BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA KẾT CẤU VỎ THOẢI MẶT BẰNG HÌNH CHỮ NHẬT VỚI CÁC LIÊN KẾT BIÊN KHÁC NHAU PGS. TS. LÊ NGỌC THẠCH, ThS. MAI CHÂU ANH Trường Đại học Xây dựng 1. Mở đầu Khi giải bài toán ổn định, ta phải thiết lập các phương trình cân bằng của nó, phương trình này có dạng giống như phương trình cân bằng của bài toán bền. Song những điều kiện cân bằng này chưa nói lên được dạng cân bằng đó ổn định hay không ổn định. Điểm khác nhau giữa hai loại bài toán này là đối với bài toán bền, từ các phương trình này ta sẽ tìm được các giá trị nội lực, ứng suất, chuyển vị. Còn bài toán ổn định thì từ điều kiện mất ổn định của hệ, ta sẽ tìm được các thông số lực tới hạn biểu thị độ an toàn về mặt ổn định của kết cấu đối với một nhóm lực nhất định. Trên cơ sở lý thuyết tổng quát về sự cân bằng và cân bằng ổn định của hệ đàn hồi, người ta phân loại bài toán ổn định thành hai trường hợp: loại I và loại II. Đối với bài toán ổn định loại I, từ hệ phương trình ổn định thiết lập các điều kiện để cho hệ mất ổn định ta sẽ tìm ngay được tải trọng tới hạn tương ứng. Để tìm giá trị của lực tới hạn trong bài toán ổn định loại II không áp dụng được cách giải trực tiếp như trên, ở đây ta sẽ tìm cách thiết lập trực tiếp các điều kiện cực trị của phiếm hàm bằng các phương pháp trực tiếp: phương pháp Ritz - Timosenko, phương pháp Buovnov - Galerkin. Khi giải bài toán ổn định của vỏ thoải thì việc quan trọng đầu tiên là chọn hàm độ võng sao cho thoả mãn các điều kiện biên. Các phương trình ổn định rất phức tạp về mặt toán học cho nên giải những bài toán cụ thể rất khó. Để có thể tìm được các giá trị lực tới hạn mà không gặp nhiều khó khăn, cần thiết phải làm giảm bớt bậc của các phương trình vi phân. Cách tìm nghiệm được quy về hai nhóm chủ yếu: chính xác và gần đúng. Nhóm lời giải chính xác gồm nhiều phương pháp: bài toán tìm nghiệm Navier dưới dạng chuỗi lượng giác kép, bài toán tìm nghiệm Levy dưới dạng chuỗi lượng giác đơn, phương pháp biến phân của Ritz - Timoshenko, của Buovnov - Galerkin. Nhóm lời giải gần đúng có các phương pháp: phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn  1  ,  2  . Trong bài báo này, các tác giả dùng phương pháp của Buovnov - Galerkin khảo sát ổn định cho vỏ thoải mặt bằng hình chữ nhật có tỷ số cạnh dài trên cạnh ngắn khác nhau và tìm nghiệm giải tích cho các trường hợp vỏ thoải mặt bằng hình chữ nhật liên kết ngàm và vừa ngàm vừa khớp. 2. Hệ phương trình cân bằng trong bài toán ổn định của vỏ thoải  1  ,  2  h D  4 w = 2 2 x    2 2 y w   + 2 2 y   2 2 x w   - 2 yx w   2 + k x 2 2 y   + k y 2 2 x    + h q = L(  , w) + k x 2 2 y   + k y 2 2 x    + h q = L(  , w) +  2 k  + h q (1) E 1  4  = ( yx w   2 ) 2 - 2 2 x w   2 2 y w   - k x 2 2 y w   - k y 2 2 x w   (2) = - 2 1 L(w,w) - w k 2  Với D là độ cứng trụ của vỏ: D = )1(12 2 3   Eh 3. Trường hợp vỏ thoải chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến q Đây là trường hợp rất phổ biến (chịu trọng lượng bản thân, áp lực của chất lỏng ). Bài toán ổn định của vỏ thoải chịu uốn là bài toán ổn định loại hai. Khi tăng tải trọng, lúc này biến dạng của kết cấu phát triển nhưng không