TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU VỎ THOẢI CÓ CÁC GỐI TỰA ĐÀN HỒI PHI TUYẾN ThS. NGUYỄN ĐỨC THẮNG GS. TSKH. NGUYỄN VĂN HỢI Học viện Kỹ thuật Quân sự 1. Mở đầu Trong bài báo [2] đã nghiên cứu phản ứng của vỏ thoải trên các gối tựa đàn hồi tuyến tính chịu tác dụng của tải trọng động. Trong bài báo này các tác giả tiếp tục phát triển bài toán trên với giả thiết vỏ vẫn biến dạng đàn hồi tuyến tính nhưng gối biến dạng đàn hồi phi tuyến. Trong lĩnh vực công trình quân sự, loại kết cấu này thường gặp dưới dạng kết cấu cửa của các công trình ngầm đặc biệt, trong đó các cánh cửa là tấm hoặc vỏ thoải bằng vật liệu thép, còn các gối tựa là lớp cao su có chiều dầy đáng kể nhằm làm giảm tác dụng của tải trọng động do nổ gây ra. Với các loại vật liệu trên gối tựa luôn luôn ở trong trạng thái biến dạng đàn hồi phi tuyến ngay cả khi tải trọng còn nhỏ thì vỏ vẫn còn đang làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính. 2. Phương trình chuyển động của kết cấu vỏ thoải trên các gối tựa đàn hồi phi tuyến 2.1. Các mô hình phần tử hữu hạn của kết cấu Khảo sát vỏ thoải trên các gối tựa đàn hồi chịu tác dụng của tải trọng động với chu vi vỏ có hình dạng bất kỳ (hình 1). Cần xác định phản ứng động của kết cấu trên và hiệu ứng giảm chấn của các gối tựa đàn hồi với giả thiết kết cấu vỏ biến dạng đàn hồi tuyến tính, còn các gối tựa biến dạng đàn hồi phi tuyến. Để giải bài toán đặt ra sẽ sử dụng phương pháp PTHH. q(x,y,t) Z, W X, U 0 Hình 1. Mô hình kết cấu vỏ thoải trên các gối tựa đàn hồi phi tuyến Khi rời rạc PTHH, đối với kết cấu vỏ sẽ sử dụng các phần tử tứ giác (hình 2), còn đối với các gối tựa đàn hồi sử dụng phần tử thanh chịu kéo nén và xoắn (hình 3). Do giả thiết vỏ khảo sát là thoải nên trạng thái chịu lực của phần tử vỏ có thể coi là sự tổ hợp của 2 trạng thái chịu lực là trạng thái màng (với các chuyển vị nút là các chuyển vị thẳng trong mặt phẳng tấm và được ký hiệu qua   , 1 4 i i u v i   , hình 2a) và trạng thái uốn tấm (với các chuyển vị nút là các chuyển vị thẳng vuông góc với tấm i w và chuyển vị xoay   , 1 4 xi yi i     , hình 2b). Nút 1 h=const a) Trạng thái màng Nút 2 Nút 4 z, w x, u Nút 3 y, v u v 3 b) Trạng thái uốn tấm h=const Nút 1 Nút 2 3 Nút 4 Nút 3 3 y3 x3 0 Hỡnh 2. Mụ hỡnh PTHH loi t giỏc 4 nỳt i vi kt cu v a) Gối tựa đàn hồi a) Phần tử thanh chịu kéo-nén và xoắn Nút 1 x1 u1 z y Nút 2 u2 x x2 (Điểm nối với vỏ) (Điểm nối với đất) Hỡnh 3. Mụ hỡnh PTHH loi thanh i vi gi ta n hi Vi mi trng thỏi chu lc ca phn t, ta xõy dng c cỏc vộc-t v ma trn tng ng : vộc- t chuyn v nỳt e u , ma trn khi lng e M , ma trn cng e K , vộc-t ti trng quy nỳt e R . Trờn c s ú cú th thit lp c phng trỡnh chuyn ng ca ton h bng phng phỏp PTHH. 2.2 Cỏc ma trn phn t i vi trng thỏi mng ca v trong h to cc b Trong trng thỏi mng s s dng PTHH dng t giỏc bt k, ng tham s, theo ú vộc-t ta x v chuyn v u ca im bt k bờn trong phn t c ni suy di dng: , m i m m x u y v x H x u H u , (1) trong ú: , x y - ta ca im kho sỏt bờn trong phn t trong h ta , x y ; , u v - chuyn v thng ti im kho sỏt bờn trong phn t theo phng , x y ; i x - vộc-t ta nỳt ca phn t, 1 1 2 2 3 3 4 4 [ ] T i x y x y x y x y x ; m u - vộc-t chuyn v nỳt ca phn t trong trng thỏi mng ("m" ký hiu trng thỏi mng ca PTHH), 1 1 2 2 3 3 4 4 [ ] T m u v u v u v u v u ; m H - ma trn ni suy ta v chuyn v ca phn t trong trng thỏi mng, 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 m h h h h h h h h H , (2) vi 1 2 3 4 1 1 1 1 (1 )(1 ), (1 )(1 ), (1 )(1 ), (1 )(1 ) 4 4 4 4 h r s h r s h r s h r s , (3) , r s - ta ca ca im bt k bờn trong phn t trong h ta t nhiờn ca phn t. Quan h gia vộc-t bin dng v vộc-t chuyn v u i vi phn t trong trng thỏi mng cú dng: m m m  ε B u , (4) trong đó m B - ma trận biến dạng - chuyển vị của phần tử trong trạng thái màng, 31 2 4 3 1 2 4 3 3 1 1 2 2 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 m hh h h x x x x h h h h y y y y h h h h h h h h y x y x y x y x                                                 B (5) Do x và y phụ thuộc vào , r s theo công thức (1), (2) và (3), nên các đạo hàm riêng của các hàm i h theo x và y trong (5) có thể tính qua đạo hàm riêng theo r và s với việc sử dụng ma trận Jacobi J (xem [2]). Với các ma trận m H và m B vừa nhận được ở trên, có thể nhận được các biểu thức xác định các ma trận khối lượng m M , ma trận độ cứng m K , véc-tơ tải trọng quy nút mF R của phần tử màng trong hệ tọa độ tự nhiên sau đây: 1 1 1 1 1 1 1 1 det , det T T m m m m m m m h drds h drds                M H H J K B C B J , (6) 1 1 1 1 det T mF m F drds        R H f J , (7) trong đó : 2 1 0 1 0 , , 1 0 0 0,5(1 ) x T m mF m F F y S f E dS f                           C R H f f , (8)  - khối lượng riêng của vật liệu, h - chiều dày vỏ, C m - ma trận vật liệu, , E  - mô-đun đàn hồi và hệ số Poisson của vật liệu, S - diện tích của phần tử, , x y f f - giá trị của tải trọng phân bố trên bề mặt phần tử theo phương , x y tại điểm bất kỳ bên trong phần tử. 2.3 Các ma trận phần tử đối với trạng thái uốn tấm của vỏ trong hệ toạ độ cục bộ Đối với phần tử uốn tấm sử dụng phần tử dạng tứ giác bất kỳ, đồng tham số với biến dạng của tấm được thừa nhận theo mô hình Reissner – Mindlin [3, 4]. Véc -tơ tọa độ x được cho dưới dạng (1), còn véc-tơ chuyển vị w tại điểm bất kỳ thuộc mặt trung hòa của phần tử trong trạng thái uốn được nội suy dưới dạng: x b b y w               w H u , (9) trong đó: , , x y w   - tương ứng là chuyển vị thẳng theo phương pháp tuyến đối với mặt trung hòa và chuyển vị xoay của pháp tuyến này xung quanh các trục x và y ; b u - véc-tơ chuyển vị nút của phần tử trong trạng thái uốn ("b" chỉ trạng thái uốn của phần tử), 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 [ ] T b x y x y x y x y w w w w         u ; , , i xi yi w   - chuyển vị nút thứ i của phần tử, b H - ma trận nội suy chuyển vị của phần tử trong trạng thái uốn, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b h h h h h h h h h h h h            H , (10) 1 2 3 4 , , , h h h h - theo (3). Với tấm chịu uốn theo mô hình Reissner- Mindlin và tách biến dạng uốn chung của phần tử thành biến dạng uốn do mô-men (ký hiệu qua chỉ số "b") và biến dạng uốn do lực cắt (ký hiệu qua chỉ số "s"), từ quan hệ (9)  (10) ta có thể