Luận văn:Bài toán đếm nâng cao trong tổ hợp và ứng dụng docx

26 767 0
Luận văn:Bài toán đếm nâng cao trong tổ hợp và ứng dụng docx

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

1 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG TRƯƠNG NH T LÝ BÀI TOÁN Đ M NÂNG CAO TRONG T H P VÀ NG D NG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60.46.40 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Đà N ng – Năm 2011 Cơng trình đư c hồn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TSKH TR N QU C CHI N Ph n bi n 1: Ph n bi n 2: Lu n văn ñư c b o v trư c H i ñ ng ch m Lu n văn t t nghi p Th c sĩ Khoa h c, h p t i Đ i h c Đà N ng vào 22 ngày tháng 10 năm 2011 Có th tìm hi u lu n văn t i: - Trung tâm Thông tin – H c li u, Đ i h c Đà N ng - Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Đà N ng M Đ U LÝ DO CH N Đ TÀI T h p có v trí đ c bi t tốn h c khơng ch nh ng ñ i tư ng ñ nghiên c u mà cịn đóng vai trị m t cơng c đ c l c c a mơ hình r i r c c a gi i tích, đ i s , Các toán t h p ngày chi m m t v trí quan tr ng kỳ thi olympic, vơ đ ch tốn Tốn t h p m t d ng tốn khó, địi h i tư lơgic, tư thu t tốn cao, tính hình tư ng t t, phù h p v i m c đích n ch n h c sinh có kh u toán h c Hơn n a, n i dung toán ki u ngày g n v i th c t cu c s ng chúng ta, u hồn tồn phù h p v i xu hư ng c a toán h c hi n đ i Chính nh ng lý trên, chúng tơi nghiên c u ch n đ tài “Bài tốn đ m nâng cao t h p ng d ng” nh m h th ng phương pháp gi i ñ ng th i nâng cao n a nh n th c ng d ng c a h c t p, nghiên c u công tác sau M C ĐÍCH NGHIÊN C U Nghiên c u lý thuy t v lý thuy t t h p t ñó nh m h th ng phương pháp gi i tốn đ m ng d ng c a vào nghiên c u, h c t p th c ti n Đ tài ñư c làm tài li u tham kh o cho h c sinh, sinh viên ñ i h c cao ñ ng, h c viên cao h c, thi h c sinh gi i c p qu c gia, qu c t nh ng quan tâm ñ n lý thuy t t h p NHI M V NGHIÊN C U Nhi m v c a ñ tài nghiên c u v c u hình t h p t b n đ n nâng cao, nguyên lý bù tr , lý thuy t v hàm sinh, công th c truy h i T đưa đư c h th ng phương pháp ng d ng n hình c a tốn đ m nâng cao t h p Đ I TƯ NG VÀ PH M VI NGHIÊN C U • Lý thuy t v c u hình t h p b n m r ng ki n th c liên quan đ n tốn đ m • Phương pháp gi i tốn đ m tốn áp d ng • ng d ng c a tốn ñ m t h p PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C U S d ng phương pháp nghiên c u tài li u liên quan ñ n lu n văn ñ thu th p thơng tin, t phân tích, h th ng phân lo i phương pháp gi i m t s ng d ng ñi n hình liên quan đ n tốn đ m t h p Ý NGHĨA KHOA H C VÀ TH C TI N C A Đ TÀI Đ tài h th ng ki n th c v ngun lý đ m, c u hình t h p, lý thuy t hàm sinh, h th c truy h i ki n th c liên quan đ n tốn đ m t h p T hình thành phương pháp t b n ñ n nâng cao m t s ng d ng liên quan đ n tốn đ m Qua b sung thêm cho em h c sinh, sinh viên v phương pháp gi i tốn đ m t h p t b n đ n khó r t khó, đ c bi t trư c kì thi h c sinh gi i t c p t nh, c p qu c gia ñ n thi Olympic qu c t kỳ thi khác Đ tài cịn có th làm ngu n tham kh o cho nh ng quan tâm ñ n lý thuy t t h p mà c th phương pháp gi i ng d ng c a tốn đ m t h p C U TRÚC C A LU N VĂN Lu n văn ñư c c u trúc b i chương: Chương 1: T ng quan v t h p Chương 2: M t s phương pháp ñ m nâng cao Chương 3: