dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm gl (2,r)

41 634 0
  • Loading ...
1/41 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 13/03/2014, 01:51

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMNGUYỄN THU HOÀIDẠNG TỰ ĐẲNG CẤU BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R)LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌCChuyên ngành : Toán giải tíchMã số: 60.46.01Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH Đỗ Ngọc DiệpThái Nguyên - 20111Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vnMục lụcMở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Chương 1. LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU TRÊN GL(2,R) . . . . . . 41.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Toán tử trong không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Đại số Lie đại số phổ dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Bài toán phổ cho thương compact của nửa mặt phẳng trên 91.4.1. Lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2. Xác định phổ của toán tử đối xứng không bị chặn trên L2(Γ\H, χ,k). . . . . . . 111.4.3. Khai triển không gian Hilbert L2(Γ\G, χ) thành các không gian con bất khả qui .12Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1. Dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2. Các dạng tự đẳng cấu trên Γ\H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Biểu diễn của các nhóm compact địa phương 172.3. Biểu diễn của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Phân loại các (g,K)-module bất khả quy của G = GL(2,R)+. . 25Chương 3. MỘT SỐ TÍNH TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vnMỞ ĐẦUDạng tự đẳng cấu là khái niệm lần đầu được đưa vào bởi Poincaré: hàmsố trên không gian đối xứng G/K, G là nhóm Lie, K là nhóm con compactcực đại, biến đổi theo một công thức đơn giản với tác động của một nhómcon số học. G. Gelfand nhìn dạng tự đẳng cấu theo góc độ của các biểudiễn tự đẳng cấu, một bộ phận của lý thuyết biểu diễn vô hạn chiều vànghiên cứu phổ, giá trị riêng của toán tử Hecke Mục đích của luận văn này là tìm hiểu lý thuyết dạng tự đẳng cấu vàbiểu diễn trong trường hợp nhóm GL(2,R). Ta sẽ nghiên cứu mối liên hệgiữa lý thuyết biểu diễn nhóm GL(2,R) các dạng tự đẳng cấu trên nửamặt phẳng trên Poincaré. Ta sẽ tập trung vào lý thuyết phổ trong trườnghợp thương compact.Luận văn với đề tài “Dạng tự đẳng cấu biểu diễn nhóm GL(2,R)”gồm 3 chương:• Chương 1: Lý thuyết dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R).• Chương 2: Biểu diễn nhóm GL(2,R).• Chương 3: Một số tính toán.Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm liên quan đến lýthuyết dạng tự đẳng cấu trên nhóm GL(2,R), nhắc lại một số khái niệm vềtoán tử trong không gian Hilbert, sơ lược về nhóm Lie, đại số Lie xâydựng đại số phổ dụng của nó. Đặc biệt, trọng tâm của chương này chínhmối liên hệ giữa bài toán phổ với thương compact của nửa mặt phẳngPoincaré.Trong chương 2, từ lý thuyết của các dạng tự đẳng cấu, chúng tôi trìnhbày một số biểu diễn, chẳng hạn biểu diễn của nhóm compact địa phương,23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vnbiểu diễn của đại số Lie một kết quả quan trọng là sự phân loại các(g,K)-module bất khả quy của nhóm G = GL(2,R)+.Trong chương 3 chúng tôi trình bày một số kết quả liên quan đến biểudiễn của nhóm GL(2,R).Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biếtơn GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quátrình học tập nghiên cứu.Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạmthuộc Đại học Thái Nguyên các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Namđã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học.Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng Côngnghiệp Nam Định, gia đình bạn bè đã động viên, giúp đỡ tạo điềukiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập.Thái Nguyên, tháng 8 năm 201134Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vnChương 1LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤUTRÊN GL(2,R)Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết phổ của các dạng tựđẳng cấu. Trong trường hợp Γ\H, phổ của toán tử Laplace-Beltrami là rờirạc. Ngoài ra không gian Hilbert L2(Γ\G, χ) khai triển thành các khônggian bất khả qui.1.1. Một số khái niệm cơ bảnCho H là nửa mặt phẳng Poincaré: H ={x + iy ∈ C|y > 0}. Đặt G =GL(2,R)+là nhóm các ma trận thực cấp 2 với định thức dương. Khi đóG tác động trên H bởi phép biến đổi phân thức tuyến tính. Nghĩa là nếug ∈ GL(2,R)+và z = x + iy ∈ H, y > 0 thì tác động của g tại z cho bởi:g(z) =az+bcz+d.Cho Γ là nhóm con rời rạc của G, sao cho Γ\H là compact, hoặc ít nhấtcó diện tích hữu hạn. Giả thiết rằng −I ∈ Γ, bởi vì nếu −I /∈ Γ, thay Γ bởinhóm sinh bởi Γ –I. (I là ma trận đơn vị cấp 2). Mặt khác, không mấttính tổng quát, giả thiết rằng Γ ⊂ SL(2,R) (nhóm các ma trận cấp 2 với hệsố thực định thức bằng 1).Định nghĩa 1.1.1. Cho H là một nhóm, đặc trưng của H là một đồng cấuχ : H → C×. Đặc trưng unitary là một đặc trưng thoả mãn|χ(γ)|= 1 với45Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vnmọi γ.Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Γ là nhóm con đồng dư, P1(Q) = Q ∪{∞}làđường xạ ảnh trên Q Do SL(2,Z) tác động bắc cầu trên P1(Q), nên nhómcon chỉ số hữu hạn chỉ có thể có quỹ đạo hữu hạn trên tập này. Một quỹđạo của Γ trong P1(Q) được gọi là điểm nhọn của Γ. Tổng quát hơn, nếu Γkhông giả thiết là nhóm con đồng dư, mà chỉ là một nhóm rời rạc tác độngtrên H với Γ\H có diện tích hữu hạn, thuật ngữ điểm nhọn được dùng đểchỉ là một trong hai trường hợp:- Điểm a ∈ P1(R) = R ∪{∞}sao cho Γ chứa một phần tử parabolicγ = I với γ(a) = a.- Quỹ đạo của các điểm nói trên dưới tác động của Γ.Định nghĩa 1.1.3. Giả sử k là "trọng", nó có thể là số nguyên dương hoặcnguyên âm. Xem z = x + iy ¯z = x −iy là các biến phức độc lập, ta cócác đạo hàm riêng tương ứng∂∂ z=12∂∂ x−i∂∂ y,∂∂ ¯z=12∂∂ x+ i∂∂ y.Ta định nghĩa các toán tử vi phân Maass trên C∞(H), không gian cáchàm trơn của HRk= iy∂∂ x+ y∂∂ y+k2= (z −¯z)∂∂ z+k2,Lk= −iy∂∂ x+ y∂∂ y−k2= −(z −¯z)∂∂ z−k2và toán tử Laplace suy rộng∆k= −y2∂2∂ x2+∂2∂ y2+ iky∂∂ x.Dễ dàng chứng minh được∆k= −Lk+2Rk−k21 +k2= −Rk−2Lk+k21 −k2.56Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vnVới mỗi k, định nghĩa tác động của G = GL(2,R)+trên C∞(H) bởicông thức:f|kg =c¯z +d|cz + d|kfaz + bcz + d, g =a bc d.Bổ đề 1.1.4. Nếu f ∈C∞(H), g ∈G, thì(Rkf )|k+2g = Rk( f|kg),(Lkf )|k−2g = Lk( f|kg),và(∆kf )|kg = ∆k( f|kg).1.2. Toán tử trong không gian HilbertNhắc lại một số khái niệm cơ bản sau:Định nghĩa 1.2.1. Giả sử H là không gian Hilbert. Toán tử trên H đượcđịnh nghĩa là biến đổi tuyến tính trên tập con trù mật, tức là một cặp có thứtự (T,DT), trong đó DTlà không gian con tuyến tính trù mật của H, đượcgọi là miền xác định của T, T : DT→ H là phép biến đổi tuyến tính.