PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN - FEM Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM Đường Công Truyền Chương 7: PHẦN TỬ HAI CHIỀU Ôn lại lý thuyết cơ bản Thành phần ứng suất và biến dạng • Dạng tổng quát của thành phần ứng suất và biến dạng Liên hệ ứng suất - biến dạng • Định luật Hooke cho vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , x x y z y y z x z z x y x y x y x y y z zx x y E E E G G G ε σ ν σ σ ε σ ν σ σ ε σ ν σ σ τ τ τ γ γ γ    = + −        = + −        = + −      = = =  ( ) 2 1 E G ν = + E: môđun đàn hồi, ν : hệ số Poisson của vật liệu, G: môđun đàn hồi trượt Liên hệ ứng suất - biến dạng • Suy ra • Hay ( )( )                     − − − − − − −+ = ν ν ν ννν ννν ννν νν 5000000 0500000 0050000 0001 0001 0001 211 , , , E D ( ) ( ) 1 2 x y z x y z E ν ε ε ε σ σ σ − + + = + + D σ ε = Các trường hợp đặc biệt • Bài toán 1 chiều σ = E ε • Bài toán 2 chiều – Ứng suất phẳng (plane stress) – Biến dạng phẳng (plane strain) Bài toán ứng suất phẳng (plane stress) • Kết cấu có chiều dày (z=constant) rất nhỏ so với tiết diện • ( ) 1 1 2 1 x x y y y x z x y x y x y x y E E E G E ε σ ν σ ε σ ν σ ν ε σ σ τ ν γ τ    = −        = −        = − +     +  = =  Bài toán ứng suất phẳng (plane stress) • Hay: • Suy ra: • Hay D σ ε = 2 1 0 1 0 1 1 0 0 2 x x y y x y x y E σ ε ν σ ν ε ν ν τ γ               =       −       −         Bài toán biến dạng phẳng (plane strain) • Kết cấu có tiết diện (= constant) rất nhỏ so với chiều dài (phương z) • Tải trọng phân bố dọc theo chiều dài Bài toán biến dạng phẳng (plane strain) • Suy ra: • Hay: ( )( ) 1 0 1 0 1 1 2 1 2 0 0 2 x x y y xy xy E σ ε ν ν σ ν ν ε ν ν ν τ γ         −       = −       + −       −         D σ ε = Phương trình cân bằng • Trong lý thuyết đàn hồi, ứng suất thỏa mãn phương trình • Trong đó f x và f y là các lực khối (như trọng lực) trên đơn vị thể tích Điều kiện biên • Biên S của vật thể có thể chia ra làm 2 phần S t và S u • Điều kiện biên • t x và t y : lực mặt (ứng suất trên biên) Ví dụ 1 • Một tấm chịu lực phân bố p như hình vẽ, cho E và ν là hằng số • Tìm chuyển vị, biến dạng và ứng suất (nghiệm chính xác) Ví dụ 1 • Ứng suất • Biến dạng • Chuyển vị • Khi nghiệm chính xác được số hóa (ví dụ tấm có lỗ ) ⇒ cần FEM Phần tử hữu hạn cho bài toán hai chiều Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử • Chuyển vị (u,v) trong mặt phẳng được nội suy từ chuyển vị nút (u i ,v i ) thông qua hàm dạng N i • N là ma trận hàm dạng, u là véc tơ chuyển vị, d là véc tơ chuyển vị nút Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử • Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị • B = DN là ma trận chuyển vị - biến dạng Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử • Năng lượng biến dạng trong mỗi phần tử Phần tử tam giác có biến dạng hằng (Constant strain triangle - CST) • Là phần tử 2D đơn giản nhất, còn được gọi là linear triangular element (phần tử tam giác bậc 1) - Phần tử có 3 nút - Mỗi nút có 2 bậc tự do - Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ Phần tử tam giác bậc 1 • Chuyển vi: • Hay Phần tử tam giác bậc 1 • Chuyển vị u, v được giả định là hàm tuyến tính • b i (i=1,2…6) = constant • Suy ra biến dạng: • Vì biến dạng là hằng số nên nó có tên gọi là phần tử tam giác có biến dạng hằng Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 • Công thức tổng quát để tính hàm dạng: Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 • Hàm dạng : • Với A là diện tích tam giác giới hạn bởi ba nút 1, 2, 3 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 • Hàm dạng N1 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 • Hàm dạng N2 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 • Hàm dạng N3 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 Liên hệ biến dạng – chuyển vị • Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị, ta được • Ma trận độ cứng phần tử • Ma trận độ cứng phần tử • Là ma trận 6×6, trong đó t là chiều dày của phần tử • Kết quả nhân ma trận k được thực hiện bằng máy tính Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích • Định nghĩa tọa độ diện tích Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích • A 1 = diện tích tam giác 2-3-P • A 2 = diện tích tam giác 3-1-P • A 3 = diện tích tam giác 1-2-P Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích • Ta có: • Suy ra: Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích • Khi P → 1: • Khi P →2: • Khi P → 3: ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 ; 0 ; 0 1 2 3 DT L L L DT − − = = = = − − ( ) ( ) 2 1 3 1 2 3 1 ; 0 ; 0 1 2 3 DT L L L DT − − = = = = − − ( ) ( ) 3 1 2 1 2 3 1 ; 0 ; 0 1 2 3 DT L L L DT − − = = = = − − • A 1 = diện tích tam giác 2-3-P • A 2 = diện tích tam giác 3-1-P • A 3 = diện tích tam giác 1-2-P Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích • L thỏa mãn 2 tính chất của hàm dạng, nên 1 1 n i i N = = ∑ Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên • Hàm dạng (từ tọa độ diện tích) Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên • Tính chất hàm dạng • Hàm dạng N 1 Phần tử tam giác bậc 1 • Liên hệ giữa hệ tọa độ tổng thể và hệ tọa độ tự nhiên • Trong đó Phần tử tam giác bậc 1 • Sử dụng đạo hàm của hàm hợp ta được • Trong đó J là ma trận chuyển đổi Jacobian Phần tử tam giác bậc 1 • Suy ra • Tương tự [...]... • Phần tử có 8 nút Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ, từ ngoài vào trong Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút • Tính hàm dạng theo công thức sau Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút • Trường chuyển vị là các hàm bậc hai Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút • Hàm dạng Ghi chú • Lưới các phần tử bậc nhất gồm: phần tử tam giác bậc nhất và phần tử tứ giác bậc nhất • Lưới các phần tử bậc hai gồm: phần tử. .. psi) • Nghiệm FEM: sử dụng ANSYS với các dạng phần tử khác nhau Lưới tam giác bậc hai Lưới tứ giác bậc nhất Lưới tứ giác bậc hai Lưới tứ giác bậc hai Ví dụ 2 Ví dụ 2 Lưới tứ giác bậc hai, 493 phần tử Ứng suất Max, lưới tứ giác bậc hai, 493 phần tử Bài tập về nhà 1 • Tìm hàm dạng của phần tử tam giác bậc 3, mười nút Bài tập về nhà 2 • Tìm hàm dạng của phần tử tứ giác mười nút ... phần tử tam giác bậc 2 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 • Xét phần tử tam giác tổng quát bậc p theo tọa độ diện tích • Số nút phần tử bậc p • Hàm dạng được tính theo công thức • Tại mỗi nút thì • Trong đó • Với • Ví dụ khi α=1, β =1 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 • Hàm dạng theo tọa điện tích • Tương tự ta được N 2 = ( 2 L2 − 1) L2 N 3 = ( 2 L3 − 1) L3 Hàm dạng phần tử. .. LST) Phần tử tam giác bậc 2 • Chuyển