CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT: SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG – NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 2) Tiếp theo lý thuyết phần 1, tác giả trân trọng giới thiệu với bạn học sinh độc giả phần 2, lý thuyết sử dụng biến đổi tương đương nâng cao lũy thừa Phần nối tiếp phần với số toán điển hình phong phú, đa dạng, mức độ khó phức tạp cao hơn, đòi hỏi tư cao độ lập luận logic, chặt chẽ KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Kỹ nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích đẳng thức, thêm bớt Sử dụng thành thạo ký hiệu logic phạm vi tốn phổ thơng Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài tốn Giải phương trình x2  x   x  x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x2  x   x  x    x  x   x2  x   x2  x   x   x  x   x  3 x    x  3  x  3  x       x    x  6x   4x  4x  3 x  x    x        Kết luận tập nghiệm S   ;1   Bài toán Giải phương trình x2   x  3x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x  3x   x  33  10 x  10 x   27  x   x  3x    x     2  x   25  x  17    17  x  17  17  x  17    71     x  1;  2  91  100 x  800  x  162 x  729 91x  162 x  71     71 Kết luận phương trình cho có tập nghiệm S  1;   91  Bài tốn Giải phương trình 5x  x  5x  x   Lời giải Điều kiện x   x   Bất phương trình cho tương đương với x  x  x  x   x  x   3x   x  x  1  3 x   3 x  x      3 x    3 x    x 1   1  x   9 x  x   x  x    x  x    3  4  Kết luận tập nghiệm S   ;     0;1 5  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn Giải bất phương trình x2  x   x   x  x  Lời giải Bất phương trình cho tương đương với Điều kiện x   x  x  1  x  1  3x     x  1  x  x     x  x2  x   x2  x   x   x  x   x  x    x  x  1  x  1   x  x 2 Kết luận tập hợp nghiệm S  1;   Bài toán Giải bất phương trình 3x   x   x  Lời giải Bất phương trình cho đưa Điều kiện x  3x2  x    3x    x  1  3x   3x    x  1   x x    x   x      x     6 x  3x  x   0  x  0  x   Kết hợp điều kiện x    thu nghiệm S   ;1   Bài tốn Giải bất phương trình 2 x   x  x   x  x Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với 2 x   x  x  x  x  (1) Xét trường hợp 2 x   x  x   x   x  x  x  x    x  Kết hợp x  suy (1) nghiệm với x   65  65 x 2  65 Xét trường hợp 2 x   x  x   x   x  x  x  x     65  65 x 2 1  x2  x    x  1  x2  x   x  x    x  1   x  1  x  x  x     x 1  x  1 8 x  13 x      Tổng hợp tất trường hợp thu nghiệm x  Nhận xét Các tốn từ  sau nhóm khéo léo nâng lũy thừa hợp lý đưa dạng toán Yêu cầu giải bất phương trình cần xác cao lập luận logic, chặt chẽ, bạn học sinh ý Điểm mấu chốt nằm việc nhóm hạng tử cho sau bình phương hai vế (có điều kiện) xuất ax  bx  c  f  x   ax  cx  d  g  x  Bài tập tương tự CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 1, x  x   x  x  2, x    x  3x  3,  x   x  x  x  4, x   x 1  2x2  x  5, x  x   x  3x   x  Bài tốn Giải bất phương trình   x  x  x   Lời giải x  Điều kiện  x  Xét x   x  bất phương trình cho nghiệm x  x  Xét  bất phương trình trở thành  x   x  Kết hợp  suy x  x  x  Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  1  3;   Bài toán Giải bất phương trình  x  x   x  x   Lời giải Điều kiện x   x  ; bất phương trình cho nghiệm Xét x   x   x  x   Xét x   x  Bất phương trình tương đương với x  x    2  x  Suy 2  x  Kết luận nghiệm bất phương trình 2  x   x  2 Bài tốn Giải bất phương trình 1  x  x   x  x  Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với  