nhận được: bb bb b z B u  , (11) 3 1 2 4 31 2 4 3 3 1 1 2 2 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 bb h h h h x x x x hh h h y y y y h h h h h h h h x y x y x y x y                                                         B , (12) bs bs b  ε B u , (13) 3 1 2 4 1 2 3 4 31 2 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 bs h h h h h h h h x x x x h h h h h h h h y y y y                                  B . (14) Sử dụng phương trình chuyển động Lagrange đối với phần tử tấm khảo sát và các quan hệ (9)  (14) ta nhận được các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng, véc - tơ tải trọng quy nút đối với phần tử uốn tấm trong hệ tọa độ tự nhiên   , r s dưới dạng: 1 1 3 1 1 3 0 0 0 0 det 12 0 0 12 T b b b h h drds h                           M H H J , (15) b bb bs   K K K , (16) bb K - ma trận độ cứng chống uốn, bs K - ma trận độ cứng chống trượt ngang, 1 1 3 1 1 det , 12 T bb bb bb bb bb m h drds         K B C B J C C , (17) 1 1 1 1 1 0 det , 0 1 2(1 ) T bs bs bs bs bs E h drds                  K B C B J C , (18) 1 1 1 1 det , T F b F F z drds f         R H f J f , (19) z f - cường độ tải trọng phân bố trên bề mặt phần tử theo phương z tại điểm bất kỳ bên trong phần tử,  - hằng số xét đến ảnh hưởng của ứng suất cắt, thông thường lấy 5 6   hoặc 2 12    . Các tích phân (6), (7), (15)  (19) được tính bằng phương pháp số theo các thuật toán cầu phương Gauss [3]. Các thành phần mô-men uốn , xx yy M M , mô-men xoắn xy M , lực cắt , xz yz Q Q trong trạng thái uốn tấm được tính theo các công thức: 3 1 0 0 0 1 0 12 0 0 1 xx yy bb bb xy b xz bs bs yz M M h M Q h Q                                              C B u C B . (20) 2.4. Các ma trận phần tử đối với gồi tựa đàn hồi phi tuyến Do các gối tựa đàn hồi được mô hình hóa dưới dạng phần tử thanh có chiều dài không lớn nên khi tính phản ứng động của vỏ có thể bỏ qua các lực quán tính trong đó, do đó đối với phần tử này chỉ cần quan tâm đến ma trận độ cứng. Khảo sát gối tựa đàn hồi biến dạng phi tuyến trong hệ tọa độ cục bộ của phần tử theo phương x. Như sẽ trình bầy sau này, để giải bài toán động phi tuyến của kết cấu, toàn bộ thời gian khảo sát sẽ được chia thành các khoảng thời gian rất nhỏ t  . Trong phạm vi của khoảng thời gian này biến dạng tại điểm bất kỳ của kết cấu có thể coi là tuyến tính [3, 6]. Các quan hệ đối với PTHH trong mục này được thiết lập trên cơ sở của giả thiết này. Chuyển vị dọc và xoắn tại điểm bất kỳ trên trục thanh được xấp xỉ dưới dạng:   1 4 1 1 2 2 1 4 0 0 , , 0 0 T g g g g x x x u N N u u N N                   u H u H u , (21) trong đó : 1 4 1 , x x N N L L    , (22) , x u  - chuyển vị thẳng và chuyển vị xoắn quanh trục x , 1 2 1 2 , , , x x u u   - các chuyển vị trên tại nút 1 và nút 2 (hình 3), 1 4 , N N - hàm xấp xỉ chuyển vị Hermite, x - tọa độ của điểm trên trục thanh   0 x L   , với L - chiều dài thanh. Véc - tơ biến dạng tương ứng với chuyển vị trên: [ ] T x g xx yz x u x x                 ε , (23) với x  - khoảng cách từ điểm bất kỳ trên tiết diện ngang đến trục thanh x . Tính đến (21) quan hệ biến dạng - chuyển vị có dạng : g g