1 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG TR N TH ÁI HOA NG D NG CÔNG TH C VIETE VÀO GI I TỐN THU C CHƯƠNG TRÌNH TRUNG H C PH THƠNG Chun ngành: Phương pháp tốn sơ c p Mã s : 60.46.40 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Đà N ng - Năm 2011 Cơng trình đư c hồn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG Ngư i hư ng d n khoa h c: TS NGUY N NG C CHÂU Ph n bi n 1: TS LÊ H I TRUNG Ph n bi n 2: PGS.TS NGUY N GIA Đ NH Lu n văn ñư c b o v trư c H i ñ ng ch m Lu n văn t t nghi p th c sĩ khoa h c h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có th tìm hi u lu n văn t i: - Trung tâm Thông tin - H c li u, Đ i h c Đà N ng - Thư vi n trư ng Đ i h c Sư Ph m, Đ i h c Đà N ng M Đ U Lý ch n ñ tài Đa th c, phương trình nh ng khái ni m b n quan tr ng chương trình tốn Trung h c ph thơng Bài tốn tìm nghi m c a đa th c, c a phương trình đ i s đư c nhà tốn h c quan tâm nghiên c u nhi u th k M c dù l i gi i c a tốn cho đ n ch m i tìm đư c đ i v i đa th c, phương trình đ i s có b c nh 5, nhi u tính ch t v nghi m c a ña th c, c a phương trình đư c phát hi n M t nh ng tính ch t m i liên h gi a nghi m h s c a đa th c, c a phương trình đ i s , đư c th hi n b ng m t công th c n i ti ng – Công th c Viète ng d ng c a công th c Viète phong phú hi u qu Trong chương trình tốn h c ph thơng, h c sinh đư c h c cơng th c Viète ñ i v i tam th c b c hai, nhiên v i m t th i lư ng khơng nhi u ch m c đ nh t ñ nh, n a sách giáo khoa khơng ch vi c đ nh hư ng tìm tịi l i gi i b ng vi c ng d ng công th c Viète chưa tr ng ñ n vi c rèn luy n k nên h c sinh thư ng lúng túng v n d ng công th c Viète đ gi i tốn Bên c nh đó, ñ thi n sinh ñ i h c, thi h c sinh gi i nư c thư ng có nh ng tốn mà l i gi i c a chúng có th tìm đư c thông qua công th c Viète V i m c đích tìm hi u h th ng hóa m t cách ñ y ñ nh ng ng d ng c a cơng th c Viète chương trình tốn b c ph thơng, tơi ch n đ tài “ NG D NG CÔNG TH C VIÈTE VÀO GI I TỐN THU C CHƯƠNG TRÌNH TRUNG H C PH THÔNG” cho lu n văn th c sĩ c a Lu n văn g m hai chương Đ thu n ti n cho ngư i ñ c, chương m t nh c l i m t s ki n th c b n v ña th c, ñ c bi t ña th c ñ i x ng cơng th c Viète đ làm ti n ñ cho chương sau Chương hai n i dung c a lu n văn: Nghiên c u, tìm hi u vi c v n d ng cơng th c Viète ñ gi i m t s l p toán lĩnh v c gi i tích, đ i s , đa th c, hình h c, lư ng giác thu c chương trình tốn b c trung h c ph thơng M c đích nghiên c u - Nghiên c u ng d ng c a cơng th c Viète chương trình tốn ph thơng - H th ng phân lo i m t s tốn có th ng d ng cơng th c Viète đ gi i - Nh m nâng cao l c tư cho h c sinh c n thi t ph i xây d ng chu i toán t toán g c, xây d ng toán t ng quát nh m hư ng ñ n t ng ñ i tư ng h c sinh Đ i tư ng ph m vi nghiên c u - Nh ng ki n th c b n v tam giác, công th c lư ng giác, b t ñ ng th c quan tr ng, tính ch t c a ña th c, ña th c ñ i x ng, phương trình đ i x ng - Công th c Viète ng d ng chương trình tốn b c ph thơng - Các tốn có th ng d ng cơng th c Viète Phương pháp nghiên c u - Nghiên c u tài li u v công th c Viète ki n th c liên quan, sách giáo khoa, sách tham kh o, t p chí toán h c, m t s tài li u khác t Internet - Thông qua th c t gi ng d y trư ng trung h c ph thông ñ t ng k t rút nh ng k t lu n c n thi t K t h p nh ng ki n th c ñã ñ t đư c q trình thu th p thơng tin ñ h th ng ñưa toán có th gi i đư c b ng cơng th c Viète - Th o lu n, trao ñ i v i ngư i hư ng d n lu n văn Ý nghĩa khoa h c th c ti n c a đ tài Cơng th c Viète ng d ng c a có vai trò quan tr ng, m hư ng gi i quy t cho nhi u tốn có liên quan ñ n nghi m c a phương trình ñ i s m t cách phong phú, ña d ng như: tốn liên quan đ n hàm s , ch ng minh h th c ñ i s , tìm giá tr l n nh t – giá tr nh nh t c a bi u th c, gi i phương trình h phương trình khơng m u m c, ch ng minh toán lư ng giác, hình h c… Vi c d y cơng th c Viète ng d ng c a chương trình tốn h c ph thơng có ý nghĩa ñ c bi t là: làm cho h c sinh hi u sâu s c v nghi m c a m t phương trình đ i s Nêu đư c quan h đ nh tính, ñ nh lư ng gi a nghi m s v i h s c a m t phương trình đ i s Giúp h c sinh nhìn nh n toán m i liên h sinh ñ ng c a s ràng bu c gi a bi n s tham s ; gi a h ng bi n, ph n giúp h c sinh nâng cao ch t lư ng h c t p mơn tốn C u trúc c a lu n văn Ngồi ph n m đ u, k t lu n tài li u tham kh o lu n văn g m có chương sau : Chương - ĐA TH C Chương - M T S NG D NG C A CÔNG TH C VIÈTE Chương ĐA TH C 1.1 VÀNH ĐA TH C M T N Gi s A m t vành giao hốn, có đơn v ký hi u Ta g i P t p h p dãy ( a0 , a1 , , an , ) ∈ A v i m i i ∈ = t t c tr m t s h u h n Trên P ta đ nh nghĩa hai phép tốn c ng nhân sau ( a0 , a1 , , an , ) + ( b0 , b1 , , bn , ) = ( a0 + b0 , a1 + b1 , , an + bn , ) (1.1) ( a0 , a1 , , an , ) × ( b0 , b1 , , bn , ) = ( c0 , c1 , , cn , ) v i ck = a0 bk + a1bk −1 + + ak b0 = ∑ ab i j (1.2) k = 0,1,2, i + j =k Vì bi b ng t t c tr m t s h u h n nên + bi ci b ng t t c tr m t s h u h n, nên (1.1) (1.2) xác đ nh hai phép tốn P T p P v i hai phép toán c ng nhân m t vành giao hốn có đơn v Ph