M t s ng d ng Chương T NG QUAN V T H P 1.1 SƠ LƯ C V L CH S T H P Có th nói tư t h p ñ i r t s m Vào th i nhà Chu Trung Qu c ngư i ta ñã bi t đ n nh ng hình vng th n bí Th i c Hi l p, th k th trư c Cơng ngun, nhà tri t h c Kxenokrat bi t cách tính s t khác l p t b ng ch cho trư c Tuy nhiên có th nói r ng, lý thuy t t h p đư c hình thành m t ngành toán h c m i vào th k 17 b ng m t lo t cơng trình nghiên c u c a nhà toán h c xu t s c Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz … Các toán t h p có đ c trưng bùng n t h p v i s c u hình t h p kh ng l Vì v y th i gian dài, mà ngành toán h c Phép tính vi phân, Phép tính tích phân, phương trình vi phân… phát tri n vũ bão, dư ng n m ngồi s phát tri n ng d ng c a toán h c Tình th thay đ i t xu t hi n máy tính s phát tri n c a toán h c h u h n Nhi u v n ñ t h p ñã ñư c gi i quy t máy tính phát tri n r t m nh m 1.2 CÁC D NG BÀI TỐN T H P D ng 1: Bài tốn t n t i D ng 2: Bài tốn đ m D ng 3: Bài toán li t kê D ng 4: Bài toán t i ưu t h p 1.3 CÁC C U HÌNH T H P CƠ B N VÀ M R NG 1.3.1 Hai nguyên lý ñ m b n 1.3.1.1 Nguyên lý c ng 1.3.1.2 Nguyên lý nhân 1.3.2 Các c u hình t h p 1.3.2.1 Hốn v khơng l p 1.3.2.2 Hốn v l p 1.3.2.3 Ch nh h p không l p 1.3.2.4 Ch nh h p l p Đ nh nghĩa 1.4: Ch nh h p l p ch p k c a n ph n t khác m t b có th t g m k thành ph n l y t n ph n t ñã cho, ph n t có th đư c l p l i Đ nh lí 1.2: S lư ng ch nh h p l p ch p k c a n ph n t đư c kí hi u xác đ nh b i cơng th c sau: A k = AR(n, k) = nk n 1.3.2.5 T h p không l p 1.3.2.6 T h p l p Đ nh nghĩa 1.6: T h p l p ch p k c a n ph n t khác m t nhóm khơng phân bi t th t g m k ph n t trích t n ph n t cho, ph n t có th đ c l p l i Đ nh lý 1.3: Gi s X có n ph n t khác Khi s t h p l p ch p k c a n ph n t c a X, ñư c ký hi u xác ñ nh b i công th c sau: CR(n, k) = C(k + n - 1, n - 1) = C(k + n - 1, k) Ví d 1.56 B t phương trình x1 + x2 + x3 ≤ 11 (1) có m y nghi m ngun khơng âm ? L i gi i: S nghi m c a b t phương trình (1) b ng s nghi m nguyên c a phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 11 v i x i ≥ 0, i = 1, 2, 3, M i nghi m c a phương trình ng v i m t cách ch n 11 ph n t t m t t p có lo i, cho có x1 ph n t lo i 1, x2 ph n t lo i 2, x3 ph n t lo i 3, x4 ph n t lo i ñư c ch n Vì v y s nghi m b ng s t h p l p ch p 11 t t p có ph n t Theo đ nh lý 1.3 s b ng: C(4 + 11 - 1, 11) = C(14, 11) = 364 1.3.3 Phân ho ch th t t h p phân ho ch không th t 1.3.3.1 Phân ho ch th t t h p Đ nh nghĩa 1.7: Cho X t p g m n ph n t khác nhau, r ≤ n S ⊂ X có r ph n t M t phân ho ch {S1, S2 , , Sk } có th t c a S g i m t phân ho ch th t t h p ch p r c a X N u r = n g i phân ho ch th t c a X Cho s nguyên dương n1, n , , n k th a n1 + n + + n k = r S phân ho ch th t t h p ch p r c a X d ng {S1, S2 , , Sk } có S1 = n1, S2 = n , , Sk = n k , ñư c kí hi u C(n; n1,n , ,n k ) M t c u hình t h p ki u ñư c xây d ng qua bư c sau: Bư c 1: Ch n n1 ph n t t X cho S1 , có C( n, n1 ) kh Bư c 2: Ch n n ph n t t X\S1 cho S2 , có C( n − n1,n ) kh … Bư c k: Ch n n k ph n t t X\ (S1 ∪ S2 ∪ ∪ Sk −1 ) cho Sk , có C( n − n1 − n − − n k −1, n k ) kh Theo nguyên lý nhân suy ra: C(n; n1,n , ,n k ) = C( n,n1 ).C( n − n1,n ) …C( n − n1 − n − − n k −1, n k ) n! = = P(n; n1 , n , , n k ,n − r) n1 !n ! n k !