thay đổi tính chất, không phân nhánh. Giá trị của lực q tương ứng với khi độ võng w tăng mà không cần tăng tải trọng gọi là lực tới hạn. Khi q = q th , sự cân bằng giữa nội lực và ngoại lực đạt đến trạng thái tời hạn. Khi q > q th , sự cân bằng chỉ có thể xảy ra khi giảm tải trọng q. Trạng thái tời hạn được xác định từ điều kiện: dw dq = 0. Xét vỏ thoải mặt bằng hình chữ nhật có kích thước chiều dài và chiều rộng là a, b. Gọi k x , k y là độ cong chính của vỏ theo hai phương x và y. Chọn hàm độ võng w và ứng lực  thỏa mãn các điều kiện biên. Dùng phương trình (1), (2) và đặt: X = h D  4 w - L(  , w) - k x 2 2 y   - k y 2 2 x    - h q  0 =                 22 4 4 4 4 4 2 yx w y w x w h D - 2 2 x    2 2 y w   - 2 2 y   2 2 x w   + 2 yx w   2 - k x 2 2 y   - k y 2 2 x    - h q  0 (3) Y = E 1  4  + 2 1 L(w,w) + k x 2 2 y w   + k y 2 2 x w    0 =                 22 4 4 4 4 4 2 1 yxyxE  + 2 2 x w   2 2 y w   - ( yx w   2 ) 2 + k x 2 2 y w   + k y 2 2 x w    0 (4) Theo A.C.Volimip, dùng phương pháp Bouvnov - Galerkin và đặt phương trình: dxdy b y a x X nn a b  sinsin 0 0  = 0 ; dxdy b y a x Y nn a b  sinsin 0 0  = 0 (5) Ở đây lấy n = 1 cho trường hợp liên kết khớp; n = 2 cho trường hợp liên kết ngàm. Thực hiện tích phân và đặt các thông số không đơn vị: k x * = h ak x 2 ; k y * = h bk y 2 ; k* = k x * + k y * ;  = b a ;  = h 1  ; q* = E q 2 2       h ab (6) Lấy  = 0,3 được quan hệ giữa tải trọng và độ võng. Khi hệ bị mất ổn định, trạng thái tới hạn được xác định từ điều kiện:  d dq * = 0 và tìm được giá trị  tương ứng. Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị quan hệ q -  khi  = 1; 1,5; 2; 2,5 với các giá trị k* = 0, 12, 24, 36, 48, 60 khác nhau. 3.1. Ổn định của vỏ thoải liên kết khớp chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến A.C.Volimip đã chọn hàm độ võng w và ứng lực  , giải ra được q* và khảo sát đồ thị ứng với trường hợp  = b a = 1. Ở đây tác giả khảo sát thêm một số trường hợp còn lại. w =  1 a x  sin b y  sin ;  = A 1 a x  sin b y  sin q* =                                                             2 2 6 2 2 2 22 2 3 2 2 1192 1 * 1 1 16 * 1 1 1 1 9 32 kk (7)  = 32 3 k*  )1(2 ) 1 ( *3 32 1 2 44 2      k điều kiện: k*  )1(6 ) 1 ( 2 22      (8)  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k q* 2 4 6 8 10 500 1000 1500 q q*  2 4 6 8 10 - 250 250 500 750 1000 1250 Hình 1. Đồ thị quan hệ q* -  đối với mặt bằng hình chữ nhật có a = b và 1,5b  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k q*  2 4 6 8 10 200 400 600 800 1000 2 4 6 8 10 200 400 600 q* Hình 2. Đồ thị quan hệ q* -  đối với mặt bằng chữ nhật có a = 2b và a = 2,5b Từ biểu đồ, ta nhận thấy ở đây dạng cân bằng bị phân nhánh, sau khi kết cấu bị mất ổn định ứng với tải trọng tới hạn trên, nó chuyển qua trạng thái cân bằng khác, trạng thái tới hạn lúc này ứng với tải trọng tới hạn dưới, nên để đạt đến kết quả chính xác hơn đặt hàm độ võng và ứng lực thỏa mãn các điều kiện biên dạng: w =   nm mn b yn a xm , sinsin   ;  =  nm mn b yn a xm A , sinsin   Tương tự như trên, ta đặt X , Y. Áp dụng phương pháp Bouvnov - Galerkin và đặt phương trình:  a b dxdy b yj a xi X 0 0 sinsin  = 0 ;  a b