n t không c a phép c ng dãy ( 0,0, ) , ph n t ñơn v c a phép nhân (1,0,0 ) Xét dãy x = ( 0,1,0, ,0, ) ∈ P Theo quy t c c a phép nhân P , ta có   x n =  0,0, ,0,1, ,0,   24  n   Ta quy c x = (1,0,0, ,0, ) M t khác, xét ánh x : A → P a a ( a,0, ,0, ) D dàng ki m ch ng ñư c ánh x m t ñơn c u vành, ñó ta ñ ng nh t ph n t a ∈ A v i dãy ( a,0,0, ) ∈ P m t vành c a vành P Vì m i ph n t ( a0 , a1 , an , ) xem A c a P m t dãy ñó = t t c tr m t s h u h n, nên m i ph n t c a P có d ng ( a0 , , an ,0, ) a0 , , an ∈ A (không nh t thi t khác ) Vi c ñ ng nh t a v i ( a, 0, 0, ) vi c ñưa vào dãy x cho phép ta vi t ( a0 , , an ,0, ) = ( a0 ,0, ) + ( 0, a1 ,0, ) + + ( 0, , an ,0, ) = ( a0 ,0, ) + ( a1 ,0, )( 0,1,0, ) + + ( an ,0, )( 0, , 0,1, 0, ) = a0 + a1 x + + an x n = a0 x + a0 x + + an x n Đ nh nghĩa 1.1 Vành P ñư c ñ nh nghĩa trên, g i vành ña th c c a n x l y h t A , hay v n t t vành ña th c c a n x A , ký hi u A [ x ] Các ph n t c a A [ x ] g i ña th c c a n x l y h t A thư ng ký hi u f ( x ) , g ( x ) , Trong m t ña th c f ( x ) = a0 x + a1 x + + an x n , , v i i = 0,1, , n g i h t c a ña th c, xi g i h ng t c a ña th c, ñ c bi t a0 x = a0 g i h ng t t 1.2 VÀNH ĐA TH C NHI U N Đ nh nghĩa 2.1 Gi s A m t vành giao hốn có đơn v Ta đ t A1 = A [ x1 ] , A2 = A1 [ x2 ] , … An = An −1 [ xn ] Vành An = An −1 [ xn ] ñư c kí hi u A [ x1 , x2 , , xn ] g i vành ña th c c a n n x1 , , xn l y h t A M i ph n t c a An g i m t ña th c c a n n x1 , , xn l y h t A thư ng kí hi u f ( x1 , , xn ) hay g ( x1 , , xn ) … T ñ nh nghĩa ta có dãy vành: A0 = A ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ An Trong ñó Ai −1 vành c a vành Ai , i =1, 2, T tính ch t c a hai phép toán m t vành b ng quy n p ta ch ng minh ñư c m i ña th c f ( x1 , x2 , , xn ) ∈ A [ x1 , x2 , , xn ] đ u có th vi t dư i d ng f ( x1 , x2 , , xn ) = c1 x1a11 x2 a12 xn a1n + c2 x1a21 x2 a22 xn a2 n + + cm x1am1 x2 am xn amn v i ci ∈ A , ai1 , , …., ain , i = 1, 2, , m , nh ng s t nhiên ( ai1 , , ain ) ( ≠ a j1 , , a jn ) i ≠ j ; ci g i h t , ci x1ai1 x2 xn ain g i h ng t c a ña th c f ( x1 , x2 , , xn ) Đa th c f ( x1 , x2 , , xn ) = ch h t c a b ng khơng t tc 1.3 ĐA TH C Đ I X NG VÀ CÔNG TH C VIÈTE 1.3.1 Đa th c ñ i x ng Đ nh nghĩa 3.1 Gi A m t vành giao hốn có đơn v , s A [ x1 , , xn ] f ( x1 , , xn ) m t ña th c c a vành f ( x1 , , xn ) m t ña th c ( ñ i x ng c a ) f ( x1 , x2 , , xn ) = f xτ (1) , xτ (2) , , xτ ( n ) , v i m i phép th Ta nói n n n u τ n     τ (1) τ ( ) τ ( n )  τ = ( ) f xτ (1) , xτ (2) , , xτ ( n ) có đư c t f ( x1 , x2 , , xn ) b ng cách f ( x1 , x2 , , xn ) thay xi b i xτ ( i ) , i = 1, 2, , n Đ nh lý 3.1 T p g m ña th c ñ i x ng c a vành A [ x1 , , xn ] m t vành c a vành A [ x1 , , xn ] Các ña th c σ = x1 + x2 + + xn σ = x1 x2 + x1 x3 + + xn −1 xn σ = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + + xn− xn −1 xn … σk = ∑ i1 < i2 < < ik xi1 xi2 xik , k = 1,2, , n … σ n −1 = x1 x2 xn −1 + x1 x2 xn − xn + + x2 x3 xn σ n = x1 x2 xn ña th c ñ i x ng g i ña th c ñ i x ng b n ñ i v i n n x1 , x2 , , xn Gi s g ( x1 , , xn ) m t ña th c c a A [ x1 , , xn ] , ph n t c a A [ x1 , , xn ] có đư c b ng cách g ( x1 , , xn ) thay x1 b i σ , x2 b i σ , …, xn b i σ n g i m t ña th c c a ña th c ñ i x ng b n, kí hi u g (σ , σ , , σ n ) Vì σ , σ , , σ n nh ng ña th c ñ i x ng nên g (σ , σ , , σ n ) m t ña th c ñ i x ng theo ñ nh lý 3.1 1.3.2 Cơng th c Viète Cho đa th c b c n: f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + + ak x n − k + + an l y h t trư ng T Gi s (1.3) f ( x ) có T ho c m t m r ng c a T , t c m t trư ng ch a T làm m t trư ng con, n nghi m α1 , α , , α n f ( x ) = a0 ( x − α1 )( x − α ) ( x − α n ) Khi ta có (1.4) Khai tri n v ph i so sánh h t c a lũy th a gi ng : 10 G ( xG ; yG ) tr ng tâm c a tam giác M1M M x1 + x2 + x3   xG =  ⇔   y = y1 + y2 + y3  G  xi nghi m c a phương trình b c ba: y ' = x3 − x + = Áp d ng cơng th c Viète, ta có:  x1 + x2 + x3 =   x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = − x x x = −1  ⇒ xG = Tính yi : y 'i ( xi ) = y = ( y' x − x2 − x − ) ( (chia y cho y’) ⇒ yi = y ( xi ) = − xi2 − xi − ( ) ) 2 yG = −  x12 + x2 + x3 − ( x1 + x2 + x3 ) −    = − ( x1 + x2 + x3 ) − ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) −  =   V y G ( 0;0 ) ⇔ G ≡ O g c t a ñ 2.2 NG D NG CƠNG TH C VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN TÌM GIÁ TR L N NH T – GIÁ TR NH NH T Bài toán: [Đ n sinh ĐH – CĐ kh i A, năm 2006] Cho hai s ( x + y ) xy = x + y − xy th c thay ñ i x ≠ 0, y ≠ th a mãn : 11 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = 1 + 3 x y Gi i Đ t 1 + = m x y V i x ≠ 0, y ≠ , xét h phương trình:  ( x + y ) xy = x + y − xy   1  x3 + y = m  ( x + y ) xy = x + y − xy   ⇔  ( x + y ) ( x + y − xy ) = m  ( xy )    ( x + y ) xy = x + y − xy   ⇔  xy ( x + y )2 =m   ( xy )     ⇔    ( x + y ) xy = ( x + y )  x+ y   =m  xy  − xy ( 2.1) S = x + y Đ t   P = xy Theo công th c Viète đ phương trình t − St + P = S ≥ 4P x, y s hai nghi m th c c a S, P ph i