Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 2017 MÔN TOÁN 6 Bài 1 (4,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức 2) Tìm số tự nhiên biết Bài 2 (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi.
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MƠN TỐN Bài (4,0 điểm) A= 1) Tính giá trị biểu thức 2) Tìm số tự nhiên Bài (4,0 điểm) x, + + + + 19 21 + 23 + 25 + + 39 18 5x.5x +1.5x + = 1000 14 43 : biết: 18 chu so n UCLN ( 21n + 4;14n + 3) = 1) Chứng minh với số tự nhiên p 2p +1 2) Chứng minh rằng: Nếu số nguyên tố lớn số p +1 nguyên tố hợp số Bài (4,0 điểm) 27 1) Chứng minh số viết chữ số giống chia hết cho 27 n n n 2) Tìm số tự nhiên có chữ số biết số phương bội 147 Bài (6,0 điểm) OB, OC 1) Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ tia cho AOB = 1200 , AOC = 800 a) Tính b) Vẽ tia ON góc Gọi OM tia phân giác tia đối tia OM Chứng minh CON BOC OA tia phân giác Ox1 , Ox2 , Ox3 , , Oxn 2) Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia xOx2 = xOx1; xOx3 = 3xOx; xOx4 = xOx1; ; xOxn = nxOx1 cho góc Tìm số n nhỏ để tia vẽ có tia tia phân giác chung 2017 góc n Bài (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ để phân số sau tối giản 7 100 ; ; ; ; n + n + 10 n + 11 n + 102 ĐÁP ÁN Bài a) Ta có: + + + + 19 = ( + 19 ) + ( + 17 ) + + ( + 11) = 20 + 20 + + 20 = 100 21 + 23 + 25 + + 39 = ( 21 + 39 ) + ( 23 + 27 ) + + ( 29 + 31) = 60 + 60 + + 60 = 300 ⇒ A= 100 = 300 b) Ta có: 18 5x.5x +1.5x + = 000 14 43 : 18 chu so 5x + x +1+ x + = 1018 : 218 ⇒ 53 x +3 = 518 ⇒ x + = 18 ⇒ x = x=5 Vậy Bài d a) Gọi UCLN ⇒ 2.( 21n + ) Md ⇒ 2.( 21n + ) Md ( 21n + 4;14n + 3) ⇒ 21n + 4Md 14n + 3Md 14n + 3M d 3.( 14n + ) Md ⇒ 3.( 14n + 3) − 2.( 21n + ) Md ⇒ 1Md ⇒ d = Vậy UCLN ( 21n + 4;14n + 3) = p b) Vì số nguyên tố, p + = ( p + 1) Ta có p > ⇒ 4p khơng chia hết cho p > ⇒ p +1 > ⇒ 2p +1 Theo số nguyên tố không chia hết cho 4p + Suy không chia hết cho p;4 p + 1;4 p + Mà ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn số chia hết cho 3, p +1 chia hết cho p + > 13 p +1 Vì nên số tự nhiên lớn có nhiều ước p +1 Suy hợp số Bài a) Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số chia hết cho 27 111 11 { × 1000 01000 01 14 43 = 11 14 43 14 43 27 chu so Thật vậy: 11 { M Mà c / so c / so c / so c / s 1000 01000 01 ⇒ 111 1 14 43 M M27 c / so c / so 27 c / so a.111 123 a 27 c / so Từ suy số viết 27 chữ số số nên số chia hết cho 27 n 1000 ≤ n ≤ 9999 b) Vì số tự nhiên có chữ số nên n n = 147 k = 2.3k Theo bội 147 nên n Do số phương nên phân tích thừa số ngun tố lũy thừa thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn ⇒ 1000 ≤ 441m ≤ 9999 ⇒ < m < 22 ⇒ kM ⇒ k = 3m ⇒ n = 2.32.m = 441m ⇒ m = 4;9;16 Để n số phương m số phương 1764;3969;7056 Suy số tự nhiên cần tìm : Bài AOC < AOB (800 < 1200 ) a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có ⇒ OA Tia OC nằm hai tia OB ⇒ AOC + BOC = AOB ⇒ 80 + BOC = 1200 ⇒ BOC = 400 Vì OM tia phân giác BOC 400 BOC ⇒ BOM = COM = = = 200 2 OB BOM < BOA ( 200 < 1200 ) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia có nên tia OM nằm hai tia OA OB ⇒ BOM + MOA = AOB 200 + MOA = 1200 ⇒ MOA = 1000 hay OM , ON AOM AON b) Vì hai tia đối nên hai góc hai góc kề bù 0 0 ⇒ AOM + AON = 180 ⇒ 100 + AON = 180 ⇒ AON = 80 AOC = AON ( = 800 ) (1) Suy Vì hai tia OM ON nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ tia OA nên tia OA nằm hai tia OM ON (2) Từ (1) (2) suy tia OA tia phân giác CON Ox1 , Ox2 , Ox3 , , Oxn c) Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia xOx2 = xOx1; xOx3 = 3xOx1; xOx4 = xOx1; ; xOxn = nxOx1 cho ⇒ xOx1 = x1Ox2 = x2Ox3 = = xn−1Oxn Vậy n n = 2017.2 = 4034 Ox2017 nhỏ lúc tia phân giác chung xOx4034 = x1Ox4033 = x2Ox4032 = = x2016Ox2018 2017 góc: Bài a a + ( n + 2) Các phân số cho có dạng , phân số tối giản nên n+2 a phải hai số nguyên tố 7;8;9; ;100 n+2 Như phải số nguyên tố với số n+2 phải số nhỏ n+2 Nên số nguyên tố nhỏ lớn 100 ⇒ n + = 101 ⇒ n = 99 ... n n = 2017. 2 = 4034 Ox2017 nhỏ lúc tia phân giác chung xOx4034 = x1Ox4033 = x2Ox4032 = = x2016Ox2018 2017 góc: Bài a a + ( n + 2) Các phân số cho có dạng , phân số tối giản nên n+2 a phải hai... lũy thừa thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn ⇒ 1000 ≤ 441m ≤ 9999 ⇒ < m < 22 ⇒ kM ⇒ k = 3m ⇒ n = 2.32.m = 441m ⇒ m = 4;9; 16 Để n số phương m số phương 1 764 ;3 969 ;70 56 Suy số tự nhiên cần tìm :... = 20 + 20 + + 20 = 100 21 + 23 + 25 + + 39 = ( 21 + 39 ) + ( 23 + 27 ) + + ( 29 + 31) = 60 + 60 + + 60 = 300 ⇒ A= 100 = 300 b) Ta có: 18 5x.5x +1.5x + = 000 14 43 : 18 chu so 5x + x +1+ x +