SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011 Môn : TOÁN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 1 trang) Ngày thi : 18/02/2011 Câu 1: (2,0 điểm ) Rút gọn A 127 48 7 127 48 7     . Câu 2:(2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (3m 2 – 7m +5) x – 2011 (*) . Chứng minh hàm số (*) luôn đồng biến trên R với mọi m. Câu 3:( 2,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B . Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O’) (T là tiếp điểm) Chứng minh MC.MD = MT 2 . Câu 4: (2,0 điểm ) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y – 1 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x 2 + y 2 . Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 2 2 + … + 2 2011 chia hết cho 15 . Câu 6: (1,5 điểm ) Phân tích đa thức x 3 – x 2 – 14x + 24 thành nhân tử . Câu 7: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình 2 x y z 2 2xy z 4         Câu 8: (1,5 điểm ) Chứng minh D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính phương với mọi n N*  . Câu 9: (1,5 điểm ) Cho hai số dương a và b . Chứng minh 1 1 4 a b a b    . Câu 10:(1,5 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x 2 – xy – y 2 – 8 = 0 Câu 11: (1,5 điểm ) Cho hình thang vuông ABCD (   0 A D 90   ) , có DC = 2AB . Kẻ DH vuông góc với AC (H AC)  , gọi N là trung điểm của CH . Chứng minh BN vuông góc với DN . Câu 12: (1,5 điểm). Cho tam giác MNP cân tại M (  0 M 90  ) . Gọi D là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác MNP . Biết DM = 2 5 cm , DN = 3 cm . Tính độ dài đoạn MN . HẾT Họ và tên thí sinh :…………………………………………… Số báo danh : ……………………… Giám thị 1 :…………………………………………………… Ký tên : ……………………………. Giám thị 2 :…………………………………………………… Ký tên : ……………………………. (Thí sinh không được sử dụng máy tính ) SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN – THCS Ngày thi 18/02/2011 Câu Hư ớng dẫn chấm Đi ểm Câu 1 (2 điểm ) A 127 48 7 127 48 7     = 2 2 (8 3 7) (8 3 7)    = |8 3 7 | | 8 3 7 |    8 3 7 8 3 7 (8>3 7) 6 7       0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 2 (2 điểm ) 3m 2 – 7m + 5 = 3 2 7 5 m m 3 3         2 2 7 49 60 3 m 6 36 36 7 11 3 m 0 m 6 36                                      Vây f(x) đ ồng biến tr ên R v ới mọi m 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 3 (2 điểm) Chứng minh MC. MD = MA. MB Chứng minh MT 2 = MA. MB Suy ra MC.MD = MT 2 0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 đi ểm Câu 4 (2 điểm ) 3x + y – 1 = 0  y = 1 – 3x 2 2 2 2 2 B 3x (1 3x) 12x 6x 1 1 1 12 x 4 48 1 1 1 12 x 4 4 4                                  Vây GTNN của B là 1 1 1 khi x = và y = 4 4 4 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 5 C = 1 + 2 + 2 2 + … + 2 2011 (1,5 điểm ) = (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + (2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 ) + …+ ( 2 2008 + 2 2009 +2 2010 + 2 2011 ) = (1 + 2 + 2 2 + 2 3 )+ 2 4 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 )+ …+2 2008 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) = 15 ( 1 + 2 4 + …+ 2 2008 ) chia hết cho 15 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 6 (1,5 điểm ) x 3 – x 2 – 14x +24 = x 3 + 4x 2 – 5x 2 – 20x + 6x + 24 = (x + 4) (x 2 – 5x + 6 ) = (x + 4) (x – 2) (x – 3) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 7 (1,5 điểm ) 2 2 2 2 2 x y z 2 z 2 x y (2 x y) 2xy 4 2xy z 4 z 2xy 4 z 2 x y (x 2) (y 2) 0 z 2 x y x y 2 z 2                                                0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 8 (1,5 điểm ) D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n 2 + 3n) (n 2 + 3n + 2 ) = (n 2 + 3n) 2 +2 (n 2 + 3n)  (n 2 + 3n) 2 < D < (n 2 + 3n) 2 +2 (n 2 + 3n) +1  (n 2 + 3n) 2 < D < (n 2 + 3n +1) 2 Nên D không phải là số chính phương vì (n 2 + 3n) 2 và (n 2 + 3n +1) 2 là 2 số chính phương liên tiếp 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 9 (1,5 điểm ) Ta có (a – b) 2 0  2 2 2 a b 2ab (a b) 4ab a b 4 ( vì (a+b)ab >0 ) ab a b 1 1 4 a b a b               Dấu “ = ” xảy ra khi a = b ( thiếu câu này không trừ điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 10 (1,5 điểm) 2x 2 – xy – y 2 – 8 = 0  (2x + y) (x – y) = 8  2x y 8 x y 1        hoặc 2x y 4 x y 2         x 3 y 2      hoặc x 2 y 0      0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 11 (1,5 điểm ) Gọi M là trung điểm của DH Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành AM// BN  (1) Chứng minh MN AD  Suy ra M là trực tâm của ADN  AM DN   (2) Từ (1) và (2) BN DN   0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 đi ểm Câu 12 (1,5 điểm ) Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MN cắt ND tại E , kẻ MF ND  Chứng minh   1 D E  MD ME 2 5    cm và EF =DF ME 2 = EF .EN = EF .(2EF + DN ) 2 2 (2 5) EF(2EF 3) 2EF 3EF 20 0      (EF 4)(2EF 5) 0 EF 2,5 (vì EF >0)      MN 2 11   cm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 đi ểm (Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng , giám khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương ứng ) . &ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 -2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN – THCS Ngày thi 18/02 /2011 Câu . KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 -2011 Môn : TOÁN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)