th a mãn ñi u ki n 12  SP = S − 3P  ⇔   S 2  P  = m   ( 2.1) H ( 2.1) ( 2.2 ) có nghi m x ≠ 0, y ≠ ⇔ h ( 2.2 ) có nghi m ( S ; P ) th a mãn: S ≥ P   Do SP = x + y − xy =  x − y  + y > 0, ∀x ≠ 0, y ≠   T : - N u m ≤ h ( 2.1) vơ nghi m - N u m > t phương trình S S = m ⇒ S = m P   = m ⇔ P P  Thay vào phương trình đ u c a h ( 2.2 ) Ta ñư c: ( ) m.P = m.P − 3P ⇔ m − m P = ( SP > 0, P ≠ ) Đ có P t phương trình thì: m − m ≠ ⇔ m ≠ ( m > 0) V y P= H ( 2.2 ) m ( ) m −1 có nghi m :     ≥  m −1  m ( ⇒S= m −1 ( S ; P ) th a mãn S ≥ P ch 12 ) m −1 13 ⇔ 3≥ ( m ( ⇔3 m ≥ ⇔ ) m −1 ( ) m −1 ) m −1 m ≤ ⇔ < m ≤ 16 ( m ≠ 1) V y giá tr l n nh t maxA = 16 2.3 NG D NG CÔNG TH C VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN GI I PHƯƠNG TRÌNH Bài tốn: Gi i phương trình sau : ( 2.3) x + − x − x − + x − x −1 = Gi i Đ t Đ t u = x +1, v = − x − x − , w = x − x −1  a = u + v+ w   b = uv + vw + wu  c = uvw  Theo gi thi t, ta có : u + v + w = ⇒ a= u + v3 + w3 = M t khác (u + v + w ) = a3 ⇔ u + v3 + w3 + 3u v + 3u w+ 3v 2u + 3v w + 3w2u + 3w2v + 6uvw = a ( ⇔ u + v3 + w3 = a − 3u v + 3u w+ 3v 2u + 3v w + 3w2u + 3w2v + 9uvw ) + 3uvw 14 ⇔ u + v3 + w3 = a3 − 3uv ( u + v + w ) − 3vw ( u + v + w ) − 3wu ( u + v + w ) + 3uvw ⇔ u + v + w = a − ( u + v + w )( uv + vw + wu ) + 3uvw 3 3 ⇔ u + v3 + w3 = a − 3ab + 3c ⇒ a − 3ab + 3c = ⇒ c = 2b Theo cơng th c Viète u, v, w ba nghi m c a phương trình X − X + bX − 2b = : ⇔ ( X − 2) ( X + b) ( 2.4 ) = Ta nh n th y phương trình ( 2.4 ) có nghi m X = Do tính ch t đ i x ng nên u, v, w có th nh n giá tr i, Trư ng h p u = Ta có : x +1 = ⇔ x = Thay giá tr x = vào phương trình đ u ta th y giá tr x = nghi m phương trình cho ii, Trư ng h p v = x = Ta có : − x + x + = ⇔ x ( x −1) = ⇔  x = Thay giá tr x = vào phương trình đ u ta th y giá tr x = nghi m phương trình cho iii, Trư ng h p w =  x = −1 Ta có: x − x −1 = ⇔ x − x − = ⇔   x=9 15 Thay giá tr x = − x = vào phương trình đ u ta th y giá tr x = − x = ñ u nghi m ñúng phương trình ñã cho V y phương trình ( 2.3) có nghi m : S = {−1; 0; 1; } 2.4 NG D NG CÔNG TH C VIÈTE TRONG CÁC BÀI TOÁN GI I H PHƯƠNG TRÌNH Bài tốn : Gi i h phương trình :   x + y − 3z =    xy − yz − xz = 27 1 1  + − =1  x y 3z  ( 2.5) Gi i H phương trình ( 2.5 ) khơng ph i h ñ i x ng theo x , y , z Tuy nhiên n u ñ t u = x, v = y , w = − 3z , ta có h đ i x ng        u+v+w =9 uv + vw + wu = 27 1 + + =1 u v w Đ t a = u + v + w , b = uv + vw + wu , c = uvw    Khi ñó h ( 2.6 ) tr thành     a = a =  b = 27 ⇔ b = 27 c = 27 b  =1 c ( 2.6 ) 16 Áp d ng công th c Viète u, v, w ba nghi m c a phương trình : t − 9t + 27t − 27 = ⇔ ( t − 3) =0 V y ta có t1 = t2 = t3 = nên u = v = w = T ta tìm đư c nghi m ( x ; y ; z ) c a h ( 2.5) là:   3  3     −1; ;  ,  −1; 3;  ,  ; − 1;  ,  ; ; −  ,   2  2      3   3; ; − 1  ; − ;  2     2.5 NG D NG CÔNG TH C VIÈTE TRONG CH NG MINH B T Đ NG TH C Bài tốn: Cho phương trình ax + bx + cx + d = ( a ≠ ) có ba nghi m dương x1 , x2 , x3 7 Ch ng minh r ng x17 + x2 + x3 ≥ − b3c 81a Gi i Theo công th c Viète ta có : b   x1 + x2 + x3 = − a >    xx + x x +x x = c >0 3  a  B t ñ ng th c Bunyakovski cho ta : 2 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ≤ x12 + x2 + x3 ⇔ < ( x1 + x2 + x3 ) 2 ≤ ( x12 + x2 + x3 ) ⇔ < c 2 ≤ x12 + x2 + x3 a ( 2.7 ) b2 2 ≤ x12 + x2 + x3 3a ( 2.8 ) 17 ( 2.7 ) T ( 2.8 ) ta suy ra: < b2 c 2 ≤ ( x12 + x2 + x3 ) 3a Áp d ng b t ñ ng th c Bunyakovski ta l i có : (x 2 + x2 + x3 ) ≤ (1 + + 1) ( x14 + x24 + x34 ) b2c 4 ≤ x14 + x2 + x3 9a ⇒ < ( 2.9 ) Vì x1 , x2 , x3 > nên suy : (x ) +x +x 7   =  x12 x12 + x22 x22 + x32 x32    7 ≤ ( x1 + x2 + x3 ) ( x17 + x2 + x3 ) T ( 2.9 ) ( 2.10 ) ( 2.10 ) ta ñư c : b4 c b 7 ≤ − ( x17 + x2 + x3 ) 81a a ⇔ − b3c 7 ≤ x17 + x2 + x3 81a 7 V y ta có : x17 + x2 + x3 ≥ − b3c 81a D u “=” x y ch x1 = x2 = x3 = − 2.6 b 3a NG D NG CÔNG TH C VIÈTE TRONG ĐA TH C Bài toán: Gi s m t nghi m c a ña th c P ( x ) = x3 + ax + bx + c (v i a, b, c ∈ Z ) b ng tích c a hai nghi m Ch ng minh r ng P ( −1) chia h t cho P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) 18 Gi i G i x1 , x2 , x3 ba nghi m c a ña th c P ( x ) = x3 + ax + bx + c Theo gi thi t c a toán m t nghi m b ng tích c a hai nghi m kia, gi s x3 = x1 x2 Áp d ng cơng th c Viète ta có :  x1 + x2 + x1 x2 = − a  x1 + x2 + x1 x2 = − a    x1 x2 + x2 x1 x2 + x1 x2 x1 = b ⇔  x1 x2 (1 + x1 + x2 ) = b   2  x1 x2 x1 x2 = − c  x1 x2 = − c T b − c = x1 x2 (1+ x1 + x2 + x1 x2 ) = x1 x2 (1 − a ) b−c s h u t 1− a i, V i a ≠ x1 x2 = Mà x12 x2 = − c s ngun x1 x2 s nguyên Ta có P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) = (1 + a + b + c ) + ( −1 + a − b + c ) − (1 + c ) = − + 2a = − (1 − a ) = −2 (1 + x1 + x2 + x1 x2 ) = − (1 + x1 )(1 + x2 ) ≠ ( 2.11) M t khác P ( −1) = ( −1 + a − b + c ) = −  −1 − x1 − x2 − x1 x2 − x1 x2 (1 + x1 + x2 ) − x12 x2    = − (1 + x1 x2 )(1 + x1 )(1 + x2 ) T ( 2.11) ( 2.12 ) ta có: P ( −1) = (1 + x1 x2 )  P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) )    ( 2.12 ) 19 ⇒ P ( −1) P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) = + x1 