x  1 x  3   x  1 x     x  1 x   x     (1) Xét x  , bất phương trình (1) nghiệm Xét x  bất phương trình (1) tương đương với x  x  x  x  x  x         1  x    1  x    1  x     x2      x   x 1  2  x    x 1   x  x   x  x    x  x  10   2  x     Kết hợp trường hợp ta thu nghiệm bất phương trình S  1   2;   CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 10 Giải bất phương trình  x2 x 33 x   x2 x 1 Lời giải x   Điều kiện   0 x 2 x 2  Xét trường hợp  x   x  2; 2 Suy bất phương trình ban đầu nghiệm với x  Xét trường hợp  x    x  Bất phương trình cho trở thành  x4  x  16 x   x  x   x  x    x 1 x 4  0     x 1 0  x   x 1  Kết hợp hai trường hợp ta có tập nghiệm S   0;1  2    Bài tốn 11 Giải bất phương trình 1  x  x  x  x  x  x  Lời giải  x0 Bất phương trình cho tương đương với Điều kiện x   x  1  x  x     x  1   x  x    x  1 x  x   x  x  (1) 1  x  x  x  x    x  x    33 x   x  x    x2  5x       33 x    33 Kết hợp x  suy x  Xét x   Xét x  1  x  x  x  x      2x2  5x    2x2  5x   x  5x 1    33  33  33 x Kết hợp x  suy  x  4  33  33 Kết luận tập nghiệm  x  0 x  4 Nhận xét Các toán  11 có chứa nhân tử chung hai vế bất phương trình Các bạn ý chuyển vế xét trường hợp xảy nhân tử; xét theo điều kiện xác định thuận lợi cho lập luận Bài tập tương tự Giải bất phương trình sau tập hợp số thực x x2 x x2 1,  x2  2x  2, 11x    x   x  x  30  x  x    x2  x    3, x  x  12  2x 1  x 4,  x  x  3 x  x  12 3x  4 x 0 5 x CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 12 Giải bất phương trình x  3x  x  x  x 3x  x Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x  x  x   x  x   x  3x  x 1 Với x   x  x   25 x  x  x  (nghiệm với x  ) Kết luận nghiệm x  Bài toán 13 Giải bất phương trình  x  3x  2 2x 1  2x 1  3x  2x 1 Lời giải x  Điều kiện    x 1 2 Bất phương trình cho tương đương với x  2  x  x    x  1  x   x  3x    x    x  2  x  3x   x  x  1  Kết hợp điều kiện thu nghiệm S   ;1  2 2  Bài tốn 14 Giải bất phương trình x2  x   x 1 x  x 1  1 x Lời giải x  Điều kiện   1  x  Bất phương trình cho tương đương với   x  x   x    2 1 x2  x   x      x    x  x  2 1    2  x   2   x   x  x   x  x      2 Kết hợp điều kiện thu nghiệm S   1;   3  Bài tốn 15 Giải bất phương trình x  16 x 3  x3  x3 Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với 8  x  x   x  16  x    x  16   x   8  x    x5  x    x  16  x  16 x  64  Kết hợp điều kiện x  thu nghiệm S   5;   2 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 16 Giải phương trình x   2x 1  x 1 Lời giải Phương trình cho tương đương với x  x  2 x 2x 1   2x 1   2x2  x   x     x  4;1 2 x  x  x  x   x  3x   So sánh với điều kiện x  thu tập nghiệm S  1 Điều kiện x  Bài tốn 17 Giải bất phương trình x   x 1  x 1 Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   x 1   x   x  1   x  1   x  x   x  x 1  x  1  x  1    1  x  2  x  6x   x  2x 1 x  Kết hợp điều kiện x  ta có tập nghiệm bất phương trình cho  x  Bài toán 18 Giải bất phương trình 4 x   x   2x 3 x Lời giải Điều kiện   x  Bất phương trình cho tương đương với 4 x 3 x    x   x    x  2 x  x  15   x  7  x  x      7  x     x2 x    x  17   x  28 x  49  2 x  x  15       6 x  29 x  34   Kết hợp điều kiện thu nghiệm  x  Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 2 x x 1 1,  1 x  1 x 1 x 2x 2, x   x   2x 1 3, 4, 5, x  5x  3x  2 x  x x 3x 1   x2  x2 x2 x 1   2x   2x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 19 Giải phương trình x  x  x  x  3x  