********* HÀ DUY NGHĨA DẠNG MODUNLAR VÀ HÀM SỐ HỌC TIỂU LUẬN HÌNH HỌC SỐ HỌC i ********* HÀ DUY NGHĨA DẠNG MODUNLAR VÀ HÀM SỐ HỌC CAO HỌC TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số TIỂU LUẬN HÌNH HỌC SỐ HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI ii MỤC LỤC Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 2 1.1 Đặc trưng của nhóm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Quan hệ trực giao của đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 2 các hàm số học 7 2.1 Zeta hàm và L hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Zeta hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Zêta hàm Rieman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 L-Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Đặc trưng Modunlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Định nghĩa và tính chất của L-Hàm . . . . . . . . . . . 9 2.2.3 Tích các L hàm ứng với mọi χ ∈  G(m) . . . . . . . . . 10 Chương 3 Dạng modular 11 3.1 Nhóm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Miền cơ bản của nhóm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Hàm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.4 Không gian các dạng Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 LỜI MỞ ĐẦU Số học là bộ môn toán học ra đời từ rất sớm nhưng nó luôn được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu, bởi lẽ không vì sự bí ẩn của các con số mà nó còn ứng dụng quan trong cho cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật hiện nay như lý thuyết mật mã,kỹ thuật số, chuyên đề hình học số học là chuyên đề nghiên cứu số học dưới công cụ hình học, thiết lập mật mã bởi đường cong Eliptic là thế mạnh của phân môn này. Để làm đề tài tiểu luận kết thúc bộ môn tôi chọn đề tài " Dạng modular và hàm số học" , tiểu luận gồm 3 chương cùng với phần mở đầu và kết luận. Trong mỗi chương cụ thể như sau; Chương 1: Gồm các kiến thức cơ sở liên quan đến hai chương sau Chương 2: Giới thiệu hai hàm số học quan trọng đó là Zeta hàm và L hàm cùng với các tính chất của nó. Chương 3: Nói về các dạng Modular, không gian các dạng Modular . Mặc dù bản thân đã rất cố gắng trong học tập, nghiên cứu và được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để tiểu luận được hoàn thiện hơn. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Hà Huy Khoái người đã tận tình giúp đỡ, cùng tập thể lớp cao học toán khoá 11 tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tiểu luận này. Quy Nhơn, tháng 5 năm 2010 Hà Duy nghĩa 2 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đặc trưng của nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.1.1. Một đặc trưng của nhóm G là một đồng cấu từ G vào nhóm nhân các số phức khác không. Nói cách khác, đặc trưng của G là một hàm χ : G → C ∗ sao cho χ(a.b) = χ(a)χ(b), ∀a, b ∈ G Một đặc trưng χ gọi là tầm thường nếu χ(g) = 1, ∀g ∈ G được ký hiệu là χ T Gọi χ, χ  là hai đặc trưng của nhóm G, tích 2 đặc trưng là một hàm χ.