dxdy b yj a xi Y 0 0 sinsin  = 0 Thực hiện tích phân: h q a km b kn AnmfA bab n a m f y x mnmnmnmn            2 2 2 24 22 22 4 2 2 2 2 26 163 2 )( 16  = 0 (9) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a m 1 - 1 3 161                            b n a km b kn f b na a mb A E y x mnmnmn  = 0 (10) Đặt: k x * = h ak x 2 ; k y * = h bk y 2 ; k* = k x * + k y * ;  = b a ;  mn = h mn  ; q* = E q 2 2       h ab (11) Từ (10)  A 1 , thay vào (9), (11), lấy  = 0,3 ta có: q* =                                                              2 2 6 2 2 2 2 2 23 2 2 1192 1 * 1 1 16 1 1 * 1 1 9 32 n m k n m n m k n m mnmn (12) Xét trường hợp đặc biệt, vỏ có mặt bằng hình vuông  = b a = 1, m = n ta có: q* =                                                mnmnmn m m k m m m m k m m       2 2 6 2 2 2 2 2 23 2 2 1192 1 * 1 16 1 1 * 1 1 9 32 (13) Lấy mn d dq  * = 0 được:  mn = 32 3 k*  )1( 8 *3 32 1 2 44 2     m k (14) Xét trường hợp m = 1, từ (13): q* = 8,764 3 1  - 2,1k* 2 1  + (0,154k* 2 + 21,943) 1  (15) Trường hợp m = 2, từ (13): q* = 8,764 3 1  + 5,609 3 2  - 2,1k* 2 1  -1,578k* 2 2  + (0,154k* 2 + 21,943) 1  + (0,099k* 2 + 4,288) 2  (16) Đặt:  = 1 2   , đưa (16) về thành: q* = 8,764 3 1  + 5,609  3 3 1  - 2,1k* 2 1  - 1,578k*  2 2 1  + (0,154k* 2 + 21,943) 1  + (0,099k* 2 + 34,288)  1  (17) Cân bằng (17), lấy đạo hàm và giải phương trình bậc 3 theo biến (  1  ) có:  1  = 0 ;  1  = 0,089(1,578  1260 2 k ) (18) Từ (18), có nghiệm thực của (  1  ) là: (  1  )= 0,089(1,578  1260 2 k ) với k  35,5 Thay giá trị của  1  từ (18) vào (17) và khảo sát biểu đồ quan hệ q - 1   1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k 2 4 6 8  5 0 0 1 0 0 0 q * Hình 3. Đồ thị quan hệ q* -  đối với mặt bằng hình vuông 3.2. Ổn định của vỏ thoải liên kết ngàm chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến Chọn hàm độ võng w và ứng lực  thỏa mãn các điều kiện biên dạng: w = b y a x f   22 1 sinsin ;  = b y a x A   22 1 sinsin Ta có: q* =                                                             2 2 4 2 2 2 2 2 3 2 4 18 1 * 1 1 8 3 1 8 9 * 1 1 4 3 kk (19) Tìm được:  = 2 2 9  k*  )1( ) 1 (192 * 75 2 1 2 4 2 4       k điều kiện: k*  )1( 192 75 ) 1 ( 2 22      (20)  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k q * 2 4 6 8 1 0 1 2  1 0 0 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0 q* 2 4 6 8 1 0 1 2  1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 Hình 4. Đồ thị quan hệ q* -  đối với mặt bằng hình chữ nhật có a = b và 1,5b  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k q * 5 1 0 1 5  - 2 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 q * 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 Hình 5. Đồ thị quan hệ q* -  đối với mặt bằng chữ nhật có a = 2b và a = 2,5b 3.3. Ổn định của vỏ thoải liên kết khớp ở hai biên đối diện (song song với trục Oy), hai biên còn lại ngàm chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến Chọn hàm độ võng w và ứng lực  thỏa mãn điều kiện biên dạng: w = b y a x f   2 1 sinsin ;  = b y a x A   2 1 sinsin ;                                                                2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 