Khai triển Taylor 1. Khai triển Taylor 1.1. Các công thức. Cho hàm số ( ) xf xác định trên [ ] ba; . Khi đó ( ) bax ; 0 ∈∀ ta có: + Nếu ( ) xf khả vi liên tục tới cấp 1 − n trên [ ] ba; , khả vi cấp n tại 0 x thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn n xxxx n xf xfxf 00 0 0 ! −+−++=  (Công thức Taylor với phần dư Peano) + Nếu ( ) xf khả vi liên tục tới cấp n trên [ ] ba; , khả vi cấp ( ) 1+n trên khoảng ( ) ba; thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 0 !1! + + − + +−++= n n n n xx n cf xx n xf xfxf với c giữa x và 0 x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 0 00 1 0 0 0 !1! + + − + −+ +−++= n n n n xx n xxxf xx n xf xfxf θ với 10 << θ (Công thức Taylor với phần dư Largrange) Để tiện ứng dụng, chúng ta sẽ gọi n là cấp khai triển, 0 x là điểm khai triển, x là điểm áp dụng. 1.2. Nhận xét. Để có thể khai triển đến cấp n , công thức với phần dư Peano cần điều kiện nhẹ nhất, tiếp đến với phần dư Lagrange (Tuy nhiên lượng thông tin có thể theo chiều ngược lại). 2. Bài tập 2.1. Phần dư 2.1.1. Giả sử [ ) +∞→ ;0: Rf khả vi vô hạn lần sao cho i) Tồn tại ( ) ( ) ∗ ∈∀∈∀≤> NR nxLxfL n ,,,0 ; ii) ∗ ∈∀=       Nn n f ,0 1 . Chứng minh rằng ( ) 0=xf . 2.1.2. Giả sử là hàm chẵn, khả vi 2 lần và ( ) 00 " ≠f . Chứng minh rằng 0=x là điểm cực trị. 2.1.3. Chứng minh rằng nếu ( ) xf " tồn tại thì a) ( ) ( ) ( ) ( ) xf h hxfxfhxf h " 2 0 2 lim = −+−+ → b) ( ) ( ) ( ) ( ) xf h xfhxfhxf h " 2 0 22 lim = ++−+ → . 2.1.4. Chứng minh rằng nếu ( ) xf '" tồn tại thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xf h xfhxfhxfhxf h '" 3 0 323 lim = −+++−+ → . 2.2. Chọn điểm khai triển – Điểm áp dụng 2.2.1. Giả sử ( ) xf khả vi hai lần; ( ) ( ) [ ] ( ) 1min;010 1;0 −=== ∈ xfff x . Chứng minh rằng [ ] ( ) 8max " 1;0 ≥ ∈ xf x . 2.2.2. Cho hàm ( ) xf khả vi ba lần trên R đồng thời ( ) ( ) ( ) ( ) xfxfxfxf '""' ,,, dương với mọi R ∈ x . Chứng mih rằng tồn tại 0 > a sao cho ( ) 0, 2 >∀> xaxxf . 2.2.3. Giả sử ( ) xP là đa thức bậc n sao cho R ∈∃ a để ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ,0,0 ' >≥≥ aPaPaP n . Chứng minh rằng mọi nghiệm thực của ( ) xP đều không lớn hơn a . 2.2.4. Giả sử ( ) xP là đa thức không có nghiệm thực. Chứng minh rằng đa thức ( ) ( ) ( ) ( ) !4!2 4:" +++ xPxP xP cũng không có nghiệm thực. 2.2.5. Đối với hàm ( ) xf khả vi 3 lần trên [ ] 1;1− , chứng minh tồn tại các hằng số CBA ,, thỏa mãn đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,00 3' →+=++− hhOhfhCfBfhAf . 2.2.6. Cho ( ) xg là đa thức bậc 1996. Biết rằng với mọi R ∈ x ta đều có ( ) ( ) ( )( ) hxhxhgxghxg , ' θ ++=+ , trong đó ( ) hx, θ bị chặn, ( ) xxg ∀≠ ,0 " . Tìm ( ) hx h ,lim 0 θ → . 2.2.7. Cho ( ) xf khả vi liên tục đến cấp 2 trên [ ] ( ) ( ) 010;1;0 == ff và ( ) ( ) 1;0, " ∈∀≤ xAxf . Chứng minh rằng ( ) 2 ' A xf ≤ với 10 ≤≤ x . 2.2.8. Giả sử ( ) xf là hàm khả vi vô hạn trên ( ) ( ) , 2,1,00, =∀= kf k R và ( ) ( ) 0,,0 >∀∈∀≥ xkxf k N . Chứng minh rằng ( ) 0=xf với 0 > x . 2.2.9. Giả sử " f tồn tại và giới nội trong ( ) ∞;0 . Chứng minh rằng nếu ( ) 0lim = ∞→ xf x thì ( ) 0lim ' = ∞→ xf x . 2.2.10. Giả sử f khả vi liên tục cấp hai trên ( ) ∞;0 , thỏa mãn ( ) 0lim = +∞→ xxf x và ( ) 0lim " = +∞→ xxf x . Chứng minh rằng ( ) 0lim ' = +∞→ xxf x . 2.2.11. Cho f khả vi trên [ ] ba; và giả sử rằng ( ) ( ) 0 '' == bfaf . Chứng minh rằng nếu " f tồn tại trong ( ) ba; thì tồn tại ( ) bac ;∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) afbf ab cf − − ≥ 2 " 4 . 2.2.13. Giả sử [ ] R→− 1;1:f khả vi cấp ba và biết rằng ( ) ( ) 001 ==− ff , ( ) 11 =f và ( ) 00 ' =f . Chứng minh rằng tồn tại ( ) 1;1−∈c sao cho ( ) 3 '" ≥cf . 2.3. Cấp khai triển 2.3.1. Giả sử ( ) xf có đạo hàm liên tục đến cấp 1+n trên khoảng ( ) 1;1− và ( ) ( ) 00 1 ≠ +n f , hơn nữa giả sử 10: <<∀ xx ta có công thức Maclaurin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 !!1 0 00 1 1 ' <<+ − +++= − − θ θ n n n n x n xf x n f xffxf . Tính θ 0 lim →x . 2.3.2. Giả sử RR →:f khả vi liên tục đến cấp 3. Chỉ ra rằng tồn tại R ∈ a sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 0 '""' ≥afafafaf . 2.4. Khai triển thành chuỗi Taylor 2.4.1. Với những số thực c nào thì R∈∀≤ + − xe ee cx xx , 2 2 . ( ) ∗ 2.4.2. Chứng minh rằng với ( ) 1;0∈x thì xxx xx ln1 1− <− . 2.4.3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên 1>n ta có neennee n 2 111 1 11 −<       −<− . . Khai triển Taylor 1. Khai triển Taylor 1.1. Các công thức. Cho hàm số ( ) xf xác định trên. 10 << θ (Công thức Taylor với phần dư Largrange) Để tiện ứng dụng, chúng ta sẽ gọi n là cấp khai triển, 0 x là điểm khai triển, x là điểm áp