Đang tải... (xem toàn văn)
64 câu khảo sát hàm số giải chi tiết
Chuyªn ®Ị kh¶o s¸t hµm sè: Híng dÉn vµ ®¸p ¸n Bài 1: 1) Khảo sát hàm số: 1 1 x y x (C) TXĐ: D = R \ (1) 2 2 ' 0 ( 1) y x Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh. TCĐ: x = 1 vì 1 lim x y TC N: y = 1 vì lim 1 x y BB T: Đồ thò: 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1): Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) + 1 (d) tiếp xúc (C) 2 x+1 = k(x-3) + 1 (1) x-1 - 2 = k (2) (x-1) co ù nghiệm Thay (2) vào (1) : 2 1 -2(x-3) 1 1 (x-1) x x 2 2 1 2( 3) ( 1) 4 8 2 x x x x x Thay vào (2) 2 k Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7 3) 0 0 0 ( , ) ( ) M x y C . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc M. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: 0 0 0 ' ( )( ) y f x x x y 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 1 3 1 3 ) 1 ( 1) ( 1) -3 ( ( -1) x x x x x x x x y x x Gi ao điểm với tiệm cận đứng x =1. 0 0 0 0 4 4 1 1, 1 1 x x x y A x x Gi ao điểm với tiệm cận ngang y = 1. 0 0 5 2 5 2 1 ,1 3 3 x x y x B Gi ao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1) Ta có : 0 0 0 4 5 21 1 1 . . 1 . 1 2 2 2 1 3 A I B I IAB x x IA IB y y x x x S 0 0 5 21 5 25 . 1 hằng số 2 1 3 6 x x Vậy: IA B S kh ông phụ thuộc vào vò trí điểm M. A B M O x y www.PNE.edu.vn C©u 2: (2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số: 2 1 x y x TXĐ: D=R\{1} 3 , 0 2 1 y x Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh TCD: x=1 vì lim 1 y x TC N: y=1 vì l im 1 y x BB T: Đồ thò: 2) Xác đònh a để từ A(0,a) kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp điểm đến nằm về 2 phía của 0x. Gọi ( ; ) ( ) 0 0 M x y C 2 0 0 1 0 x y x Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: ' ( )( ) 0 0 0 y f x x x y 2 2 4 2 3 3 0 0 0 ( ) 0 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0 0 0 0 x x x y x x y x x x x x Tiếp tuyến qua A(0,a) 2 4 2 0 0 2 ( 1) 0 x x a x 2 ( 1) 2( 2) 2 0 0 0 a x a x a (1) (vì 0 x = 1 không là nghiệm) Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là: 1 0 1 , 2 0 a a a Kh i đó (1) có 2 nghiệm là 0 x , 1 x T ung độ tiếp điểm 2 0 0 1 0 x y x v à 2 1 1 1 1 x y x Điều kiện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox. www.PNE.edu.vn 13 2 2( ) 4 2 0 0 1 0 1 1 0 . 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 2 4( 2) 4 9 6 2 1 1 0 0 3 2 0 2 2( 2) 3 3 1 1 1 x x x x x x y y x x x x x x a a a a a a a a a a a To ùm lại: 2, 1 2 3 a a a 2 3 a và 1 a ĐS: 2 , 1 3 a a C©u 3: (2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số: 2 2 1 1 x x y x TXĐ: D = R\{-1} 2 2 4 ' 2 ( 1) x x y x 0 ' 0 2 x y x Tiệm cận đứng: x= -1 vì lim 1 y x Ta có: 2 2 1 1 y x x Tie äm cận xiên: y = 2x - 1 vì 2 l im 0 1x x BB T Đồ thò: Cho x = 1 suy ra y = 2. 