(n − r)! V y ta có ñ nh lí sau: Đ nh lý 1.4: S lư ng phân ho ch th t t h p ch p r c a X có n ph n t b ng n! C(n;n1,n , , n k ) = = P(n;n1 , n , n k ,n − r); C(n;n1,n , , n k ) n1 !n ! n k !(n − r)! ñư c g i h s đa th c Ví d 1.57 17 sinh viên ñi d h i b ng xe khác theo th t có s ch ng i tương ng 4, 3, 3, 4, Hãy xác ñ nh s cách ch 17 sinh viên b ng xe, có sinh viên ph i ñi b ng phương ti n khác L i gi i: M i cách ch m t phân ho ch th t t h p ch p 15 c a 17 v i s ph n t m i t p tương ng 4, 3, 3, 4, Vì v y s cách ch là: C(17;4,3,3, 4,1) = 17! 4!3!3!4!1! = 8576568000 1.3.3.2 Phân ho ch không th t Đ nh nghĩa 1.8: Cho X t p g m n ph n t khác nhau, s nguyên dương n1,n , , n k p1, p , , p k th a n1p1 + n p + + n k p k = n M t h th ng t p c a X v i p1 t p l c lư ng n1 , p t p l c lư ng n , …, p k t p l c lư ng n k g i phân ho ch không th t c a X Đ nh lý 1.5: S phân ho ch không th t c a X v i p1 t p l c lư ng n1 , p t p l c lư ng n , …, p k t p l c lư ng n k là: C(n; n1, , n1, n , , n , , n k , , n k ) n! = p1 !p ! p k ! p1 !(n1 !) p1 p !(n !)p2 p k !(n k !) pk Trong t s C(n; n1, , n1, n , , n , , n k , , n k ) s n1 l p l i p1 l n, n l p l i p l n, …, n k l p l i p k l n Ví d 1.60 Phân ph i n qu c u phân bi t vào m h p phân bi t cho: H p ch a n1 v t, h p ch a n v t, …, h p m ch a n m v t: n1 + n + + n m = n H i có cách phân ph i khác nhau, không k th t c u m i h p L i gi i: Có th phân ph i b ng m bư c sau: Bư c 1: Ch n n1 ph n t t n c u cho h p 1, có C( n,n1 ) cách Bư c 2: Ch n n ph n t t n - n1 cho h p 2, có C( n − n1,n ) cách … Bư c m: Ch n n m ph n t t n − n1 − n − − n m−1 cho h p m, có C( n − n1 − n − − n m−1, n m ) kh Theo nguyên lý nhân suy s cách phân ph i là: C( n,n1 ) C( n − n1,n ) C( n − n1 − n − − n m−1, n m ) = n! n1 !n ! n m ! Chương PHƯƠNG PHÁP Đ M NÂNG CAO M TS 2.1 NGUYÊN LÝ BÙ TR V i n t p h u h n A1, A2, , An ta có đ nh lý t ng quát sau: Đ nh lý 2.1: V i n t p h p A1, , An b t kỳ ta có cơng th c |A1∪ ∪ An| = n ∑ Ai i=1 - ∑ 1≤i< j≤n | A i ∩ A j | + + (-1)n-1|A1∩A2∩ ∩An| (1) Hay ta có th phát bi u cách khác sau: | A1 ∪ A2 ∪ ∪ An| = N1 − N2 + N3 − + (−1)n-1Nn Nm (1 ≤ m ≤ n) t ng ph n t c a t t c giao m t p l y t n t p ñã cho, nghĩa là: Nm = ∑ | Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aim | 1≤i1 0, ta có {Cn +k −1, n = 0, 1, 2, } ↔ F(x) = n (1 − x) k k   k Th y v y, ta có =  = ( + x + x + x + ) k (1 − x) 1− x  N u ta khai tri n bi u th c b ng cách th c hi n nhân phá ngo c, s l n xu t hi n s h ng xn s b ng s nghi m nguyên không âm c a phương trình: x1 + x2 + + xk = n Ta ñã bi t s nghi m c a phương trình b ng: Cn +k −1 Như n n v y h s c a x b ng s cách ch n n v t t t p có k lo i đ v t Nh n xét 2.7: Ví d áp d ng qui t c xo n g i ý cho ta phương pháp gi i nhi u tốn đ m Ch ng h n v i hàm sinh: F(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)(1 + x + x2)(1 + x + x2 + x3 ) Gi s x x1 , x x , x x3 tương ng s h ng l y t th a s th nh t, th hai ba c a v ph i, suy ≤ x1 ≤ 5, ≤ x2 ≤ 2, ≤ x3 ≤ Khi khai tri n v ph i th a s s cho ta s h ng xn, v i n = x1 + x2 + x3 Như th h s c a xn F(x) s s nghi m nguyên không âm c a phương trình x1 + x2 + x3 = n th a mãn: ≤ x1 ≤ 5, ≤ x2 ≤ 2, ≤ x3 ≤ Như v y