vị u, v được giả định là hàm bậc 2 • Còn gọi là phần tử tam giác bậc 2 (quadratic triangular element) - Phần tử có 6 nút • bi (i=1,2…12) = constant - Mỗi nút có 2 bậc tự do • Biến dạng được tính là - Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ, từ ngoài vào trong • Vì biến dạng là hàm bậc 1 nên nó có tên gọi là phần tử tam giác có biến dạng bậc 1 Hàm dạng phần. .. Hàm dạng N4 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 • Tương tự ta được N 5 = 4 L2 L3 N 6 = 4 L1 L3 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 • Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên N1 = ( 2 L1 − 1) L1 N 4 = 4 L1 L2 N 2 = ( 2 L2 − 1) L2 N 5 = 4 L2 L3 Phần tử tam giác bậc 2 • Chuyển vị N3 = ( 2 L3 − 1) L3 N 6 = 4 L1 L3 • Thay L1=ξ, L2= η, L3= 1- ξ -η ta được • Ma trận độ cứng phần tử • Chuyển vị là hàm bậc hai đối với x và y... lý Lagrange) - Phần tử có 9 nút - Mỗi nút có 2 bậc tự do - Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ, từ ngoài vào trong N1 (ξ ,η ) = L1 (ξ ) × L1 (η ) • Hàm dạng (ξ − 0 )(ξ − 1) (η − 0 )(η − 1) ( −1 − 0 )( −1 − 1) ( −1 − 0 )( −1 − 1) = Phần tử tứ giác bậc 2, chín nút = 1 (1 − ξ )(1 − η ) ξη 4 Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút (8-node quadratic quadrilateral element) • Là phần tử được sử dụng... y ) = Lk ( x ) × Lk ( y ) Phần tử tứ giác bậc 1 Phần tử tứ giác bậc 1 = x − xm xk − xm ξ − ( −1) η − 1 = 1 − ( −1) −1 − 1 ξ − ( −1) η − ( −1) 1 − ( −1) 1 − ( −1) N 4 ( ξ ,η ) = L4 ( ξ ) × L4 (η ) = ξ − 1 η − ( −1) −1 − 1 1 − ( −1) 1 (1 + ξ )(1 − η ) 4 = 1 (1 + ξ )(1 + η ) 4 = 1 (1 − ξ )(1 + η ) 4 Phần tử tứ giác bậc 2, chín nút (9-node quadratic quadrilateral element) Phần tử tứ giác bậc 2, chín nút... chú • Lưới các phần tử bậc nhất gồm: phần tử tam giác bậc nhất và phần tử tứ giác bậc nhất • Lưới các phần tử bậc hai gồm: phần tử tam giác bậc hai và phần tử tứ giác bậc hai • Biến dạng và ứng suất là các hàm bậc nhất sẽ được biểu diễn tốt hơn • Các phần tử bậc hai thích hợp cho sự phân tích ứng suất do độ chính xác trong phân tích và linh hoạt cao trong mô phỏng hình dạng hình học phức tạp (ví dụ các... quả nhân ma trận k được thực hiện bằng máy tính Phần tử tứ giác bậc 1 (Linear quadrilateral element) Hàm dạng phần tử tứ giác bậc 1 • Hàm dạng được xây dựng từ định lý Lagrange như sau: n N k ( x ) = Lk ( x ) = ∏ m=0 k ≠m • Áp dụng định lý Lagrange theo 2 phương (x, y) hay (ξ, η) - Phần tử có 4 nút - Mỗi nút có 2 bậc tự do - Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ • Hàm dạng trong hệ tọa độ.. .Phần tử tam giác bậc 1 • Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị • Suy ra Phần tử tam giác bậc 1 • Dùng cho diện tích có tốc độ biến dạng nhỏ • Dùng tạo lưới cho các bề măt tiếp giáp (từ lưới tinh sang lưới thô) • Dùng phân tích sơ bộ bài toán 2D • Tránh sử dụng tại những nơi tập trung ứng suất (cạnh của góc, của lỗ, …) Ph n t tam giác có bi n d ng h ng KHÔNG thích h p cho các v t li u ph c h p Phần tử . hơn Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút • Lưới các phần tử bậc nhất gồm: phần tử tam giác bậc nhất và phần tử tứ giác bậc nhất • Lưới các phần tử bậc hai gồm: phần. bậc 1 nên nó có tên gọi là phần tử tam giác có biến dạng bậc 1 Phần tử tam giác bậc 2 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 • Xét phần tử tam giác tổng quát bậc