x2 Vì x1 x2 s nguyên nên + x1 x2 s ngun Do P ( −1) chia h t cho P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) ii, V i a = x1 + x2 + x1 x2 = − ⇔ + x1 + x2 + x1 x2 =  x1 = −1 ⇔ (1 + x1 )(1 + x2 ) ⇔   x2 = −1 Suy P ( x ) có m t nghi m b ng -1 Hay P ( −1) = ⇒ P ( −1) = Do P ( −1) chia h t cho P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) V ys P ( −1) chia h t cho s P (1) + P ( −1) − (1 + P ( ) ) v i a , b, c ∈ Z 2.7 NG D NG CÔNG TH C VIÈTE TRONG HÌNH H C Bài tốn: Cho Parabol ( P ) : y = x M t ñư ng th ng b t kỳ ñi qua tiêu ñi m c a Parabol ñã cho c t Parabol t i hai ñi m phân bi t A B Ch ng minh r ng tích kho ng cách t A B đ n tr c hồnh m t đ i lư ng khơng đ i Gi i Parabol ( P ) : y = 2.2 x có tham s tiêu p = tiêu ñi m F (1; ) G i ñư ng th ng ñi qua tiêu ñi m F (1; ) c a Parabol ( d ) 20 i, Đư ng th ng ( d ) song song v i tr c Oy ⇒ ( d ) : x = Lúc ( d ) c t ( P ) t i hai ñi m A (1; − ) B (1; ) ⇒ AF BF = 2.2 = ii, Đư ng th ng (d ) không song song v i tr c Oy , ñó ñư ng th ng ( d ) có phương trình y = k ( x − 1) , v i k ≠ (vì ( d ) c t ( P ) t i hai ñi m phân bi t) Phương trình hồnh đ giao m c a (d ) v i (P) : k ( x − 1) = x ⇔ k x − ( k + ) x + k = Ta có ∆ ' = 4k + > 0, ∀k ≠ Do ( d ) ln c t (P) hai ñi m phân bi t G i x1 , x2 l n lư t hồnh đ c a A B  y1 = k ( x1 − 1)  Như v y A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) , v i   y2 = k ( x2 − 1)  Ta có d ( A ; Ox ) d ( B ; Ox ) = y1 y2 = k ( x1 − 1)( x2 − 1) = k  x1 x2 + − ( x1 + x2 )     x1 x2 =  Theo cơng th c Viète , ta có :  ( k + 2)  x1 + x2 = k2   2( k + 2)  1 +1 −  = −4 = Nên y1 y2 = k k2     t i 21 A B ñ n tr c hồnh m t V y tích kho ng cách t đ i lư ng khơng đ i 2.8 NG D NG CÔNG TH C VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN LƯ NG GIÁC Bài tốn: Cho p, r , R l n lư t n a chu vi, bán kính đư ng trịn n i ti p, ngo i ti p tam giác ABC Ch ng minh r ng : p ≥ 3r + 12r.R D u b ng x y nào? B Gi i P M r r I r A Xét ∆AMI vng t i M , ta có cot ⇒ AM = IM cot Và p − a = C N A AM = IM A A = r.cot 2 b+c−a AN + CN + AM + BM − CP − BP = 2 Mà AM = AN , BM = BP, CN = CP nên p − a = AM = r.cot ⇒ r = ( p −a) A cot = ( p − a ) tan A A 22 A tan a = Ta có sin A = A 2R + tan 2 A r Thay tan = vào p−a ⇔ ( 2.13) ( 2.13) : a = 2R 2r p−a r2 1+ ( p − a )2 2r ( p − a ) a = 2R ( p − a )2 + r ⇔ a ( p − pa + a ) + ar = 4rRp − 4rRa ⇔ a − pa + ( p + r + 4rR ) a − 4rRp = Tương t v i b, c ta có a, b, c trình : nghi m c a phương x3 − px + ( p + r + 4rR ) x − 4rRp =  a + b + c = 2p Theo công th c Viète :  2  ab + bc + ca = p + r + 4rR M t khác, áp d ng b t ñ ng th c Bunyakovski: ( a + b2 + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) ⇒ p ≥ ( p + r + 4rR ) ⇒ p ≥ 3r + 12rR D u b ng x y ch a b c = = b c a ⇒ a = b = c hay ABC tam giác đ u 23 Các tốn tương t y = x3 − 3ax + 4a Xác ñ nh Cho hàm s ñ ñư ng th ng a y = x c t ñ th hàm s t i ba ñi m A, B, C v i AB = BC x+ Cho hai s th c không âm x, y th a mãn ñi u ki n Tìm giá tr Q= nh x +1 + nh t, giá tr l n nh t c a y = bi u th c y+9 Gi i phương trình: + x + − x + (1 + x )(8 − x ) = x+ y + + =  x y  Gi i h phương trình   x2 + y + + =  x2 y2  G i m , n, p ba nghi m c a phương trình b c ba ax + bx + cx − a = Ch ng minh r ng : m2 + n2 + p ≥ Cho ba s ax + bx + c + + m n 2+ p nguyên a, b, c , bi t r ng a > , cịn đa th c có hai nghi m khác kho ng minh r ng a ≥ Tìm nh t m t c p s b, c ñ ( 0; 1) a = Ch ng minh r ng: tan 200 + tan 400 + tan 800 = 33273 Ch ng 24 K T LU N Lu n văn “ NG D NG CÔNG TH C VIÈTE VÀO GI I TỐN THU C CHƯƠNG TRÌNH TRUNG H C PH THƠNG” th c hi n đư c v n ñ sau: Xây d ng vành ña th c m t n, nhi u n l y h t m t trư ng Đ c bi t vành ña th c ñ i x ng, t gi i thi u cơng th c Viète t ng quát Trên s tài li u tốn h c, đ c bi t tài li u v cơng th c Viète, đa th c ña th c ñ i x ng, lu n văn ñã sưu t m, h th ng phân lo i đư c m t s l p tốn gi i đư c b ng cơng th c Viète C th là: tốn liên quan đ n hàm s , tốn tìm giá tr l n nh t – giá tr nh nh t, tốn gi i phương trình, h phương trình, ch ng minh b t đ ng th c, tốn đa th c, tốn hình h c, lư ng giác Đ i v i m i l p tốn, ngồi nh ng ví d minh h a nh m làm sáng t kh ng d ng phong phú linh ho t c a công th c Viète, cịn có tốn tương t t d đ n khó dành cho h c sinh l p ch n, l p chuyên Hy v ng r ng n i dung c a lu n văn cịn ti p t c đư c hồn thi n m r ng n a nh m th hi n s qu c a công th c Viète ng d ng ña d ng hi u ... cơng th c Viète chương trình tốn b c ph thơng, tơi ch n đ tài “ NG D NG CƠNG TH C VIÈTE VÀO GI I TỐN THU C CHƯƠNG TRÌNH TRUNG H C PH THƠNG” cho lu n văn th c sĩ c a Lu n văn g m hai chương Đ thu... ña th c, hình h c, lư ng giác thu c chương trình tốn b c trung h c ph thơng M c đích nghiên c u - Nghiên c u ng d ng c a cơng th c Viète chương trình tốn ph thông - H th ng phân lo i m t s tốn... ng M Đ U Lý ch n ñ tài Đa th c, phương trình nh ng khái ni m b n quan tr ng chương trình tốn Trung h c ph thơng Bài tốn tìm nghi m c a đa th c, c a phương trình đ i s đư c nhà tốn h c quan tâm