Chương 5. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN 5.1. Trị riêng – vectơ riêng 5.2. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính, chéo hóa ma trận 5.3. Ánh xạ tự liên hợp và chéo hóa ma trận đối xứng thực I. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. Định nghĩa và ví dụ. 1.1. Định nghĩa: Cho X, Y là hai K- không gian vectơ. Ánh xạ f :X Y  là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn 2 điều kiện: 1) f(a + b) = f(a) +f(b) a,b X   2) f( αa) = αf(a) a X, α K     Chú ý: Các điều kiện 1 và 2 tương đương điều kiện sau: 3) f( αa + βb) = αf(a) βf (b) a,b X, α,β K      Một ánh xạ tuyến tính f :X X  được gọi là một phép biến đổi tuyến tính của X. Như vậy muốn chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính thì ta cần kiểm tra điều kiện 1 và 2 hoặc 3. 1.2. Các ví dụ. 1. Ánh xạ không O:X Y a O(a) θ    là ánh xạ tuyến tính. 2. Ánh xạ đồng nhất id:X Y a id(a) a    là ánh xạ tuyến tính. 3. Ánh xạ 2 1 2 1 2 1 2 f :R R (x ,x ) f (x ,x ) x 3x    là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh:  2 1 2 1 2 x (x ,x ),y (y ,y ) R     , ta có 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 f(x y) f(x y ,x y ) (x y ) 3(x y ) (x 3x ) (y 3y ) f(x) f(y)                  2 1 2 x (x ,x ) R , α R      , ta có 1 2 1 2 1 2 f( αx) f (αx ,αx ) αx 3αx α(x 3x ) αf (x)        1.3. Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính. Cho X, Y là hai K- không gian vectơ, f :X Y  là ánh xạ tuyến, khi đó 1. x y f( θ ) θ  2. f(a) f(a)   3. 1 2 n 1 2 n a ,a , ,a X, α ,α , ,α K     ta có 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n f( α a α a α a ) α f (a ) α f (a ) α f (a )        4. Ánh xạ tuyến tính biến một hệ phụ thuộc tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính. 5. Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạn của một hệ vectơ. 2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính. 2.1. Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính. Định lý 1: Cho X là không gian vectơ n chiều (dimX=n), E={e 1 , e 2 ,…, e n } là một cơ sở của X; Y là không gian vectơ tùy ý và b 1 , b 2 ,…, b n là hệ các vectơ tùy ý trong Y. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f :X Y  thỏa mãn i i f(e ) b , i 1,2, ,n.    Từ định lý trên ta thấy rằng một ánh xạ tuyến tính hoàn toàn được xác định nếu như ta biết được ảnh của một cơ sở của nó. Và để cho một ánh xạ ta chỉ cần cho ảnh của một cơ sở là đủ. 2.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính. Giả sử X, Y là hai K- không gian vectơ, dimX=n, dimY=m và ánh xạ tuyến tính f :X Y  . Giả sử E={e 1 , e 2 ,…, e n } - cơ sở của X, F={f 1 , f 2 ,…, f m } - cơ sở của Y. Vì i f(e ) Y  nên f(e i ) biểu thị tuyến tính được qua hệ các vectơ của F. Ta có 1 11 1 12 2 1m m f(e ) a f a f a f     2 21 1 22 2 2m m f(e ) a f a f a f     … n n1 1 n2 2 nm m f(e ) a f a f a f     Ma trận 11 21 n1 12 22 n2 1m 2m nm a a a a a a A = a a a                    gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, F. Ta kí hiệu A=A f/E,F . Trường hợp đặc biệt khi f là phép biến đổi tuyến tính của X, f :X X  và F E  thì ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, E được gọi là ma trận của f trong cơ sở E và kí hiệu là A f/E . Định lý 2: Hạng của ánh xạ tuyến tính f bằng hạng của ma trận A của nó: rankf r(A).  