KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng Số 14/12-2012 39 Lí THUYT N NH N HI CA DM TIT DIN CH I Cể MT TRC I XNG CHU TI TRNG NGANG Bựi Hựng Cng 1 Túm tt: Bi bỏo gii thiu hai lý thuyt trong phõn tớch n nh ca dm chu ti trng ngang bt k, ú l: lý thuyt c in v lý thuyt c xõy dng gn õy bi Tong v Zhang. Bi bỏo phõn tớch nhng im ging v khỏc nhau gia hai lý thuyt. Da trờn phõn tớch ú, bi bỏo cú kin ngh b sung vo biu thc th nng ton phn ca lý thuyt c in. Mt s vớ d phõn tớch n nh n hi ca dm c thc hin nhm chng minh vic ỏp dng biu thc th nng ton phn núi trờn vo phng phỏp phn t hu hn. T khúa : n nh dm, lý thuyt n nh, th nng ton phn, PTHH. Summary: The paper introduces two theories in the lateral buckling analysis of beams subjected to an arbitrary transversal loading, namely: the classical theory and the new theory developed by Tong and Zhang. The paper analyzes similar and different points between these two theories. Based on this analysis, the paper has a proposition to complement the expression of the total potential energy of the classical theory. Some examples in the elastic lateral buckling analysis of beams are performed to prove the application of the above expression of the total potential energy to the finite element method. Keywords: lateral buckling of beam, buckling theory, total potential energy, FEM Nhn ngy 19/09/2012, chnh sa ngy 30/11/2012, chp nhn ng ngy 15/12/2012 1. t vn Lch s phỏt trin lý thuyt n nh tng th ca dm ó c hn 100 nm. Nhng tỏc gi u tiờn cú l l Prandtl v Michell vi cỏc nghiờn cu c cụng b vo nm 1899 v bi toỏn n nh tng th ca dm n gin cú tit din ch nht hp, chu un thun tỳy. Tip theo, Timoshenko ó thit lp v gi i bi toỏn n nh ca dm n gin tit din ch I chu un thun tỳy vo nm 1905. Timoshenko tip tc phỏt trin lý thuyt n nh dm, cỏc kt qu c tp hp trong sỏch chuyờn kho c b sung v tỏi bn nhiu ln [1]. Vo nhng nm 1930, Wagner xõy dng lý thuyt n nh ca dm tit din ch I cú mt trc i xng v a ra cụng thc tớnh toỏn thụng s th hin mc khụng i xng ca tit din. Nm 1940, Vlasov [2] xõy dng lý thuyt tng quỏt tớnh toỏn thanh thnh mng trong ú cú lý thuyt n nh tng th ca dm chu un ngang phng. Vlasov l tỏc gi u tiờn a ra khỏi nim v xon kim ch, v ta qut v mụ men quỏn tớnh qut ca tit din thnh mng. Bleich [3] s dng phng phỏp nng lng trong ú th nng ton phn ca dm chu ti trng ngang bng tng ca th nng bin dng n hi tuyn tớnh v cụng ngoi sinh ra do ti trng trờn cỏc chuyn v khi dm b mt n nh. Timoshenko v Gere [1] thit lp cỏc phng trỡnh n nh khi xem xột cõn bng ca mt phõn t vụ cựng bộ kt hp cõn bng ca mt on dm. Tip ni sau cỏc nh khoa hc trờn, nhiu tỏc gi khỏc ó nghiờn cu mt n nh tng th ca dm trờn c phng din lý thuyt v thc nghim. Anderson v Trahair [4], Attard v Bradford [5] lm cỏc thớ nghim trờn dm cụng xụn tit din ch I cú mt trc i xng. 1 TS, Khoa Xõy dng