g  ε B u , (24) trong đó : 1 4 1 4 0 0 0 0 g x x N N x x N N x x                        B . (25) Quan hệ biến dạng - ứng suất bây giờ sẽ là: xx g g g xy           τ C ε , (26) với : 0 0 g E G        C , (27) trong đó , E G - mô-đun đàn hồi khi kéo-nén và khi cắt của vật liệu. Ma trận độ cứng phần tử lúc này có dạng : T F g g g V dV   K B C B . (28) Do (22), (25), (27), nên từ (28) có thể tính được: 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 U U T T x F U T U U T T K K K K GJ EF K K K K L L K K                    K , (29) hay F u    K K K , (30) trong đó : u K - ma trận độ cứng tương ứng với biến dạng kéo - nén của phần tử,  K - ma trận độ cứng tương ứng với biến dạng xoắn của phần tử, , x u GJ EF L L    K P K Q , (31) 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 , 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1                               P Q , (32) F - diện tích tiết diện thanh, x J - mô-men quán tính tiết diện khi xoắn quanh trục x . 2.5. Phương trình chuyển động của kết cấu vỏ thoải trên các Sử dụng các ma trận phần tử đã thiết lập, ma trận biến đổi tọa độ T và phương pháp độ cứng trực tiếp trong phương pháp PTHH, cuối cùng sẽ nhận được phương trình chuyển động của kết cấu vỏ thoải trên các gối đàn hồi phi tuyến trong khoảng thời gian t  dưới dạng:    . M U CU KU R , (33) trong đó: , , . U U U - véc-tơ gia tốc, vận tốc và chuyển vị nút của toàn hệ, , , , K M C R - ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, ma trận cản nhớt và véc-tơ tải trọng quy nút của toàn hệ, với: S B   K K K , (34) S K - ma trận độ cứng của phần kết cấu vỏ (gồm trạng thái uốn tấm + trạng thái màng), B K - ma trận độ cứng của phần kết cấu gối tựa,     C M K , (35) ,   - hệ số cản Rayleigh,     2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ,                     , (36)  - hệ số cản, 1 2 ,   - tần số dao động riêng thứ nhất và thứ hai của hệ. Phương trình (33) thiết lập cho trường hợp chuyển động của hệ trong khoảng thời gian rất nhỏ t  . Do gối tựa đàn hồi biến dạng phi tuyến, nên nếu khảo sát chuyển động của kết cấu trong khoảng thời gian đủ lớn thì ma trận độ cứng của gối sẽ là hàm của chuyển vị U . Trong trường hợp này phương trình (33) chuyển tới dạng :      . MU CU K U U R , (37) trong đó :     S B   K U K K U , (38)   B K U - ma trận độ cứng của phần gối tựa đàn hồi phi tuyến phụ thuộc chuyển vị U của hệ. Các ký hiệu khác vẫn như trước. 3. Phng phỏp gii phng trỡnh chuyn ng phi tuyn ca kt cu Phng trỡnh (37) s c gii bng ph ng phỏp tớch phõn trc tip theo thi gian Newmark kt hp vi phng phỏp l p Newton - Raphson bin iu. Theo phng phỏp trờn (c minh ha trờn hỡnh 4) vộc- t chuyn v nỳt ca h ti bc lp th i thu c khong thi gian , t t t c tớnh theo biu thc : 1 i i i t t t t U U U , (2) trong ú i U c xỏc nh t phng trỡnh : (1) t+t t+t R - f t+t (0)t+t R - f t t+t uu t t+t R R K =K 0 t+t Chuyển vị (2) (1) t(i) K = K (i=1 n) Hỡnh 4. S gii lp theo phng phỏp Newton-Raphson bin iu ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 4 4 , t i t t t t i t t i t t t t i t t t t tt K U R F C U U U M U U U U (40) ( 1) ( 1) 2 2 