TRƢỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TIỂU LUẬN TỐN PHƢƠNG PHÁP TÍNH VÕ VĂN HƢỜNG Chƣơng Giải phƣơng trình Đại Số phƣơng trình Siêu Việt Bài 1: Giải phương trình sau phương pháp Chia đôi đánh giá sai số với độ xác  = 10-3 Câu1: x   1.5,1 x sin x  1.125 Đặt f ( x)  x sin x  1.125 x   1.5,1 ba    1.5  ln  ln    3       10  1  Tính số lần chia đôi h  n  ln ln f (b)  f (1)  0.283529  Thuật toán f (a)  f (1.5)  0.371242  (a  b)  1.5  1 c   1.25  2 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) -1.5 -1 -1.25 + + - -1.25 -1 -1.125 - + - -1.25 -1.125 -1.1875 - + - -1.25 -1.1875 -1.217875 + + - -1.21875 -1.1875 -1.203125 - + - -1.21875 -1.203125 -1.210937 + + - -1.2109375 -1.203125 -1.207031 + + - -1.207031 -1.203125 -1.205078 + + - -1.207031 -1.205078 -1.206054 + + - Vậy nghiệm gần phương trình x  1.206054 Đánh giá sai số: Giả sử :   C X*  C* nghiệp gần phương trình X* nghiệm xác phương trình b  a  1.205078  1.207031   1.907226.10 6 n 1 10 2 Vậy sai số phuong trình 1.907226.10 -6 x  cos x  Câu 2: x  0,1 f ( x)  x  cos x Đặt Số lần chia đôi 1  ln  3  10  h    10 ln f (a)   cos(2.0)  1 f (b)   cos(2.1)  6,09172.10  f (c )  n 10 an 0 0.25 0.375 0.375 0.40625 0.421875 0.421875 0.425781 0.425781 ab   0.5 2 bn 0.5 0.5 0.5 0.4375 0.4375 0.4375 0.429688 0.429688 0.427735 cn 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.40625 0.421875 0.429688 0.425781 0.427735 0.426758 f(cn) + + + + - f(an) - Vậy x = 0.426785 gọi nghiệm gần phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* nghiệm xác phương trình Gọi C* nghiệm gần phương trình   C  X*  b  a 0.427735  0.425781   9.541015.107 n 1 11 2 f(bn) + + + + + + + + + + x  tg ( x  0.25)  Câu 3: f ( x)  x  tg ( x  0.25) Xét x  1.5,2 x  1.5,2 Số lần chia đôi: ba   1.5  ln  ln   3        10    h ln ln Thuật toán: f (a)  1.5  tg (1.5  0.25)  1.509570  f (b)   tg (2  0.25)  7.520380   ab c   1.75   f (c)  1.75  tg (1.75  0.25)  12.351420  n an 1.5 1.75 1.75 1.8125 1.8125 1.8125 1.820313 1.820781 1.820781 bn 2 1.875 1.875 1.843750 1.828125 1.828125 1.828125 1.824450 cn 1.75 1.875 1.8125 1.843750 1.828125 1.820313 1.820781 1.824453 1.826617 f(cn) + + + + + f(an) - Vậy x = 1.826617 gọi nghiệm gần phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* nghiệm xác phương trình Gọi C nghiệm gần phương trình   X* C  b  a 1.824450  1.820781   3.583007.10 6 n 1 10 2 f(bn) + + + + + + + + + Câu 4: tg ( x  1)  x f ( x)  tg ( x  1)  x Đặt x  0,1 x  0,1 ba   ln  ln  3     10  h  1     10 ln ln Tính số lần chia đơi : Thuật toán: f (a)  tg (1)   1.557408  f (b)  tg (1  1)   6.185040  ab  0.5 f (c)  11.851420  c n 10 Vậy an 0.5 0.5 0.5 0.5625 0.5625 0.5625 0.570313 0.570313 0.570313 bn 1 0.75 0.625 0.625 0.593750 0.578125 0.578125 0.574219 0.572266 cn 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.593750 0.578125 0.570313 0.574219 0.572266 0.571290 f(cn) + + + - f(an) + + + + + + + + + + x  0.571290 gọi nghiệm gần cuả phương trình Gọi X* nghiệm xác phương trình Gọi C nghiệm gần phương trình b  a 0.572266  0.570313   X *  C  n1   1.042481.10 6 11 2 Đánh giá sai số : x3 x 2  Câu 5: Đặt f ( x)  x  x  x  3,4 x  3,4 f(bn) - Số lần chia đôi:  43 ln  3  10  h    10 ln Thuật toán: f (a )  f (3)  0.442250  f (b)  f (4)  0.412599  a b 3   3.5 2 f (c)  f (3.5)  0.018294 C n 10 an 3.5 3.5 3.5 3.5 3.53125 3.53125 3.53125 3.53125 3.53125 bn 4 3.75 3.625 3.5625 3.5625 3.546875 3.539063 3.535146 3.533203 cn 3.5 3.75 3.625 3.5625 3.531250 3.546875 3.539073 3.535156 3.533203 3.532227 f(cn) + + + + + + + + f(an) - Vậy x  3.532227 gọi nghiệm gần phương trình Đánh giá sai số: Gọi X* nghiệm xác phương trình Gọi C nghiệm gần phương trình   X * C  x  sin x  Câu 6: Đặt f ( x)  x  sin x 3 h  10   11 ln ln Số lần chia đôi: 3.533203  353125  1.10 6 11 x  1,3 x  1,3 f(bn) + + + + + + + + + + Thuật toán: f (a)  f (1)  12  sin  2.365884  f (b)  f (3)  32  sin  8.435520  a  b 1  2 2 f (c)  2  sin  0.362810 c n 10 an 1 1.5 1.75 1.875 1.875 1.906250 1.921875 1.929688 1.933594 bn 2 2 1.9375 1.9375 1.9375 1.9375 1.9375 cn 1.5 1.75 1.875 1.9375 1.90625 1.921875 1.929688 1.933594 1.935547 f(cn) + + + f(an) - Vậy x  1.935547 gọi nghiệm gần phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* nghiệm xác phương trình Gọi C nghiệm gần phương trình   X * C  Câu 7: b  a 1.9375  1.933594   2.10 6 n 1 11 2 lnx – 3xsinx + = ; x [0.1;0.7] Tính số lần chia đôi: ln( n 0.7  0.1 ) 3 10 ln   10 f(a) = f(0.1) = ln0.1 – 3.0,1sin0.1 + = -0.332553 < f(b) = f(0.7) > f(bn) + + + + + + + + + + a  b 0.7  0.1   0.4 2  f ( x)  0.616407  c n 10 an 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1375 0.1375 0.1375 0.142188 0.142188 0.143328 bn 0.7 0.4 0.25 0.175 0.175 0.15625 0.14675 0.14675 0.144469 0.144469 cn 0.4 0.25 0.175 0.1375 0.15625 0.14675 0.142188 0.144469 0.143328 0.143899 f(cn) + + + + + + - Vậy nghiệm gần phương trình x = 0.143899 Đánh giá sai số: Gọi X* nghiệm xác phương trình Gọi C nghiệm gần phương trình   X* C  Câu 8: b  a 0.144469  0.143328   57.132.10 6 n 1 11 2 f (x) = x2 - 4sinx - ; Tính số lần chia đơi: ba ln        10 n ln Thuật toán: f (a)  f (2)  f (b)  f (3)  x  2,3 f(an) - f(bn) + + + + + + + + + + ab 23   2.5 2  f ( x)  f (2.5)  1.143889 c n 10 an 2.5 2.5 2.625 2.625 2.625 2.625 2.632813 2.632813 2.634766 bn 3 2.75 2.75 2.6875 2.65625 2.640625 2.640625 2.636719 2.636719 cn 2.5 2.75 2.625 2.6875 2.65625 2.640625 2.632813 2.636719 2.634766 2.635742 f(cn) + + + + + + f(an) - Vậy nghiệm gần phương trình x = 2.635742 Đánh giá sai số: Gọi x* nghiệm xác phương trình C nghiệm gần phương trình b  a 2.636719  2.634766   X *  C  11   9.536.10 6 11 2 Cau 9: f ( x)  x ln( x  1)  x sin 3x  Tính số lần chia đơi: h ln( ba  ln )   10 f (a)  f (1.1)  f (b)  f (2)  Đặt c a  b 1.1    1.55 2 x  1.1,2 f(bn) + + + + + + + + + + n 10 an 1.1 1.1 1.1 1.2125 1.26875 1.26875 1.26875 1.26875 1.26875 1.26875 bn 1.55 1.325 1.325 1.325 1.310375 1.289563 1.279156 1.273953 1.271352 cn 1.55 1.325 1.2125 1.26875 1.310375 1.289563 1.279156 1.273953 1.271352 1.270051 f(cn) + + + + + + + + + f(an) - f(bn) + + + + + + + + + + Vậy x=1.270051 nghiệm gần phương trình Đánh giá sai số: Gọi x* nghiệm xác phương trình Gọi C nghiệm gần phương trình b  a 1.271352  1.26875   C  X *  n1   1.27.10 6 11 2 x  1,2 x ln( x  1)  3x cos e x   Câu 10: f ( x)  x ln( x  1)  3x cos e x  Tính số lần chia đơi :  1 ln  3  10  h    10 ln f (a)  f (1)  1.428349 f (b)  f (2)  2.492913 Với c ab  1.5 f (c)  f 1.5  0.403401 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 1.5 + + - 1.5 1.75 - + - 1.5 1.75 1.625 - + - 1.5 1.625 1.5625 - + - 1.5 1.5625 1.53125 - + - 1.5 1.53125 1.515625 + + - 1.515625 1.53125 1.523438 - + - 1.515625 1.523438 1.519531 + + - 1.519531 1.523438 1.521485 + + - 10 1.521482 1.523438 1.522461 - + - Vậy x = 1.522461 gọi nghiệm gần phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* gọi nghiệm xác phương trình Gọi C nghiệm gần phương trình Sai số :   X * C  1.0009765  1.001953  9.54.10 7 11 Câu 11: 2x 1  x  15 x  20  x 3 Đặt f ( x)  Tính số lần chia đôi : 2x 1  x  15 x  20 x 3 h ln( x   1.5,1 x   1.5,1   1.5 ) 10 3   ln Thuật toán: f (a)  f (1.5)  27.462240  f (b)  f (1)  4.5  a  b  1.5    1.25 2 f (c)  f (1.25)  3.893968  c 01 39 789738 531749 49 537739 10 255601 666122 1.1 I Câu 15: x3  sin( x  0.21 ) dx Với Bảng giá trị: 0.11 0.22 0.33 0.44 0.55 0.66 0.77 0.88 0.99 1.1 0.0 -0.002548 -0.025013 -0.110988 -0.390805 -1.519207 1082.673157 4.148707 3.119025 2.992033 3.123096 I= = 11 3 123096 -0.002548-0.110988-1.519207+4.148707+2.992033)+ 2( -0.025013-0.390805+ 1082.673157+3.119025)]=159.706967 0.8 Câu 16: e arcsin x I  dx cos( x  1.2) 0.1 Với Bảng giá trị: 0.1 0.17 0.24 0.31 0.38 0.45 0.52 0.59 0.66 0.73 0.8 4.132190 5.947808 9.770158 22.556766 -160.446897 -20.156840 -11.623245 -8.643729 -7.209659 -6.448100 -6.073969 I= = 07 132190 073969 947808 22.556766-20.156840-8.643729- 6.448100) +2(9.770158-160.446897 -11.623245-7.209659)] =-39.907794 Câu 17: ∫ √ Bảng giá trị 01 420735 = 575662 909297 869418 Câu 18: ∫ Bảng giá trị: 2 231071 01 175973 166282 855993 684843 171197 Chƣơng Phƣơng trình vi phân Bài 1: Giải phương trình sau phương pháp Euler y’ = x2 + 5xy + Câu 1: Ta có : h = , y(0) = , x  [ , ] & n =4 = 0,25 ; x0 = , x1 = 0,25 , x2 = 0,5 , x3 = 0,75 , x4 = Áp dụng công th c Euler, ta có : Với y0 = y1 = 0,25 y2 = 0,59375 y3 = 1,277344 y4 = 2,865479 Vậy ta chọn y4 = 2,865479 làm nghiệm gần phương trình Câu 2: y’ = x2 tgy + ex y(1) = , x € 1,2 & n=8 Ta có : h= = 0,125; x0 = , x1 = 1,125 , x2 = 1,25 , x3 =1,375 , x4 = 1,5, x5 = 1,625, x6 = 1,75 , x = 1,875 , x8 =2 Áp dụng phương pháp euler , ta c : với y0 = y1 = 2,066655 y2 = 2,159221 y3 = 2,302814 y4 = 2,53419 y5 =2,898915 y6 =3,452004 y7 =4,294129 y8 =6,097906  y(2) = 6,097906  Vậy ta chọn y4 = 6,097906là nghiệm gần phương trình Câu 3: y’ = ; y(0) = 1,3 ; x € 0,25 ; 0,5 ] & n= 10 T a có : h= = 0,025 ; Áp dụng cơng th c euler ,ta có : y0 = 1,3 y1=1,262353 y2=1,226915 y3=1,193571 y4=1,162205 y5=1,132708 y6=1,104973 y7=1,078897 y8=1,05438 y9=1,031329 y10=1,009653 o y(0,5) = 1,009653 o Vậy ta chọn y=1,009653 nghiệm gần pt y’ = 1+ 3xy2 Câu 4: ; y(0) = ; x € 0; ; n = 10 Ta có h= = 0,1 Áp dụng cơng th c euler ta có : y0 = y1=2,1 y2=2,3323 y3=2,758677 y4=3,543604 y5=5,15046 y6=9,229547 y7=24,662763 y8=152,495656 y9=5733,777714 y10=88822309,733 y(1) = 88822309,733 ta chọn y(1) = 88822309,733 nghiệm gần pt Câu 5: y’ = ; y(0) = ; x € 0; 1,2 ] & n= 12 Ta có h = 0,1 Áp dụng công th c euler ta có : y0 = y1=0,7 y2=0,516667 y3=0,391529 y4=0,303702 y5=0,243273 y6=0,20468 y7=0,184285 Vậy ta chọn y=0,266710 nghiệm gần phương trình Bài Giải phương trình sau phương pháp Euler cải tiến Câu 1: y(0)  1; x [0;1]& n  y '  e2 x  xy n  2; h  1  0,5 ; x0  0; x1  0,5; x2  y (0)  y1(0)  y0  hf ( x0 ; y0 )   0,5(1  0)  1,5 y1(1)  y0  h[f ( x0 ; y0 )  f ( x1 ; y1(0) ) 0,5 1   e 20,5   0,5  y1(0)     1,92957  0, 25 y1(0) 1 Ta được: y1(1)  2, 034570 y1(2)  2,505713 y1(3)  2,555998 y1(4)  2,568570 y1(5)  2,571712 y1(6)  2,572498 y1(7)  2,572695 y1(8)  2,572744 y1(9)  2,572756 y1(9)  y1(8)  1, 105   Chọn y1  y1(9)  2,572756 Tương t ta c : (0) y2  y1  hf ( x1 ; y1 )  2,572756  0,5(e 20,5   0,5  2,572756)  5, 218275 h (1) y2  y1  [f ( x1 ; y1 )  f ( x2 ; y2 )] 0,5 20,5 (0)  2,572756  [e   0,5  2,572756  e21  1 y2 ]  8,351917 Ta được: (2) y2  9,918738 (3) y2  10, 70214 (4) y2  11, 093854 (5) y2  11, 289706 (6) y2  11,387633 (7) y2  11, 436595 (8) y2  11, 461077 (9) y2  11, 473318 (10) y2  11, 479439 (11) y2  11, 482499 (12) y2  11, 484029 (13) y2  11, 484794 (14) y2  11, 485176 (15) y2  11, 485368 (16) y2  11, 485463 (17) y2  11, 485511 (18) y2  11, 485535 (19) y2  11, 485547 (19) (18) y2  y2  1,  10 5   (19) y2  y(2)  y2  11, 485547 nghiệm gần cần tìm Câu 3: { * ( )+ * ( * Ta có cơng th c lặp: ( ) * | ) + + ( ) + | → → * ( )+ * ( ) * ( ) + Ta có cơng th c lặp: + | | → → * ( * + Ta có cơng th c lặp: )+ ( ) * ( ) [* ( ) [* ( ) + | | → → * ( )+ +] Ta có cơng th c lặp: +] | ậ Câu 5: | ệ { ầ ầ * ( )+ ( ) Ta có cơng th c lặp: | | → ( * ( ) → )+ Ta có cơng th c lặp: | | → ( * ( Ta có cơng th c lặp: | | → )+ ) → ( * ( ) → )+ Ta có cơng th c lặp: | | ậ ệ ầ ầ Bài 3: Giải phương trình vi phân sau phương pháp Runge – kutta Câu 1: y’=x2 – 2xy ; y(0) = -2 ; x € ; 0,5 & h = 0,25  n =2 ; x0=0 ; x1=0,25 ; x2 = 0,5  Áp dụng công th c runge kutta , ta có : y1 = y0 + ( K1 + 2K2 + 2K3 + K4 ) với : K1 = hf (x0;y0 ) = K2 = hf ( +h/2, y0 + K1/2) = 0,515625 K3 = hf ( x0 +h/2, y0 + K2/2) = 0,451172 K4 = hf ( x0 + h, y0 + K3 ) = 0,836914 y1 = y0 + Câu 2: ( K1 + 2K2 + 2K3 + K4 ) = -1,538249 y’= y(1)= 1.5 ; x 1,2] & h = 0.5 Giải: Tính h=0.5  n= ( ) ( ) ( ) ( )  Tính  y’= y(0)=1 ,x€ 0,0.5 & h=0.25 Giải h=0.25n= -0.25 ( (  Tính ) ) 0.813323 ( ) ( ) -0.161025 -0.130460  Câu 4: 0.653580 y’=1+3x y(0)=2,x€ 0,1 &h=0.25 Giải: h=0.25  n= 0.25 ( ) 0.673340 ( ) 0.761877 1.680244 ( ) ( )  Tinh y2  Tinh y3 5.503969 11.610128 ( ) ( ) 202478.9469 =33972.15177 ... an 2. 5 2. 5 2. 625 2. 625 2. 625 2. 625 2. 6 328 13 2. 6 328 13 2. 634766 bn 3 2. 75 2. 75 2. 6875 2. 65 625 2. 640 625 2. 640 625 2. 636719 2. 636719 cn 2. 5 2. 75 2. 625 2. 6875 2. 65 625 2. 640 625 2. 6 328 13 2. 636719 2. 634766... 1 .25 1.375 1.3 125 - + - 1 .25 1.3 125 1 .28 125 0 + + - 1 .28 125 0 1.3 125 1 .29 6875 - + - 1 .28 125 0 1 .29 6875 1 .28 9063 - + - 1 .28 125 0 1 .28 9063 1 .28 5156 - + - 1 .28 125 0 1 .28 5156 1 .28 320 3 - + - 1 ,28 320 3 1 .28 5156... 1.1 1 .21 25 1 .26 875 1 .26 875 1 .26 875 1 .26 875 1 .26 875 1 .26 875 bn 1.55 1. 325 1. 325 1. 325 1.310375 1 .28 9563 1 .27 9156 1 .27 3953 1 .27 13 52 cn 1.55 1. 325 1 .21 25 1 .26 875 1.310375 1 .28 9563 1 .27 9156 1 .27 3953