x  x    Lời giải Điều kiện  x  x    Xét x  thỏa mãn phương trình cho Xét x  ; phương trình cho trở thành x   x   3x   x   x  x   3x   x  x   x  4 x  24 x  32  x  14 x  49 3x  38 x  17  19  103   x x  x  Xét x   ; phương trình cho trở thành  x   x  3 x    x  x  x   3 x   x  x    x  4 x  24 x  32  x  14 x  49 3 x  38 x  17     x   x  7  x  7 Vậy phương trình cho có hai nghiệm Bài tốn 20 Giải phương trình x2  x  x  x  x2  5x x  Lời giải Điều kiện  x    x  1  Xét x  thỏa mãn phương trình cho Xét x  ; phương trình cho tương đương với  x  1 x    x    x  1 x     x  (Vô nghiệm) x 1  x   x   2x 1  Xét x  1 ; phương trình cho tương đương với  x    x   x  2 x  2  x  1 x     x   x  1 x    x  3  x  1  3  x  1  19    x 2 4  x  x    x  x  3x  10 x  17     19    Vậy phương trình có tập nghiệm S  0;      Bài tốn 21 Giải bất phương trình x2  x   x  3x   x2  x   x  1 Lời giải Điều kiện  x    x  3  Xét x  1 thỏa mãn phương trình cho Xét x  ; bất phương trình cho tương đương với x   x   x   x  x2   x   x2    x x  x  x  3  21     2  x    2  x    3  21  x   x3  4 x  16  x  x   3x  x  25      CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Xét x  3 ; bất phương trình cho tương đương với  x   x    x   2 x  x    x   x   x  (1) Bất phương trình (1) nghiệm với x  3  3  21  Kết luận nghiệm S   ; 3  1   ;      Bài tốn 22 Giải bất phương trình x  x  x  3x  x x  Lời giải Điều kiện   x  3 Xét x  thỏa mãn phương trình cho Xét x  ; phương trình cho tương đương với x2  x  x  3x  x2  x   x   x  x   x  x   x x   x2  x   x     x  x   x2  x   Hệ (*) vô nghiệm Xét x  3 ; phương trình cho trở thành  x    x    x  2 x   x  x   4 x x   x2  x    x    x x  4x   x  4x  Giá trị bị loại x  3 Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài tốn 23 Giải bất phương trình x    x   x3 x 3 x  Lời giải Điều kiện   x  3 Phương trình cho tương đương với    x  5    x   x   x    x3   x  3   x          4  x     x     x 3  x 3       x     x  5    x  5  x  3 x  11 x  1  1     x   3;11;  3   x  5  So sánh với điều kiện xác định thu nghiệm S  3;11 x  Lời giải Điều kiện   x  3 Phương trình cho tương đương với x2    x  5 x2   x  3  x2   x5 x2  x 3  x2   x2         x   x   x  3; ;3;11   2 x   x   6  x  x   So sánh với điều kiện xác định thu nghiệm S  3;11 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 24 Giải bất phương trình x2 x2 x2     x  Lời giải x  Điều kiện   x  2 Bất phương trình cho tương đương với x   7  x Xét x2   x2   7x x   x   x   x    (1) x2  x  2 x    x  2; 2 Bất phương trình (1) nghiệm với x  x    x x   1  x   x      x x   x  x  5  Kết hợp điều kiện  ta thu nghiệm S  2   ;   2   x  2 Xét Bài toán 25 Giải bất phương trình  x  1  x  x  x  Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với  x  1    x   x  1 x     x  1 x    x  x    x  x  x    x       x  15 x  61    x   x  x    x    x  So sánh với điều kiện x  thu nghiệm x  Nhận xét Trong toán từ 19  24 , hai vế phương trình bất phương trình có nhân tử chung Mặc dù điều kiện xác định phức tạp cách chia trường hợp biến đổi tương đương, cánh cửa ánh sáng mở trước mắt Quan trọng kiên trì, bền bỉ, tỉ mỉ tư xác Đơi cần tinh tế để nhận nhân tử chung (các toán 23 24), sử dụng cách làm vô "thân thương, gần gũi" nâng lũy thừa trực tiếp, điển hình lời giải toán số 23 Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực  4 x  1,   x  x  2012 x  2011   3x    x4 x4 2, x  16  3, x2 1  4, x  x    x  x  1  x  x  1 5, x2  x   x2  x   