Ví dụ 1: Cho ánh xạ tuyến tính 2 3 f :R R  1 2 1 2 1 2 2 f(x ,x ) (x 2x ,x x , x )     Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, F với các cơ sở E, F cho như sau: E={e 1 =(1,1), e 2 =(1,0)}, F={f 1 =(1,1,1), f 2 =(-1,2,1),f 3 =(1,3,2)}. Giải: Ta có 1 1 1 2 2 3 3 f(e ) a f a f a f (3,0, 1) (1)      2 1 1 2 2 3 3 f(e ) b f b f b f (1,1,0) (2)     Theo định nghĩa thì ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở E, F là 1 1 f /E,F 2 2 3 3 a b A a b a b            . Giải các phương trình (1) và (2) để tìm a 1 , a 2 , a 3 và b 1 , b 2 , b 3 . Các phương trình (1), (2) tương đương với các hệ phương trình tuyến tính có ma trận bổ sung tương ứng như sau: 2 2 3 3 3 2 2 2 1 3 3 1 h h h h h 2h h h h h h h 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 2 3 0 1 0 3 2 3 0 0 1 1 1 1 1 1 3 10 0 2 1 4 1 0 2 1 4 1 1 1 1 3 1 0 1 1 1 1 0 0 1 6 3                                                                 Hệ (1): a 3 =6; a 2 =1- a 3 =-5; a 1 =3- a 3 + a 2 =-8 Hệ (2): b 3 =3; b 2 =1- b 3 =-2; b 1 =1- b 3 + b 2 =-4 Vậy 1 1 f /E,F 2 2 3 3 a b 8 4 A a b 5 2 a b 6 3                           . Bài tập: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 f :R R  1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 f(x ,x ,x ) (x 2x x ,x x ,x x 2x )       Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc. 2.3. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính. Cho X, Y là hai K- không gian vectơ, dimX=n, dimY=m, E={e 1 , e 2 ,…, e n } - cơ sở của X, F={f 1 , f 2 ,…, f m } - cơ sở của Y. Cho f :X Y  là ánh xạ tuyến tính. Đặt A=A f/E,F - là ma trận của f trong cặp cơ sở E, F. x E,   giả sử 1 1 2 2 E F n n x y x y [x] , [f(x)] x y                             Khi đó công thức sau gọi là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f 1 1 2 2 n n y x y x A y x                            . 2.4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau. Cho X, Y là hai K- không gian vectơ, dimX = n, dimY = m, E={e 1 , e 2 ,…, e n }, ' ' ' ' 1 2 n E {e ,e , ,e }  - hai cơ sở của X, F={f 1 , f 2 ,…, f m }, ' ' ' ' 1 2 n F {f ,f , ,f }  - hai cơ sở của Y. Cho ánh xạ tuyến tính f :X Y  , khi đó ta có công thức liên hệ giữa ma trận của f trong cặp cơ sở E ’ , F ’ với ma trận của f trong cơ sở E, F như sau: ' ' ' ' 1 f /E,F f /E,F FF EE A T .A .T   , trong đó ' EE T là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E ’ . Nếu f :X X  là phép biến đổi tuyến tính và E={e 1 , e 2 ,…, e n }, ' ' ' ' 1 2 n E {e ,e , ,e }  - hai cơ sở của X, ta có ' ' ' 1 f /E f /E EE EE A T .A .T   3. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. 3.1. Định nghĩa, tính chất, định lý. Định nghĩa: Cho X, Y là hai K- không gian vectơ (không gian tuyến tính), f :X Y  là ánh xạ tuyến tính (axtt)  Kí hiệu Kerf {x X |f (x) θ}     gọi là hạt nhân của axtt f.  