+ Toán tử T được gọi là đóng nếu đồ thị của nó{( f ,T f )|f ∈ DT}làkhông gian con đóng của H ×H.+ Toán tử T được gọi là không bị chặn nếu nó không liên tục khi DTđược xem như một không gian con topo của H.+ Toán tử T được gọi là đối xứng nếuT f ,g=f ,T gvới f ,g ∈ DT,trong đó,là tích vô hướng trong không gian Hilbert H.+ Toán tử T được gọi là tự liên hợp nếu DT= DT ∗và T = T∗, trong đóT∗là liên hợp của T, DT ∗là không gian của ∀g ∈ H sao cho f →T f ,glà một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên DT. Toán tử (T∗,DT ∗) được gọilà liên hợp của T.67Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vnNếu H là không gian Hilbert tách được thì:+ Toán tử tuyến tính T : H → H được gọi là bị chặn nếu miền xác địnhcủa nó là toàn bộ H, nếu tồn tại hằng số C sao cho|T x|≤ C|x|với∀x ∈ H. Hằng số C nhỏ nhất như vậy được gọi là chuẩn toán tử của T, vàkí hiệu là|T|.+ Toán tử T : H →H được gọi là compact, hoặc hoàn toàn liên tục, nếuT chuyển các tập bị chặn thành các tập compact. Do H là tách, tập con củaH là compact nếu chỉ nếu nó là compact dãy. Vì vậy T là compact nếuvà chỉ nếu với mỗi dãy xn⊂ H của các vectơ đơn vị, tồn tại dãy con ynsaocho T (yn) là hội tụ.Định nghĩa 1.2.2. Giả sử L2(H) là không gian Hilbert các hàm đo đượctrên H có bình phương khả tích tương ứng với độ đo G-bất biến y−2dx∧dy.Khi đó ∆kđược xác định trên không gian con trù mật C∞c(H) củaL2(H). (Nếu M là một đa tạp khả vi, thì C∞(M) là không gian các hàmtrơn trên M C∞c(M) là không gian con các hàm giá compact. Nếu X làkhông gian tôpô, Cc(X) là không gian các hàm liên tục giá compact trênX).Cho ∆e=∂2∂ x2+∂2∂ y2là toán tử Laplace. Kí hiệu d là đạo hàm ngoài, đưa1-dạng vi phân thành 2-dạng vi phân. Giả sử f g là các hàm trơn xácđịnh trong lân cận của một miền bị chặn Ω ⊂ C, mà biên là đường congtrơn (hoặc hợp của các đường cong trơn) ∂ Ω. Ta có đồng nhất thứcdg∂ f∂ xdy −∂ f∂ ydx− f∂ g∂ xdy −∂ g∂ ydx= (g∆ef − f ∆eg)dx ∧dy.Theo định lý Stokes, ta cóΩ(g∆ef − f ∆eg)dx ∧dy=∂ Ωg∂ f∂ xdy −∂ f∂ ydx− f∂ g∂ xdy −∂ g∂ ydx.78Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vnHướng của đường lấy tích phân là (biên ∂Ω) lấy theo chiều ngược chiềukim đồng hồ. Đồng nhất thức này được biết đến như công thức Green.Mệnh đề 1.2.3. Laplace ∆klà toán tử đối xứng trên L2(H) với miền xácđịnh C∞c(H).1.3. Đại số Lie đại số phổ dụngĐịnh nghĩa 1.3.1. Nhóm Lie là một nhóm, đồng thời là một đa tạp khả vihữu hạn chiều, trong đó các phép toán nhân phép nghịch đảo là các ánhxạ trơn.Định nghĩa 1.3.2. Đại số Lie là không gian vec tơ (thực hoặc phức) g đượctrang bị phép toán song tuyến tính, được gọi là móc Lie, thỏa mãn một sốtiên đề sau: Phép toán móc, biểu diễn bởi X,Y →[X,Y ] với X,Y ∈g, đượcgiả thiết thỏa mãn[X,Y ] = −[Y,X], [X,X] = 0,và “đồng nhất Jacobi”[[X,Y ],Z] + [[Y,Z], X] + [Z,[X,Y]] = 0.Trong trường hợp đại số Lie liên kết với đại số kết hợp A, phép toánmóc Lie được định nghĩa bởi [X,Y ] = XY −YX, trong đó phép nhân ở vếphải là phép nhân trong đại số A.