x  x  6, x2  8x   x2 1  x   x 1 1  x   2x 1 x 1 x 1 x2  2x  7,  x  x2 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH x 1  x   x2  x  1 Bài tốn 26 Giải phương trình Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x   x   x  x    x    x  x   x   x    x    x  1  x  1 x  1 x  x  1       x 1  x   x 1   Kết hợp điều kiện x  ta thu nghiệm S  2    x  1  Bài tốn 27 Giải phương trình x   x  x     x  x  1  Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với x   x 1    x 1     x  x  1   x  x 1   x 1    x  x 1    x 1   x   16  x  17 x 1   x       x 1   x x   x 1   x   Kết hợp điều kiện  x  ta thu nghiệm S  4 Bài toán 28 Giải bất phương trình   x     x   x2  x   Lời giải Điều kiện 1  x  Bất phương trình cho tương đương với x   x    x   x2  x   x       x 1    x  x 1    x 1   x  x 1   x   x 1      x      x  17    3  x  x   17 10  18  x  x         x5  x   10 x   x 1        18  x  x    x  17    3  x  x    10  17 Kết hợp điều kiện 1  x  thu nghiệm  x  10 Bài tốn 29 Giải bất phương trình x   x  x  x2  Lời giải Điều kiện  x  Bất phương trình cho tương tương với    x   x  x  x   x    x  x    x   1 x 1   1  x    x   x       x 1    1  x     x    x     x   x   1  x       1  x    x    1 x 1    Kết luận tập nghiệm  x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 10 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 30 Giải phương trình x  3x  x  x   x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x  x  x   x  x   x     x 4  x 4  x 2   x 4  x  16  x  16 x 2 x3       x  7  x 2  x 3 x  x   x    Phương trình (*) vơ nghiệm Kết luận phương trình có nghiệm x  16   x 4     Bài tốn 31 Giải bất phương trình x   x   x   x  Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   x    x  x   x      x  1    x 1 1  x 1   x 1 1 1 x 1 1 x 1  Do x  nên 1  x    x    x    x   x   x  x   x    x  5 Kết luận điều kiện x  thu nghiệm S  1;   4 Bài toán 32 Giải bất phương trình x  x   15 x  x  x  1  x  x  3 Lời giải x  Điều kiện   x  3  Xét x  thu x  x   15 x  x x   x x   x    x 1  x  x 3 3 x  x  x3 3 x    x   25 x   x   9x x 3 3 x     x   x   25 x 24   x   x    Kết hợp điều kiện thu    x 24 Xét x  3 thu  x   x   15 x   x  x    x  x    x     x 1   x    x   x  x  x   x    x   25 x    x   9 x x   x     x   x   25 x 24    x   9 x  Kết luận tập nghiệm bất phương trình CREATED BY HỒNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM   x 24 11 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 33 Giải bất phương trình  x  x  x   x  x Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x x   x   3x  x   x     x 1     x 1 x     x 1 x   x     Do x  nên    x   x   x  x   x   x  x   1 Bất phương trình (1) nghiệm với x  nên suy nghiệm toán x  Bài tốn 34 Giải phương trình x   x  x   x3   Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với x   x  x   x  x  x    x    x  x     x  1   x 1 1  x 1   x 1  x  x2  x  1      x 1  x2  x    x  x    So sánh với điều kiện x  1 thu nghiệm S  0;1 Bài tốn 35 Giải bất phương trình x   x3  x  x    x4  Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   x  x  x    x  x  x  x   x    x  x  x     x 1   x3  x  x      x 1  1 Từ x   x3  x  x    Do 1  x    x  Kết luận tập nghiệm S   2;   Bài tốn 36 Giải phương trình x x  x    x x   x  Lời giải Phương trình cho tương đương với x x  x    x x   x   x x  x    x   Điều kiện x        x   x 2x  1  x  x   x     2  x  x  1   x  1  x  x  1   x  x      Phương trình (*) vơ nghiệm x  (hoặc   ) Kết