DD&CN. Trng i hc Xõy dng. E-mail: bhungcuong@gmail.com KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG Sè 14/12-2012 T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng 40 Anderson và Trahair [4], Assadi và Roeder [6], Ings và Trahair [7] khảo sát ảnh hưởng của vị trí tải trọng trên tiết diện qua các thí nghiệm trên dầm tiết diện chữ I có hai trục đối xứng. Trahair [8] thiết lập công thức tính biến dạng dọc trục bao gồm thành phần biến dạng tuyến tính và thành phần biến dạng phi tuyến. Từ đó, lý thuyết mất ổn định tổng thể dầm được thiết lập dựa trên thế năng toàn ph ần bằng tổng của thế năng biến dạng tuyến tính, thế năng biến dạng phi tuyến sinh ra bởi ứng suất pháp dọc trục và công của tải trọng ngoài sinh ra trên chuyển vị bậc hai khi dầm bị mất ổn định. Kitipornchai [9] cũng thiết lập lý thuyết ổn định tổng thể của dầm dựa trên phương pháp năng lượng trong đó thế năng toàn phần bằng t ổng của thế năng biến dạng đàn hồi, thế năng biến dạng phi tuyến của ứng suất pháp, thế năng biến dạng phi tuyến của ứng suất tiếp và công của tải trọng ngoài. Kitipornchai [9] chấp nhận gần đúng là ứng suất tiếp phân bố đều trên tiết diện bằng lực cắt chia cho diện tích tiết diện. 1.1 Thế năng toàn phầ n theo lý thuyết cổ điển Tuy các tác giả trên thiết lập các công thức với mức độ phức tạp có khác nhau nhưng tựu trung có thể gọi là lý thuyết cổ điển về mất ổn định tổng thể của dầm. Một cách tổng quát, biểu thức thế năng toàn phần trong lý thuyết cổ điển được viết như sau [8] ∑ ∫ −− ++++=Π i iyiy L xxxty aPdzaq uMMGIEIuEI 22 0 "22'2"2" 2 1 ] 2)'(2)()()([ 2 1 θθ θθβθθ ω (1) trong đó: u và θ là chuyển vị ngang và góc xoắn của tiết diện dầm; E và G là mô đun đàn hồi và mô đun đàn hồi trượt của vật liệu; I y , I t và I ω lần lượt là mô men quán tính quanh trục y, mô men quán tính khi xoắn thuần túy và mô men quán tính quạt (khi xoắn kiềm chế) của tiết diện dầm; q y và P yi lần lượt là tải trọng phân bố đều và tải trọng tập trung tại vị trí i trên chiều dài dầm; θ i là góc xoắn tại tiết diện i có tải trọng tập trung; a là khoảng cách từ tâm cắt của tiết diện đến điểm đặt của tải trọng; M x là mô men uốn trong dầm; β x là thông số Wagner thể hiện mức độ không đối xứng của tiết diện dầm quanh trục x () o A x x yydAyx I −+= ∫ 22 2 1 β (2) với y o là khoảng cách theo trục y từ trọng tâm tiết diện đến tâm cắt của tiết diện (khi tiết diện đối xứng theo cả hai trục β x =0); y o C M x y q q θ a a(1-cos θ) a θ 1 2 2 M C y y u Hình 1. Chuyển vị của tiết diện dầm khi dầm bị mất ổn định tổng thể KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng Sè 14/12-2012 41 Ba số hạng đầu trong biểu thức (1) lần lượt xét thế năng biến dạng tuyến tính khi uốn quanh trục y, khi xoắn kiềm chế và khi xoắn thuần túy; số hạng thứ tư xét đến hiệu ứng Wagner trong dầm thành mỏng có một trục đối xứng; số hạng thứ năm là công của mô men M x θ trên độ cong u” (M x θ là thành phần mô men quanh trục y khi chiếu véctơ mô men M x lên trục y ở trạng thái mất ổn định); và hai số hạng cuối cùng là công của của lực phân bố đều và các lực tập trung gây ra trên các hiệu ứng bậc hai của chuyển vị khi dầm bị mất ổn định (hình 1). 