Định nghĩa 1.3.3. Hàm tử [X,Y] = XY −YX, ứng một đại số kết hợp Avới đại số Lie Lie(A). Ta cũng tương ứng một đại số Lie g với một đại sốkết hợp U(g), được gọi là đại số bao phổ dụng của g. Nói chung, dù g làhữu hạn chiều, U(g) sẽ là vô hạn chiều.Để xây dựng U(g), ta bắt đầu với đại số tenxơ ⊗g,∞⊕k=0⊗kg, ⊗kg = g ⊗ ⊗g  k,89Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vntrong đó phép nhân ⊗kg ×⊗lg = ⊗k+lg là tích tenxơ (⊗ = ⊗Rhoặc ⊗Ctùy thuộc g là đại số Lie thực hoặc phức).Định nghĩa 1.3.4. Giả sử V là không gian vectơ thực, U(g) là đại số baophổ dụng của g. Phức hóa của U(g) là VC= C⊗RV , tức là không gianvectơ phức, với luật nhân C ×VC→VC, thỏa mãna(b ⊗v) = (ab) ⊗v, a,b ∈C, v ∈V.Số chiều phức của VCbằng số chiều thực của V.Cho g là đại số Lie thực, phức hóa gCcủa g là đại số Lie phức.Cho ρ : g → End(V ) là biểu diễn của đại số Lie thực, trong đó V làkhông gian vectơ phức. Khi đó ta có thể mở rộng ρ thành biểu diễn gC→End(V ) như sau: Nếu X ∈gC, viết X = X1+ iX2. Khi đó, đặtρ(X) = ρ(X1) + iρ(X2).1.4. Bài toán phổ cho thương compact của nửa mặt phẳngtrên1.4.1. Lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấuCho χ là đặc trưng của Γ, C∞(Γ\H, χ,k) là không gian của các hàmtrơn trên H sao choχ(γ) f (z) =c¯z +d|cz + d|kfaz + bcz + d, γ =a bc d∈ Γ.Nếu f ,g ∈ C∞(Γ\H, χ,k), thì f ¯g là bất biến theo Γ, vì vậy ta có thểđịnh nghĩaf ,g=Γ\Hf (z)g(z)dxdyy2.L2(Γ\H,χ,k) là không gian Hilbert đầy đủ, f ,g ∈C∞(Γ\H, χ,k) tươngứng với tích trong trên.910Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn[...]... gian con hữu hạn chiều 4 φ có tăng vừa phải tức là |φ (g)| ≤ C g N g ∈ G,C ∈ R+ , N ∈ N , Hàm φ như vậy được gọi là dạng tự đẳng cấu 2.1.2 Các dạng tự đẳng cấu trên Γ\H Trong trường hợp nhóm GL( 2, R), các dạng tự đẳng cấu gồm: a) Các dạng modula chỉnh hình Cho χ : Γ → C× là một đặc trưng, cho k là một số nguyên dương sao cho χ(−I) = (−1)k , giả sử −I ∈ Γ Cho Mk (Γ, χ) là không gian của tất cả các hàm... tác động của biểu diễn ρ Chứng minh Thật vậy, L2 (Γ\G, χ) = ⊕ Vλ (theo Định lý 1.4.10, với Vλ λ ∈I bao gồm các f sao cho ρ(φ ) f = λ f Vì biểu diễn ρ là unitary nhóm K = SO(2) là compact nên ta có λ = k 14 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 BIỂU DIỄN NHÓM GL( 2, R) Trong chương này, chúng tôi xét một số biểu diễn, biểu diễn của các nhóm compact... hàm này có thể coi như là một dạng tự đẳng cấu 2.2 Biểu diễn của các nhóm compact địa phương Định nghĩa 2.2.1 Cho G là một nhóm compact địa phương Biểu diễn (π, H) của G là một cặp thứ tự trong đó H là không gian vectơ tôpô π : G → End(H) là một đồng cấu sao cho ánh xạ G × H → H cho bởi (g, f ) → π(g) f là liên tục theo hai biến g f Nếu H là không gian Hilbert, nếu π(g) : H → H là toán tử... chính quy phải 2 Biểu diễn λ : G → C∞ (G) cho bởi (λ (g) f ) (x) = f (g−1 x), g, x ∈ G, được gọi là biểu diễn chính quy trái Phép biểu diễn chính quy trái phải giao hoán với nhau, λ (g1 ) ◦ ρ(g2 ) = ρ(g2 ) ◦ λ (g1 ) Mệnh đề 2.2.5 Tác động (ρ(g) f ) (x) = f (xg), g, x ∈ G là biểu diễn của G 2.3 Biểu diễn của đại số Lie Định nghĩa 2.3.1 Phép biểu diễn của đại số Lie g là một đồng cấu đại số Lie, tức... chúng tôi xét một số biểu diễn, biểu diễn của các nhóm compact địa phương, biểu diễn của đại số Lie Từ đó cho một số kết quả từ lý thuyết biểu diễn và giới thiệu (g, K)-module, trong đó có sự phân loại các (g, K)-module bất khả quy chấp nhận được của nhóm G = GL( 2, R) 2.1 Dạng tự đẳng cấu trên GL( 2, R) 2.1.1 Định nghĩa Giả sử G là nhóm reductive, A× là xuyến xòe của G, ω là một đặc trưng của xuyến xòe... Hilbert L2 (Γ\G, χ, k) L2 (Γ\H, χ, k) là đẳng cấu Đặc biệt, có một đẳng cấu giữa các không gian Hilbert σk : L2 (Γ\H, χ, k) → L2 (Γ\G, χ, k) cho bởi (σk f )(g) = ( f |k g)(i), g ∈ G, với f ∈ L2 (Γ\H, χ, k) Cho G = GL( 2, R)+ Ta biết rằng mỗi phần tử của G có một biểu diễn dạng g= y1/2 xy−1/2 u u y−1/2 κθ , κθ = cos(θ ) sin(θ ) −sin(θ ) cos(θ ) , (1.1) với x, y, u, θ ∈ R, u, y > 0 Biểu diễn (1.1) là duy... Cho φ1 φ2 là các hàm liên tục trên G một trong các hàm đó là giá compact Khi đó tích chập của hai hàm φ1 φ2 là φ1 (gh)φ2 (h−1 )dh = (φ1 ∗ φ2 )(g) = G φ1 (h)φ2 (h−1 g)dh G Mệnh đề 2.2.3 Không gian C∞ (Γ\G, χ) là trù mật trong L2 (Γ\G, χ) Định nghĩa 2.2.4 Định nghĩa biểu diễn chính qui phải trái 1 Biểu diễn ρ : G → End(h) cho bởi (ρ(g) f ) (x) = f (xg), g, x ∈ G, (2.1) được gọi là biểu diễn. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn với biểu diễn π của K biểu diễn của g thỏa mãn các điều kiện sau: i) V phân tích thành tổng trực tiếp đại số của các không gian con bất biến hữu hạn chiều theo tác động của K ii) Biểu diễn của g K tương thích trong phương trình π(X) f = X f = d π (exp(tX)) f |t=0 := lim t→0 dt 1 t π (exp(tX)) f−f (2.7) với X ∈ k f ∈ V iii) π(g)π(X)π(g−1 ) f = π (Ad(g)X) f với g ∈ K X ∈ g - (g,... gian con "đẳng kiểu" của V vào không gian con "đẳng kiểu" tương ứng của V , nó thỏa mãn φ ◦ π(κ) = π (κ) ◦ φ với κ ∈ K Do đó φ là phép đẳng cấu của module đại số Lie g Nó là đủ để thấy rằng φ ◦ X = X ◦ φ khi X = H, R, L Z vì đó là cơ sở của gC Điều này rõ ràng cho H Z, mà tác động như các vô hương cùng nhau trên V (k) V (k) Như với R L, ta cần kiểm tra rằng φ (RLn x) = RLn x φ (LRn... dạng tự đẳng cấu biểu diễn nhóm GL( 2, R) Mệnh đề 3.1 Sử dụng tọa độ trong phương trình (1.1) Ta có ∂ ∂ ∂ + y sin(2θ ) + sin2 (θ ) , ∂x ∂y ∂θ (3.1) ∂ ∂ ∂ + y sin(2θ ) − cos2 (θ ) , ∂x ∂y ∂θ (3.2) ˆ d R = ycos(2θ ) ˆ d L = ycos(2θ ) ˆ d H = −2y sin(2θ ) ∂ ∂ ∂ + 2ycos(2θ ) + sin(2θ ) , ∂x ∂y ∂θ dR = e2iθ iy ∂ 1 ∂ ∂ +y + ∂x ∂ y 2i ∂ θ dL = e−2iθ −iy , ∂ ∂ 1 ∂ +y − ∂x ∂ y 2i ∂ θ (3.3) (3.4) , (3.5) . thuyết dạng tự đẳng cấu và biểu diễn trong trường hợp nhóm GL( 2,R). Ta sẽ nghiên cứu mối liên hệgiữa lý thuyết biểu diễn nhóm GL( 2,R) và các dạng tự đẳng cấu. vậy được gọi là dạng tự đẳng cấu. 2.1.2. Các dạng tự đẳng cấu trên ΓHTrong trường hợp nhóm GL( 2,R), các dạng tự đẳng cấu gồm:a) Các dạng modula chỉnh
- Xem thêm -

Xem thêm: dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm gl (2,r), dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm gl (2,r), dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm gl (2,r)

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay