BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG DÙNG CHO BẬC ĐẠI HỌC (LƯU HÀNH NỘI BỘ) QUẢNG NINH - 2013 LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG CHƯƠNG 1: MÔ TẢ MỘT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1.1 Các khái niệm Để hiểu khái niệm hệ thống điều khiển tự động trước hết ta xem ví dụ sau: Hình 1.1: Sơ đồ điều khiển lò để phát điện Điều khiển: Tập hợp tất tác động có mục đích nhằm điều khiển trình hay trình theo quy luật hay chương trình cho trước Điều khiển học: Một môn khoa học nghiên cứu nguyên tắc xây dựng hệ điều khiển Điều khiển tự động: Quá trình điều khiển điều chỉnh thực mà khơng có tham gia trực tiếp người Hệ thống điều khiển: Tập hợp tất thiết bị mà nhờ q trình điều khiển thực Hệ thống điều khiển tự động (điều chỉnh tự động): Tập hợp tất thiết bị kỹ thuật, đảm bảo điều khiển điều chỉnh tự động q trình (đơi gọi tắt hệ thống tự động – HTTĐ) Ý nghĩa điều khiển tự động: - Đáp ứng hệ thống không thõa mãn u cầu cơng nghệ - Tăng độ xác - Tăng suất - Tăng hiệu kinh tế 1.2 Các phần tử hệ thống điều khiển tự động 1.2.1 Các phần tử Sơ đồ tổng quát hệ thống điều khiển tự động Hình 1.2: Sơ đồ tổng quát hệ thống điều khiển tự động Mọi hệ thống điều khiển tự động bao gồm phận : - Thiết bị điều khiển C (Controller device) - Đối tượng điều khiển (Object device) - Thiết bị đo lường (Measuring device) Trong đó: u(t) tín hiệu vào ; r(t) e(t) Sai lệch điều khiển ; x(t) Tín hiệu điều khiển ; y(t) Tín hiệu ; c(t) z(t) Tín hiệu phản hồi (hồi tiếp) 1.2.2 Bài toán lĩnh vực điều khiển tự động - Phân tích hệ thống: Cho hệ thống tự động biết cấu trúc thơng số Bài tốn đặt tìm đáp ứng hệ thống đánh giá chất lượng hệ - Thiết kế hệ thống: Biết cấu trúc thơng số đối tượng điều khiển Bài tốn đặt thiết kế điều khiển để hệ thống thỏa mãn yêu cầu chất lượng - Nhận dạng hệ thống: Chưa biết cấu trúc thông số hệ thống Vấn đề dặt xác định cấu trúc thông số hệ thống Môn học Lý thuyết ĐKTĐ giải toán phân tích hệ thống thiết kế hệ thống Bài tốn nhận dạng hệ thống nghiên cứu môn học khác 1.3 Các nguyên tắc điều khiển 1.3.1 Nguyên tắc thông tin phản hồi (1) Muốn hệ thống điều khiển có chất lượng cao bắt buộc phải có phải hồi thơng tin, tức phải có đo lường tín hiệu từ đối tượng điều khiển - Điều khiển san sai lệch Hình 1.3: Sơ đồ nguyên tắc điều khiển theo sai lệch Tín hiệu y(t) đưa vào so sánh với tín hiệu vào u(t) nhằm tạo nên tín hiệu tác động lên đầu vào điều khiển C nhằm tạo tín hiệu điều khiển đối tượng O - Điều khiển theo bù nhiễu Hình 1.4: Sơ đồ nguyên tắc điều khiển bù nhiễu Nguyên tắc bù nhiễu sử dụng thiết bị bù K để giảm ảnh hưởng nhiễu nguyên nhân trực tiếp gây hậu cho hệ thống (hình 1.4) - Nguyên tắc điều khiển hỗn hợp (theo sai lệch bù nhiễu) Hình 1.5: Sơ đồ nguyên tắc điều khiển hỗn hợp Nguyên tắc điều khiển hỗn hợp phối hợp hai nguyên tắc trên, vừa có hồi sai lệch vừa dùng thiết bị để bù nhiễu 1.3.2 Nguyên tắc đa dạng tương xứng Muốn q trình điều khiển có chất lượng đa dạng điều khiển phải tương xứng với đa dạng đối tượng Tính đa dạng