1.2. Thế năng toàn phần theo lý thuyết của Tong và Zhang Gần đây, Tong và Zhang [10] xây dựng một lý thuyết mới về mất ổn định tổng thể của dầm dựa trên nguyên lý bi ến phân và lý thuyết vỏ mỏng. Thế năng toàn phần được thiết lập như sau: ∑ ∫ +−+−−+ −+++=Π i ixyixyyxy L xxxty aPdzaquQQ uMMGIEIuEI 22'' 0 '22'2"2" )( 2 1 ])(22 '2)'(2)()()([ 2 1 θβθβθθθβ θθβθθ ω (3) Như vậy, thoạt nhìn về mặt hình thức lý thuyết do Tong và Zhang xây dựng khác với lý thuyết cổ điển ở chỗ lý thuyết của Tong và Zhang xét đến ảnh hưởng của lực cắt Q y và xét đến ảnh hưởng của thông số thể hiện mức độ không đối xứng của tiết diện β x khi tính công của tải trọng ngang sinh ra lúc dầm bị mất ổn định. Hai lý thuyết còn khác nhau ở số hạng thứ năm trong biểu thức thế năng toàn phần đó là ∫ − L x dzuM 0 '' 2 2 1 θ và ∫ L x dzuM 0 " 2 2 1 θ . Khi thiết lập các công thức (1) và (3), cả hai lý thuyết đều bỏ qua chuyển vị của dầm trong mặt phẳng uốn. Bài báo đặt ra vấn đề so sánh hai lý thuyết trong một số trường hợp cụ thể hay gặp, từ đó bổ sung thích hợp vào lý thuyết cổ điển để có sự thống nhất với lý thuyết của Tong và Zhang. 2. Dầm đơn giản MM xx q y L z y P y M x q y L z y P y Hình 2. Một số trường hợp chịu lực của dầm đơn giản và dầm công xôn 2.1 Dầm đơn giản chịu uốn thuần túy KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG Sè 14/12-2012 T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng 42 - Theo lý thuyết cổ điển, từ biểu thức (1) nhận được ∫ ++++=Π L xxxty dzuMMGIEIuEI 0 "22'2"2" ]2)'(2)()()([ 2 1 θθβθθ ω (4) - Theo lý thuyết của Tong and Zhang, từ biểu thức (3) nhận được dzuMMGIEIuEI L xxxty ∫ −+++=Π 0 '22'2"2" ]'2)'(2)()()([ 2 1 θθβθθ ω (5) Lấy tích phân từng phần số hạng thứ năm trong biểu thức (5) ∫∫∫ =+−=− L x L x L x L x dzuMdzuMuMdzuM 0 '' 0 '' 0 ' 0 '' 2 2 1 2 2 1 2 2 1 θθθθ (6) công thức (6) được chứng minh do ở hai đầu dầm góc xoắn bằng 0, θ 0 =θ L =0. Như vậy, lý thuyết của Tong and Zhang hoàn toàn giống lý thuyết cổ điển trong trường hợp này. 2.2 Dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều - Theo lý thuyết cổ điển dzaq uMMGIEIuEI y L xxxty ] 2)'(2)()()([ 2 1 2 0 "22'2"2" θ θθβθθ ω − ++++=Π ∫ (7) - Theo lý thuyết của Tong and Zhang dzaquQQ uMMGIEIuEI xyyxy L xxxty ])(22 '2)'(2)()()([ 2 1 2'' 0 '22'2"2" θβθθθβ θθβθθ ω +−−+ −+++=Π ∫ (8) Xét số hạng thứ năm và thứ bảy trong biểu thức (8) ∫∫∫ −=−−=−− dzuMdzuMuMdzuQuM x L xx L yx '' 0 '''' 0 ''' )(2 2 1 )22( 2 1 )22( 2 1 θθθθθ (9) Biểu thức (8) được viết lại dzaqQ uMMGIEIuEI xyxy L xxxty ])(2 )'(2)'(2)()()([ 2 1 2' 0 '22'2"2" θβθθβ θθβθθ ω +−+ −+++=Π ∫ (10) Lấy tích phân từng phần số hạng thứ năm và thứ sáu trong biểu thức (10) ∫∫∫ =+−=− L x L x L x L x dzuMdzuMuMdzuM 0 '' 0 0 ' 0 '' 2 2 1 ")(2 2 1 )()(2 2 1 θθθθ (11) ∫∫∫ =−= L xy L xy L xy L xy dzqdzQQdzQ 0 2 0 2' 0 2 0 ' 2 1 )( 2 1 2 1 2 2 1 θβθβθβθθβ (12) KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng Sè 14/12-2012 43 Công thức (11) và (12) được chứng minh do ở hai đầu dầm mô men và góc xoắn bằng 0, đồng thời β x =const, Q’ y =-q y . Vậy biểu thức (10) trở thành dzaq uMMGIEIuEI y L xxxty ] 2)'(2)()()([ 2 1 2 0 "22'2"2" θ θθβθθ ω − −+++=Π ∫ (13) Như vậy, lý thuyết của Tong and Zhang hoàn toàn giống lý thuyết cổ điển trong trường hợp dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều. 2.3 Dầm đơn giản chịu tải trọng tập trung ở giữa nhịp - Theo lý thuyết cổ điển: 2 2 0 "22'2"2" 2 1 ]2)'(2)()()([ 2 1 Ly L xxxty aP dzuMMGIEIuEI θ θθβθθ ω − ++++=Π ∫ (14) - Theo lý thuyết của Tong và Zhang, và từ (9): 2 2 ' 0 22'2"2" )( 2 1 ]2 ')'(2)'(2)()()([ 2 1 Lxyxy L xxxty aPdzQ uMMGIEIuEI θβθθβ θθβθθ ω +−+ −+++=Π ∫ (15) Xem như lực tập trung P y phân bố đều trên một đoạn dầm 2η rất nhỏ ở giữa nhịp η η 2 y P q = . Xét 2 2 2 2 2 2 2 2' 2 2 2' 2 0 2' 0 2' 0 2 0 ' 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 2 1 2 2 1 Lxy L L Lx L L xy L L xy L xy L xy L xy L xy PdzqdzQdzQ dzQdzQQdzQ θβθβθβθβ θβθβθβθθβ η η η η η η η ==−− −=−= ∫∫∫ ∫∫∫ + −+ + − − (16) Công thức (16) được chứng minh do trên đoạn dầm có lực cắt phân bố đều thì Q’ y =0. Theo (11) và (16), biểu thức (15) biến đổi thành: 2 2 0 22'2"2" 2 1 ]"2)'(2)()()([ 2 1 Ly L xxxty aP dzuMMGIEIuEI θ θθβθθ ω − −+++=Π ∫ (17) KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG Sè 14/12-2012 T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng 44 Như vậy, lý thuyết của Tong and Zhang hoàn toàn giống lý thuyết cổ điển khi dầm chịu tải trọng tập trung. Chứng minh tương tự khi trên dầm xuất hiện nhiều lực tập trung tại các vị trí khác nhau, ta nhận được biểu thức thế năng toàn phần cho hai lý thuyết như sau: ∑ ∫ − ++++=Π i iyi L xxxty aP dzuMMGIEIuEI 2 0 "22'2"2" 2 1 ]2)'(2)()()([ 2 1 θ θθβθθ ω (18) ∑ ∫ − −+++=Π i iyi L xxxty aP dzuMMGIEIuEI 2 0 '22'2"2" 2 1 ]')(2)'(2)()()([ 2 1 θ θθβθθ ω (19) 3. Dầm công xôn 3.1 Dầm công xôn chịu mô men uốn ở đầu tự do - Theo lý thuyết cổ điển, trong trường hợp này thế năng toàn phần được viết ∫ ++++=Π L xxxty dzuMMGIEIuEI 0 "22'2"2" ]2)'(2)()()([ 2 1 θθβθθ ω (20) - Theo lý thuyết của Tong và Zhang dzuMMGIEIuEI L xxxty ∫ −+++=Π 0 '22'2"2" ]'2)'(2)()()([ 2 1 θθβθθ ω (21) Như vậy, lý thuyết cổ điển và lý thuyết của Tong và Zhang khác nhau ở số hạng thứ năm. Trước Tong và Zhang, Trahair [8] đã đề nghị bổ sung vào thế năng toàn