χ  : G → C ∗ xác định bởi χχ  (g) = χ(g)χ  (g). Định lý 1.1.2. Đặc trưng của nhóm tùy ý G là nhóm Abel với phép toán nhân được định nghĩa như trên. Chứng minh. i)G đóng đối với phép toán nhân, tức là χ.χ  là đặc trưng của G, thật vậy χ.χ  (a.b) = χ(a.b).χ  (a.b) = χ(a)χ(b)χ  (a)χ  (b) = χ.χ  (a)χ.χ  (b) ii)Phần tử đơn vị là đặc trưng tầm thường χ T iii)Phần tử nghịch đảo của χ là χ −1 với χ −1 : G → C ∗ , được xác định χ −1 (g) = χ(g −1 ) khi đó χ −1 là đặc trưng của G và χ.χ −1 = χ T Tập hợp các đặc trưng của G lập thành nhóm, ký hiệu là  G gọi là nhóm đặc trưng hay nhóm đối ngẫu của G Giả sử rằngh : G 1 → G 2 là một đồng cấu nhóm và χ là đặc trưng của G 2 . Cái nối của χ bởi hký hiệu là h  χ được xác định bởi h  = χ ◦ χ, từ định nghĩa ta suy ra h  χ là một đồng cấu. Định lý 1.1.3. Giả sử rằng G 1 , G 2 là những nhóm . Khi đó χ là đặc trưng của G 1 × G 2 nếu và chỉ nếu χ = χ 1 ⊗ χ 2 , ∀χ 1 ∈  G 1 , χ 2 ∈  G 2 Hệ quả 1.1.4. Nếu G 1 , G 2 là những nhóm thì  G 1 × G 2 =  G 1 ⊗  G 2 3 Giả χ là đặc trưng của G và g là phần tử của G có cấp hữu hạnk. Từ χ(g) k = χ(g k ) = χ(1) = 1.Điều này kéo theo khẳng định rằng, những đặc trưng chuyển những phần tử có cấp hữu hạn vào căn của đơn vị. Cụ thể là : Nếu G là một nhóm và n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho g n = 1, ∀g ∈ G khi các đặc trưngcủa G sẽ cho tương ứng mỗi phần tử của G là căn bậc n của đơn vị . Từ đó suy ra nếu χ ∈  G thì |χ(g)| = 1∀g ∈ G, do đó χ(g) = χ(g) = 1 χ(g) = χ(g −1 ) = χ −1 (g) môđun [Proposition 1.1 [2] ] Với mọi đặc trưng không tầm thường χ của G thì  a∈G χ(a) = 0 Chứng minh. Lấy b ∈ G sao cho χ(b) = 1, gọi S =  a∈G χ(a), khi đó χ(b).S =  a∈G χ(b)χ(a)  ab∈G χ(ba) = S do đó S(χ(b) − 1) = 0 ⇒ S = 0 Từ mệnh đề trên, nếu thay G bằng  G ta có kết quả sau:  x∈  G χ(x) = 0, χ ∈   G Suy ra  χ∈  G χ(x) = 0, x ∈ G ∼ =   G môđun [proposition 1.3 , [2] ] Gọi ω là căn bậc n của đơn vị, khi đó ánh xạ χ j : Z n → C ∗ xác định bởi χ j (a) = ω ja là đặc trưngcủa Z n ∀j ∈ Z, ngoài ra: (a)χ j = χ k nếu và chỉ nếu j ≡ kmodn; (b)χ j = χ k 1 ; (c)  Z = {χ 0 , , χ n−1 }; (d)  Z n ∼ = Z n 4 Chứng minh. Trước hết chứng minh χ j là đặc trưng của Z n . Ta có χ j (a + b) = ω j(a+b) = ω ja ω jb = χ j (a)χ j (b), Vậy χ j là đặc trưng của Z n . (a)χ j = χ k nếu và chỉ nếu j ≡ k mod n; (⇒) Ta có χ j = χ k nên χ j (1) = χ k (1) ⇒ ω j = ω k ⇒ j ≡ k mod n. (⇐) Nếu j ≡ k mod n ⇒ j = k + tn ⇒ ω J = ω k+tn = ω k ⇒ χ j = χ k . (b) Hiển nhiên theo đinh nghĩa (c) Theo trên ta đã chứng minh  Z n là nhóm, nên để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh  Z n là nhóm xyclic cấp n.Thật vậy, ∀χ j ∈  Z n ta có χ n j (a) = χ j (na) = χ j (0) = 1 = χ 0 (a), a ∈ Z n .