2) Gọi M (C) có X M = m. Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không phụ thuộc m. Ta có: X M = m 2 2 1 1 y m M m Tie äm cận đứng : x + 1 = 0 (D1) Suy ra d 1 (M, D1) 1 1 1 m m Tiệm cận xiên: 2x – y – 1 = 0 (D2) d 2 ( M,D2) = 2 2 2 1 1 2 1 5 5 1 m m m m Suy ra d 1 .d 2 = 2 2 1 5 1 5 m m (kh ông phụ thuộc m) www.VNMATH.com www.PNE.edu.vn C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số: 2 2 2 1 x mx y x 1) Tìm m để diện tích tam giác tạo bởi TCX và 2 trục tọa độ bằng 4. Ta có: 2 2 1 m y x m x Với 0 m thì TCX: y = 2x + m + 2 vì lim 0 1 m x x Giao điểm TCX và Ox: y = 0 0, 2 2 2 2 m A m x Giao điểm TXC và oy: 0 2 (0, 2) x y m B m 1 1 2 . 2 4 2 2 2 OAB m S OA OB m 2 2 ( 2) 16 6 m m m ( thỏa điều kiện 0 m ) 2) Khảo sát và vẽ đồ thò khi m = -3: 2 2 3 2 (C ) 1 x x y x TXĐ: D = R\ {1} 0 )1( 542 ' 2 2 x xx y 1 x Suy ra hàm số tăng trên từng khoảng xác đònh. TCĐ: x = 1 vì lim 1 y x TC X: y = 2x - 1 (theo câu 1) BBT: Đồ thò: 0 2, 2 0 x y x y C©u 5: (2 điểm) Cho: y = x 4 – (m 2 + 10)x 2 + 9 (C m ). 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số với m = 0. y = x 4 – 10x 2 + 9 TXD: D = R 3 2 ' 4 20 4 ( 5) y x x x x 0 ' 0 5 x y x 5 44 2 ' ' 12 20 '' 0 3 9 y x y x y điểm uốn 5 44 5 44 ; ; 3 9 3 9 BBT: www.PNE.edu.vn Đồ thò: Cho 2 1 1 0 2 3 9 x x y x x 2) Chứng minh rằng với 0 m , (C m ) luôn luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm (-3,3) và 2 điểm nằm ngoài (-3,3). Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và Ox. 4 2 2 ( 10) 9 0 x m x ( 1) Đặt 2 ( 0) t x t Phư ơng trình trở thành: 2 2 ( 10) 9 0 t m t (2) Ta có: mmS P mm ,010 09 ,036)10( 2 22 0 < t 1 < t 2 ( 1) có 4 nghiệm phân biệt 2 1 1 2 x x x x Đa ët f(t) = 2 2 ( 10) 9 t m t Ta có: af(9)= 2 2 81 9 90 9 9 0, 0 m m m 0 9 1 2 t t 2 9 ( 3;3) 1 1 3 3 2 1 1 2 2 ( 3;3) 9 2 2 x x x x x x x x Vậy (C m ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm ( 3,3) và 2 điểm ( 3,3) . C©u 6: (2 điểm) Cho hàm số 3 2 ( ) ( 3) 3 4 y f x x m x x ( m là tham số) 1) Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò này. Ta có: 2 2 ' 3 2( 3) 3; ' 0 3 2( 3) 3 0 (1) y x m x y x m x Ha øm số có CĐ, CT ( 1) có 2 nghiệm phân biệt. 2 2 ' 0 ( 3) 9 0 6 0 6 0 m m m m m Chia f(x) cho f’(x) ta được : 1 1 2 1 2 ' ( ) ( 3) ( 6 ) 5 3 9 9 3 y f x x m m m x m Va äy phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là: 2 1 2 ( 6 ) 5 9 3 y m m x m . 2) Tìm m để ( ) 3 f x x v ới mọi 1 x T a có: 4 3 2 ( ) 3 , 1 ( 3) 4 0 , 1 3 , 1 2 f x x x x m x x m x x x www.PNE.edu.vn min ( ) 1 m g x x với 4 ( ) 3 2 g x x x Ta có: 3 8 8 '( ) 1 , 1 ; '( ) 0 2 3 3 x g x x g x x x x +) BBT: min ( ) 0 1 g x x Vậy: 0 m C© u 7: (2 điểm) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò 2 6 9 ( ) 2 x x y C x TXĐ: D = R\ {2} 2 4 3 ' 2 ( 2) x x y x 1 ' 0 3 x y x TC Đ: x = 2 vì lim 2x ; Ta có: 1 4 2 y x x TC X: y = - x + 4 vì 1 l im 0 2x x BB T: Đồ thò: Cho x = 0 9 2 y b) Tìm M Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) song song với đường thẳng y= 3 4 x có dạng. Gọi M(0, b) Oy , tiếp tiếp qua M song song đường thẳng 3 4 y x co ù dạng: (D): 3 4 y x b (D) tiếp xúc (C) 2 6 9 3 (1) 2 4 2 4 3 3 (2) 2 4 ( 2) x x x b x x x x co ùnghiệm (2) 2 4 0 0 4 x x x x Thay vào (1): 9 5 0 ; 4 2 2 x b x b Vậy : 9 5 ( 0; ), (0; ) 1 2 2 2 M M C©u 8: (2 điểm) a) Khảo sát (1) 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1) y x m x m m x k hi m= 1: 3 2 1 : 2 9 12 1 m y x x x TXĐ: D= R www.PNE.edu.vn 1 6 2 ' 6 18 12 ; ' 0 2 5 3 11 3 11 '' 12 18 ; '' 0 , 2 2 2 2 x y y x x y x y y x y x y điểm uốn I BBT: Đồ thò: b) Chứng minh rằng m hàm số (1) luôn đạt cực trò tại x 1 , x 2 với x 1 - x 2 k hông phụ thuộc m. Ta có: 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 2 2 ' 6 6(2 1) 6 ( 1); ' 0 (2 1) ( 1) 0 (*) 2 (2 1) 4 ( 1) 1 0 y x m x m m x y x m x m m y x m x m m m m m (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x . Hàm số luôn đạt cực trò tại 1 2 , x x . Ta có: 2 1 1 2 ; 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 x m m x m m x x m m (hằng số) Vậy: 2 1 x x k hông phụ thuộc m. Bµi 9: (2 điểm) a) Khảo sát hàm số: 2 5 4 y x x . Tập xác đònh: D = R y’= 2x – 5 BBT: Đồ thò: b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parapol: 2 ( ) : 5 6 1 P y x x v à 2 ( ) : 5 11 2 P y x x www.PNE.edu.vn - Gọi : y= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2). - tiếp xúc với (P1) và (P2). 2 5 6 2 5 11 x x ax b x x ax b co ùnghiệm kép co ùnghiệm kép 2 (5 ) 6 0 2 (5 ) 11 0 2 0 10 4 1 0 3 3 1 0 2 10 5 10 4 19 0 2 x a x b x a x b a a b a a b b a a b co ùnghiệm kép co ùnghiệm kép Vậy phương trình tiếp tuyến chung là: y = 3x – 10 hay y = - 3x + 5 C©u 10: (2 điểm) a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: 3 2 3 ( ) y x x C TXĐ: D = R 2 ' 3 6 3 ( 2) y x x x x 0 ' 0 2 x y x '' 6 6 y x ' ' 0 1 2y x y Đ iểm uốn I(-1, 2) +) BBT: Đồ thò: Cho x = -3, y = 0 x = 1, y = 4 b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau. Gọi M(a ,0) Ox , đ ường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là: y = k( x - a) (d) tiếp xúc (C) 2 3 ( ) (1) 2 3 6 (2) x x k x a x x k 3 co ùnghiệm Th ay (2) vào (1): 2 2 3 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0 0 2 3( 1) 6 0 2 3( 1) 6 0 (3) x x x x x a x a x ax x x x a x a x a x a 3 3 2 2 2 Với x = 0 k = 0 1 tiếp tuyến là y = 0. www.PNE.edu.vn +) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau ( 3) có 2 nghiệm phân biệt , 0 1 2 x x v à 1 1 2 k k . 0 0 2 0 9( 1) 48 0 2 2 2 (3 6 )(3 6 ) 1 9( ) 18 ( ) 36 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 1 3 vì x x = - 3a 3 1 2 2 81 81 ( 1) 108 1 0 3(a-1) x + x = 1 2 2 a a a a x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a và a 0 và a 0 -27a 1 27 a + 1 = 0 Va äy chỉ có 1 điểm 1 ( ,0) 27 M Ox th oả điều kiện bài toán. C©u 11: (2 điểm) Cho hàm số: 4 3 2 3 4 1 6 1 ( ) y x m x mx m C m 1) Khảo sát hàm số khi m= -1: 4 2 3 6 2 y x x TXĐ: D = R 3 2 ' 12 12 12 1 y x x x x 0 ' 0 1 x y x 1 1 1 1 2 '' 36 12 '' 0 , , 3 3 3 3 y x y x y 1 1 điểm uốn - 3 3 BB T: Đồ th ò: Cho y=2 0 4 2 3 6 0 2 x x x x 2) Tìm giá trò m < 0 để (C m ) và ( ) : 1 y có ba giao điểm phân biệt. Ta có: 4 3 2 3 4 1 6 1 ; y x m x mx m 0 1 3 3 2 ' 12 12 1 12 12 1 ' 0 1 4 3 2 1 x y m y x m x mx x x m x m y x y m x m y m m m x - -1 0 1 + y’ - 0 + 0 - 0 + y + 2 + CĐ -1 -1 www.PNE.edu.vn ( ) C m Và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nếu đường thẳng :y=1 đi qua điểm cực trò của ( ) C m . 1 1 0( ) 1 1( ) 4 3 2 2 1 1 1 1 0 m m m m m m m m m m m l oại loại 0 ( ) 1 ( ) 1 5 ( ) 2 1 5 ( ) 2 m m m m l oại loại loại nhận vì m < 0 ĐS : 1 5 2 m C© u 12: (2 điểm) Cho 3 2 3 2 2 ( ) y x x m x m C m 1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( ) 1 C khi m = 1. 3 2 3 3 2 ( ) 1 y x x x C TXĐ: D = R 2 2 ' 3 6 3 3 1 0 y x x x suy ra hàm số luôn tăng trên R ' 0 1 ; '' 6 6 y x y x ; '' 0 1 1y x y đ iểm uốn I(-1, 1). BBT: Đồ thò: Cho x = 0, y = 2 x = -2, y = 0 ' 0y I tie áp tuyến tại I song song Ox. 2) Tìm m để ( ) m C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) m C v à Ox. 3 2 2 3 2 2 0 2 0 2 ( 1) 2 0 (2) x x m x m x x x m x x x m ( ) m C cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ âm (2) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2. 2 2 2 0 1 4 0 1 1 0 0 0 4 4 0 0 1 0 m m m m m m P m m S ĐS: 1 0 4 m C©u 13: (2 ®iĨm) Cho 3 2 7 3 y x mx x ( 1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 5. 3 2 5 7 3 y x x x TXĐ : y’= 3x 2 +10 x + 7 www.PNE.edu.vn [...]... = 4, a = -55 Tiếp điểm 0, 4 3, 2 3, 2 Cho hàm số: y = x3-(2m + 1)x2+ (m2 - 3m + 2)x + 4 Câu 26: a) Khảo sát hàm số khi m = 1: y=x3 - 3x2 + 4 TXD: D = R y' = 3x2 - 6x ; x 0 y' 0 x 2 y’’= 6x – 6 ; y’’= 0 x = 1 y = 2 điểm uốn I(1, 2) BBT: Đồ thò: x = 3, y = 4 x = -1, y = 0 www.PNE.edu.vn b) Xác đònh m để đồ thò hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ở về 2 phía trục tung Ta có:... có phương trình : y Câu 30: x 2 2mx 2 x 1 1 Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số với m = 1: x2 2x 2 y x 1 TXĐ : D R \ 1 Cho hàm số : y x2 2 x y' ( x 1)2 x 0 y' 0 x 2 Tiệm cận đứng : x = -1 vì lim x1 Ta có: y x 1 1 x 1 Tiệm cận xiên : y = x + 1 vì lim x BBT: 1 0 x 1 5x 2 www.PNE.edu.vn Đồ thò: Y (C) O X 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu... ĐS : m 2 Câu 31: 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: y x 3 6 x 2 9 x (C) TXĐ : D = R y ' 3 x 2 12 x 9 x 1 y' 0 x 3 y " 6 x 12 y " 0 x 2 y 2 điểm uốn (2, 2) BBT: Đồ thò: Y 4 (C) 2 O 1 2 3 4 X www.PNE.edu.vn 2) a) Từ đồ thò (C) hãy suy ra đồ thò (C1 ) của hàm số: 3 y1 x 6 x 2 9 x 3 2 Ta có: y1 x 6 x 9 x y1 f ( x ) Đây là hàm số chẵn nên... 2 1) 2 2 x3 và các tiệm cận của đồ thò hàm số đó: 2) Tìm tập giá trò của y x2 1 Miền xác đònh R 1 1 3x , y' 0 x y' 2 2 3 ( x 1) x 1 2( x1 1)2 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận: Miền giá trò của hàm số : (1, 10} Đồ thò có 2 đường tiệm cận ngang: y 1 y 1 CÂU 33: 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: x2 2x 2 y x 1 TXĐ: D = R\{1} y' x2... 0 ' 0 m 0 2 m 6m 4 0 m 0 m 3 5 m 3 5 Vậy: m 3 5 m 3 5 và m 0 thì hàm số có cực đại, cực tiểu 2) Khảo sát hàm số khi m = 1: y 2 x2 5 x x2 (C ) TXĐ: D = R\ {-2} y' 2 x 2 8 x 10 0 x2 2 x 2 Hàm số tăng trên từng khoảng xác đònh Tiệm cận đứng : x = -2 vì lim y x 2 Ta có: y 2x 1 2 x2 Tiệm cận xiên: y = 2x... 4 6 9 Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ từ 0 đến đồ thò (1) Tọa độ tiếp điểm là: x 3 6 y 3 6 3 M1 (3 6,3 6 3) x 3 6 y 3 6 3 M 2 (3 6, 3 6 3) 1 (1) Câu 28: Cho hàm số: y x3 x m 3 2 1) Khảo sát hàm số (1) khi m 3 1 3 2 y x x (C) TXD: D = R 3 3 y' x 2 1 x 1 y' 0 x 1 y'' 2 x y'' 0 x 0 y 2 2 điểm uốn I(0, ) 3 3 BBT: Đồ thò: Cho x... điểm tương ứng là: (0, 0), (-2, 0), (1, 0) C©u 18: ( 3 điểm) 1) Khảo sát hàm số: y y' 2 0 ( x 1)2 x 1 x 1 (C) TXĐ: D = R \ (1) Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh TCĐ: x = 1 vì lim y x 1 TCN: y = 1 vì lim y 1 x BBT: Đồ thò: y A M 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1): Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k: y = k( x-3) + 1 x+1 x-1 = k(x-3) + 1 (d) tiếp... 2 1 5 25 0 1 hằng số 2 x0 1 3 6 Vậy: SIAB không phụ thuộc vào vò trí điểm M m 3 x 2(m 1) x 3 1 y x3 4x a) Khảo sát hàm số khi m= 1: 3 Cho y f ( x ) C©u ( 2 điểm) TXĐ: D = R x 2 y ' x2 4 y' 0 x 2 ; y " 2x y" 0 x 0 y 0 y’ + y Đồ thò: Cho x 4 y x 4 y -2 x Điểm uốn O(0, 0) BBT: 0 0 16 3 16 3 b)Tìm m để đồ thò hàm số có cực đại, cực tiểu... 4 x x 0 y' y' 0 2 ( x 2) x 4 4 Tiệm cận đứng: x = -2 vì lim x 2 x 2 4 Chia tử cho mẫu: y x 2 x2 4 0 Tiệm cận xiên: y= x + 2 vì lim x x 2 a .Khảo sát hàm số : y TXĐ: D R \ {2} (I) BBT: Đồ thò: Y (C1) (C1) 4 x2 4 x 8 b.Từ đồ thò (C) suy ra đồ thò hàm số : y1 x2 2 -4 (C1 ) Ta có : y y1 -y (III) nếu x > -2 -2 O -4 (C) nếu x < -2 Do đó đồ thò... 8 m 1 3 4m 6m 2 0 m 1 ĐS: m 1 CÂU 36: (nhận) m 1 3 m 1 4m 4m 2 0 www.PNE.edu.vn 2 x 2 (6 m) x mx 2 Cho hàm số y 1) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu: Ta có: y ' 2mx 2 8 x 12 2m mx 2 2 y ' 0 2mx 2 8 x 12 2m 0 mx 2 4 x 6 m 0 (1) Hàm số đạt cực đại và cực tiểu (1) có 2 nghiệm phân biệt m 0