Kí hiệu Imf f(X) {f(x) | x X}     gọi là ảnh của axtt f. Tính chất: Cho f :X Y  là axtt, khi đó a) Kerf là không gian con của X. b) Imf là không gian con của X. c) Nếu dimX = n thì dimImf + dimKerf = dimX = n. Định lý 3: Hạng của axtt f là số chiều của Imf : rankf = dimImf 3.2. Cách tìm hạt nhân và ảnh. Cho ánh xạ tuyến tính f :X Y  , dimX = n, dimY = m. 3.2.1. Cách tìm hạt nhân. Chọn E={e 1 , e 2 ,…, e n } là một cơ sở của X, F={f 1 , f 2 ,…, f m } là một cơ sở của Y. Ta có: F E [f(x)] A[x]  . Theo định nghĩa: F E x Kerf f(x) θ [f(x)] θ A[x] θ ( )         Như vậy x Kerf  khi và chỉ khi tọa độ của x trong cơ sở E là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất (*). Từ đó để tìm Kerf ta làm như sau: 1. Tìm A=A f/E,F – ma trận của f đối với cơ sở E, F. 2. Giải hệ phương trình thuần nhất 1 2 n x 0 x 0 A x 0                            . 3. Kerf là tập tất cả các vectơ có tọa độ trong cơ sở E là nghiệm của (*). Hệ nghiệm cơ bản của (*) chính là cơ sở của Kerf trong cơ sở E. Chú ý: Ta thường lấy E, F là cơ sở chính tắc của X, Y. 3.2.3. Cách tìm ảnh. Vì e 1 , e 2 ,…, e n là hệ sinh của X nên f(e 1 ), f(e 2 ),…, f(e n ) là hệ sinh của Imf, hay Imf = span{ f(e 1 ), f(e 2 ),…, f(e n )}. Ta tìm một hệ con độc lập tuyến tính (đltt) tối đại của f(e 1 ), f(e 2 ),…, f(e n ), đó là cơ sở của Imf (Số vectơ đltt tối đại bằng hạng của các vectơ f(e 1 ), f(e 2 ),…, f(e n )). Ví dụ 2: Cho axtt 3 3 f :R R  1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 f(x ,x ,x ) (x 2x x ,x x ,x x 2x )       . a) Tìm Kerf, cơ sở Kerf và dimKerf. b) Tìm cơ sở của Imf và dimImf. Giải: a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (x ,x ,x ) Kerf f(x ,x ,x ) θ (x ,x ,x )     là nghiệm của hệ pt: 1 2 3 2 3 1 2 3 x 2x x 0 x x 0 x x 2x 0              . Ta biến đổi ma trận hệ số: 3 3 2 3 3 2 h h h h h h 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 0 1 1 0 0 0                                           . 3 2 1 x t x t, t R x 3t            Vậy: 3 Kerf {x R | x t(3, 1,1),t R}      {(3,-1,1)} là cơ sở của Kerf và dimKerf =1. b) Ta tìm ảnh của f đối với cơ sở chính tắc E={e 1 =(1,0,0), e 2 =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)}. Ta có: f(e 1 )=(1,0,1), f(e 2 )=(2,1,1), f(e 3 )=(-1,1,-2), Imf = span{f(e 1 ), f(e 2 ), f(e 3 )}. Tìm hệ con đltt cực đại của hệ {f(e 1 ), f(e 2 ), f(e 3 )} bằng cách tìm hạng của nó: 3 3 22 2 1 3 3 1 h h h h h 2h h h h 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 0 1 1 0 0 0                                            . Vậy cơ sở của Imf là {f(e 1 ), f(e 2 )} và dimImf =2. Chú ý: Trong trường hợp này ta cũng hiểu rằng Imf = span{f(e 1 ), f(e 2 )}. Nếu hạng của hệ {f(e 1 ), f(e 2 ), f(e 3 )} bằng 3 thì ta có Imf = 3 R (?). 4. Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. 