phần của lý thuyết cổ điển phần công do mô men uốn ở đầu tự do sinh ra trên chuyển vị bậc hai khi dầm công xôn bị mất ổn định. Để thuận lợi cho trình bày, xét trường hợp dầm công xôn tiết diện chữ I có hai trục đối xứng. Phân tích mô men ở đầu tự do của công xôn thành ngẫu lực như hình 3. θ h L u L x M X θ L h θ 2 L h θ 2 L u' L h θ 2 L h θ 2 L M X LL h θ u' /2 h θ u' /2 LL M / h X M / h X Hình 3. Chuyển vị bậc hai ở đầu tự do khi dầm công xôn bị mất ổn định KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng Sè 14/12-2012 45 Phần công do ngẫu lực sinh ra trên chuyển vị bậc hai khi dầm công xôn bị mất ổn định là: ' ' 2 2 LLx LL x uM uh h M θ θ = Thế năng toàn phần theo lý thuyết cổ điển đã được bổ sung phần công ngoài do mô men ở đầu tự do được tính theo biểu thức: ' 0 "22'2"2" ]2)'(2)()()([ 2 1 LLx L xxxty uMdzuMMGIEIuEI θθθβθθ ω −++++=Π ∫ (22) Lấy tích phân từng phần như đã thực hiện trong công thức (6) ∫∫∫ +−=+−=− L xLLx L x L x L x dzuMuMdzuMuMdzuM 0 ''' 0 '' 0 ' 0 '' 2 2 1 2 2 1 2 2 1 θθθθθ (23) Công thức (23) được chứng minh do tại ngàm (z=0) thì θ 0 =u’ 0 =0. Thế năng toàn phần theo lý thuyết cổ điển được bổ sung bởi phần công ngoài sinh ra do mô men tập trung ở đầu tự do khi dầm công xôn bị mất ổn định hoàn toàn trùng với thế năng toàn phần theo lý thuyết của Tong và Zhang. Vấn đề đặt ra là cần có biểu thức tổng quát cho trường hợp khi có mô men phân bố đều hay nhiều mô men tập trung tại các vị trí khác nhau trên dầm. Tương tự như cách bổ sung công sinh ra do mô men ngoài mà Trahair [8] đã th ực hiện, ta viết được biểu thức thế năng toàn phần một cách tổng quát hơn cho lý thuyết cổ điển như sau ∑∑ ∫ −−−− ++++=Π i iixi i iyixy L xxxty uMaPdzumaq uMMGIEIuEI '22 0 "22'2"2" 2 1 ]'2 2)'(2)()()([ 2 1 θθθθ θθβθθ ω (24) Trong đó: m x là mô men phân bố đều trên dầm; M xi là mô men tập trung tại vị trí i trên dầm; θ i và u’ i lần lượt là góc xoắn và góc xoay quanh trục y tại tiết diện i. 3.2 Dầm công xôn chịu tải trọng phân bố đều Trong trường hợp này, các công thức (11) và (12) vẫn được chứng minh do ở đầu ngàm θ 0 =u’ 0 =0, còn ở đầu tự do Q y =0. Do vậy, biểu thức (13) vẫn có giá trị và lý thuyết Tong và Zhang hoàn toàn giống lý thuyết cổ điển. 3.3 Dầm công xôn chịu lực tập trung ở đầu tự do - Theo lý thuyết cổ điển 2 0 "22'2"2" 2 1 ]2)'(2)()()([ 2 1 Ly L xxxty aP dzuMMGIEIuEI θ θθβθθ ω − ++++=Π ∫ (25) - Theo lý thuyết của Tong và Zhang KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG Số 14/12-2012 Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng 46 2' 0 22'2"2" )( 2 1 ]2 ')'(2)'(2)()()([ 2 1 Lxyxy L xxxty aPdzQ uMMGIEIuEI ++ +++= (26) Bi vỡ 2 0 2' 0 2 0 ' 2 1 )( 2 1 2 1 2 2 1 Lxy L xy L xy L xy PdzQQdzQ == (27) Cụng thc (27) c chng minh do trờn dm cụng xụn chu lc tp trung u t do, lc ct khụng i nờn Q y =0 v ti ngm gúc