luận nghiệm S  1 Nhận xét Cách giải toán từ 26  36 , số tài liệu tham khảo khác mang tên" Phương pháp đưa phương trình dạng tích", thực biến đổi tương đương, nâng lũy thừa phương trình hệ xuất Lưu ý điều kiện thức có lợi nhiều việc lập luận cho trường hợp bất phương trình chứa Nắm vững kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử chương trình đại số 8, kết hợp kiến thức tổng hợp thức giúp bạn tự tin chiến thắng với dạng toán CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 12 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 1, x   2012 x   2012   x   x   x   x  2013  2,  x  8 x  2013  3, x  x   x  x  x  4, x  x   x  3x   x x  5, x   x2  x   x3   6, x  3x   x  x     7, x  x    x    x 8, x  x    x  x   x  x  Bài tốn 37 Giải phương trình x   x  3x   Lời giải Phương trình cho tương đương với  x   3x    x   3x 2 x   3x   x  1    4 2  x  x  11x  x   2 x   x  x   x  x  x  1   Điều kiện x     x2   3x   x   3x  x   3x  2   2  x  x  x  1  x  x  x  1   x  x  1   x  x    x  1   x  1;  2;     So sánh với điều kiện x  thu S  1;  Bài toán 38 Giải phương trình x  x       Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với  x   x   x2         1  x   x2       x  1    x  1  x  1;  2   x 1  x  2x 1       x x  x2  x      x  x  x  1       1  Phương trình cho có hai nghiệm S  1;      Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với 2 1 1  1  x  x   x 1 x 1    x     x 1    x  x 1 x 1 x 1  4 2  2     x   1  x   x  x     x  1    x 1  x 1   1    Kết hợp điều kiện x  1 thu nghiệm S  1;      CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 13 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Nhận xét Lời giải phương pháp nâng lũy thừa vừa "thân thương, gần gũi" vừa "khỏe mạnh, bộc trực", lời giải độc đáo xoay quanh thêm bớt để xuất bình phương Để có lời giải 2, cần có kinh nghiệm chút gọi "nghệ thuật" Ngồi cịn lời giải thứ ba cách đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại 2, tác giả xin trình bày Lý thuyết sử dụng ẩn phụ (Phần 3); Trung đoàn – Sư đoàn – Qn đồn binh Bài tốn 39 Giải phương trình x   x  x  Lời giải 1 Phương trình cho tương đương với Điều kiện x   x    x  1   x  1    2x 1  x   2  Phương trình (1) vơ nghiệm điều kiện x  x   x  x     x    x    2   2 x   x  x   x  x  10     x   2x 1  2x    x2  2x      2x 1     Kết hợp điều kiện xác định ta thu nghiệm S   Lời giải Phương trình cho tương đương với x2  4x     x  4x   2x 1  x  4x     4 2  x  x  12 x  16 x  20  16  x  1  x  x  x    16 x  16 x    Điều kiện x  x2  4x    x2  x   x2  4x        2    x    x   2  x  x  x  10    x  x  10    x   x  x  10       x      Kết hợp điều kiện xác định ta thu nghiệm S   Bài tốn 40 Giải phương trình x 1   4x  x Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x x   8x2  x   x  x x   x   x  x   x   x  1   x  1    x 1  1 x  2   Phương trình (2) vơ nghiệm x  x  x   1   (Hệ vô nghiệm)  2 x   x  x  4 x  x    Vậy phương trình cho vơ nghiệm   x  x 1  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 14 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 41 Giải bất phương trình x  13x  11  x  Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x  12 x   x   x     x  3    x  1  2x   x  1 x  x   2x   x      x3 4 x  16 x  16  x  4 x  17 x  19  Bất phương trình có nghiệm S  3;   Bài tốn 42 Giải bất phương trình x   x   x  Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   x 1   x 1  2x       x 1  2x  1    x 1 1   x 1  