4.1. Các định nghĩa. Cho f :X Y  là axtt, khi đó  f gọi là đơn cấu nếu f đơn ánh.  f gọi là toàn cấu nếu f toàn ánh.  f gọi là đẳng cấu nếu f song ánh. 4.2. Các định lý. Định lý 4: Cho f :X Y  là axtt, khi đó 1) f đơn cấu Kerf { θ}   2) f toàn cấu Imf Y   Định lý 5: Cho X, Y là các không gian tuyến tính hữu hạn chiều và axtt f :X Y  . Khi đó f là đẳng cấu khi và chỉ khi dimX = dimY. II. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN, ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. Giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận, ánh xạ tuyến tính. 1.1. Giá trị riêng, giá trị riêng của ma trận. 1.1.1. Các định nghĩa. Định nghĩa 1: Số λ K  gọi là giá trị riêng (GTR) của A nếu tồn tại vectơ τ n 1 2 n x (x ,x , ,x ) K ,x θ    sao cho: 1 1 2 2 n n x x x x Ax λx ( ) (A λ ). x x                              Khi đó vectơ x gọi là vectơ riêng (VTR) của A ứng với GTR λ . Nhận xét: Từ ( )  ta có: (A λI)x θ (x θ).    Định nghĩa 2: Cho ij n A (a ) M (K), λ K.    a) Đa thức 11 21 n1 12 22 n2 A 1n 2n nn a λ a a a a λ a P (λ) det(A λI) a a a λ                          gọi là đa thức đặc trưng của A. b) Phương trình A P ( λ) 0  gọi là phương trình đặc trưng của A. Định nghĩa 3: Tập hợp tất cả các VTR của A ứng với GTR λ và bổ sung vectơ θ gọi là không gian riêng (KGR) của A ứng với GTR λ . Nhận xét: KGR của A ứng với GTR λ là không gian nghiệm của hệ phương trinh: (A λI)x θ.   Định nghĩa 4: Hai ma trận n A,B M (K)  gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận P không suy biến ( detP 0  ) sao cho: 1 B P AP.   1.1.2. Tính chất. Định lý 1: Nếu x là VTR của A ứng với GTR λ , thì αx ( α 0)  cũng là VTR của A ứng với GTR λ . Định lý 2: Hai ma trận đồng dạng có cùng GTR. 1.1.3. Cách tìm GTR, VTR của ma trận vuông A. Ta tiến hành các bước sau: 1) Giải phương trình đặc trưng A P ( λ) det(A λI) 0 ( )     . Nghiệm của ( )  là GTR của A. 2) Giả sử k λ là một nghiệm của ( )  . Ta giải hệ phương trình thuần nhất sau: k (A λ I)x θ (3 ).    Nghiệm không tầm thường của (3 )  là VTR của A ứng với GTR k λ . Chú ý: k r r(A λ I) n    (vì k det(A λ I) 0   ) nên KGR k S của A ứng với GTR k λ (tức là không gian nghiệm k S của (3 )  ) có k dimS n r   (hay nói cách khác, KGR k S của A ứng với GTR k λ có ( n r  ) VTR độc lập tuyến tính). Ví dụ 1. Tìm GTR, VTR, cơ sở của KGR và các KGR của ma trận A a) 0 0 1 A 0 1 0 1 0 0            b) 1 4 6 A 3 7 7 4 8 7               Giải: a) Giải phương trình đặc trưng A P ( λ) 0  . Ta có: 2 2 A λ 0 1 P ( λ) 0 1 λ 0 λ (1 λ) (1 λ) (λ 1) (λ 1) 1 0 λ             . 1 1 A 2 2 λ 1 (m 1) P (λ) 0 λ 1 (m 2)            .  1 1 λ 1(m 1)    Giải hệ phương trình (A I)x θ.   3 3 1 h h h 1 0 1 1 0 1 0 2 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0                        1 1 3 2 2 3 x t x x 0 (A I)x θ x 0 , t R \ {0}. 2x 0 x t                      Vậy: - VTR của A ứng với GTR 1 λ 1   có dạng: x ( t,0,t) t( 1,0,1), t R \ {0}.      - Một cơ sở của KGR 1 1 S (dimS 1)  của A ứng với GTR 1 λ 1   : 1 a ( 1,0,1).   - KGR 3 1 1 S span{a } {x R | x t( 1,0,1), t R}        2 2 λ 1(m 2)   Giải hệ phương trình (A I)x θ.   