xon bng khụng, 0 =0. Ti ngm gúc xon v gúc xoay quanh trc y bng khụng, 0 =u 0 =0 v ti u t do cú mụ men un bng khụng nờn cụng thc (11) c chng minh trong trng hp ny. Nh vy, biu thc (26) tr thnh: 2 0 "22'2"2" 2 1 ]2)'(2)()()([ 2 1 Ly L xxxty aP dzuMMGIEIuEI ++++= (28) Lý thuyt Tong v Zhang hon ton ging lý thuyt c in trong trng hp dm cụng xụn chu ti tp trung ti u t do. 4. Vớ d tớnh toỏn Tỏc gi ó vit mt chng trỡnh s dng phn t hu hn (PTHH) mụ hỡnh chuyn v c vit bng ngụn ng Matlab. u tiờn, PTHH c xõy dng da trờn biu thc th nng ton phn ca dm chu un ngang phng nh m xỏc nh mụmen un trong dm. Sau ú, biu thc th nng ton phn (24) trong phõn tớch n nh n hi tuyn tớnh c ỏp dng vo PTHH ú xỏc nh tr riờng v vộct riờng. Cú tr riờng v vộct riờng, chng trỡnh s xỏc nh lc ti hn v cho hỡnh nh mt n nh tng th ca dm. Da trờn bi bỏo trc õy ca tỏc gi [11], cỏc c trng hỡnh hc ca tit din c a tit din ch I cú mt trc i xng xut hin trong biu thc (24) cng c lp trỡnh tớnh toỏn trong chng trỡnh. 4.1 n nh tng th ca dm tit din ch I cú hai trc i xng C 600 300mm 10 20 q y I =9000 cm I =180 cm I =8.1e+06 cm y 4 t 4 6 E=2.05e+05 N/mm 2 Hỡnh 4. Tit din ch I cú hai trc i xng KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng Số 14/12-2012 47 Xột dm n gin v dm cụng xụn cú cựng tit din ch I vi hai trc i xng nh hỡnh 4. Dm n gin cú nhp l 10m, dm cụng xụn cú nhp l 5m. Ti trng tỏc dng t ti trng tõm tit din. - Trng hp dm n gin: theo Trahair [8] v Eurocode 3 [12], cụng thc tớnh mụmen ti hn ca dm n gin nhp L, chu un ngang phng c vit nh sau: ocrmcr MM = (29) trong ú, M ocr l mụmen ti hn trong trng hp dm chu mụmen un thun tỳy [1]. += 2 2 2 2 L EI GI L EI M t y ocr (30) m l h s ph thuc dng ti trng tỏc dng lờn dm. - Trng hp dm cụng xụn: cỏc cụng thc tớnh mụmen ti hn c thit lp riờng cho tng trng hp ti trng. + Khi dm cụng xụn chu mụmen un tp trung u t do: += 2 2 2 2 )2()2( L EI GI L EI M t y cr (31) + Khi dm cụng xụn chu ti trng phõn b u: += )2(7108.82565.23 t ty cr GI EI LL GIEI M (32) + Khi dm cụng xụn chu ti trng tp trung u t do: += )2(5234.311 t ty cr GI EI LL GIEI M (33) Cỏc kt qu tớnh toỏn theo phng phỏp PTHH v theo cỏc cụng thc (29)-(33) c th hin trong Bng 1. Ta nhn thy rng sai s hu ht l rt nh (1.3%), tr trng hp dm cụng xụn chu ti trng tp trung u t do cú sai s l 3.2%, iu ú cú th gii thớch do cụng thc (33) cng l cụng thc gn ỳng. T Bng 1, ta nhn thy dm n gin nhp L v d m cụng xụn nhp 2 L cựng chu mụmen un thun tỳy cú mụmen ti hn gn bng nhau. Trong Bng 1 cũn cú kt qu mụmen ti hn ca trng hp dm cụng xụn chu cỏc mụ men tp trung v chu mụmen phõn b u, do khụng cú kt qu c cụng b ca cỏc tỏc gi khỏc nờn khụng cú sai s so sỏnh. Tuy nhiờn, ta thy khi tng s lng mụ men tp trung trờn dm thỡ kt qu mụ men ti hn s tim cn n trng hp dm cụng xụn chu mụ men phõn b u. Mụmen t i hn trong trng hp mụmen phõn b u