thÊy +∞ | f(t)e−µt dt| ≤ = +∞ |f(t)e−µt |dt ≤ +∞ M +∞ |e−st es0 t |dt = |eàt ||Mes0 t |dt M ss0 < + Vậy điều kiện tồn hàm F (à) Reà > s0 ii Hàm F (à) = L[f(t)] hàm giải tÝch toµn bé miỊn Reµ > s0 Chøng minh T−¬ng tù chøng minh (b), ta cã ∞ | −te−µt f(t)dt| ≤ M < +∞ (s0 − s)2 Mặt khác, F (à + à) F (à) = ∆µ +∞ e−µt f(t) [e−∆µt − 1] dt ∆µ Ta thấy với |à| < đó, + |eàt |.|Mes0t |.t.et|à|dt hội tụ với |à| < δ Víi mäi |∆µ| < δ, ε > cho tr−íc, chän a ∈ R ®đ lín cho +∞ a |e−µt |.|Mes0 t |.t.et|∆µ|dt < ε, +∞ | a eàt f(t)(t)| < 41 Cố định a, cho ∆µ → 0, ta thÊy a | e −µt a −∆µt f(t) [e ∆µ −1] dt − e−µt f(t)(−t)dt| ≤ ε, vµ +∞ | a −∆µt −1] e−µt f(t) [e ∆µ +∞ ≤ dt| a |e−µt |.|Mes0 t|.t.et|∆µ|dt < Từ dây, F (à + à) F (à) | Do chọn bất kì, dẫn tíi F ′(µ) = +∞ +∞ e−µt f(t)(−t)dt| ≤ 3ε e−µt f(t)(−t)dt 6.3 Mét sè vÝ dơ VÝ dụ 6.1 Hàm đơn vị với t < 1(t) = Ta cã |1(t)| ≤ 1.e0t VËy F (µ) = L[1(t)] = víi t ≥ ∞ e−µt dt = µ , ∀Reµ > VÝ dơ 6.2 Hµm sin t, hµm gèc f(t) = 1(t) sin t Ta thấy |f(t)| 1.e0t, ảnh F (à) xác định với Resà > Bằng tích phân phần ta có, F (à) = Tơng tự, + µ2 µ , µ+ 1 L[1(t)et] = , à+1 L[1(t) cos t] = Resà > 42 6.4 Định lí đồng dạng toán tử Laplace Định lý 6.1 Cho a > Khi đó, L[f(t)] = F (à) L[f(at)] = a F ( ) a VÝ dô 6.3 a) 1(t) sin t → b) 1(t) cos t → c) 1(t)e−t → µ 1+µ2 µ 1+µ 1+µ2 =⇒ 1(t) sin at → =⇒ 1(t) cos at → =⇒ 1(t)e−at → 1 µ a 1+( a )2 = a a2 +µ2 µ a2 +µ2 a+à 6.5 Tính chất tuyến tính toán tử Laplace Định lý 6.2 Nếu f(t) = n ck fk (t), ck = constant, k = 1, n th× L[f(t)] = k=1 n ck L[fk (t)] k=1 VÝ dô 6.4 L[1(t)(3 sin 4t − cos 5t)] = 3L[1(t) sin 4t] − 2L[1(t) cos 5t] = 42 µ −2 +µ µ + 52 6.6 Tính chất rời chỗ toán tử Laplace Định lý 6.3 Cho λ ∈ C bÊt k× NÕu L[1(t)f(t)] = F (à) L[1(t)etf(t)] = F (à ) VÝ dô 6.5 L[1(t)e±λt sin at] = L[1(t)e±λt cos at] = a2 a , + (µ ∓ λ)2 µ∓λ , a2 + (µ ∓ λ)2 eiωt − e−iωt L[f(t) sin ωt] = L[f(t) ] = [F (µ − iω) − F (µ + iω)] 2i 2i 43 6.7 Hµm tuần hoàn T Định lý 6.4 Nếu hàm gốc f(t) hàm tuần hoàn chu kì T F (à) = f (t)e−µt dt 1−e−µT Chøng minh 6.8 Tính chất chậm trễ toán tử Laplace Định lý 6.5 Cho > Khi đó, L[(t − τ )f(t − τ )] = e−τ tµ F (µ) VÝ dơ 6.6 Cho hµm gèc f(t) =   víi   t < 0, víi ≤ t ≤ τ,    víi t > τ Ta thÊy f(t) = 1(t) − 1(t ), L[f(t)] = − e−τ µ µ VÝ dơ 6.7 Cho hµm gèc f(t) =     víi t < 0, sin t víi ≤ t ≤ π,    víi t > π Ta thÊy f(t) = 1(t) sin t + 1(t − π) sin(t ), L[f(t)] = 1+à2 + eà 1+à2 6.9 Định lí vi phân tích phân hàm gốc Định lý 6.6 Giả sử f(t) lµ hµm gèc cã f ′ (t) cịng lµ hµm gốc Khi đó, L[f(t)] = F (à) L[f (t)] = àF (à) f(0) Hệ 6.1 Nếu f(t) có tồn đạo hàm tới cấp n hàm gốc L[f (n) (t)] = µn F (µ) − µn−1 f(0) − µn−2 f ′ (0) − · · · − f (n−1) (0) t Định lý 6.7 Nếu L[f(t)] = F (à) L[ f(t)dt] = F (µ) µ 44 t VÝ dơ 6.8 Ta thÊy L[1(t).1] = µ , ®ã L[1(t) 1dξ] = L[1(t) µ µ = à2 = L[1(t)t] Tơng tự ta có, tn ] = n+1 , ∀n ∈ N n! µ 6.10 Định lí vi phân tích phân hàm ảnh Định lý 6.8 Nếu L[f(t)] = F (à) L[tf(t)] = F ′(µ) VÝ dơ 6.9 L[1(t) sin at] = a a 2aµ =⇒ L[1(t)t sin at] = −( )′ = a2 + µ2 a + µ2 (a + µ2 )2 µ µ µ2 − a2 ′ L[1(t) cos at] = =⇒ L[1(t)t cos at] = −( ) = a + µ2 a + à2 (a + à2 )2 Định lý 6.9 Nếu L[f(t)] = F (à) Ví dụ 6.10 F (z)dz héi tơ, ®ång thêi L[ f (t) ] = t ∞ F (z)dz µ ∞ sin at ]= L[ t a2 a π µ dz = − arctg( ) +z a µ − eat L[1(t) ]= t ∞ µ 1 µ−a ( − )dz = ln z za 6.11 Các công thức nhân 6.11.1 Nhân xếp hai hàm số (Tích chập) t ã Định nghĩa: Cho hai hàm số f(t), g(t) Biểu thức tích phân f()g(t )d hàm theo cận t, độcgị tích chập hai hàm f(t) vµ g(t) KÝ hiƯu, t f ∗ g(t) = f(ξ)g(t − ξ)dξ 45 • TÝnh chÊt: TÝch chËp cã tinh giao ho¸n: f ∗ g = g ∗ f ã Chú ý: Khi định nghĩa tích chập ta không đòi hỏi f(t), g(t) hàm gốc Nhng f(t), g(t) hàm gốc f g(t) hàm gốc 6.11.2 Định lí ảnh tích xếp: (Công thức nhân ảnh) Định lý 6.10 Nếu L[f(t)] = F (t), L[g(t)] = G(t) th× L[f ∗ g(t)] = F (µ)G(µ) Chøng minh VÝ dơ 6.11 Tìm hàm gốc Ta thấy à(1+à) = 1 µ 1+µ2 µ(1+µ) = F (µ).G(µ) = L[1(t)].L[1(t) sin t] Do ®ã, t f(t) = ∗ sin t = sin(t − ξ)dξ = (1 − cos t) 6.11.3 Công thức Duhamel Định lý 6.11 Nếu L[f(t)] = F (t), L[g(t)] = G(t) th× L[f(0)g(t) + f ′ ∗ g(t)] = µF (µ)G(µ) Chøng minh 6.12 Toán tử Laplace ngợc 6.12.1 Định nghĩa Các định lí tìm hàm gốc Ta thừa nhận không chứng minh công thức sau cho cách tìm hàm gốc f(t) đà biết hàm ảnh Định lý 6.12 (Công thức Mellin) Giả sử hàm F (à) hàm biến phức thoả mÃn điều kiện F (à) giải tích phần mặt phẳng Reà > s0 lim F (µ) = µ→∞ 46 a+i∞ F (µ)dµ héi tơ víi mäi a > s0 a−i∞ Khi ®ã f(t) = 2πi a+i∞ F (µ)eµtdµ, (a > s0 ) Định lý 6.13 Nếu hàm F (à) thỏa mÃn điều kiện công thức Mellin a+i∞ f(t) = 2πi n µt Res[F (µ)etµ; µk ], F (à)e dà = k=1 àk , k = 1, n điểm bất thờng cô lập nằm nửa mặt phẳng Reà < s0 Chứng minh 6.12.2 Trờng hợp riêng Nếu F (à) = A(à) , B(à) A(à), B(à) ®a thøc kh«ng cã ngiƯm chung, bËc ë tư nhá mẫu điểm {àk } không điểm đơn B(à) n f(t) = k=1 Ví dụ 6.12 Tìm hàm gốc hàm số F (µ) = f(t) = A(µk ) µk t e B ′(µk ) , µ(µ+a)(µ+b) a, b > 0t 1 e + e−at + e−bt ab a(a b) b(b a) Định lý 6.14 Nếu hàm F (à) giải tích điểm = , nghĩa khai triển hàm F (à) lân cận điểm = có dạng c1 c2 