điều khiển thể khả thu thập thơng tin, lưu trữ thơng tin, truyền tin, phân tích xử lý, chọn định, Ý nghĩa: Cần thiết kế điều khiển phù hợp với đối tượng Thí dụ: Hãy so sánh yêu cầu chất lượng điều khiển điều khiển sử dụng hệ thống sau: - Điều khiển nhiệt độ bàn (chấp nhận sai số lớn) với điều khiển nhiệt độ lò sấy (không chấp nhận sai số lớn) - Điều khiển mực nước bồn chứa khách sạn (chỉ cần đảm bảo ln có nước bồn) với điều khiển mực chất lỏng dây chuyền sản xuất (mực chất lỏng cần giữ không đổi) 1.3.3 Nguyên tắc bổ sung ngồi Một hệ thống ln tồn hoạt động mơi trường cụ thể có tác động qua lại chặt chẽ với mơi trường Ngun tắc bổ sung ngồi thừa nhận có đối tượng chưa biết (hộp đen) tác động vào hệ thống ta phải điều khiển hệ thống lẫn hộp đen Ý nghĩa: Khi thiết kế hệ thống tự động, muốn hệ thống có có chất lượng cao khơng thể bỏ qua nhiễu 1.3.4 Nguyên tắc dự trữ Vì nguyên tắc coi thông tin chưa đầy đủ phải đề phịng bất trắc xảy khơng dùng tồn lực lượng điều kiện bình thường Vốn dự trữ không sử dụng, cần để đảm bảo cho hệ thống vận hành an toàn 1.3.5 Nguyên tắc phân cấp Một hệ thống điều khiển phức tạp cần xây dựng nhiều lớp điều khiển bổ sung cho trung tâm Cấu trúc phân cấp thường sử dụng cấu trúc hình Đa số hệ thống điều khiển dây chuyền sản suất chia làm cấp: - Cấp thực thi: điều khiển thiết bị, đọc tín hiệu từ cảm biến - Cấp phối hợp - Cấp tổ chức quản lý 1.3.6 Nguyên tắc cân nội Mỗi hệ thống cần xây dựng chế cân nội để có khả tự giải biến động xảy 1.4 Phân loại hệ thống điều khiển tự động 1.4.1 Phân loại dựa mơ tả tốn học hệ thống Hệ thống liên tục: Hệ thống liên tục mô tả phương trình vi phân Hệ thống rời rạc: Hệ thống rời rạc mơ tả phương trình sai phân Hệ thống tuyến tính: hệ thống mơ tả hệ phương trình vi phân/sai phân tuyến tính Hệ thống phi tuyến: Hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân/sai phân phi tuyến Hệ thống bất biến theo thời gian: hệ số phương trình vi phân/ sai phân mô tả hệ thống không đổi Hệ thống biến đổi theo thời gian: hệ số phương trình vi phân/ sai phân mô tả hệ thống thay đổi theo thời gian 1.4.2 Phân loại dựa số ngõ vào – ngõ hệ thống Hệ thống ngõ vào – ngõ (hệ SISO): (Single Input –Single Output) Hệ thống nhiều ngõ vào – nhiều ngõ (hệ MIMO): (Multi Input – Multi Output) 1.4.3 Phân loại theo chiến lược điều khiển Mục tiêu điều khiển thường gặp sai số tín hiệu tín hiệu vào chuẩn nhỏ tốt Tùy theo dạng tín hiệu vào mà ta có loại điều khiển sau: Điều khiển ổn định hóa: Nếu tín hiệu chuẩn x(t) = const, ta gọi điều khiển ổn định hóa Điều khiển theo chương trình: Tín hiệu vào x(t) hàm thay đổi theo thời gian biết trước Điều khiển theo dõi: Tín hiệu vào x(t) hàm trước theo thời gian 1.4.4 Lịch sử phát triển lý thuyết điều khiển a Điều khiển kinh điển: Mơ tả tốn học dùng để phân tích thiết kế hệ thống hàm truyền Đặc điểm: - Đơn giản - Áp dụng thuận lợi cho hệ thống tuyến tính bất biến ngõ vào, ngõ - Kỹ thuật thiết kế miền tần số Các phương pháp phân tích thiết kế hệ thống: - Quỹ đạo nghiệm số - Đặc tính tần số: biểu đồ Nyquist, biểu đồ Bode Bộ điều khiển: - Sớm trễ pha - PID (Proportional – Integral – Derivative) b Điều khiển đại: Mơ tả tốn học dùng để phân tích thiết kế hệ thống phương trình trạng thái Đặc điểm: Có thể áp dụng cho hệ thống phi tuyến, biến đổi theo thời gian, nhiều ngõ vào, nhiều ngõ Kỹ thuật thiết kế miền thời gian Các phương pháp thiết kế hệ thống: - Điều khiển tối ưu - Điều khiển thích nghi - Điều khiển bền vững Bộ điều khiển: Hồi tiếp trạng thái c Điều khiển thông minh: Nguyên tắc khơng cần dùng mơ hình tốn học để thiết kế hệ thống Đặc điểm: - Mô (bắt chước) hệ thống thông minh sinh học - Bộ điều khiển có khả xử lý thơng tin khơng chắn, có khả học, có khả xử lý lượng lớn thông tin Các phương pháp điều khiển thông minh: - Điều khiển mờ (Fuzzy Control) - Mạng thần kinh nhân tạo (Neural Network) - Thuật toán di truyền (Genetic Algorithm) Nội dung mơn học Lý thuyết Điều khiển tự động chủ yếu đề cấp đến phương pháp kinh điển phân tích, thiết kế hệ thống tuyến tính, bất biến, ngõ vào, ngõ Do kiến thức có từ mơn học giúp kỹ sư phân tích, thiết kế hệ thống điều khiển cấp thực thi (cấp điều khiển thiết bị hệ thống điều khiển phân cấp) 1.5 Quá trình thiết lập hệ thống điều khiển - Bước 1: Chuyển đổi yêu cầu kỹ thuật thành hệ thống vật lý - Bước 2: Vẽ sơ đồ khối chức Chuyển đổi miêu tả đặc tính hệ thống thành sơ đồ khối chức Đây miêu tả phần chi tiết hệ thống mối quan hệ chúng - Bước 3: Thiết lập sơ đồ nguyên lí - Bước 4: Sử dụng sơ đồ nguyên lý thiết lập sơ đồ khối graph tín hiệu biểu diễn khơng gian trạng thái - Bước 5: Rút gọn sơ đồ khối - Bước 6: Phân tích thiết kế Câu hỏi ôn tập chương 1 Hệ thống điều khiển tự động phân loại nào? Hệ thống điều khiển có phần tử bản? Hãy nêu quy tắc điều khiển cở để điều khiển hệ thống điều khiển? Nêu bước thiết lập hệ thống điều khiển? CHƯƠNG 2: MƠ HÌNH TỐN HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 2.1 Khái niệm mơ hình tốn học 2.1.1 Mơ hình tốn học dạng phương trình vi phân Hệ thống điều khiển thực tế đa dạng có chất vật lý khác cần có sở tốn học chung để phân tích, thiết kế hệ thống điều khiển có chất vật lý khác Tín hiệu đầu vào u(t) tín hiệu đầu y(t) thường hàm số theo thời gian Quan hệ tín hiệu vào tín hiệu hệ thống tuyến tính bất biến liên tục mơ tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: a0 dny d n 1 y dy d mx d m 1 x dx a a a y t b b     ( )     bm 1  bm x(t ) n 1 n 1 n m 1 n n 1 m m 1 dt dt dt dt dt dt Trong đó: n - bậc hệ thống, hệ thống hợp thức n  m ai, bi - thông số hệ thống 2.1.2 Một số ví dụ mơ tả hệ thống phương trình vi phân - Đặc tính động học tốc độ xe tơ Phương trình động học tốc độ xe tô theo lực kéo động dv(t ) M  B.v(t )  f (t ) dt Trong đó: M - khối lượng xe, B - hệ số ma sát: thông số hệ thống f(t) - lực kéo động cơ: tín hiệu vào v(t) - tốc độ xe: tín hiệu - Đặc tính động học hệ thống giảm chấn xe Phương trình động học hệ thống dy(t ) d y (t )   K y(t )  f (t ) B dt dt Trong đó: M - khối lượng tác động lên bánh xe, B hệ số ma sát, K độ cứng lị xo (thơng số hệ thống) f(t) - lực sốc: tín hiệu vào y(t) - dịch chuyển thân xe: tín hiệu M - Đặc tính động học thang máy Phương trình động học hệ thống dy(t ) d y(t ) B  M T g  K  (t )  M Đ g dt dt Trong đó: MT - khối lượng buồng thang, MĐ - khối lượng đối trọng, B - hệ số ma sát, K - hệ số tỉ lệ (t) - moment kéo động cơ: tín hiệu vào y(t) - vị trí buồng thang: tín hiệu MT Qua ví dụ ta thấy hầu hết hệ thống điều khiển tự động mô tả phương trình động học phương trình vi phân bậc 1, 2, …n Phương trình vi phân bậc n (n > 2) khó giải Phân tích hệ thống dựa vào mơ hình tốn phương trình vi phân gặp nhiều khó khăn (một thí dụ đơn giản biết tín hiệu vào, cần tính đáp ứng hệ thống, giải phương trình vi phân khơng đơn giản) Thiết kế hệ thống dựa vào phương trình vi phân khơng thể thực trường hợp tổng quát Trong thực tế cần dạng mơ tả tốn học khác giúp phân tích thiết kế hệ thống tự động dễ dàng hơn: Hàm truyền, Phương trình trạng thái 2.2 Hàm truyền 2.2.1 Biến đổi Laplace a Khái niệm tính chất phép biến đổi Laplace Khi sử dụng phép biến đổi tín hiệu hệ thống từ miền thời gian sang miền khác để thuận tiện việc xử lý tín hiệu Như hệ thống liên tục người ta hay sử dụng phép biến đổi Laplace để biến đổi từ miền thời gian sang miền tần số phức Các phương trình vi tích phân chuyển đổi thành phương trình đại số thơng thường Trong hệ thống rời rạc người ta hay sử dụng phép biến đổi Z để chuyển tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số phức Trong thực tế người ta sử dụng phép biến đổi khác để xử lý tín hiệu giải tương quan, mã hố có hiệu quả, chống nhiễu,… Thực phép biến đổi có cơng cụ tốn học máy tính số, cơng cụ phổ biến hiệu phần mềm Matlab hay thực biến đổi tay - Khái niệm: Cho hàm f(t) hàm xác định với t  0, biến đổi Laplace hàm f(t) là:  F ( s)  L{ f ( x)}   f (t )e st dt (2.7) đó: s – biến phức (biến Laplace) L – toán tử biến đổi Laplace e-st – hạt nhân phép biến đổi F(s) – hàm phức f(t) – hàm biểu diễn miền thời gian xác định R Để thực biến đổi Laplace hàm f(t) phải hàm thực thoả mãn số điều kiện sau: f(t) = t < f(t) liên tục t ≥ 0, khoảng hữu hạn cho trước có hữu hạn điểm cực trị  Tích phân I   f (t )e  st dt hội tụ - Tính chất : Giả thiết f(t) g(t) hai hàm theo thời gian có biến đổi Laplace tương ứng: Tần số cắt pha (ω-π): tần số mà pha đặc tính tần số -180o (hay -π radian)  ( )  180 o →  ( )   (rad ) Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin): → GM  GM   L( ) M (  ) Độ dự trữ pha (FM – Phase Margin): M  180 o   (c ) 3.4.7 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số hệ hở G(s), tốn đặt xét tính ổn định hệ thống kín Gk(s) Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín Gk(s) ổn định đường cong Nyquist hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0) l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) ω thay đổi từ đến +, l số cực nằm bên phải mặt phẳng phức hệ hở G(s) Ví dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hệ hở G(s) có đường cong Nyquist hình vẽ Biết G(s) ổn định Xét tính ổn định hệ thống kín Giải: Vì G(s) ổn định nên G(s) khơng