2x    x 1   1 Ta có x   x   0; x    x   x    Do 1  x 1   2x   x   x 1  2x 1  x   x  x  x     x  27  17 36 x  36  x  18 x  81  x  54 x  117    Bất phương trình cho có nghiệm S  27  17;  Bài toán 43 Giải bất phương trình x    x  x  11 Lời giải Điều kiện x  3 Bất phương trình cho tương đương với 12 x   x  16  x  11   x  3  12 x    x  11  x  11    x3 2   x  11       x   x  11  x   x  11  1  Xét trường hợp x   x  11  x  16   x  2 Khi x   x  11  Rõ ràng (1) vô nghiệm  Xét trường hợp x   x  11  x  16   x  2 Như 3  x  2 Khi x   x  11   x  99  x  11  x  14 x  33  16  x  14 x  33  5 x  47 (2) Bất phương trình (2) nghiệm với 3  x  2 Kết luận nghiệm bất phương trình cho: 3  x  2 1  Nhận xét Phương pháp phân tích đẳng thức tỏ hiệu toán chứa thức phức tạp Điển hình tốn số 43, để xuất bình phương lời giải nhân hai vế với 4, tiếp tục dùng kiến thức tổng hợp bất đẳng thức, bất phương trình để lập luận giảm thiểu cồng kềnh lời giải Về cách giải nằm phạm vi biến đổi tương đương, nâng lũy thừa; cách giải khác đặt ẩn phụ khơng hồn tồn, nhân lượng liên hợp đưa hệ phương trình, khơng phần phức tạp Để có lời giải túy này, kinh nghiệm quan sát – thực hành thân, bạn ý số nội dung sau CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 15 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Hệ số trước thức bội  2, 4, 6,8  ; nhân thêm số tùy nghi Sử dụng thêm bớt, phân tích theo đẳng thức a  2ab  b a  2ab  b vế hai vế (cùng vế trường hợp đặc biệt A2  B  ) Sử dụng điều kiện xác định để lập luận trường hợp kết luận nghiệm Bài toán 44 Giải bất phương trình  x   x  x 2 Lời giải Điều kiện 1  x  Khi  x  Do phương trình cho tương đương với 1 1  x   x   x    x2   x  x4   x2   x2   x4  16 16   x   x  1 16 Bất phương trình (1) nghiệm với 1  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S   1;1   Nhận xét  1 x  1 x   Một số bạn mạo hiểm sử dụng bất đẳng thức Cauchy Bunyakovsky bất thành  2  x   Đây toán nằm trường hợp đặc biệt sau (m n biểu thức không âm)  mA2  nB  A, B    mA2  nB   A  B  Phức tạp hóa x x, 3x, x  1,3  x có toán thú vị sau (cách giải tương tự toán 44) 1,  x   x   x 2,  x   3x   x 3, x    x   x  x 4,  x  x   x  x2 1 Bài tốn 45 Giải phương trình x  x   x x   x  Lời giải Phương trình cho tương đương với x2  x   x x   x    x2  x x   x   x    Điều kiện x    x    x x 1  2x    x3 2  0   x   2   x x 1    2 x        x 1 x    x      2x 1 1  2 Thử lại thấy x  thỏa mãn phương trình ban đầu Kết luận nghiệm x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 16 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐỒN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 46 Giải bất phương trình x    x  x  Lời giải Bất phương trình cho tương đương với x    x  x   x   x    x   3x   Điều kiện x     x3 2    3x     x   3x     x   3x    1 Xét trường hợp x   3x     x    x   x   x   x  x  x   x3  x3    x6 x   x  6x  x  7x   Khi x   3x    nên (1) nghiệm  Xét trường hợp x   3x     x    x   x   x   3x  x  x  x     x   x    x   x    x6   3  x   x   x  x  x  x     Khi 1  x   x    x   x  x    x  x    x 2 2   x2  x2  3  3   x  3x  x   x  16 x  16  x  23x  22    2  Kết luận nghiệm bất phương trình cho: S   ;1   6;   3  Bài toán 47 Giải bất phương trình x   3x   15 x Lời giải Điều kiện x   Bất phương trình cho tương đương với x   15 x  x   x  12 x   x   x     x  3      x  3x   x   x     3x   1 x  x  11  73 Xét trường hợp x   x     x 4 x  x   x  4 x  11x   Khi x  3x   nên (1) nghiệm  