Ta có: 3 3 1 h h h 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0                           1 2 2 1 3 2 3 x t (A I)x θ x x 0 x v, t,v R : t v 0. x t                    Vậy: - VTR của A ứng với GTR 2 λ 1  có dạng: 2 2 x (t,v,t) t(1,0,1) v(0,1,0), t,v R :t v 0.       - Một cơ sở của KGR 2 2 S (dimS 2)  của A ứng với GTR 2 λ 1  : 2 3 a (1,0,1),a (0,1,0).   - KGR 3 2 2 3 S span{a ,a } {x R |x t(1,0,1) v(0,1,0), t,v R}       b) Giải phương trình đặc trưng A P ( λ) 0  . Ta có: 2 A 1 λ 4 6 P ( λ) 3 7 λ 7 (λ 1) (λ 3) 4 8 7 λ            . 1 1 A 2 2 λ 1 (m 2) P (λ) 0 λ 3 (m 1)            .  1 1 λ 1(m 2)    Giải hệ phương trình (A I)x θ.   Ta có: 1 1 1 2 2 32 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 3 4 h h h h 2h h h 3h h h h h hh h 2 4 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 6 7 3 6 7 0 0 2 0 0 1 4 8 8 1 2 2 0 0 1 0 0 0                                                            1 1 2 3 2 3 3 x 2t x 2x x 0 (A I)x θ x t , t R \ {0}. x 0 x 0                        Vậy: - VTR của A ứng với GTR 1 λ 1   có dạng: x ( 2t,t,0) t( 2,1,0), t R \{0}.      - Một cơ sở của KGR 1 1 S (dimS 1)  của A ứng với GTR 1 λ 1   : 1 a ( 2,1,0).   - KGR 3 1 1 S span{a } {x R | x t( 2,1,0), t R}        2 2 λ 3 (m 1)   Giải hệ phương trình (A 3I)x θ.   11 2 2 1 1 162 2 2 1 1 3 3 1 3 3 2 3 3 4 h hh h h h 3h h h h h h 4hh h 2 4 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 10 7 3 10 7 0 16 16 0 1 1 4 8 4 1 2 1 0 4 4 0 0 0                                                               1 1 2 3 2 2 3 3 x t x 2x 3x 0 (A 3I)x θ x t, t R \{0}. x x 0 x t                         Vậy: - VTR của A ứng với GTR 2 λ 3  có dạng: x (t, t,t) t(1, 1,1), t R \{0}.      - Một cơ sở của KGR 2 2 S (dimS 1)  của A ứng với GTR 2 λ 3  : 2 a (1, 1,1).   [...]... 2 Chéo hóa ma trận, ánh xạ tuyến tính 2.1 Chéo hóa ma trận 2.1.1 Định nghĩa 7: Cho ma trận vuông A, nếu tồn tại ma trận khả đảo T sao cho T-1AT là ma trận đường chéo thì ta nói rằng ma trận A chéo hóa được và ma trận T làm chéo hóa ma trận A hay ma trận A đưa được về dạng chéo hóa nhờ ma trận T 2.1.2 Điều kiện chéo hóa được của một ma trận Trong các định lý sau đây, ta luôn giả thiết rằng A ma trận. .. (1)  1  2.2 Chéo hóa phép biến đổi tuyến tính Cho phép biến đổi tuyến tính f : X  X, dim X  n Lấy E là một cơ sơ bất kì của X, khi đó ta có ma trận của f là A  A f /E Ta tiến hành chéo hóa ma trận A Nếu A là ma trận chéo hóa được thì ta có n VTR đltt Chọn n vectơ này lập thành cơ sở của X, khi đó ma trận của phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở vừa lập được chính là ma trận chéo B=T-1AT 3... bao gồm các VTR  Lập ma trận T  | | | |   p p  T   a 1  a 1 1  a 1  a mp  1 m   | | |   | là ma trận mà có cột thứ j là vectơ thứ j trong cơ sở (a) 0 0 1   Ví dụ 8: Chéo hóa ma trận A   0 1 0  1 0 0   Giải: Trong ví dụ 4 đã chỉ ra rằng ma trận A chéo hóa được Ví dụ 1 đưa ra một cơ sở mới bao gồm các VTR a1  (1,0,1), a 2  (1,0,1), a 3  (0,1,0), Lập ma trận T  1 1 0  ... span{a 2 }  {x R 3 | x  t(1, 1,1), t  R} 1.2 Giá trị riêng, giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính 1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 5: Cho X là một K-không gian vectơ, dim X  n , f  L(X,X) Số λ  K được gọi là giá trị riêng (GTR) của f, nếu tồn tại vectơ x  (x1 , x 2 , , x n ) τ  K n , x  θ sao cho: f (x)  λx Khi đó vectơ x được gọi là vectơ riêng (VTR) của f ứng với GTR λ Định nghĩa 6: Tập... sở vừa lập được chính là ma trận chéo B=T-1AT 3 Ánh xạ tự liên hợp và chéo hóa ma trận đối xứng thực 3.1 Ma trận trực giao Định nghĩa 8.1: Ma trận trực giao la ma trận vuông có tổng bình phương các phần tử của mỗi hàng bằng 1, còn tổng các tích các phần tử tương ứng của hai hàng khác nhau thì bằng 0 Ví dụ: Các ma trận sau đây là ma trận trưc giao:  2 2 1  3 3 3     cosφ  sin φ   2 1 2  ...   0 2 0      *Chú ý: Nếu A là ma trận chéo hóa được thì ta luôn tìm được ma trận T và ma trận chéo B như trong phương pháp trên: A  TBT 1 Khi đó A 2  A.A  (TBT 1 ).(TBT 1 )  TB(T 1T)BT 1  TB2T 1 A3  A 2 A  (TB2 T 1 ).(TBT 1 )  TB3 T 1 … A n  A n 1 A  TBn 1T 1 TBT 1  TBn T 1 Đây là một trong những lợi ích của việc chéo hóa ma trận 0 0 1 Ví dụ 9: Cho A   0 1 0 ... vectơ nghiệm sau trực giao với mọi vectơ nghiệm đã chọn trước đó và có chuẩn bằng 1 Cuối cùng ta được cơ sở trực chuẩn của KGR ứng với λ k , k Và ghép chúng lại ta được cơ sở trực chuẩn gồm các VTR 1 2 2   Ví dụ 10: Cho ma trận A   2 1 2  Hãy tìm ma trận trực giao Q để đưa A về 2 2 1   -1 dạng chéo B = Q A.Q Tìm ma trận chéo B Giải: Trước hết ta nhận xét A là ma trận đối xứng nên A chéo. .. kiện chéo hóa Thực vậy đối với GTR λ  0(m  3) , ta có: 0 0 0 r(A  λI)  r  0 0 0   0  3  3   0 0 0   2.1.3 Cách chéo hóa ma trận 1) Giải phương trình đặc trưng PA (λ)  det(A  λI)  0 để tìm các GTR của A: λ1 , λ 2 , , λ p với bội tương ứng m1 ,m 2 , , mp 2) Kiểm tra điều kiện chéo hóa a) Nếu p  n thì A chéo hóa được b) Nếu k (k  1, 2, , p) : r(A  λ k I)  n  m k thì A chéo hóa. .. Định lý 8: Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi với mỗi GTR λ k bội m k của A (m1  m 2   m p  n), có r(A  λ k I)  n  m k (k  1,2, ,p) Chú ý: Nếu ma trận vuông A cấp n có n GTR phân biệt thì A chéo hóa được 0 0 1 Ví dụ 4: Cho A   0 1 0    1 0 0   Từ kết quả của ví dụ 1, ta có: r(A  λ1I)  1  3  2, r(A  λ 2 I)  2  3  1 Vậy (theo định lý 8) A chéo hóa được 1... λ k I)  n  m k thì A chéo hóa được c) Nếu k : r(A  λ k I)  n  m k thì A không chéo hóa được Chú ý: Nếu A chéo hóa được thì A được đưa về ma trận chéo B có dạng:  λ1    λ2   a) B       λn    λ1        m1      λ1     b) B        λp       mp    λp      Để tìm ma trận T không suy biến (det T  0) : B=T-1AT ta tiến hành bước tiếp sau: 3)  Ứng với . Chương 5. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN 5. 1. Trị riêng – vectơ riêng 5. 2. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính, chéo hóa ma trận 5. 3. Ánh. RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN, ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. Giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận, ánh xạ tuyến tính. 1.1. Giá trị riêng, giá trị riêng của ma trận.