Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi Olimpic Toán lớp 6 năm 2020 - 2021 Phòng GDDT Quốc Oai Hà Nội. Olympic Toán học Quốc tế là một kì thi Toán học cấp quốc tế hàng năm dành cho học sinh trung học phổ thông
PHỊNG GD&ĐT QUỐC OAI ĐỀ OLIMPIC TỐN Năm học 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên: ……………… ……… …… …SBD: … Bài (4 điểm) 5 11 + x = a/ Tìm x biết: 7 10,5 2,1 11 7,5 1,5 b/ Trong dãy số 1, 3, 4, 7, 11, 18, , số hạng thứ ba số hạng tổng số hạng trước Hỏi có số lẻ 100 số hạng dãy? Bài (4 điểm) a/ Tìm số có dạng 21a5b chia hết cho b/ Cho A = + 52 + 53 + +52020 Tìm số tự nhiên n cho: 4A + = 5n Bài (6 điểm) a/ Tìm số tự nhiên a biết 398 chia cho a dư 38, 450 chia cho a dư 18 b/ Tìm số tự nhiên nhỏ biết chia số cho 36, 40, 42 số dư 34, 38, 40 Bài (3 điểm) Trên quãng đường AB, hai ô tô ngược chiều khởi hành lúc sau gặp Biết vận tốc xe từ A 4/3 vận tốc xe từ B Hỏi xe từ A phải khởi hành sau xe từ B để hai xe gặp quãng đường AB? Bài (3 điểm) a/ Cho đường thẳng phân biệt qua điểm O Chứng tỏ rằng: Trong góc đỉnh O, có góc có số đo khơng lớn 360 b/ Ta dùng 48 hình vng giống để tạo thành hình chữ nhật khác nhau? Ví dụ: coi hình chữ nhật Cán coi kiểm tra khơng giải thích thêm Họ tên, chữ kí cán coi PHỊNG GD & ĐT QUỐC OAI KÌ THI OLIMPIC Năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Câu Phần a 2đ (4đ) b 2đ Nội dung 5 5 7,5 1,5 7,5 1,5 11 + x = x 11 7 7 10,5 2,1 10,5 2,1 11 11 1 5(1,5 0,3 ) 11 x 7(1,5 0,3 ) 7 11 Vậy: x Trong dãy số 1, 3, 4, 7, 11, 18, , số hạng thứ ba số hạng tổng số hạng trước Hỏi có số lẻ 100 số hạng dãy? Viết lại dãy: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, Tính chẵn lẻ số hạng thứ tự là: lẻ, lẻ, chẵn, lẻ, lẻ, chẵn, lẻ, lẻ, chẵn, hay (lẻ, lẻ, chẵn), (lẻ, lẻ, chẵn), (lẻ, lẻ, chẵn), tức dãy số chia nhóm gồm số hạng liên tiếp (lẻ, lẻ, chẵn) Ta thấy: 99 = 3.33 nên số hạng thứ 100 lẻ Trong 99 số hạng có 33 nhóm tức có 33 số lẻ Vì vậy: Trong 100 số hạng có 100 – 33 = 67 số lẻ Tìm số có dạng 21a5b chia hết cho Điểm 0,5 1.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 Ta có: 21a5b = 21a00 5b 100.21a 5b 0,5 Vì 100 100.21a nên để 21a5b 5b b 2;6 0,5 * b = 21a5b 2152 100a=(21049+98a)+(2a+3) (4đ) a 2.5 đ Vì 21049 98a nên để 21a5b 2a + Mặt khác: 2a + lẻ ≤ 2a + ≤ 21 2a 7; 21 2a 4;18 a 2;9 0,5 * b = 21a56 2156 100a=(21056+98a)+2a Vì 21056 98a nên để 21a5b 2a a = Vậy số 21a5b cần tìm