Xét trường hợp x  x 1 x  11  73   x   3x    x   x   11  73  x  1  x    x  x   3x   4 x  11x          1   x    x  Khi 1  3x    x       x 1 3 x   x  16 x  16 4 x  19 x  15       11  73 Kết luận tập nghiệm : S    ;1   ;        CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 17 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH x2  x   Bài tốn 48 Giải phương trình 13  x  x Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x x  x    13x  x 2 2  x  x   x x  x   x  x  12 x    x  x2 x   3x  2  x2  x   4x    x2  x    2x  1  2  x  1    x  x   1      x   x  2  x  x   16 x  16 x  15 x  17 x       x  15  x  x   57   2    x x  x   x  8x  3x  x         57  So sánh với điều kiện x  ta thu nghiệm S   ;1     2x   x Bài tốn 49 Giải phương trình  x  2x 1 Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với  x  1     x  x  x    x  1  x  x  x  x    x  1  x  x  x    x  x    2 x   x 1   x  2  x2    x 0   x   3 x   3  x  1   2  x   x  6x  1  2  x  1  3 x   x     2     x  1  x   x  x  8 x  x    Kết hợp điều kiện thu nghiệm x  Bài toán 50 Giải bất phương trình x  x    2 x  Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x2  2x 1  2x 1 1  x2       2x 1    x   2x  x   2x 1  1 nên x   x   Do 1  x   x    x   x  x  x  x     x    x    x  2   1  x     x  x   x   x  x     Nhận xét: x  Kết hợp điều kiện x  1 ta thu nghiệm  x   2 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 18 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài tốn 51 Giải phương trình x  x    x Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với 4 x  12 x    x  x  x    x   x   x    x 1  4x 1   1  x   x    3   x  x    x  2 1   2 4 x  12 x    x  x  4x 1    1   x  x    x  1  2   2 4 x  x    x  x  2x 1      2x  2        So sánh điều kiện; kết luận tập nghiệm phương trình S   2;  Bài toán 52 Giải bất phương trình 4x 1  x Lời giải Điều kiện x     Bất phương trình cho nghiệm với   x  Xét x  , bất phương trình cho tương đương với 2 x   x  x  x   x  x    x  1   x  1  x    x  1  2  2  x 2   2 2 22  Kết hợp x  thu  x  Kết luận nghiệm toán: S    ; 2      x2   x   x2  x     Bài tốn 53 Giải phương trình  x  x  x   x  Lời giải 1 Điều kiện x    x  2 Nhận xét x   nghiệm phương trình cho Xét x  , phương trình cho tương đương với 2  x  x2  x   2 x   x   x    x     2x  1 2 x  1 x    x2   x    x 2 x  x   1 Kết luận nghiệm phương trình cho S   ;   2     4x2 1    CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 19 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 54 Giải bất phương trình x  x   1  x  x  x  Lời giải  x  1  Điều kiện x  x      x  1   Bất phương trình cho tương đương với x  x   1  x  x  x    x  x   1  x  x  x   x  x   x  x    x 1  x2  x 1  Với  2   x  1   x2  2x 1    x2  2x 1  2x  (1) x  x     x  x    x    x    ; Khi 1  x  x   2 x (2) Bất phương trình (2) nghiệm với x   Nếu x       x  x   x  x  x   (Vô nghiệm) x2  x     x  x       x    x  1   1  x  1 x  Kết hợp  thu  ; 1  x  x   2 x    x0  x  1   1   x  1  x  2x 1  x    Với  Kết luận nghiệm bất phương trình cho: S     1; 0    1;     Bài toán 55 Giải bất phương trình x   x  Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   2 x   x  x   x   2 x     x  1    2x  1 x  (Hệ vô nghiệm) 2x  1  x  2x    x  2x   Vậy bất phương trình cho vơ nghiệm  x 1  Bài tốn 56 Giải phương trình x  2x   1 x Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x  2x    x  x  2x  x       x  2x 1  x  1 x 1       2x 1   x 1     x  x    1 