F (µ) = + + ··· = µ µ ∞ n=1 F (t) ảnh hàm gốc 1(t)f(t), ®ã ∞ f(t) = n=1 cn tn−1 (n 1)! cn àn , 47 6.13 Toán tử Fourier 6.13.1 Định nghĩa ã Với toán tử Laplace, ta đà cho ứng hàm gốc 1(t)f(t) với ảnh F (à) Toán tử F (à) hàm phức xác định với Reà > s0, giải tích nửa mặt phẳng phức bên phải đờng thẳng Reà = s0 Tuy nhiên ta kéo dài ảnh Laplace F (à) toàn mặt phẳng phức nửa mặt phẳng bên trái đờngthẳng Reà = s0 , hàm F (à) có điểm bất thờng cô lập, phân bố điểm lại xác định hàm gốc (định lí 6.13) Vậy sau xác định đợc ảnh Laplace F (à), ta coi F (à) hàm toàn mặt phẳng phức Do ảnh F (à) cho = i (thuần tuý ảo) cho hàm F (i) xác định trục ảo Ta gọi F (i) ảnh F ourier hàm gốc 1(t)f(t) ã Trong trờng hợp hàm f(t) có số tăng s0 < ta xác định ảnh F ourierbangè công thức tích phân Laplace lấy = iλ, ∞ f(t)e−iλtdt F (iλ) = (13.4) TÝch ph©n hội tụ Re(i) = > s0, đựoc gọi toán tử F ourier Mặt khác s0 < nên công thức Mellin ta có thĨ lÊy a = > s0 , ®ã tích phân lấy theo trục ảo từ dới = λi Do ®ã: 1(t)f(t) = 2πi +∞ F (iλ)e d(iλ) = 2π +∞ iλt −∞ F (iλ)eiλtd(λ), (13.5) gọi toán tử F ourier ngợc ã Trong trờng hơp s0 > ta dùng toán tử F ourier để xác định ảnh fourier 1(t)f(t) tích phân 13.5 không hội tụ Trong trờng hợp tìm ảnh Laplace F (à) xác định với Reà > s0 mở rộng ảnh xét toàn mặt phẳng phức Từ ta xác định ảnh F ourier theo công thøc: F (λi) = lim F (µ) µ→iλ 48 TÊt nhiên trờng hơp mà ta dùng ảnh F ourier để tìm hàm gốc bỏ sót thành phần gốc ứng với điểm bất thờng cô lập F (à) nằm bên phải trục ảo ã Dùng ảnh F ourier đơn giản ảnh Laplace việc biểu diễn hình học khảo sát F (i) xác định trục ảo F (à) xác định toàn mặt phẳng phức 6.13.2 Tính chất toán tử Fourier Ta coi F ourier trờng hợp riêng Laplace có thẻ chứng ming tơng tự số định lí: ã Định lí chậm trễ: 1(t)f(t) → F (iλ) t−¬ng øng víi 1(t − τ )f(t ) F (i)ei ã Định lí đạo hàm gốc: 1(t)f(t) F (i) tơng ứng với 1(t)f ′ (t) → iλF (iλ) − f(0) t • Định lí tích phân gốc: 1(t)f(t) F (i) tơng ứng với 1(t) f()d ã Định lí tích chËp gèc: f1 ∗ f2 → F1 (iλ)F2(iλ) F (iλ) i Tài liệu tham khảo [1] [2] [3] 49 ... (z) z 2.5 Khái niệm hàm giải tích ã Định nghĩa 1: Hàm f(z) giải tích miền D đơn trị có đạo hàm liên tục D Đôi ta nói hàm f(z) giải tích điểm z0, điều f có nghĩa f(z) giải tích lân cận mở chứa điểm... hàm hàm giải tích 19 3.3.3 Công thức tính tích phân với hàm giải tÝch 20 3.3.4 Các tính chất tích phân Công thức tính tích phân... Khái niệm hàm giải tích 14 2.6 Đạo hàm Vi Phân Vi phân hàm biến phức 14 Tích phân đờng 16 3.1 Tích phân đờng hàm biến phức