là: 21252; 21952; 21756 0,5 0,5 Cho A = + 52 + 53 + +52020 Tìm số tự nhiên n cho: 4A+5= 5n Ta có: 5A = 52 + 53 + +52020 + 52021 A = + 52 + 53 + +52020 b 5A – A = (52 + 53 + +52020 + 52021) – (5 + 52 + 53 + +52020) 1.5 4A = 52021 – => 4A + = 52021 đ Để 4A + = 5n => 52021 = 5n => n = 2021 a 3đ Tìm số tự nhiên a biết 398 chia cho a dư 38, 450 chia cho a dư 18 Vì 398 chia cho a dư 38 (a > 38) nên 398 – 38 a 360 a 450 chia cho a dư 18 (a > 18) nên 450 – 18 a 432 a a ƯC(360; 432) Mà: 360 = 23.32.5 432 = 24.33 nên ƯCLN(360; 432) = 23.32 = 72 a Ư(72), a > 38 a = 72 Vậy: a = 72 Tìm số tự nhiên nhỏ biết chia số cho 36, 40, 42 0,5 0,5 0,5 0.5 0,5 0,5 0,5 0.5 0.5 số dư 34, 38, 40 Gọi số cần tìm x (x N) (6đ) 0.5 Vì chia x cho 36, 40, 42 số dư 34, 38, 40 Nên x + chia hết cho 36, 40, 42 b 3đ 0,5 Mặt khác x nhỏ nên x + nhỏ Do x + = BCNN(36; 40; 42) 0,5 Ta có: 36 = 22.32; 40 = 23.5; 42 = 2.3.7 BCNN(36; 40; 42) = 23.32.5.7 = 2520 0,5 x +2 = 2520 x = 2520 – = 2518 0.5 Vậy số cần tìm 2518 0.5 Trên quãng đường AB, hai ô tô ngược chiều khởi hành lúc sau gặp Biết vận tốc xe từ A 4/3 vận tốc xe từ B Hỏi xe từ A phải khởi hành sau xe từ B (3đ) để hai xe gặp qng đường AB? Vì vận tốc xe từ A 4/3 vận tốc xe từ B nên hai xe khởi hành gặp quãng đường xe từ A 4/3 quãng đường xe từ B Xe từ A 4/7 quãng đường xe từ B 3/7 quãng đường hết 0,5 0,5 Thời gian xe từ A nửa quãng đường là: 21 4 (h) 6: : = 7 Thời gian xe từ A nửa quãng đường là: 3 6: : = (h) 7 Để hai xe gặp qng đường xe từ A phải khởi hành sau xe từ B là: - 21 = (h) = 1h45' 4 Cho đường thẳng phân biệt qua điểm O Chứng tỏ rằng: 0,5 0,5 Trong góc đỉnh O, có góc có số đo khơng lớn 360 Ta thấy: đường thẳng qua O hình vẽ có 10 góc “độc lập” (khơng có điểm chung), số có cặp góc đối đỉnh Giả sử cặp góc: A1 A2; B1 B2; C1 A2; D1 D2; E1 E2 a 1.5 Khi đó: A1 + A2 + B1 + B2 + C1 + A2 + D1 + D2 + E1 + E2 = 3600 đ Hay: A1 + B1 + C1 + D1 + E1 = 1800 Nếu góc A1, B1, C1, D1, E1 lớn 360 tổng chúng lớn 0.5 0.5 5.360 = 1800 Vô lý Vì góc A1, B1, C1, D1, E1 có góc khơng lớn 360 góc đối đỉnh với khơng lớn 360 Trong góc có hình vẽ, có góc có số đo (3đ) 0.5 khơng lớn 36 Ta dùng 48 hình vng giống để tạo thành hình chữ nhật khác nhau? Bản chất toán phân tích số thừa số: 48 = 24.3 b 1.5 đ = 1.48 = 2.24 = 3.16 = 4.12 = 6.8 Như từ 48 hình vng giống có cách xếp để tạo hình chữ nhật khác Ghi chú: Học sinh làm cách khác chấm điểm tương đương 0.5