( Có thể giải thích theo định nghĩa của χ j (a) = ω ja ), khi đó ta suy ra được (c), (d). Hệ quả 1.1.5. G ∼ =  G Chứng minh. Vì G,  G là những nhóm hữu hạn nên G ∼ = Z n 1 ⊕ ⊕ Z n k , và  G ∼ =  Z n 1 ⊕ ⊕  Z n k , do đó theo Mệnh đề 1.1 tacó Z n 1 ∼ =  Z n 1 , , Z n k ∼ =  Z n k .Suy ra điều phải chứng minh. 1.2 Quan hệ trực giao của đặc trưng Gọi G là nhóm Abelian hữu hạn và H là nhóm con của G, ký hiệu ˆ G H là tập các đặc trưng của G có hạt nhân chứa H, tức là ∀h ∈ H, χ(h) = 1. Khi đó ta có các kết quả sau: Định lý 1.2.1. Nếu H là nhóm con của G và χ ∈  G thì  h∈H χ(h) =      |H| Nếu χ ∈  G H 0 Nếu χ /∈  G H Chứng minh. Gọi A =  h∈H χ(h), khi đó nếu χ ∈  G H thì χ(h) = 1, ∀h ∈ H suy ra A = |H|, ngoài ra nếu χ /∈  G H thì tồn tại h 0 ∈ H sao cho χ(h 0 ) = 1, khi đó A =  h∈H χ(h.h 0 ) = χ(h 0 )  h∈H χ(h) ⇒ A = 0 5 Định lý 1.2.2 (Quan hệ trực giao thứ 1). Gọi χ, ψ là hai đặc trưng của G khi đó  a∈G χ(a)ψ(a) =      n Nếu χ = ψ 0 Nếu χ = ψ Chứng minh. Trường hợp , nếu χ = ψ khi đó χ(a).χ(a) = χ(a) −1 χ(a) = 1 nên  a∈G χ(a)ψ(a) = n. Trường hợp, nếu χ = ψ thì χψ là đặc trưng không tầm thường, nên theo Mệnh đề 1.1 ta có điều phải chứng minh. Gọi C G là không gian các hàm tuyến tính f : G → C. Không gian này là không gian các hàm tuyến tính n chiều trên C. Với tích vô hướng được định nghĩa (f, g) = 1 n  a∈G f(a)g(a) (f, g ∈ C G ) Định lý 1.2.3.  G là cơ sở trực giao trong C G Chứng minh. Tacó : ∀χ, ψ ∈  G, (χ, ψ) = 1 n  a∈G χ(a)ψ(a) = 0 ( Theo Định lý 1.2.2) Ngoài ra,theo Hệ quả1.1.5 ta suy ra |  G| = n = dimC G . Gọi χ 0 , , χ n−1 là những đặc trưng của G = {a 0 , a 1 , , a n−1 . Khi đó ma trận vuông C = (χ i (a j )) là bảng đặc trưng của G Hệ quả 1.2.4. Ma trận A = 1 √ n C là ma trân đơn vị, hơn nữa A.A ∗ = A ∗ .A = I trong đó I là ma trận đơn vị và A ∗ là ma trân liên hợp của A Hệ quả 1.2.5 (Quan hệ trực giao thứ 2 ). Gọi a, b ∈ G khi đó  χ∈  G χ(a)χ(b) =        n Nếua = b 0 Nếu a = b Chứng minh. Thật vậy, nếu a = b ta có  χ∈  G χ(a)χ(b) =  χ∈  G χ(a)χ(a) =  χ∈  G |χ(a)| 2 = n 6 nếu a = b ta có  χ∈  G χ(a)χ(b) =  χ∈  G χ(a −1 )χ(b) =  χ∈  G χ(a −1 b) = 0 (Suy ra từ Mệnh đề 1.1) 7 Chương 2 CÁC HÀM SỐ HỌC 2.1 Zeta hàm và L hàm 2.1.1 Zeta hàm Định nghĩa 2.1.1. Cho f : N → C là hàm số học,fđược gọi là : Nhân tính nếu :∀m, n(m, n) = 1, f(m, n) = f(m).f(n) Nhân tính mạnh nếu :∀m, nf(m, n) = f(m).f(n) Bổ đề 2.1.2. Chuỗi ∞  n=1 f(n) n s hội tụ tuyệt đối khi Res > 1 và biểu diễn thành tích vô hạn  p∈ (1 + f(p)p −s + f(p 2 ).p −2s + +) trong đó f(n) là hàm nhân tính giới nội. Chứng minh. Vì f(n) là hàm nhân tính giới nội nên|f(n)| < M ⇒     f(n) n s     < M n X , X = Res > 1 chuỗi hội tụ tuyệt đối khi Res > 1. Lấy một tập hữu hạn S ⊂ { Tập hợp các số nguyên tố }, gọi N(S) ⊂ N là tập các số mà các ước nguyên tố thuộc S, giả sử S = p 1 , , p r ,khi đó N(S) = {n = p α 1 1 p α k k , α i ≥ 0} Khi đó ta có :  n∈N(s) f(n) n s =  f(p α 1 1 p α k k ) (p α 1 1 p α k k ) s Do f là hàm nhân tính nên f(p α 1 1 P alpha k k )=f(p α 1 1 ) f(p α k k ) do đó :  n∈N(s) f(n) n s =  α 1 α k f(p α 1 1 ) f(p α k k ) (p α 1 1 p α k k ) s = k  i=1   ∞  α i =0 f(p α 1 1 ) (p α i i ) s   , S → Từ đó suy ra: ∞  n=1 f(n) n s =  p∈ (1 + f(p)p −s + f(p 2 ).p −2s + +) Giả sử f(n) là hàm nhân tính mạnh giới nội, khi đó theo bổ đề trên ta cũng có [...]... i là hàm modular n u f(z) phân hình t i ∞ Hàm f(z) đư c g i là hàm modular tr ng s 2k n u f(z) là hàm modular tr ng s 2k và f(z) làm hàm ch nh hình trên H k c t i ∞ 13 Nh n xét: f(z) là d ng modular tr ng s 2k khi (i) f là hàm ch nh hình trên H (ii) f(z) có khai tri n f (z) = 1 (iii) f − z = z 2k f (z) 3.4 ∞ n=0 an e2πinz Không gian các d ng Modular Cho f và g là các d ng modular tr ng s 2k Khi đó... ).p−2s + +) 1 1−f (p).p−s = p∈P −1 (1 − f (p)p−s ) = p∈P Và công th c này g i là công th c Ơle 2.1.2 Zêta hàm Rieman T b đ trên ta th y khi f (n) = 1 ta luôn có: ζ(s) = (1 − p−s ) −1 ∞ 1 s , ζ(s) n=1 n = p∈P ζ là hàm Rieiman h i t tuy t đ i trên mi n Re s > 1 Đ nh lý 2.1.3 ζ Hàm Rieman là hàm ch nh hình trên mi n Re s > 0 Thác tri n đư c thành hàm phân hình trên mi n Res > 0 có c c đi m đơn t i s =... (n; m) = 1 và L(s, 1) có th thác tri n thành hàm phân hình trên mi n Re s > 0 và có c c đi m đơn t i s = 1 M nh đ 2.2.3 V i χ = chu i L(s, χ) h i t tuy t đ i trong Re s > 0(Re s > 1) đ ng th i có tích Euler L(s, χ) = −1 P (1 − χ(p).p−s ) , , Re s > 0 p∈ Ch ng minh ∀u, v ∈ N, u < v ta đ t Au,v = v u ta có u+m χ(n) = 0 u Do đó |Au,v | ≤ Φ(m) χ(n), theo tính ch t tr c giao 10 và không ph thu c vào u, v,... c g i là m t hàm modular y u trong s 2k n u f(z) phân hình trên H   a đ ng th i v i m i g =   b   ∈ SL2 (Z) ta có c d f (z) = (cz + d)−2k f ( az + b ) cz + d (3.1) Đ nh lý 3.3.2 Hàm phân hình f(z) trên n a m t ph ng H là d ng modular trong s 2k khi và ch khi f(z) th a mãn hai đi u ki n sau (i)f (z − 1) = f (z) 1 (ii)f − z = z 2k f (z) Đ nh nghĩa 3.3.3 Hàm modular y u f(z) g i là hàm modular... đ c trưng Modunlar χG(m) :−→ C∗ thác tri n lên Z, khi đó: •χ(n) = 0 n u (n, m) = 1 •χ(n) = χ(n mod m) n u (n, m) = 1 2.2.2 Đ nh nghĩa và tính ch t c a L -Hàm Đ nh nghĩa 2.2.1 Cho m ≥ 1, χ đ c trưng modular m,ta đ nh nghĩa L hàm ng v i đ c trưng χ đư c xác đ nh b i công th c ∞ L(s, χ) = χ(n).n−s n=1 M nh đ 2.2.2 N u χ = 1 thì L(s, 1) = F (s).