cú kt qu nh hn trng hp dm cụng xụn chu ti trng tp trung u t do mc dự biu mụmen ni lc ca hai trng hp ny cú dng phõn b tuyn tớnh ging nhau. iu ny cú th gii thớch l do nh hng ca phn cụng ngoi lc do mụmen phõn b u sinh ra trờn cỏc chuyn v bc 2 khi dm cụng xụn b mt n nh nh ó th hin s hng th 7 trong biu thc th nng ton phn (24). Hỡnh 5 v hỡnh 6 minh ha cho hỡnh nh mt n nh ca dm n gin chu ti trng phõn b u v dm cụng xụn chu lc tp trung u t do. KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG Sè 14/12-2012 T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng 48 Bảng 1. Mômen tới hạn của dầm đơn giản và dầm công xôn chịu uốn ngang phẳng Sơ đồ dầm Sơ đồ tải trọng α m M cr – CT (29)÷(33) (Tm) M cr – PTHH (Tm) Sai số MM xx 1.0 74.623 74.634 0.015% q y 1.13 84.324 85.427 1.3% Dầm đơn giản P y 1.36 101.49 101.69 0.2% M x 74.623 74.825 0.27% q y 794.72 795.34 0.08% P y 373.01 384.96 3.2% Dầm công xôn 2M x M x - 157.37 - 2M x M x 2M x 2M x - 198.28 - Có 8 mô men tập trung - 216.39 - m x - 231.20 - Hình 5. Dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều Hình 6. Dầm công xôn chịu lực tập trung ở đầu tự do [...]... buckling under directed loading, Journal of Structural Engineering ASCE ; 113(6): 1251-1263 8 Trahair N.S (1993), Flexural-torsional buckling of structures London: E&FN SPON 9 Kitipornchai S and Chan S.L (1988), Stability and nonlinear finite element analysis of thinwalled structures In: Finite element applications to thin-walled structures, edited by John W Bull Elsevier applied science 10 Zhang L... ti trng t ti tõm ct ca tit din: Mcr = 115.83 Tm + Trng hp ti trng t ti cỏnh di ca tit din: Mcr = 207.62 Tm Ta nhn thy nh hng ca v trớ t ti trờn tit din dm n mụ men ti hn ca dm l rt rừ rng Khi ti trng t ti cỏnh trờn ca dm s cú xu hng lm tng nguy c mt n nh do cú mụmen xon ph thờm do ti trng gõy ra khi dm b mt n nh Cũn khi ti trng t cỏnh di, mụ men xon ph s cú chiu ngc li vi chiu xon mt n nh nờn lm gim... men un phõn b u v nhiu mụ men tp trung Tỏc gi ó ỏp dng biu thc th nng ton phn ó trỡnh by vo phng phỏp phn t hu hn gii bi toỏn n nh tng th ca dm Cỏc vớ d c th c thc hin ó chng minh tin cy ca biu thc (24) Da trờn biu thc th nng ton phn cú th thit lp c PTHH gii bi toỏn n nh tng th ca dm vi nhiu dng ti trng khỏc nhau cú xột n nh hng ca v trớ t ti trng trờn tit din dm Ti liu tham kho 1 Timoshenko S.P and... elastic stability, 2nd ed McGraw-Hill 3 Vlasov V.Z (1961) Thin-walled elastic beams Israel Program for Scientific Translation, Jerusalem, 3 Bleich F (1952), Buckling strength of metal structures McGraw-Hill Book Company, 4 Anderson J.M and Trahair N.S Stability of mono-symmetric beams and cantilever, Journal of Structural Division, ASCE 1972; 98 (ST1): 269-286 5 Attard M.M and Bradford M.A, (1990), Bifurcation... khp hai du (liờn kt