112 2 1 2 1 16 3 * 2 1 2 1 16 3 1 16 * 2 1 2 1 16 3 3 2 1 2 1 16 3 1 3 * k kq (21)  =  4 1 k*  )1( 2 1 2 1 16 3 12 *7 12 1 2 2 2 2 2 2 2               k điều kiện: k*  )1( 12 7 2 1 2 1 16 3 2 2 2 2             (22)  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k q* 2 4 6 8 10  1000 1000 2000 q * 2 4 6 8 1 0  - 5 0 0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 Hình 6. Đồ thị quan hệ q* -  đối với mặt bằng hình chữ nhật có a = b và 1,5b  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k  1 k  2 k  3 k  4 k  5 k  6 k q* 2 4 6 8 10  -200 200 400 600 800 1000 1200 2 4 6 8 1 0  5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 q * Hình 7. Đồ thị quan hệ q* -  đối với mặt bằng chữ nhật có a = 2b và 2,5b 4. Nhận xét và kết luận Từ các kết quả và biểu đồ tính giá trị lực tới hạn q th , q* cho các trường hợp vỏ có k* và  khác nhau, ta nhận thấy: - Với cùng một giá trị  : khi k* tăng, q* th cũng tăng theo. - Khi  tăng: giá trị k* cần để q* có cực trị tăng, q* th giảm hay nói cách khác: đối với vỏ dài, độ cứng giảm và giá trị của lực tới hạn q* th cũng giảm. - Vỏ thoải liên kết ngàm và vừa liên kết ngàm vừa liên kết khớp cho giá trị lực tới hạn q th * lớn hơn so với vỏ liên kết khớp khi chịu uốn do có độ cứng lớn hơn. - Đối với vỏ có độ cong bé, vỏ thoải liên kết ngàm có độ ổn định rất cao. - Giá trị của lực tới hạn không chỉ phụ thuộc vào các tham số hình học, vật lý, điều kiện biên mà còn phụ thuộc vào các yếu tố khác như điều kiện ban đầu. - Bằng cách áp dụng phương pháp Buovnov - Galerkin và cách xử lý như trong mục  3  ta có thể đưa bài toán phi tuyến về một hệ mà có thể cho ngay các nghiệm cần tìm là đơn trị. - Trong quá trình tính toán, nếu biết phối hợp với các phần mềm tin học ứng dụng trong lĩnh vực toán học (Mathematica, Matlab ) thì vẫn bằng các phương pháp cổ điển (phương pháp biến phân của Bouvnov - Galerkin, Ritz - Timosenko ) ta có thể tìm được nghiệm của bài toán phức tạp dưới dạng giải tích, từ đó dễ dàng khảo sát và rút ra những kết luận bổ ích tạo điều kiện giải các bài toán ổn định cả trong và ngoài miền đàn hồi bằng các phương pháp số như : phương pháp sai phân hữu hạn, phần tử biên, phần tử hữu hạn, - Bài báo đã nêu ra được phương pháp xác định biểu thức của lực tới hạn trong trường hợp có kể đến các yếu tố phi tuyến hình học. Từ đây, có thể định hướng cho bài toán phi tuyến vật lý. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Xtiphen P. Timosenko, Jem M. Gere. Ổn định đàn hồi. (bản dịch tiếng Việt). NXB Khoa học và Kỹ thuật.Hà Nội, 1976. 2. A.C.Volimip. Ổn định của hệ đàn hồi. Nhà xuất bản Hayka. Moscow, 1967. 3. Phillip L.Gould. Analysis of Shells and Plates - Springer – Verlag. New York Inc, 1988. 4. LÊ NGỌC HỒNG. Cơ sở lý thuyết tấm và vỏ mỏng đàn hồi. Tập bài giảng cho học viên cao học. Trường Đại học Xây dựng. Hà Nội, 2001. . BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA KẾT CẤU VỎ THOẢI MẶT BẰNG HÌNH CHỮ NHẬT VỚI CÁC LIÊN KẾT BIÊN KHÁC NHAU PGS. TS. LÊ NGỌC THẠCH,. cho các trường hợp vỏ thoải mặt bằng hình chữ nhật liên kết ngàm và vừa ngàm vừa khớp. 2. Hệ phương trình cân bằng trong bài toán ổn định của vỏ thoải