4 , t t t t i t t t i t t K K C M F K U , (41) Vi , , t t t U U U tng ng l vộc-t gia tc, vn tc v chuyn v nỳt ca ton h ti thi im t , ( 1) ( 1) , t t i t t i U F - vộc-t chuyn v nỳt v vộc-t ni lc nỳt ca ton h ti bc lp th 1 i thuc thi im t t , t t R - vộc- t ngoi lc quy nỳt ca ton h ti thi im t t , t K - ma trn cng ca ton h ti thi im t (hỡnh 4). Cỏc thut toỏn gii lp s kt thỳc khi tha món tiờu chun hi t (v nng lng) sau õy: ( 1) ( 1) ( ) i T t t t t i t t i T t t i t t t t t ETOL U R F M U U U R F M U , (42) Trong ú ETOL - sai s tớnh toỏn cho phộp. Da vo cỏc thut toỏn trờn ó lp chng trỡnh gii bi toỏn trờn mỏy tớnh. 4. Thớ d s Tớnh phn ng ng ca v thoi di dng v tr h trờn cỏc gi ta n hi phi tuyn (hỡnh 5a) di tỏc dng ca ti trng ng ngn hn do n trong khụng khớ gõy ra v kho sỏt nh hng ca cỏc gi trờn n trng thỏi ni lc - chuyn v ca v. Gi thit cỏc gi ta ch lm vic trong trng thỏi kộo-nộn. B qua nh hng ca lc cn. S liu xut phỏt Z Y X b) Sơ đồ PTHHa ) S ơ đ ồ k ết cấu v ỏ tr ên các gối đ àn hồi p hi t uy ến Hỡnh 5. Kt cu v v ri rc PTHH 0 i i+1 0 E E i Hỡnh 6. Quan h S - BD ca vt liu n hi phi tuyn 1 F(t) t Hỡnh 7. Hm thi gian ca ti trng Kt cu v: - Kích thước hình học (hình 5a): 1 , 2 , 0,02 , 1,513 a m b m h m R m     . - Vật liệu bằng thép: 11 2 2.10 N E m  , 0,3   ,  = 7850kg/m 3 .  Kết cấu gối tựa: Vật liệu làm gối là đàn hồi phi tuyến, quan hệ ứng suất - biến dạng dọc trục trong trạng thái kéo-nén được cho trên hình 6 và có dạng [3]:       1 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 c c c                                    , Với 2 2 1 2 3 75, 25, 0,667.10 42,667.10 c c c    . Độ cứng kéo-nén của gối được cho bởi U F F K E L L     , với F/L = 0.1852.  Tải trọng: Tải trọng phân bố đều trên toàn bộ bề mặt vỏ và tác dụng theo phương pháp tuyến với bề mặt vỏ với hàm thời gian F(t) có dạng như trên hình 7.       2 2 1 : 0 , 0 : 2 1 9 6 1 3 5 , 0, 0 1 1 7 2 8 m m t t p t p F t F t t k G N p s c m m                            Sơ đồ rời rạc hóa PTHH Do kết cấu đối xứng chịu tải trọng đối xứng nên trên hình 5b chỉ thể hiện 1 4 kết cấu với lưới chia phần tử 6x12, tương ứng 72 phần tử. Các gối đàn hồi có phương song song với trục Z và tựa trên toàn bộ chu vi vỏ, số lượng gối đàn hồi trên 1/4 chu vi vỏ là 19 cái. Thời gian tính toán 2 T   , bước thời gian  t=(1/50)  . Kết quả tính Sử dụng chương trình đã lập, đã tiến hành tính toán chuyển vị W và các mô-men , xx yy M M trong vỏ. Trên hình 8 là đồ thị thay đổi theo thời gian t của W tương ứng với độ cứng phi tuyến ban đầu của các gối 0 U K = 2560 kN/m. Trong bảng 1 và trên các hình vẽ 9  11 dẫn ra kết quả tính toán giá trị cực đại của chuyển vị, nội lực tại điểm 0 (tâm vỏ) theo độ cứng phi tuyến ban đầu của gối 0 U K   0 0 U U K K    thay đổi từ 40 đến 2560kN/m. Các hình vẽ 9  11 đồng thời còn biểu diễn sự so sánh sự thay đổi giữa gối phi tuyến và tuyến tính của các đại lượng max W , max xx M và max yy M . Trong đó, các gối tuyến tính có độ cứng bằng 0 U K . Bảng 1. Kết quả tính toán Chuyển vị và nội lực cực đại tại tâm vỏ Chuyển vị và nội lực cực đại tại tâm vỏ STT Đ ộ cứng phi tuyến ban đầu của gối 