khp i vi c chuyn v un v chuyn v xon) v s th hai, dm liờn kt khp hai u v cú hai dm ph liờn kt vi dm chớnh cỏc v trớ 1/3 chiu di dm nh th hin trờn hỡnh 8 L/3 L/3 L/3 L Hỡnh 8 S 2 - Dm ph liờn kt bng mt vo dm chớnh - Theo s 1: phõn tớch n nh dm bng chng trỡnh PTHH ó thit lp vi ba trng hp t v trớ ca ti trng trờn tit din dm + Trng hp ti trng t ti cỏnh trờn ca tit din: Mcr = 107.52Tm... thuyt khỏc nhau khi xột trng hp dm cụng xụn chu mụ men tp trung u t do Tuy nhiờn, khi b sung phn cụng sinh ra do mụ men tp trung trờn chuyn v bc hai khi dm b mt n nh vo biu thc th nng ton phn ca lý thuyt c in nh Trahair [8] ngh thỡ lý thuyt c in s ging lý thuyt ca Tong v Zhang Da trờn ngh ca Trahair, chỳng t i kin ngh biu thc (24) tng quỏt hn ca th nng ton phn theo lý thuyt c in, xột n trng hp trờn... (2004), Flexural-torsional buckling of thin-walled beam members based on shell buckling theory, Thin-walled Structures; 42(12): 1665-1687 11 B i Hựng Cng (2010), Tớnh toỏn cỏc c trng hỡnh hc ca tit din thanh thnh mng h, Tp chớ Khoa hc cụng ngh Xõy dng, trng i hc Xõy dng, s 8: 16-28 12 Bourrier, P et Brozzetti (1996), J Construction mộtallique et mixte acier-bộton Partie 1: Calcul et dimensionnement selon... NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG 4.2 n nh tng th ca dm tit din ch I cú mt trc i xng P =qyL/2 y Py M 1000 yo qy a qy 30 600 C L/3 L/3 L/3 14 30 L Iy=60750 cm4 It =901.45 cm4 6 I= 6.0e+07 cm x=360.22 mm a = 111.11 mm y =279.13 mm 2 E=2.05e+05 N/mm 300 Hỡnh 7 Tit din ch I cú mt trc i xng Xột dm ch I cú mt trc i xng v chu ti trng nh hỡnh 7 Dm cú nhp L = 24m Ta xột hai s kt cu ca dm: s th nht, dm liờn kt khp hai... Bifurcation experiments on mono-symmetric cantilevers, 12th Australian Conference On Mechanics of Structures and Material, p 207-213 50 Số 14/12-2012 Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG 6 Assadi M and Roeder C.W, (1985), Instability of monosymmetric I- beams and cantilervers, J Struct Mech ASCE ; 111: 1440-1455 7 Ings N.L and Trahair N.S (1987), Beam and column buckling under... hng ca v trớ t ti trng trờn tit din dm th hin qua cỏc s hng 6 v 8 trong biu thc (24) Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng Số 14/12-2012 49 KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG - Theo s 2: khi hai dm ph liờn kt bng mt vo dm chớnh nh hỡnh 8 Ta xem rng dm ph ngn cn chuyn v thng theo phng dc trc dm ph v chuyn v xon ca tit din dm chớnh ti v trớ liờn kt Ti trng c t ti cỏnh trờn ca dm chớnh Mụ men ti hn trong trng . Hình 7. Tiết diện chữ I có một trục đ i xứng. Xét dầm chữ I có một trục đ i xứng và chịu t i trọng như hình 7. Dầm có nhịp L = 24m. Ta xét hai sơ đồ. t i vị trí i trên chiều d i dầm; θ i là góc xoắn t i tiết diện i có t i trọng tập trung; a là khoảng cách từ tâm cắt của tiết diện đến i m đặt của tải