h s cho ta s cách ch n n v t t t p có lo i v t, g m v t lo i 1, v t lo i v t lo i 17 Ví d 2.41 Bây gi ta xét m t tốn đ m r t khó ch u Có nhiêu cách s p m t gi n trái tho mãn u ki n ràng bu c sau: • S táo ph i ch n • Ch có th có nhi u nh t qu cam • S chu i ph i chia h t cho • Ch có th có nhi u nh t qu ñào Ch ng h n, ta có cách s p gi trái có trái: Táo 4 2 0 Chu i 0 0 5 Cam Đào 0 1 L i gi i: Các ñi u ki n ràng bu c ph c t p có c m giác vi c tìm l i gi i vô v ng Nhưng ta xem hàm sinh s x lý toán th Trư c h t, ta tìm hàm sinh cho s cách ch n táo Có cách ch n qu táo, có cách ch n qu táo (vì s táo ph i ch n), có cách ch n qu táo, có cách ch n qu táo … Như th ta có hàm sinh cho s cách ch n táo A(x) = + x2 + x4 + … = − x2 Tương t , hàm sinh cho s cách ch n chu i B(x) = + x5 + x10 + … = − x5 Bây gi , ta có th ch n qu cam b ng cách, qu cam b ng cách, … Nhưng ta − x5 không th ch n qu cam, th ta có C(x) = + x + x + x + x = 1− x − x2 Và tương t , hàm sinh cho s cách ch n ñào D(x) = + x = 1− x Theo quy t c xo n, hàm sinh cho cách ch n t c lo i trái b ng 1 − x5 − x A(x).B(x).C(x).D(x) = = = + 2x + 3x + 4x + − x − x − x − x (1 − x) G n t t c ñư c gi n c v i nhau! Ch l i mà ta tìm đư c chu i (1 − x)2 lu th a t trư c Như th s cách s p gi trái g m n trái ñơn gi n b ng n + Đi u phù h p v i k t qu mà ta tìm trư c đó, có cách s p cho gi trái Th t thú v ! Ví d 2.42 Tìm hàm sinh cho s nghi m nguyên dương l c a phương trình x1 + x2 + x3 + + xk = n L i gi i: Hàm sinh c n tìm là: ( ) k k xk  x + x + x + x +  =  x  = f(x) = (x + x + x + x + ) =  2   (1 − x )k 1− x  k 18 Chương M TS NG D NG 3.1 M T S NG D NG C A H TH C TRUY H I 3.1.1 ng d ng tốn tìm s h ng t ng quát c a h th c truy h i vào gi i m t s toán v dãy s t h p Bài toán 3.2 (Olympic tốn sinh viên tồn qu c – 2004) b Cho dãy s (bn) xác ñ nh b i h th c sau: b0 = 0, bn = n −1 + (−1)n , n ≥ 2004 Tính lim b n n →+∞ L i gi i: Phương trình đ c trưng r - 1 =0 ⇔ r= 2004 2004 n   Nghi m t ng quát c a h th c truy h i thu n nh t tương ng b n = C 1.   2004  f(n) = (-1)n nên ch n b* = C2.(-1)n Thay vào h th c truy h i ñ ta ñư c: n 2004 2004 C2 = ⇒ b* = (-1)n n 2005 2005 n ⇒ Công th c t ng quát c a dãy s 2004 2005 V y công th c t ng quát c a dãy s Đ cho b0 = ⇒ = C + 2004 n   c n tìm bn = C1. ( −1)  + 2005  2004  2004 ⇒ C1 = − 2005 c n tìm là: 2004   2004 ( −2004 ) − n bn = −  + ( −1) = −  n −1 2005  2004  2005 2005.( 2004 ) n n 2  ( −1) n 2004n −   ( −1)n (2004)n − 1 =  2004 2  =  lim   Suy lim b n = lim   n −1 n →+∞  2005 2004 n −1  n →+∞  n →+∞ 2005.( 2004 )   2005  ( )     Bài toán 3.7 (IMO 1967) Trong m t cu c thi đ u th thao có m huy chương, ñư c phát n ngày thi ñ u Ngày th nh t, ngư i ta phát m t huy chương s huy chương l i Ngày th hai, ngư i ta phát hai huy chương huy chương l i Nh ng ngày cịn l i đư c ti p t c tương t v y Ngày sau l i n huy chương đ phát H i có t t c có huy chương phát ngày L i gi i: G i ak s huy chương l i trư c ngày th k, suy a1 = m ta có: 19 ak+1 = ak – k - 1 (ak – k) = a k - 6k (Do ngày th k phát ñi k huy chương huy 7 7 chương l i) Gi i h th c truy h i ta ñư c: a k =     7 n −1 k −1 (m − 36) − 6k + 42 Theo gi thi t ta có an = n =   (m − 36) − 6n + 42 ⇒ m − 36 = 7(n − 6)       7 6 n-1 Vì m – 36 ∈ (6, 7) = 1, > n – nên n – = ⇔ n = ⇒ m = 36 n −1 V y có 36 huy chương đư c phát ngày 3.1.2 ng d ng gi i h th c truy h i m t h bi u th c n tính thu n nh t c pm t a1 = α, b1 = β  Xét h : a n +1 = pa n + qb n , v i α , β , p, q, r, s h ng s th c b = + sb  n +1 n n Gi i h ñi xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (an) (bn) th a mãn h th c truy h i B ng cách bi n đ i ñưa v gi i h th c truy h i n tính thu n nh t c p hai Mu n v y ta thay n b i n + vào phương trình th hai c a h ta có: a n +2 = pa n +1 + qb n +1 = pa n +1 + q(ra n + sb n ) = pa n +1 + qra n + s(a n +1 − pa n ) Suy a n +2 = (p + s)a n +1 + (qr − ps)a n M t khác t h ta l i có a = pa1 + qb1 = pα + qβ V y ta có h th c truy h i n tính thu n nh t c p hai a n +2 = (p + s)a n +1 + (qr − ps)a n , a1 = α, a = pα + qβ Mà ta ñã bi t cách gi i T ta tìm đư c an , th vào h thu ñư c bn 3.1.3 ng d ng tìm s h ng c a m t s dãy s ñ c bi t 3.1.3.1 D ng px + q Cho dãy s ( x n ) xác ñ nh b i x n +1 = n , đó: x0 = a cho trư c p, q, r, s rx n + s h ng s Tìm s h ng t ng quát x n Gi s yn zn nghi m c a h :  y n +1 = py n + qz n , y0 = a, z0 =  z n +1 = ry n + sz n y y a Khi x n = n nghi m c a h th c truy h i ñã cho Th t v y, x = = = a zn z0 y p n +q y py + qz n px + q zn = = n đúng Ta l i có: x n +1 = n +1 = n yn z n +1 ry n + sz n rx n + s r +s zn 20 3.1.3.2 D ng Cho dãy s (un ) xác ñ nh b i u1 = α, u = β u n +1 = u n −1.u n au n −1 + bu n (1) Tìm s h ng t ng quát u n au + bu n 1 Bi n ñ i (1) ⇒ = n −1 ⇔ = a + b u n +1 u n −1.u n u n +1 un u n −1 Đ t = ta có: v n +1 − av n − bv n −1 = (Đây h th c truy h i n tính thu n un nh t h s h ng) 3.1.3.3 D ng Cho dãy s (un) xác ñ nh sau: u n = a.u n −1 + bu −1 + c , ∀n ≥ n (2) u1 = α, a2 − b = Tìm s h ng t ng quát u n Ta có: (2) ⇔ (un – aun-1)2 = b u −1 + c ⇔ u − 2au n u n −1 + u −1 − c = n n n (3) Thay n b i n – ta có: u −2 − 2au n −1u n −2 + u n −1 − c = n T (3) (4) ta có un un-2 nghi m c a phương trình: (4) t − 2au n −1.t + u n −1 − c = Áp d ng ñ nh lý Viet, ta có: un + un-2 = 2a.un-1 T suy un 3.1.3.4 D ng u n −1 , ∀n ≥ Tìm dãy s (un) xác đ nh sau: u n = a + c.u n −1 + b (5) V i ñi u ki n: u1 = α , α > 0, a > 0, a2 − b = Ta có (5) ⇔ a b = + c+ ñ t x n = ta ñư c: u n u n −1 un u n −1 x n = a.x n −1 + b.x n −1 + c ñây tốn d ng 3, nên ta tìm đư c xn, t suy un 3.2 M T S NG D NG C A PHƯƠNG PHÁP SONG ÁNH Dùng song ánh ñ thi t l p h th c truy h i, d a ý tư ng: N u t n t i m t song ánh t t p A đ n t p B s ph n t c a A B s b ng T ng d ng vào gi i m t s tốn như: Tính t ng t h p, ch ng minh ñ ng th c t h p d ng tốn đ c trưng c a phương pháp song ánh Ph n tìm hi u tốn thu c d ng đ c trưng 3.2.1 Dùng song ánh xây d ng h th c truy h i ch ng minh hai t p b ng áp d ng vào gi i m t s toán t h p Bài toán 3.15 Cho s nguyên dương n, tìm s t p khác r ng c a t p S = {1, 2, , n} cho m i t p không ch a hai s nguyên liên ti p L i gi i: Đ t Sn = {M ⊂ S | M không ch a s nguyên liên ti p nào} 21 Pn = {(a1, a , , a n ) | a i ∈{0, 1} ∀i = 1, n; (a i , a i+1 ) ≠ (1, 1), ∀i = 1, n − 1} • Xét ánh x f: f: Sn → Pn a = i ∈ M cho  i M a (a1,a , ,a n ) a i = i ∉ M D dàng ki m tra ñư c r ng f song ánh nên |Sn| = |Pn|, ∀n ≥ • Xét ánh x g: g: Pn → Pn-1 ∪ Pn-2 ∀n ≥ (a ,a , ,a n −1 ) ∈ Pn −1 an = (a1,a , ,a n ) a  (a1,a , ,a n −2 ) ∈ Pn −2 an = D dàng ki m tra ñư c r ng g song ánh, Pn Pn-1 r i nên |Pn| = |Pn-1| + |Pn-2| , ∀n ≥ suy |Sn| = |Sn-1| + |Sn-2| , ∀n ≥ Vì |S1| = ; |S2| = nên |Sn| = |Fn+2| ∀n ≥ v i {Fn} dãy Fibonacci n n  +   −    Ta có Fn =  −   suy        n+2 n+2  1−   +   |Sn| =  −          n+2 n+2 1−    +   Mà t p ∅ ⊄ Sn nên s t p c n tìm b ng  −   -        * th a mãn ñi u ki n < k ≤ n, m >1 Bài toán 3.17 (VMO 1996) Cho n, k, m ∈ H i có ch nh h p không l p ch p k: (a1, a2, , ak) c a n s nguyên dương ñ u tiên mà m i ch nh h p đ u th a mãn nh t m t hai ñi u ki n: (1) ∃i, j ∈ {1,2, ,k} cho i < j > aj (2) ∃i ∈ {1,2, ,k} cho − i không chia h t cho m L i gi i: Đ t A t p g m ch nh h p ch p k c a n l y t t p {1, 2, , n} Ta có: |A| = A k n A* t p g m ch nh h p th a mãn gi thi t B= { (a1,a , ,a k ) ∈ A | a1 < a < < a k , (ai − i) M m ∀ i = 1, k } D th y A* = A\B • Xét ánh x f: f: B → B' (a1,a , ,a k ) a (a1 − + m,a − + 2m, ,a k − k + km) Khi f song ánh t B ñ n B’ 22 v i B’ = { (b1, b2 , , bk ) | b1 < b2 < < bk , bi ∈{1, 2, , n − k + km} , bi M m ∀ i = 1, k } Do |B| = |B’| = Ckn −k  (Vì B’ t p b g m k ph n t không phân bi t th   m +k   t l y t t p s nguyên dương không l n n − k + km chia h t cho m nên s ph n t c a t p B’ |B’| = Ckn −k +km  = Ckn −k  = Ckn −k  )    V y |A*| = |A| - |B| = A k n   m   C kn − k    m +k    m +k     m  +k   3.2.2 Tính t ng t h p ch ng minh ñ ng th c t h p M t ng d ng khác c a phương pháp song ánh dùng đ tính t ng ph n t c a m t t p h p ñó Có th xem ý tư ng ñã ñư c ñ xu t toán quen thu c: “Tính t ng + + + n”, v i cách gi i quy t t v i mà tương truy n c a Gauxơ Ta có th di n đ t l i cách tính sau: V i m i i ∈ S ={1, 2, …, n}, xét ánh x f xác ñ nh sau: f(i) = n + – i Rõ ràng f m t song ánh t S vào S Do đó: n(n + 1) 2∑ i = ∑ (i + f (i)) = S (n + 1) = n(n + 1) ⇒ ∑ i = i∈S i∈S i∈S Bài toán 3.18 (VMO 2002) Cho t p S g m t t c s nguyên thu c [1, n] (n ∈ * ) T t p t t c t p khác r ng c a S V i m i X ∈ T, kí hi u m(X) ∑ m(X) trung bình c ng t t c ph n t thu c X Tính m = X∈T T L i gi i: Xét ánh x f: f: T → T X a f (X) = {n + − x | x ∈ X} m(X) + m(f (X)) = n + , ∀X ∈ T  D th y f song ánh nên  m(X) = ∑ ∑ m(f (X)) X∈T  X∈T Suy ra: ⇒ ∑ m(X) = ∑ [ m(X) + m(f (X))] = T (n + 1) X∈T X∈T ∑ m(X) V y: m = X∈T T = n +1 Bài tốn 3.19 (Olympic 30.4.2000) Hãy tính trung bình c ng t t c s N g m 2002 ch s th a mãn N M 99 ch s c a N thu c {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} L i gi i: G i M t p s N th a mãn ñi u ki n ñ Xây d ng ánh x f sau: N u N = a1a a 2002 f(N) = b1b b 2002 , v i bi = – , ∀i = 1,2002 23 Do N + f(N) = 99 M 99 nên f : M → M song ánh (kí hiêu: cs “ch s ”) { 2002 cs T ta có: ∑ N = N∈M ∑ (N + f (N)) = | M | 99 ⇒ ∑ N = | M | 99 { { N∈M 2002 cs N∈M 2002 cs 1 10 −1 ∑ N = 99 = { | M | N∈M 2002 cs Nh n xét 3.2: Cũng t vi c so sánh l c lư ng t p h p, phương pháp song ánh m t cơng c đ c l c đ xây d ng ch ng minh công th c t h p Thông thư ng ngư i ta xây d ng m t song ánh ñi t m t t p vào nó, ý tư ng b n ñây có th phát bi u sau: “Khi ñ m s ph n t c a m t t p h p b ng nhi u cách k t qu ñ m thu ñư c ph i b ng nhau, cho dù v i cách ñ m khác ta thu ñư c bi u th c r t khác nhau” Ta ñi xét