2x  x       2x  x 1    2   2  x   x   x   x  x   x  x   (Vô nghiệm x  )   1   2x  x 1    x  x    x   2 x  x  16  2 x  x  15  x 0  x    x  47  31 x  90 x  225  x  x    Kết luận nghiệm phương trình S  47  31 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 20 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 57 Giải bất phương trình x   x  x  Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho đưa về:  x  10 x   x   x     x  1  Dễ thấy (1) nghiệm với x    x    (1) 3 Kết luận nghiệm x  4 Bài toán 58 Giải phương trình x  13x  28   x   x   2 x  Lời giải Phương trình cho tương đương với  x   x     x   x   x   2 x    Điều kiện x        x  4 x   x    x   x      2x 1 1     2x 1     x  4    x3 2   2x  1  0    x3    x 1  2x 1   thu nghiệm x  Bài tốn 59 Giải phương trình  x  1 3x    x  1  x  x  x  Đối chiếu điều kiện x  Lời giải  x  Phương trình cho tương đương với  x  1 3x     x  1 x   x    x  1  x    x  1  x  x   Điều kiện    x  1       x  1 x   x     x  1  x  2  x    x     x  1   2  x 1   3x    3 x       x 1 2  x    x 1   Thử lại thấy x  nghiệm phương trình Kết luận S  1 Bài tốn 60 Giải phương trình x  11x  18   x    x  x  Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với x   x    x  10 x  16   x   x       x  1   x  2  x4 2      x  1   x  2 x   x   0  x  1  x 1     x0 x4  x     Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 21 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài tốn 61 Giải bất phương trình x  13 x  x  x  44 Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với   x2  x  x    x   x  x   x   x     3x    x  x   x     x  1 1  x  t  t   (1) trở thành Đặt  77  77  t  1 t  6 0  t  0   x  4  x    Kết hợp t     t   77 5  x  43  77  x  47  77      18  18  3t  3t  14   t  1 t      3t  3t  14   t  1   Bài toán 62 Giải bất phương trình 3x   x  Lời giải Điều kiện x   Bất phương trình cho tương đương với 3x   x    3x    x   3 x  3 x  23 x  3 x  3 x  17  Đặt x  t thu 23t  3t  3t  17    t  1  23t  20t  17    t   x  Vậy bất phương trình có nghiệm x  Bài tốn 63 Giải phương trình x  3x   x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với   x  12 x   x   x  x   1  x    x    x     x  2x 1   x 1  3  x   x 2    2   x    x   1    x 2 4 x  x    x 4 x  x     3    11 x   x     2    x 2 2 4 x  12 x    x 4 x  16 x        11    So sánh với điều kiện x  thu nghiệm S   ;      Trên số tốn điển hình cho phương pháp biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa, ứng dụng chủ yếu giải phương phương trình bất phương trình chứa thức Tài liệu nhỏ viết điều kiện tương đối gấp gáp để chào mừng năm học 2013 – 2014, khó tránh khỏi thiếu sót sai lầm Mọi thắc mắc trao đổi xin gửi hòm thư gmail: xyz1431988@gmail.com Tác giả xin chân thành cảm ơn ! -HẾT CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 22 SỞ CHỈ HUY TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ... cho phương pháp biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa, ứng dụng chủ yếu giải phương phương trình bất phương trình chứa thức Tài liệu nhỏ viết điều kiện tương đối gấp gáp để chào mừng năm học. .. nghiệm phương trình S   2;  Bài tốn 52 Giải bất phương trình 4x 1  x Lời giải Điều kiện x     Bất phương trình cho nghiệm với   x  Xét x  , bất phương trình cho tương đương với... kiện x  Bất phương trình cho tương đương với  x  1 x  3   x  1 x     x  1 x   x     (1) Xét x  , bất phương trình (1) nghiệm Xét x  bất phương trình (1) tương đương với