có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định đường cong Nyquist G(jω) hệ hở không bao điểm (-1, j0) Trường hợp 1: G(jω) khơng bao điểm (-1, j0) → hệ kín ổn định Trường hợp 2: G(jω) qua điểm (-1, j0) → hệ kín biên giới ổn định; Trường hợp 3: G(jω) bao điểm (-1, j0) → hệ kín khơng ổn định Ví dụ 2: Hãy đánh giá tính ổn định hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết hàm truyền hệ hở G(s) là: K G(s)  s(T1s  1)(T2 s  1)(T3s  1) Giải: Biểu đồ Nyquist: Vì G(s) khơng có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định đường cong Nyquist G(jω) hệ hở không bao điểm (-1, j0) Trường hợp 1: G(jω) không bao điểm (-1, j0) → hệ kín ổn định Trường hợp 2: G(jω) qua điểm (-1, j0) → hệ kín biên giới ổn định; Trường hợp 3: G(jω) bao điểm (-1, j0) → hệ kín khơng ổn định Ví dụ 3: Cho hệ thống hở khơng ổn định có đặc tính tần số hình vẽ Hỏi trường hợp hệ kín ổn định Ổn định Không ổn định Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số hình vẽ Hỏi trường hợp hệ kín ổn định Khơng ổn định Cho hệ thống hở khơng ổn định có đặc tính tần số hình vẽ Hỏi trường hợp hệ kín ổn định Ổn định Khơng ổn định Ví dụ 4: Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt là: K G( s)  (K > 0, T > 0, n > 2) (Ts  1) n Tìm điều kiện K T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn vị) ổn định Giải: Đặc tính tần số hệ thống là: G ( j )  K (Tj  1) n Biên độ: M ( )  Pha:  ( )  n.tg 1 (T )  1 T   2 n Biểu đồ Nyquist: Điều kiện ổn định: đường cong Nyquist không bao điểm (-1, j0) Theo biểu đồ Nyquist, điều xảy khi: M ( )  Ta có:  ( )  n.tg 1 (T )   → tg 1 (T  )  →     n →   tg   T n Do đó: M ( )  → →   T   tg   n K    T  tg           T  n          2  K  T  tg         T  n    n 1 n 3.4.8 Tiêu chuẩn ổn định Bode Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số hệ hở G(s), tốn đặt xét tính ổn định hệ thống kín Gk(s) Tiêu chuẩn Bode: Hệ thống kín Gk(s) ổn định hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên độ dự trữ pha dương GM   M  ↔ Hệ thống ổn định Ví dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết hệ hở có biểu đồ Bode hình vẽ Xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha hệ thống hở Hỏi hệ kín có ổn định không? Theo biểu đồ Bode: c     L( )  35dB  (c )  270 GM  35dB M  180  270  90 Do GM < FM < nên hệ thống kín khơng ổn định Chú ý: Trường hợp hệ thống hồi tiếp âm hình vẽ, áp dụng tiêu chuẩn ổn định Nyquist Bode, trường hợp hàm truyền hở G(s)H(s) CHƯƠNG 4: ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 4.1 Các tiêu chuẩn chất lượng 4.1.1 Sai số Sai số: sai lệch tín hiệu đặt tín hiệu hồi tiếp e(t )  r(t )  c ht (t ) ↔ E(s)  R (s)  C ht (s) Sai số xác lập: sai số hệ thống thời gian tiến đến vô ↔ e xl  lim e( t ) e xl  lim sE(s) t  s 0 4.1.2 Đáp ứng độ: Độ vượt Hiện tượng vượt quá: tượng đáp ứng hệ thống vượt giá trị xác lập Độ vượt quá: (Percent of Overshoot – POT) đại lượng đánh giá mức độ vượt hệ thống, tính cơng thức: c  c xl 100 % POT  max c xl Thời gian độ – Thời gian lên Thời gian độ (tqđ): thời gian cần