ζ(s) trong đó F (s) = (1 − p−s ), ζ(s) là Zeta hàm Riemam... 0p (∆) 1 Ta có = 1 suy ra 0∞ (∆) = 1 và 0i (∆) = 0ρ (∆) = 0p (∆) = 0, ∀p = ∞ Do đó ∆ có không đi m đơn t i ∞ Hi n nhiên ánh x trên là đơn ánh 0 L y g tùy ý thu c Mk Ta có g (∞) = 0 và ∆ (∞) = 0 nên g/∆ ch nh hình k c t i ∞ T i đi m p = ∞ thì ∆ = 0 Vì g/∆ là hàm ch nh hình nên g/ ∈ M Đ t f = g/ ta có f ∈ M k−6 k−6 và g = ∆f suy ra ánh x trên là ∆ ∆ m t toàn c u và do đó nó là m t đ ng c u (ii) Xét... Φ(s) = ∞ n=1 Φ(n), các hàm Φn (s) ch nh hình theo s trong mi n Re s > 0 Đ chúng minh Φ(s) ch nh hình trong Re s > 0 ta ch ng minh chu i h i t tuy t đ i và đ u.Th t v y, ta có: n+1 (ns − t−s )dt ≤ max |Φn (s)| = n nên suy ra:|Φn (s)| ≤ |s| nX+1 , X n≤t≤n+1 ns − t−s = Re s T đó suy ra Φ(s) ch nh hình tronh mi n Re s > 0, ngoài ra khi s → 1, Φ(s) gi i n i 9 2.2 2.2.1 L -Hàm Đ c trưng Modunlar ∗ Gi s m ∈... ng minh h các đơn th c trên sinh ra Mk b ng quy n p như sau: N u k = 0 thì α = β = 0 N u k = 2 thì ch n α = 2 và β = 0 do đó M2 sinh b i G2 N u k = 3 thì ch n α = 0 và β = 3 do đó M3 sinh b i G3 N u k 4 thì ta luôn tìm đư c γ và δ sao cho 2γ + 3δ = k Xét 0 g = Gγ Gδ ∈ Mk sao cho g (∞) = 0 và f ∈ Mk Ta ph i tìm λ sao cho f − λg ∈ Mk 2 3 t c là tìm f (∞) Vì M 0 ∼ Mk−6 nên ta có f − λg = ∆h, h ∈ Mk−6... t trong các s β sao cho 2α0 + 3β0 = k T 2 (α − α0 ) + 3 (β − β0 ) = 0 ta có α − α0 và β − β0 do 3 2 đó α − α0 = 3m và β − β0 = −2n suy ra m = n T đó 0 ⇔ λαβ G3 2 m G2 3 −n =0⇔ λαβ G3 2 G2 3 N u λαβ không đ ng th i b ng không thì n =0 G3 2 G2 3 = c Khi đó T i ita có G3 = 0 và G2 = 0 ( vô lý ) T i ρ ta có G2 = 0 và G3 = 0 ( vô lý ) V y h sinh trên là m t h đ c l p tuy n tính, t c là Gα Gβ , α, β ∈... 3.4.2 Gi s f là hàm modular tr ng s 2k khác 0 Khi đó ta có 0∞ (f ) + k 1 0p (f ) = , (ep là c p c a nhóm n đ nh t i p ) 6 p∈D ep Vi t l i, 0∞ (f ) + 1 0i (f ) + 1 0ρ (f ) + 2 3 ∗ 0p (f ) = p∈H/G k 6 (*) trong đó ∗ là t ng theo m i modun trong H/G khác i, ρ và các đi m đ ng dư v i i, ρ Nh n xét: ∗ 0p (f ) ch là t ng h u h n ( t c là, ch có h u h n đi m mà t i đó 0ρ (f ) = 0 ) N u f là hàm modular thì . NGHĨA DẠNG MODUNLAR VÀ HÀM SỐ HỌC TIỂU LUẬN HÌNH HỌC SỐ HỌC i ********* HÀ DUY NGHĨA DẠNG MODUNLAR VÀ HÀM SỐ HỌC CAO HỌC TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đại số và lý. ra từ Mệnh đề 1.1) 7 Chương 2 CÁC HÀM SỐ HỌC 2.1 Zeta hàm và L hàm 2.1.1 Zeta hàm Định nghĩa 2.1.1. Cho f : N → C là hàm số học,fđược gọi là : Nhân tính