0 U K (kN/m) max W (m) max xx M (Nm/m) max yy M (Nm/m) 1 40 1,1613E-1 6,5523E+1 8,0052E+1 2 80 6,8893E-2 1,1497E+2 1,4222E+2 3 160 4,1466E-2 1,8770E+2 2,3062E+2 4 320 2,4197E-2 2,5700E+2 3,3394E+2 5 640 1,3535E-2 3,0500E+2 4,4493E+2 6 1280 7,5007E-3 3,6972E+2 5,2832E+2 7 2560 4,2979E-3 5,0325E+2 6,4091E+2 -3.0E-3 -1.5E-3 0.0E+0 1.5E-3 3.0E-3 4.5E-3 0.000 0.005 0.009 0.014 0.019 0.023   t s Hình 8. Đồ thị W tương ứng với độ cứng pt ban đầu của gối 0 2560 U kN K m  0 0.03 0.06 0.09 0.12 40 544 1048 1552 2056 2560 Series1 Series2 Tương ứng với gối bd phi tuyến có độ cứng pt ban đầu Tương ứng với gối bd tuyến tính có cùng độ cứng   0 / U K kN m Hình 9. Ảnh hưởng độ cứng phi tuyến của gối tựa đến max W 50 170 290 410 530 40 544 1048 1552 2056 2560 Series1 Series3 Tương ứng với gối bd phi tuyến có độ cứng pt ban đầu Tương ứng với gối bd tuyến tính có cùng độ cứng   0 / U K kN m Hình 10. Ảnh hưởng độ cứng phi tuyến của gối tựa đến max xx M 50 205 360 515 670 40 544 1048 1552 2056 2560 Series1 Series2 Tương ứng với gối bd phi tuyến có độ cứng pt ban đầu Tương ứng với gối bd tuyến tính có cùng độ cứng   0 / U K kN m Hình 11. Ảnh hưởng độ cứng phi tuyến của gối tựa đến max yy M 5. Kết luận Trong bài báo đã xây dựng các phương trình, thuật toán và chương trình tính toán phản ứng động của kết cấu vỏ thoải trên các gối tựa đàn hồi phi tuyến bằng PP PTHH. Các kết quả nghiên cứu bằng số về ảnh hưởng của các gối tựa đàn hồi đối với vỏ cho thấy, khi độ cứng phi tuyến ban đầu 0 U K của các gối tựa tăng lên thì các giá trị nội lực của vỏ tăng lên, chuyển vị của vỏ giảm xuống. Chuyển vị của vỏ có gối phi tuyến với độ cứng ban đầu 0 U K lớn hơn chuyển vị của vỏ tương ứng có gối tuyến tính   0 U K K  , còn nội lực thì ngược lại. Mức độ ảnh hưởng của tính phi tuyến của gối đối với trạng thái chuyển vị - nội lực của vỏ là đáng kể. Các kết quả nghiên cứu trên có thể vận dụng khi thiết kế và tính toán các công trình đặc biệt, chẳng hạn kết cấu cửa đường hầm máy bay chịu tải trọng do nổ gây ra. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. NGUYỄN VĂN HỢI. Cơ sở lý thuyết và các phương pháp tính vỏ đàn hồi. Học viện KTQS - 1997. 2. NGUYỄN ĐỨC THẮNG - NGUYỄN VĂN HỢI. Nghiên cứu phản ứng động của vỏ thoải trên các gối tựa đàn hồi tuyến tính chịu tác dụng của sóng nổ. Học viện KTQS - 2007. 3. Klaus Jurgen Bathe. Finite element procedure. Prentice Hall Internetional, Inc 1996. 4. C.S.Krishnamoorthy. Finite element analysis - Theory and programming - Second edition. Tata McGraw-Hill publishing company limited,1995. 5. Maurice Petyt. Introduction to finite element vibration analysis. Cambridge University press - 1990. 6. O.C.Zienkiewicz - R.L.Taylor. The finite element method. McGraw-Hill book company - 1991. max xx M (Nm/m) max yy M (Nm/m) max W (m) W (m) . chấn của các gối tựa đàn hồi với giả thiết kết cấu vỏ biến dạng đàn hồi tuyến tính, còn các gối tựa biến dạng đàn hồi phi tuyến. Để giải bài toán đặt. đoạn đàn hồi tuyến tính. 2. Phương trình chuyển động của kết cấu vỏ thoải trên các gối tựa đàn hồi phi tuyến 2.1. Các mô hình phần tử hữu hạn của kết cấu