thiết để sai lệch đáp ứng hệ thống giá trị xác lập khơng vượt e%, thường chọn 2% (0.02) 5% (0.05) Thời gian lên (tr): thời gian cần thiết để đáp ứng hệ thống tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập 4.2 Sai số xác lập 4.2.1 Biểu thức sai số xác lập R( s )  G( s) H ( s) Ta có: E ( s)  Suy ra: exl  lim sE ( s)  lim s 0 s 0 sR( s)  G( s) H ( s) Nhận xét: sai số xác lập không phụ thuộc vào cấu trúc thơng số hệ thống mà cịn phụ thuộc vào tín hiệu vào 4.2.2 Sai số xác lập tín hiệu vào hàm nấc Nếu tín hiệu vào hàm nấc đơn vị: R( s)  e xl  1 K p với s K p  lim G( s) H ( s) - hệ số vị trí s 0 a) G(s)H(s) khơng có khâu tích phân lý tưởng b) G(s)H(s) có khâu tích phân lý tưởng 4.2.3 Sai số xác lập tín hiệu vào hàm dốc Nếu tín hiệu vào hàm dốc: Sai số xác lập: e xl  1 Kv G( s)  s2 với K v  lim G(s) H ( s) - hệ số vận tốc s 0 b) c) a) G(s)H(s) khơng có khâu tích phân lý tưởng b) G(s)H(s) có khâu tích phân lý tưởng c) G(s)H(s) có nhiều khâu tích phân lý tưởng 4.2.4 Sai số xác lập tín hiệu vào hàm parabol Tín hiệu vào hàm parabol: G ( s)  Sai số xác lập: a) e xl  1 Ka s3 với b) K a  lim G(s) H ( s) - hệ số gia tốc s 0 c) a) G(s)H(s) có khâu TPLT b) G(s)H(s) có khâu TPLT c) G(s)H(s) có nhiều khâu TPLT 4.2.5 Mối liên hệ số khâu tích phân G(s)H(s) sai số xác lập Tùy theo số khâu tích phân lý tưởng có hàm truyền G(s)H(s) mà hệ số Kp, Kv, Ka có giá trị sau: Nhận xét: + Muốn exl hệ thống tín hiệu vào hàm nấc hàm truyền G(s)H(s) phải có khâu tích phân lý tưởng + Muốn exl hệ thống tín hiệu vào hàm dốc hàm truyền G(s)H(s) phải có khâu tích phân lý tưởng + Muốn exl hệ thống tín hiệu vào hàm parabol hàm truyền G(s)H(s) phải có khâu tích phân lý tưởng 4.3 Đáp ứng độ 4.3.1 Hệ quán tính bậc K Ts  1 Hệ qn tính bậc có cực thực: p1   T K Đáp ứng độ: C ( s)  R( s)G( s)  s Ts  Hàm truyền hệ quán tính bậc 1: G ( s)   t T → c(t )  K (1  e ) a) Giản đồ cực –zero khâu quán tính bậc b) Đáp ứng độ khâu quán tính bậc tăng theo qui luật hàm mũ  t T c(t )  K (1  e ) Nhận xét hệ quán tính bậc 1: Hệ qn tính bậc có cực thực (-1/T), đáp ứng q độ khơng có vượt Thời T: thời điểm đáp ứng khâu quán tính bậc đạt 63% giá trị xác lập Cực thực (-1/T) nằm xa trục ảo thời T nhỏ, hệ thống đáp ứng nhanh Thời gian độ hệ quán tính bậc là: 1 t qđ  T ln     với ε = 0,02 (tiêu chuẩn 2%) ε = 0,05 (tiêu chuẩn 5%) Quan hệ vị trí cực đáp ứng hệ quán tính bậc Cực nằm xa trục ảo đáp ứng hệ quán tính bậc nhanh, thời gian độ ngắn Giản đồ cực –zero khâu quán tính bậc Đáp ứng độ khâu quán tính bậc 4.3.2 Hệ dao động bậc Hàm truyền hệ dao động bậc 2: K n2 K G(S )  2  với  n  ,0    T s  2Ts  s  2 n s   n T Hệ dao động bậc có cặp cực phức: p1,   n  jn   Đáp ứng độ: → K n2 C ( s)  R( s)G( s)  s s  2 n s   n2   e  t   c(t )  K 1  sin(    t   )  n   1   n Giản đồ cực –zero khâu dao động bậc Đáp ứng độ khâu dao động bậc Nhận xét hệ dao động bậc Hệ dao động bậc có cặp cực phức, đáp ứng độ có dạng dao động với biên độ giảm dần Nếu ξ = 0, đáp ứng hệ dao động không suy giảm với tần số ωn → ωn gọi tần số dao động tự nhiên Nếu < ζ