tốn sau: Bài tốn 3.23 (Vơ đ ch Trung Qu c – 1994) 2002 V y trung bình c ng s N là: n Ch ng minh r ng: ∑2 k =0 k  n −k  k    C n C n −k  = Cn +1 , ∀n ∈ 2n + L i gi i: Ta ch n n s không l p t 2n+1 s , s cách ch n b ng Cn +1 2n M t khác, ta có th ch n ch n n s t 2n + s b ng cách khác sau: Trư c h t, t 2n+1 s , ta chia n c p l i m t s g i a không thu c n c p Sau ta th c hi n liên ti p hai bư c ch n sau: Bư c 1: Ta ch n k c p t n c p y r i t m i c p ch n m t s Trư ng h p có t t c Ck 2k cách ch n n n − k  c p n - k c p cịn l i, ngồi ra, s a s ñư c ch n n u Bư c 2: Ch n     n - k l khơng đư c ch n n u n – k ch n bư c có 2k Ck cách ch n bư c n có  n −k     Cn −2  k cách ch n ta ch n ñư c t ng c ng n s , ñó k ch y t ñ n n V y theo nh n xét 3.2 suy ñi u ph i ch ng minh 3.3 M T S NG D NG C A HÀM SINH 3.3.1 ng d ng hàm sinh vào tốn tìm dãy s 3.3.1.1 Phương pháp • Đ tìm dãy s {an} Ta xét hàm sinh sinh b i dãy {an} F(x) = ∑ anxn n ≥0 • D a vào đ c ñi m c a dãy {an} h th c truy h i ta tìm hàm F(x) • Khai tri n F(x) theo lũy th a x (Khai tri n Taylor), ta tìm đư c an v i m i n 24 3.3.1.2 Bài t p ng d ng Bài toán 3.26 (Dãy Fibonacci) F = F + F Tìm dãy s Fibonacci th a mãn u ki n:  n + n +1 n F0 = 0,F1 = L i gi i: Xét hàm sinh F(x) sinh b i dãy {Fn} t c là: F(x) = F0 + F1x + F2x2 + + Fn+2xn+2 + Áp d ng tính ch t c a hàm sinh: N u {an} ↔ F(x) F(x) − a − a1x − a x − a 3x − − a h −1x h −1 {an+h} ↔ , h∈ xh F(x) − F0 F(x) F(x) − F0 − F1.x F(x) − x Ta suy ra: {Fn+2} ↔ = {Fn+1} ↔ = x x x2 x2 F(x) − x F(x) Vì Fn + = Fn +1 + Fn nên = + F(x) hay x x2 n n x 1 1 ∞ 1+  1−   n F(x) = = ( + )=  −  x ∑ − x − x2 1+ 1− 5 n =0         1− x 1− x 2 n n 1+  1−    V y Fn =  −          Bài toán 3.31 Trên m t ph ng k n ñư ng th ng cho khơng có đư ng đ ng qui khơng có đư ng song song H i m t ph ng ñư c chia làm m y ph n? G i pn s l n nh t ph n m t ph ng có th có m t ph ng đư c chia b i n ñư ng th ng th a mãn u ki n tốn Nh n xét 3.5: Ví d g p ph n trư c ta l p đư c cơng th c truy h i cho pn pn = pn-1 + n v i p1 = 2, p0 = tìm đư c cơng th c tư ng minh cho pn b ng cách Bây gi ta tìm cơng th c hi n c a pn dư i cách nhìn t hàm sinh L i gi i: ∞ Hàm sinh cho dãy p1, p2, p(x) = ∑ pi x i = p0 + p1x + p2 x + (1) i =0 ∞ Nhân v c a (1) v i x ta có x.p(x) = ∑ pi x i+1 = xp0 + p1x + p2 x + (2) i =0 L y (1) tr (2) v theo v ta có: p(x) - xp(x) = p0 + (p1 - p0)x + (p2 - p1)x2 + m t khác ta có p0 = 1, pn – pn-1 = n, v y ta thay vào (3) ta có (1 - x).p(x) = + x + 2x2 + 3x3 + = + x(1 + 2x + 3x2 + ) = + x (1 − x)2 (3) 25 Suy ra: p(x) = ∞ p(x) = ∑x n n =0 ∞ 1 + x , khai tri n lũy th a v ph i ta ñư c: 1− x (1 − x)3 ∞ + x ∑ m =0 ∞ = C2 + x m m ∑x n + n =0 ∞ ∑ C2 +2 x m+1 m m =0 ∞ ∞ ∞ n =1 n =0 n =0 = ∑ x n + ∑ C2 +1.x n = ∑ x n + ∑ C2 +1.x n n n n =0 n(n + 1) n2 + n + Suy h s c a x pn = + =1 + = 2 3.3.2 Tính t ng t h p ch ng minh ñ ng th c t h p 3.3.2.1 Phương pháp: Đ tính t ng S(n) = ∑ h m (n) ta xét hàm sinh: C2 +1 n n m n F(x) = ∑ S(n).x = ∑ (∑ h m (n)).x n n n (*) m Sau s d ng phương pháp đ i t ng đ tính v ph i c a (*) r i ñ ng nh t th c hai v ta thu ñư c S(n) 3.3.2.2 Bài t p ng d ng n Bài toán 3.32 Tính t ng sau: ∑ (−1)k Ck Cm n k k =m L i gi i: Đ t S(m) = n ∑ (−1)k Ck Cm n k k =m Xét hàm sinh: F(x) = ∑ S(m).x m = m = ∞ n k m ∑ ( ∑ (−1)k Ck Cm ).x m = ∑ (−1)k Cn ∑ Ck x m n k m =0 k = m k ≤n m≤k k ∑ (−1)k Ck (1 + x)k = (−1)n ∑ (−1)n −k Cn (1 + x)k = (−1)n (−1 + + x)n = (−1)n x n n k ≤n k ≤n (-1)n m = n  Đ ng nh t th c ta có: S(m) =   m < n  n Bài tốn 3.34 Hãy tính t ng sau: f(n) = ∑ C2k k 2n −k n+ k =0 L i gi i: G i F(x) hàm sinh c a dãy {f(n)} Ta có F(x) = ∑ f (n)x n suy ra: n ≥0 n n n F(x) = ∑ ∑ C2k k 2n −k x n = ∑ 2− k ∑ C2k k 2n x n = ∑ 2− k (2x) − k ∑ C2k k (2x) n + k n+ n+ n+ n ≥0 k =0 n −k k =0 k =0 n − k ≥0 = ∑ (2x) − k (2x)2k ∑ n ≥0 k =0 k Cn −+1+(n −k)−1 (2x)n −k = 2k n ≥0 n ∑ 2− k (2x)k (1 − 2x)2k+1 k =0 26 k   x = ∑  (1 − 2x)2  = − 2x − 2x k ≥0   1− = − 2x (1 − 4x)(1 − x) x (1 − 2x)  1 = + =  ∑ (4x)n + ∑ x n  = ∑ (22n +1 + 1)x n = 3(1 − 4x) 3(1 − x)  n≥0 n ≥0  n ≥0 22n +1 + V y: f(n) = (n ≥ 0) ∑ f (n)x n n ≥0 K T LU N Lu n văn ñã trình bày m t cách có h th ng t ng quan v lý thuy t t h p Cũng ch n nh ng ví d phù h p phong phú ñ làm rõ ph n lý thuy t trình bày Đ c bi t chương hai, Chúng tơi nghiên c u, ch ng minh m t cách chi ti t ñ nh lý t ng quát v nguyên lý bù tr , h th c truy h i lý thuy t v hàm sinh Trên s xây d ng m t h th ng phương pháp gi i d ng toán t h p liên quan ng d ng ph n lý thuy t ñã nêu Đ c bi t lu n văn cịn đ xu t m t phương pháp gi i toán ñ m t h p nâng cao ng d ng m t phương pháp đ c s c phương pháp song ánh chương ba, chúng tơi nghiên c u ñưa m t s d ng tốn ng d ng đa d ng cho nh ng lý thuy t đư c trình bày chương hai Đ ng th i lu n văn ñã nêu lên ñư c m i quan h gi a h th c truy h i hàm sinh K t qu c a lu n văn nh m nâng cao ch t lư ng d y h c tốn t h p nói riêng tốn r i r c nói chung, nh m phát tri n tư tốn h c cho h c sinh ph thơng ñ c bi t h c sinh chuyên tốn có m t tư li u đ tham kh o b ích, b i t h p đư c xem mơn h c khó cho h c sinh c p h c Cu i cùng, chúng tơi xin đư c nêu lên m t s v n đ có th đư c m r ng nghiên c u ti p theo tương lai là: (1) Lý thuy t v h th c truy h i n tính b c k b t kì v i h s bi n thiên cho ñ n v n chưa hoàn ch nh, lý thuy t v d ng h th c truy h i khác (2) ng d ng hàm sinh h th c truy h i ñ gi i tốn liên quan đ n đ ph c t p c a thu t toán gi i toán lĩnh v c tin h c (3) ng d ng c a hàm sinh ñ gi i toán r t hay g p kỳ thi vơ đ ch tốn toán phân ho ch t p h p phân ho ch s nguyên ... Chính nh ng lý trên, chúng tơi nghiên c u ch n đ tài “Bài tốn đ m nâng cao t h p ng d ng” nh m h th ng phương pháp gi i ñ ng th i nâng cao n a nh n th c ng d ng c a h c t p, nghiên c u cơng tác sau... h c cao ñ ng, h c viên cao h c, thi h c sinh gi i c p qu c gia, qu c t nh ng quan tâm ñ n lý thuy t t h p NHI M V NGHIÊN C U Nhi m v c a ñ tài nghiên c u v c u hình t h p t b n ñ n nâng cao, ... thuy t v hàm sinh, công th c truy h i T đưa ñư c h th ng phương pháp ng d ng n hình c a tốn đ m nâng cao t h p Đ I TƯ NG VÀ PH M VI NGHIÊN C U • Lý thuy t v c u hình t h p b n m r ng ki n th c liên

Ngày đăng: 11/03/2014, 01:20

Hình ảnh liên quan

Cho dãy số {an}. Chuỗi lũy thừa hình thức vô hạn F(x) n n - Luận văn:Bài toán đếm nâng cao trong tổ hợp và ứng dụng docx

ho.

dãy số {an}. Chuỗi lũy thừa hình thức vô hạn F(x) n n Xem tại trang 14 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan